Header Page of 126 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người thầy mình, TS Vũ Đình Phượng, người định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn, bảo để tơi hồn thành luận văn đồng thời mong muốn học hỏi thầy nhiều Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học trường Đại học Thăng Long q thầy tham gia giảng dạy khóa học tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khóa học hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Thân Thị Nguyệt Ánh Footer Page of 126 Header Page of 126 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Vũ Đình Phượng, luận văn chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: “ Những dạng tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường gặp trường trung học phổ thơng” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Thân Thị Nguyệt Ánh Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Mục lục Trang Mở đầu…………………………………………………………………… Chƣơng PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ……………………………………………… 1.1 Phương pháp giải phương trình vơ tỉ……………………………… 1.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương……………………………… 1.1.2 Phương trình vơ tỉ thường gặp…………………………………… 1.1.3 Phương pháp biến đổi thành phương trình tích.…………………… 10 1.1.4 Phương pháp nhân lượng liên hợp………………………………… 12 1.1.5 Phương pháp đặt ẩn phụ………………………… 20 1.1.6 Sử dụng tính đơn điệu hàm số………………………………… 38 1.1.7 Phương pháp đánh giá………………… 42 1.2 Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ………………………… 45 1.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương.……………………………… 45 1.2.2 Sử dụng phương pháp chia khoảng tách căn…………………… 48 1.2.3 Giải bất phương trình cách đưa dạng tích thương… 50 1.2.4 Phương pháp nhân lượng liên hợp………………………………… 52 1.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ …………………………………………… 54 1.2.6 Phương pháp hàm số……………………………………………… 1.3 56 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ có chứa tham số……………………………………………………… 58 1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương……………………………… 58 1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………………………… 60 1.3.3 Sử dụng định lí Lagrange………………………………………… 61 1.3.4 Phương pháp điều kiện cần đủ………………………………… 62 1.3.5 Phương pháp hàm số……………………………………………… 63 1.4 Một số phương trình, bất phương trình vơ tỉ giải nhiều cách khác nhau………………………………………………………… Footer Page of 126 69 Header Page of 126 Chƣơng MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ……… 75 2.1 Sai lầm biến đổi làm thừa nghiệm phương trình, bất phương trình……………………………………………………………… 75 2.2 Sai lầm biến đổi làm thiếu nghiệm phương trình, bất phương trình……………………………………………………………… 80 2.3 Sai lầm biến đổi vừa làm thừa nghiệm vừa làm thiếu nghiệm phương trình………………………………………………………… 85 Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ……………………………… 87 3.1 Xây dựng phương trình vơ tỉ từ hệ phương trình đối xứng loại hai 87 3.2 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ dựa vào phương trình biết cách giải……………………………………………… 3.3 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ dựa vào phương trình tích…………………………………………………………… 3.4 97 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ dựa vào nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân lượng liên hợp…………………… 3.8 95 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ dựa vào phương trình lượng giác…………………………………………………… 3.7 92 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số…………………………………………………… 3.6 91 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ từ đẳng thức………………………………………………………………… 3.5 88 99 Xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ cách sử dụng hàm ngược………………………………………………………… 101 Kết luận………………………………………………………………… 103 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 104 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình, bất phương trình vơ tỉ đề tài lí thú Đại số, lôi nhiều người say mê nghiên cứu tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Chính mà tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Bên cạnh đó, học sinh phải đối mặt với nhiều dạng tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà cách giải chưa hệ thống cách đầy đủ sách giáo khoa (phương pháp hàm số, phương pháp nhận xét – đánh giá, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác…), đồng thời em thường xuyên gặp phải số sai lầm giải toán dạng Việc sai lầm thường gặp học sinh, phân loại tổng hợp dạng tập nhằm phát triển lực cho đối tượng học sinh, tìm phương pháp giải hay ý tưởng xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ mối quan tâm khơng người Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập tác giả lựa chọn đề tài: “ Những dạng tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường gặp trường trung học phổ thông” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Dựa vào cách giải, đưa số hướng để xây dựng phương trình bất phương trình vơ tỉ Đồng thời hạn chế sai lầm thường gặp học sinh giải dạng toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình trung học phổ thơng Footer Page of 126 Header Page of 126 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp giải Từ đưa nhiều cách khác để giải phương trình hay bất phương trình vơ tỉ Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp chủ yếu để thực luận văn thu thập tài liệu, nguồn tài liệu thu thập từ: giáo trình, sách tham khảo, tạp chí chuyên ngành, website chuyên ngành Sau thu thập tài liệu, tơi tiến hành tổng hợp, phân tích tài liệu để phù hợp với mục đích nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Chương 2: Sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Chương 3: Một số phương pháp xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc suốt trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận ý kiến đóng góp, bảo quý thầy cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà nội 2016 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 1.1 Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỉ 1.1.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Nội dung phương pháp thực lũy thừa hai vế với số mũ phù hợp Ta thường sử dụng phép biến đổi tương đương sau: B  AB 2n A  B Dạng 1: 2n Dạng 3: n1 Dạng 2: 2n A  v B  A  2n B   A  B B  A  A  B  A  B2n1 Dạng 4: A n B   B  v  Ví dụ 1.1 Giải phương trình x  12  26  8x Phân tích: Biến đổi phương trình dạng (1) A  B , sau bình phương vế ta thu phương trình bậc hai Lời giải:  8 x  26   6 x  12  8 x  26  (1)  x  12  x  26   13  x    64 x  422 x  664   13   x   x   83 x  ; x   32 Kết luận: Tập nghiệm phương trình cho S  4 Ví dụ 1.2 Giải phương trình  x  3x  x  x   Phân tích: Phương trình có dạng A B  Lời giải:  2 x  3x   (2)  x  3x      x  3x  Footer Page of 126 (2) Header Page of 126   1 1  x   ;     2;    x  ; x   ; x   x  2; x     2 2 x  ; x   Kết luận: Tập nghiệm phương trình S   ; 2; 3   1.1.2 Phƣơng trình vô tỉ thƣờng gặp A  B  C  Dạng 1: (1) Bước 1: Đặt điều kiện xác định A  C  B Bước 2: Chuyển vế để hai vế không âm tức là: (1.1) Bước 3: Bình phương hai vế phương trình (1.1) ta có: A  C  AC  B  AC  B  A  C Dạng 2: A B  C (2) Bước 1: Lập phương hai vế phương trình (2) thu được:  Bước 2: Thế 3 A3 B     3 C  A  B  3 AB   A  B  C (2.1) A  B  C vào (2.1) ta thu phương trình hệ A  B  3 ABC  C (2.2) Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm Dạng 3: A  B  C  D , với A  C  B  D AC  BD Bước 1: Đặt điều kiện xác định Bước 2: Biến đổi phương trình A C  D B   A C   D B  (3.1) Chú ý: Biến đổi từ phương trình (2.1) sang (2.2) từ (3) sang (3.1) biến đổi hệ quả, giải xong ta cần thay nghiệm trở lại phương trình đề để kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai Ví dụ 1.3 Giải phương trình 3x   2x   x  (3) Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Phân tích: Biến đổi phương trình dạng A  B  C , sau bình phương vế đưa giải phương trình bậc hai Lời giải: Điều kiện xác định x   (3)  3x   x   x    3x   x   x    3x     2x   x    x  3 x  1   x  3 x  1   x   ; x  3 Kết luận: Tập nghiệm phương trình S     2 x   3x   x  x  Ví dụ 1.4 Giải phương trình Phân tích: Phương trình có dạng (4) A  B  C  D , với A  C  B  D, cụ thể:  x  3  x   3x  1   x    x  nên ta biến đổi phương trình thành A  C  D  B , sau bình phương hai vế ta thu phương trình hệ Do sau tìm nghiệm ta cần thay nghiệm vào phương trình đề để nhận nghiệm thích hợp Lời giải: Điều kiện xác định x  (4)  x   x  x   3x    x  x  3   x32 x    x   3x    x   3x  1  x  x  3   x  3x  1  x  x    x  Kết luận: Tập nghiệm phương trình S  1 Ví dụ 1.5 Giải phương trình x   3x   x   Phân tích: Biến đổi phương trình đưa dạng lập phương  a  b hai vế thường  a3  b3  3ab  a  b  , thay Footer Page of 126 sử dụng (5) A  B  C , sau đẳng thức A  B  C vào phương trình Header Page 10 of 126 thu sau lập phương giải phương trình hệ dạng f  x   g  x   f  x    g  x  Lời giải: Tập xác định D   (5)  x   3x   x    x   3 x  3x  Thế  3   x   3x   x 1  x   3 x   x  x   3x   x  vào (5.1), suy ra:  (5.1) x  3x  x    x    x  1 3x  1 x  1    x  1   x  1  3x  1 x  1   x  1       x  1 x2   x  1; x  Thử lại: Thay x  1 x  vào phương trình (5) khơng thỏa mãn Kết luận: Tập nghiệm phương trình S   1.1.3 Phƣơng pháp biến đổi thành phƣơng trình tích Nội dung phương pháp sử phép biến đổi, kết hợp với việc tách, ghép, nhóm để đưa phương trình cho dạng tích phương trình đơn giản biết cách giải Ví dụ 1.6 Giải phương trình 3 x   x   x2  3x   15 Phân tích: Sử dụng phân tích x  3x   (6)  x  1 x  1 ghép cặp lại với xuất nhân tử chung đưa phương trình tích số Lời giải: Tập xác định D  (6)  3 x   x    x  1 x  1  15  3    3  2x    x    2x     2x    x  62 2x    x       x  26  x     Kết luận: Tập nghiệm phương trình S  26; 62 10 Footer Page 10 of 126 Thang Long University Library Header Page 90 of 126 x 11  177 (thỏa mãn) 11  177     Vậy tập nghiệm phương trình S   Lưu ý: Mấu chốt lời giải chia hai vế phương trình cho x  x   với việc phân tích: 3x  3x  18   x  x     x   Ta chọn A, B, C biểu thức có chứa biến cho biệt thức  số phương Chẳng hạn, chọn A  2, B   x, C  x  t  x  , thay vào bất phương trình At  Bt  C  ta được:   x   1  x  x    x  1  Biến đổi rút gọn ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.3.1 Giải bất phương trình  x  1 x   x  x   Phƣơng pháp giải Đặt t  x2    x2  t  , thay vào bất phương trình cho ta  x  1 t   t  1  x    2t   4x  1 t  2x   (*) t   x  1   x  1   x  3  , suy t1  x  1; t2  2 2t    2t    t  x   t  x   (*)   2t  1 t  x  1    Thay t  x  vào ta giải bất phương trình Kết hợp với điều kiện x  , tập nghiệm bất phương trình là: 4  3 S   ;      3  4 90 Footer Page 90 of 126 Thang Long University Library Header Page 91 of 126 3.3 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ dựa vào phƣơng trình tích Đối với phương pháp việc xây dựng phương trình hay bất phương trình vơ tỉ dễ dàng, ta cần xét phương trình f  x  g  x   hay bất phương trình f  x  g  x   , sau ta nhân vào biến đổi để khơng cịn tích Cịn việc giải thường ngược lại trình sáng tác Tuy nhiên việc sáng tác phương trình hay bất phương trình trường hợp không tùy tiện mà nên xây dựng phương trình đưa tích có đặc thù riêng đại diện cho phương pháp phân tích Bài tốn 3.4 Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình tích , chẳng hạn  a  b  a  b  1  Đặt a, b biểu thức có chứa thức ta thu phương trình vơ tỉ Chọn a  x  1, b  x  , thay vào phương trình  a  b  a  b  1  ta được:  x2   2x    x   x    Khai triển rút gọn ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4 Giải phương trình x  x  x   x  Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định: x    1   x  1  x   x  (*) Đặt a  x   1, b  x   , thay vào (*) ta có a  b  a  b (1) Phương trình tương đương với x Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích từ tìm tập nghiệm phương trình cho S  0; 2 91 Footer Page 91 of 126 Header Page 92 of 126 3.4 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ từ đẳng thức Bài toán 3.5 Ý tưởng: Xuất phát từ đẳng thức đó, ta xây dựng phương trình vơ tỉ chẳng hạn đẳng thức: a  b  c  a3  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  Khi ta chọn a, b, c cho: a  b  c  a3  b3  c3 , từ ta phương trình tích số:  a  b  b  c  c  a   Chẳng hạn, chọn a  x  1, b   x , c  3x  , suy a  b3  c3  x  Từ ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.5 Giải phương trình x    x  3x   x  Phƣơng pháp giải Đặt a  x  1, b   x , c  3x  suy a3  b3  c3  4x  Phương trình cho trở thành: a  b  c  a3  b3  c3   a  b  c   a3  b3  c3 (1) Mặt khác ta có  a  b  c   a3  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  (2) Từ (1) (2) suy  a  b  b  c  c  a   Từ ta giải phương trình có dạng tích số, tìm tập nghiệm 1  S  3;   5  Chẳng hạn, chọn a  x  1, b   x  x  8, c  x  x  , suy a  b3  c3  Từ ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.5.1 Giải bất phương trình x   x2  x   x2  8x   Phƣơng pháp giải Đặt a  x  1, b   x  x  8, c  x  x  suy a  b3  c3  92 Footer Page 92 of 126 Thang Long University Library Header Page 93 of 126 Bất phương trình cho trở thành: a  b  c  a3  b3  c3   a  b  c   a  b3  c 3 Mặt khác ta có  a  b  c   a3  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  (1) (2) Từ (1) (2) suy  a  b  b  c  c  a   Từ ta giải bất phương trình có dạng tích số, tìm tập nghiệm bất phương trình S   ; 1  0;9 Bài toán 3.6 Ý tưởng: xuất phát từ đẳng thức A2  B2 , ta chọn A, B biểu thức có chứa ta thu phương trình hay bất phương trình vơ tỉ Chẳng hạn chọn A  x   x  x  3, B  x  x  , thay vào đẳng thức A2  B2 , khai triển đẳng thức hai vế rút gọn ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.6 Giải phương trình x   x x    x  1 x  x   Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x  Biến đổi phương trình cho thành x   x x    x  1 x  x     x  1   x  1 x  x    x  x  3   x    x x   x 2   x   x2  2x     x  x2    x   x2  2x   x  x2    x   x2  2x    x  x2   1   x  x   x   ( phương trình vơ nghiệm) (2)  x   x2  x   x    2x   2x  x2  x   x2  0 93 Footer Page 93 of 126 1  2 Header Page 94 of 126     x  1 1  0 x2  2x   x2    x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S     2 Bài tốn 3.7 Ý tưởng: xuất phát từ đẳng thức u  v3   u  v   u  uv  v  , ta chọn u , v biểu thức có chứa đồng thời ta muốn xây dựng phương trình giải cách đưa phương trình đẳng cấp dạng: au  buv  cv  Ta việc tính au  cv theo x sau cho buv  au  cv ta thu phương trình ẩn x Thường ta chọn hệ số a, b, c cho biệt thức  số phương Chẳng hạn ta xét đẳng thức x3    x  1  x  x  1 chọn u  x  1, v  x  x  , uv  8x3  Xét  2u  v  u  3v    2u  3v2  5uv   2u  3v  5uv Mà 2u  3v   x  1   x  x  1  12 x  10 x  5uv  5 8x3  Từ ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.7 Giải phương trình 8x3   12 x2  10 x  Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x   Biến đổi phương trình cho thành  x  1  x2  x  1  3 x2  x  1   x  1 94 Footer Page 94 of 126 Thang Long University Library Header Page 95 of 126 Đặt u  x  1, v  x  x  , biến đổi giải phương trình đẳng cấp bậc hai u , v Bài toán 3.8 Ý tưởng: Dựa vào đẳng thức x    x    x   x  x   x  x   Đặt a  x  x  2, b  x  x   a.b  x  Xét  2a  b  a  3b    2a  5ab  3b2   2a  3b2  5ab (*) Ta có 2a  3b   x  x     x  x     x  10 x  ; 5ab  5 x4  , thay vào bất phương trình (*) ta thu tốn sau: Ví dụ 3.8 Giải bất phương trình x2  10 x   x4  Phƣơng pháp giải Tập xác định x  Biến đổi bất phương trình thành  x  x     x  x    x  Đặt a  x  x  2, b  x  x   ab  x  Đưa giải bất phương trình tích ẩn a , b 3.5 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số Ta có kết sau: Nếu hàm số f  x  liên tục đơn điệu khoảng  a; b  đồng thời x, y   a; b  f  x   f  y   x  y Bằng cách chọn hàm số f  t  đơn điệu t biểu thức có chứa thức, ta xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ Bài tốn 3.9 Ý tưởng: Xét hàm số f  t   t  t có f '  t   3t   0, t  Khi hàm số 95 Footer Page 95 of 126 Header Page 96 of 126 f  t  đồng biến Sau cho f  x  3  f   3x  , ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.9 Giải phương trình x3  36x2  53x  25  3x  Phƣơng pháp giải Tập xác định x  Biến đổi phương trình cho trở thành:  x  3   x     3 x   Xét hàm số f  t   t  t đồng biến f  x  3  f  3  3x  (*) Khi phương trình (*) trở thành  3x   x   3x  Từ giải phương trình bậc ba tìm tập nghiệm phương trình    S  2;    Bài toán 3.10 Ý tưởng: Xuất phát từ hàm số f  t   2t  t t  có f '  t   2t  t   t2 t2   0, t  suy hàm số f  t  đồng biến Sau cho f  x  1  f  3x  ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.10 Giải bất phương trình 10 x    x  1 x  x   x x   Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x  Q trình giải tốn ngược với q trình sáng tác Bài tốn 3.11 Sử dụng ước lượng hàm đơn điệu, ta xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ Ta có ước lượng sau, xét a  : 96 Footer Page 96 of 126 Thang Long University Library Header Page 97 of 126 i)  a  x  a  x  a Thật hàm số f  x   x  a  x liên tục đơn điệu tăng 0;a  nên ta có f    f  x   f  a    a  x   x  a ii)  a  x  a  x  a Thật hàm số f  x   x  a  x liên tục đơn điệu tăng 0;a  nên ta có f    f  x   f  a    a  x  a  x  a iii)  a  x  a  x  a Thật hàm số f  x   x  a  x liên tục đơn điệu tăng 0;a  nên ta có f    f  x   f  a    a  x   x  a Cộng ước lượng thay a  ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.11 Giải phương trình x  x  x   1 x  1 x  1 x Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định  x  Biến đổi phương trình cho dạng    x  1 x    x  1 x   x  1 x  Sử dụng ước lượng trên, suy tập nghiệm phương trình S  1 3.6 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ dựa vào phƣơng trình lƣợng giác Từ phương trình lượng giác đơn giản đó, kết hợp với phép biến đổi lượng giác tìm phương trình, bất phương trình vơ tỉ Lợi phương pháp đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác biết cách giải Bài toán 3.12 t Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác bản: cos3t  cos , t  0;   97 Footer Page 97 of 126 Header Page 98 of 126 Ta biến đổi phương trình thành  cos t  8cos3 t  6cos t  1  cos t  4cos3 t  3cos t  Đặt x  2cos t , ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.12 Giải phương trình x3  3x   x Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x  2 Ta xét trường hợp sau:  Nếu x  xét vế trái phương trình ta có x3  3x  x  x  x    x x  x     x  x  x  x  x  x   x , suy phương trình vơ nghiệm với x   Nếu 2  x  , ta đặt x  2cos t , t  0;  , thay vào giải phương trình t lượng giác cos3t  cos , t  0;   Từ tìm tập nghiệm   phương trình S  2; 2cos 4 4  ; 2cos   Bài tốn 3.13 Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác sin 3t  cos t , t  0;  , biến đổi phương trình ta được: 3sin t  4sin t  cos t  sin t   4sin t   cos t   cos t  4cos t  1  cos t   cos t  cos t 4cos t  Đặt x  cos t ,ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.13 Giải bất phương trình  x  x 4x 1 Phƣơng pháp giải 1 2 1 2 Điều kiện xác định x   1;1 \  ;   Đặt x  cos t , t  0;  , đưa giải phương trình lượng giác 98 Footer Page 98 of 126 Thang Long University Library Header Page 99 of 126 sin3t  cos t , t  0;  Sau tìm nghiệm phương trình sin 3t  cos t , t  0;  , sử dụng tính liên tục hàm số, lập bảng xét dấu hàm số f  x    x  x 4x 1 , từ tìm tập nghiệm bất phương trình Bài tốn 3.14 Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác cos3t  sin t , t  0;  biến đổi phương trình ta được: 4cos3 t  3cos t   cos2 t Đặt x  cos t , ta thu ví dụ sau: Ví dụ 3.14 Giải phương trình x3  3x   x Thay x (1) ta thu phương trình khó hơn: x Ví dụ 3.14.1 Giải phương trình  3x2  x2 x2  Trong phương trình (1), ta thay x  x ta thu tốn sau Ví dụ 3.14.2 Giải phương trình 4 x3  12 x2  x   x  x2 3.7 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ dựa vào nghiệm chọn sẵn phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp Việc nhẩm nghiệm máy tính cầm tay phương pháp nhân lượng liên hợp phương pháp thường dùng giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Việc xây dựng toán dựa phương pháp quen thuộc, ta cần chọn sẵn nghiệm xây dựng biểu thức thỏa mãn dấu đẳng thức xảy Cịn giải phương trình dạng này, điều quan trọng đốn nghiệm nó, từ ta tìm lượng liên hợp tương ứng Ví dụ 3.15 Chọn x  thay vào thức sau, ta được: 5x   3; x    5x   x     x Từ ta có ví dụ sau: 99 Footer Page 99 of 126 Header Page 100 of 126 Giải phương trình 5x   x    x Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x  Phương trình cho tương đương với    5x     x2 2  2 x  x  1    x      5x   5 x  2  5x   x22   x  2  x2   x  2  x22     x  2    1  x22   5x    x  (thỏa mãn điều kiện) Vì 1    0, x  5x   x22 Vậy tập nghiệm phương trình S  2 Ví dụ 3.16 Chọn x  thay vào thức sau, ta được: x   1;  x  1; x   1; x  5x  Từ ta có ví dụ sau: Giải bất phương trình x    x  x   x2  5x Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định  x  Bất phương trình cho tương đương với    x  1      x 1   2x    2x2  5x  x 3 3 x 2x      x  3 x  1 x  1  x 1 2x   100 Footer Page 100 of 126 Thang Long University Library Header Page 101 of 126 1     x  3     x  1   x 1 2x    x  1   x 3  x  Vì A  1 5     x   0, x   ;4 x  1  x 1 2x   2  Vậy tập nghiệm bất phương trình S  3;4 3.8 Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ cách sử dụng hàm ngƣợc Đây phương pháp hay để xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ Ta sử dụng kết sau: - Nếu hàm số f liên tục đơn điệu nghiêm ngặt khoảng  a; b  tồn hàm số ngược f 1 - Cho hàm số y  f  x  có hàm ngược y  f 1  x  Khi f đồng biến  f 1 đồng biến - Giả sử hàm số y  f  x  có hàm số ngược y  g  x  Nếu vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Đề - vng góc hai đồ thị đối xứng với qua đường phân giác thứ Do việc giải phương trình f  x   g  x  qui giải phương trình f  x   x g  x   x Ví dụ 3.17 Xét hàm số y  f  x   x2  x  khoảng  1;   Hàm số ngược f  x  y  x3  , xác định khoảng  3;   Khi ta có ví dụ sau: Giải phương trình x  x  x3 , với x  1 Hướng dẫn giải Cách Đặt ẩn phụ, đưa hệ phương trình đối xứng 101 Footer Page 101 of 126 Header Page 102 of 126 Đặt y   x3 , y  , ta có hệ 2 y  y  x   2 x  x  y  Giải hệ phương trình đối xứng ta tìm tập nghiệm phương trình  3  17     ban đầu S   Cách Bình phương hai vế, đưa giải phương trình hệ phương trình bậc Ví dụ 3.18 Ta có hàm số y  x2  3x  ;   có hàm số ngược hàm số 2  y   4x xác định Giải bất phương trình   Do ta có ví dụ sau:  ;      x  x2  x  Phƣơng pháp giải Điều kiện xác định x   Tìm tập nghiệm phương trình f  x    x  x  x   cách đặt y    x , y  Sau sử dụng tính liên tục hàm số lập bảng xét dấu f  x  suy tập nghiệm bất phương trình 102 Footer Page 102 of 126 Thang Long University Library Header Page 103 of 126 Kết luận Luận văn “Những dạng tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường gặp trường Trung học phổ thông” giải vấn đề sau: - Hệ thống phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường gặp trường Trung học phổ thông - Đưa số tập giải nhiều cách khác - Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh Trung học phổ thông giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ - Đưa số hướng để xây dựng phương trình, bất phương trình vơ tỉ Luận văn góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường Trung học phổ thông Hà nội, tháng năm 2016 Tác giả Thân Thị Nguyệt Ánh 103 Footer Page 103 of 126 Header Page 104 of 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung, (2015), Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vơ tỉ, NXB Tổng hợp TPHCM [2] Lê Văn Đoàn, (2015), Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Phụ Hy, (1995), Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, NXB GD [4] Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2013), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB ĐHSP [5] Nguyễn Văn Mậu, (1997), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXBGD [6] Chun đề phương trình, bất phương trình vơ tỉ mạng Internet [7] Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ, NXBGD 104 Footer Page 104 of 126 Thang Long University Library ... Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Chương 2: Sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Chương 3: Một số phương pháp xây dựng phương trình, bất phương. .. ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: “ Những dạng toán phương trình, bất phương trình vơ tỉ thường gặp trường trung học phổ thơng” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên... Nghiên cứu phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình trung học phổ thơng Footer Page of 126 Header Page of 126 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp