HỘI TOÁN BẮC NAM THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC BUÔN MA THUỘT, 12/2016 Chuyên đề lượng giác MỞ ĐẦU Lượng giác đóng vai trò quan trọng xuyên suốt chương trình toán phổ thông ứng dụng nhiều thực tế, đặc biệt lĩnh vực nghiên cứu thiên văn Đây vấn đề quan trọng kì thi THPT quốc gia 2018, chương trình 10 11 đưa vào đề thi Trong chủ đề tháng 12/2016 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đề lượng giác Chủ đề lượng giác chia làm ba phần: Phần 1: Cơ sở lí thuyết cung liên kết, công thức lượng giác, đẳng thức lượng giác, hàm số lượng giác Phần 2: Các dạng phương trình lượng giác thường gặp Phần 3: Một số toán lượng giác điển hình có liên quan Chuyên đề chủ yếu xoay quanh toán THPT, hi vọng giúp ích phần cho bạn đọc, đặc biệt bạn học sinh THPT Sẽ không tránh khỏi thiếu sót biên tập, mong nhận đóng góp từ quý bạn đọc để chuyên đề ngày hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi địa email: phamthithuhien117@gmail.com gửi trực tiếp cho Hội Toán Bắc Nam Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Mục lục Mở đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Cung liên kết 1.2 Công thức lượng giác 1.3 Hằng đẳng thức thường dùng 1.4 Hàm số lượng giác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.1 Phương trình lượng giác 2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 2.3 Phương trình bậc theo sinx cosx 2.4 Phương trình 11 2.5 Phương trình đối xứng 14 2.6 Phương trình không mẫu mực 16 MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC 19 3.1 GTLN-GTNN 19 3.2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC 21 3.3 ĐÁNH GIÁ HAI VẾ 23 3.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ 26 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Cung liên kết Cung đối: cos ♣✁xq ✏ cos x; sin ♣✁xq ✏ ✁ sin x; tan ♣✁xq ✏ ✁ tan x; cot ♣✁xq ✏ ✁ cot x Cung bù: cos ♣π ✁ xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π ✁ xq ✏ sin x; tan ♣π ✁ xq ✏ ✁ tan x; cot ♣π ✁ xq ✏ ✁ cot x Cung phụ: ✁π ✠ ✁π ✁ x ✏ sin x; sin 2 ✁π π tan♣ ✁ xq ✏ cot x; cot 2 Cung π: cos ✠ ✁ x ✏ cos x; ✠ ✁ x ✏ tan x cos ♣π   xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π   xq ✏ ✁ sin x; tan ♣π   xq ✏ tan x; cot ♣π   xq ✏ cot x 1.2 Công thức lượng giác Công thức cộng cos ♣a   bq ✏ cos a cos b ✁ sin a sin b Chuyên đề lượng giác sin♣a   bq ✏ sin a cos b   cos a sin b tan♣a   bq ✏ cot♣a   bq ✏ tan a   tan b ✁ tan a tan b cot a cot b ✁ cot a   cot b Công thức nhân đôi sin 2a ✏ sin a cos a cos 2a ✏ cos2 a ✁ sin2 a ✏ 2cos2a ✁ ✏ ✁ 2sin2a tan 2a ✏ tan a ✁ tan2 a Công thức nhân ba sin 3a ✏ sin a ✁ 4sin3 a cos 3a ✏ 4cos3 a ✁ cos a Công thức hạ bậc ✁ cos 2a   cos 2a ; cos2 a ✏ 2 sin a ✁ sin 3a cos a   cos 3a ; cos3 a ✏ 4 sin2 a ✏ sin3 a ✏ Công thức tổng thành tích a b a✁b cos 2 a b a✁b cos a ✁ cos b ✏ ✁2 sin sin 2 a b a✁b sin a   sin b ✏ sin cos 2 a b a✁b sin a ✁ sin b ✏ cos sin 2 cos a   cos b ✏ cos Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác Công thức tích thành tổng rcos♣a   bq   cos♣a ✁ bqs ✁1 rcos♣a   bq ✁ cos♣a ✁ bqs sin a sin b ✏ sin a cos b ✏ rsin♣a   bq   sin♣a ✁ bqs cos a cos b ✏ 1.3 Hằng đẳng thức thường dùng sin2 a   cos2 a ✏ 1; sin4 a   cos4 a ✏ ✁ sin2 2a ; sin6 a   cos6 a ✏ ✁ sin2 2a 1 2 ; 1+cot a ✏   tan2 a ✏ ; ✟ sin 2a ✏ ♣sin a ✟ cos aq cos a sin a 1.4 Hàm số lượng giác Hàm số Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn lẻ Chu kỳ y ✏ sin x D=R T=[-1,1] hàm lẻ T0 ✏ 2π y ✏ cos x D=R T=[-1,1] hàm chẵn T0 ✏ 2π y ✏ tan x T=R hàm lẻ T0 ✏π y ✏ cot x T=R hàm lẻ T0 ✏π R③ ✦π ✮   kπ, k € Z R③ tkπ, k € Z✉ Bảng 1.1: * Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chương PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.1 Phương trình lượng giác Phương trình sin x ✏ a • Nếu |a| > : Phương trình vô nghiệm ↕ : Phương trình có nghiệm x ✏ α   k2π x ✏ π ✁ α   k2π với sin α ✏ a • Nếu |a| Các trường hợp đặc biệt: sin x ✏ ô x ✏ kπ ♣k € Zq π sin x ✏ ô x ✏   k2π ♣k € Zq π sin x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   k2π ♣k € Zq π sin x ✏ ✟1 ô sin x ✏ ô cos2 x ✏ ô cos x ✏ ô x ✏   kπ ♣k Zq € Phương trình cos x ✏ a • Nếu |a| > : Phương trình vô nghiệm ↕ : Phương trình có nghiệm x ✏ α   k2π x ✏ ✁α   k2π với cos α ✏ a • Nếu |a| Các trường hợp đặc biệt: π cos x ✏ ô x ✏   kπ ♣k € Zq cos x ✏ ô x ✏ k2π ♣k € Zq cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π   k2π ♣k € Zq Chuyên đề lượng giác cos x ✏ ✟1 ô cos2 x ✏ ô sin2 x ✏ ô sin x ✏ ô x ✏ kπ ♣k € Zq Phương trình tan x ✏ a Điều kiện cos x ✘ hay x ✘ π   kπ, k € Z Nghiệm phương trình x ✏ α   kπ, k € Z với tan α ✏ a Các trường hợp đặc biệt: tan x ✏ ô x ✏ kπ ♣k € Zq tan x ✏ ✟1 ô x ✏ π4   kπ♣k € Zq Phương trình cot x ✏ a Điều kiện sin x ✘ hay x ✘ kπ, k €Z Nghiệm phương trình x ✏ α   kπ, k € Z với cot α ✏ a Các trường hợp đặc biệt: π cot x ✏ ô x ✏   kπ ♣k € Zq cot x ✏ ✟1 ô x ✏ π4   kπ♣k € Zq BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: sin x ✏ sin sin x ✏ π sin 2x ✏ ✁ 4 sin x   ✁ sin x     π✠ ❄   3✏0 π✠ ❄   3✏0 ✟ sin 900 ✁ 2x sin x ✏   4sin2 x   400 ✟  1✏0 ✁1✏0 sin 3x ✁ cos 2x ✏ 10 sin 4x   cos 5x ✏ Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác Bài 2: Giải phương trình sau cos x ✏ 2 cos♣3x   1q ✏ cos♣x ✁ 2q sin♣x ✁ 1200 q   cos 2x ✏ cos 3x   cos 4x ✏ cos 2x   sin 3x ✏ cos♣2x   1q ✁ ✏ cos♣2x   1q ✁ cos♣x   cos♣x ✁ π q✏0 π q 1✏0 cos2 x   cos x ✏ 10 cos 2x   cos 4x   cos 6x ✏ Bài 3: Giải phương trình sau tan 7x ✁ cot 9x ✏ tan2 ♣x ✁ π q✏3 tan 3x   cot x ✏ tan♣2x ✁ ⑤cos x⑤ ✏ π q✁5✏0 cos 3x tan 5x ✏ sin 7x tan 5x tan 2x ✏ ⑤sin x⑤   cos 3x ✏ cot♣2x ✁ π π q ✏ cot♣x   q Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác 10 cot♣3x   100 q ✏ ❄ ❄3 11 cos♣x   450 q ✏ ✁ π 12 sin2 ♣x ✁ q ✏ cos2 x Bài 4: Giải phương trình sau ❄ tan♣x ✁ 500 q ✁ ✏ với x € r✁1800 , 2700 s cot♣x ✁ ❄ π π q   ✏ 0, x € r✁ ; 2π s 3 sin2 x   cos2 3x ✏ cos 2x   cos 4x   cos 6x ✏ cos x   cos 2x   cos 3x   cos 4x ✏ cos x cos 7x ✏ cos 3x cos 5x sin2 x   sin2 2x ✏ sin2 3x   sin2 4x cos 5x sin 4x ✏ cos 3x sin 2x cos2 x   cos2 2x   cos2 3x ✏ 10 sin♣cos♣x ✁ 2.2 π qq ✏ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng asin2 x   b sin x   c ✏ Đặt t ✏ sin x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ acos2 x   b cos x   c ✏ Đặt t ✏ cos x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ atan2 x   b tan x   c ✏ Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác ♣1q ô ✁ tan x   2tan3x ✏ ô 2tan3x ✁ tan x   ✏   ✟ ô ♣tan x ✁ 1q 2tan2x   tan x ✁ ✏ ✔ ✔ π x ✏   kπ tan x ✏ ✖ ✖ ❄✡ ✂ ❄ ✖✖ ✖ ✁     kπ ô ✖✖✖ tan x ✏ ✁1  2 ô ✖✖✖ x ✏ arctan ❄ ✖ ❄✡ ✂ ✕ ✁ 1✁ ✕ ✁ 1✁ tan x ✏ x ✏ arctan   kπ 2 Ví dụ 2.5 Giải phương trình sin x ✁ 2cos3 x ✏ sin 2x cos x♣1q Giải Xét cos x ✏ ô x ✏ π   kπ, k € Zcó thỏa mãn không? Xét cos x ✘ 0, chia vế (1) cho cos3 x sin x 10 sin x ♣1q ô 6cos ✁ ✏ 3x cos x ✂ ô tan x cos12x   ✡ ✁ ✏ 10 tan x ✟ ô tan x   tan2x ✁ ✏ 10 tan x ô 6tan3x ✁ tan x ✁ ✏ ô ♣tan x ✁ 1q♣6tan2x   tan x   2q ✏ ✔ tan x ✁ ✏ ô ✖✕ 6tan x   tan x   ✏ 0♣V N q ô tan x ✏ ô x ✏ π4   kπ Bài tập Giải phương trình sau Phạm Thị Thu Hiền 13 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác sin 2x ✁ 3cos2 x   sin x cos x ✁ ✏ 2sin2 x   sin x cos x ✁ 3cos2 x ✏   ❄ ✟ 3sin2 x   sin 2x   ✁ cos2 x ✏ ❄ 3cos3 x ✁ 5sin3 x   sin x ✁ sin x ✁ 2cos3 x ✏ ❄8 cos x ✏ sin 4x cos x cos 2x 3sin2 x ✁ sin 2x   cos2 x ✏ cos3 x   sin3 x ✁ sin x ✏ cos3 x   sin3 x ✁ sin x ✁ sin2 x cos x ✏ 3♣cos3 x ✁ sin3 xq ✏ ♣4   sin 2xq cos x 10 4♣cos3 x   sin3 xq ✏ sin x   cos x 2.5 Phương trình đối xứng Dạng 1: a ♣sin x   cos xq   b sin x cos x   c ✏ ✁ ❄ ❄ π✠ ; ⑤t⑤ ↕ Đặt t ✏ sin x   cos x ✏ sin x   ñ t2 ✏   sin x cos x ñ sin x cos x ✏ t ✁2 Thay vào phương trình cho ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa điều kiện ⑤t⑤ ↕ ❄ từ suy x Pt a ♣sin x ✁ cos xq   b sin x cos x   c ✏ tương tự Dạng 2: a ⑤sin x   cos x⑤   b sin x cos x   c ✏ ❄ ✞✞ ✁ π ✠✞✞ ❄ t ✏ ⑤sin x   cos x⑤ ✏ ✞sin x   ✞;0 ↕ t ↕ ñ sin x cos x ✏ t ✁2 Pt a ⑤sin x ✁ cos x⑤   b sin x cos x   c ✏ tương tự Dạng : Phương trình đối xứng theo tan cot π Đặt t ✏ tan x   cot x; x ✘ k , ⑤t⑤ ➙ 2 Phạm Thị Thu Hiền 14 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác Ví dụ 2.6 Giải phương trình ♣sin x   cos xq   sin 2x   ✏ Giải ♣sin x   cos xq   sin 2x   ✏ ô ♣sin x   cos xq   sin x cos x   ✏ Đặt t ✏ sin x   cos x; ⑤t⑤ ↕ t2 ✁ ñ sin x cos x ✏ ñ 3t   2t2 ✁   ✏ ❄ ô ✔2t2   3t   ✏✔0 sin x   cos x ✏ ✁1 ♣1q t ✏ ✁1 ✖ ✖ ô✕ 1 ô✕ sin x   cos x ✏ ✁ ♣2q t✏✁ ❄ ✁ π✠ ♣1q ô cos x ✁ ✏ ✁1 ❄ ✁ π✠ ♣2q ô cos x ✁ ✏ ✁ ✁ π ✠ ✁1 ✁ ô cos x ✁ ✏ ❄ π✠ ✁❄1 ô cos x ✁ ✏ ✁ 2 π✠ ô cos x ✁ ✏ cos 3π4 π ✁1 ô x ✁ ✏ ✟ arccos ❄   k2π 2 ô x ✁ π4 ✏ ✟ 3π4   k2π Ví dụ 2.7 Giải phương trình ♣cos x ✁ sin xq   sin x cos x ✏ ✁6 (1) Giải Đặt t ✏ cos x ✁ sin x; ⑤t⑤ ↕ ❄ ñ sin x cos x ✏ 1✁2t thay vào (1) ✁ t2 6t   ✏ ✁6 ô 12t   ✁ t2 ✏ ✁12 ✔ t ✏ ✁1 ♣N q ô t2 ✁ 12t ✁ 13 ✏ ô ✖✕ t ✏ 13 ♣Lq Phạm Thị Thu Hiền 15 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác t ✏ ✁1 ô ✁ ❄ ✁ cos x   π✠ ✏ ✁1 π✠ ô cos x   ✏ ✁ ❄1 ✔ 3π π   k2π x  ✏ ✖ 4 ô ✕ π 3π x   ✏ ✁   k2π 4 Bài tập: ✔   k2π ô✕ x ✏ π   k2π x✏ ✖ π Bài 1: Giải phương trình sau: ♣sin x   cos xq   sin 2x   ✏ sin x cos x ✏ ♣sin x ✁ cos x ✁ 1q ❄ ✁ π✠ sin 2x   sin x ✁ ✏1 ❄ tan x ✁ 2 sin x ✏ sin3 x   cos3 x ✏ cos3 x ✁ sin3 x ✏ cos 2x sin3 x   cos3 x   ♣sin x   cos xq ✁ sin 2x ✏ ✁ π✠ sin x   ✏ tan x   cot x ♣sin x   cos xq4 ✁ sin 2x ✁ ✏ 1 10 sin x   cos x     tan x   cot x     sin x cos x 1 11 sin x   cos x     tan x   cot x     sin✟x cos x   12 9♣tan x   cot xq ✏ 48 tan x   cot2 x   96 13 ♣tan x ✁ cot xq   tan2 x   cot2 x ✏ 1 14 sin x   cos x     tan x   cot x     sin   ✟ x cos x 2 15 3♣tan x   cot xq ✁ tan x   cot x ✏ 21 2.6 ✏0 ✏0 ✏0 Phương trình không mẫu mực A Phương pháp đưa phương trình tích Mình hay nói vui phương pháp chia để trị Phạm Thị Thu Hiền 16 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác Dạng: ✔ A.B ✏ ô ✖✕ A✏0 B ✏0 Ví dụ 2.8 Giải phương trình sin x♣1   cos 2xq   sin 2x ✏   cos x Giải sin x♣1   cos 2xq   sin 2x ✏   cos x ô sin x♣1   cos2 x ✁ 1q   sin x cos x ✏   cos x ô sin x cos2 x   sin x cos x ✏   cos x ô sin 2x♣1   cos xq ✏   cos x ô ✔♣1   cos xq♣sin 2x ✁ 1q ✏   cos x ✏ ô ✖✕ sin 2x ✁ ✏ Bài tập Giải phương trình lượng giác sau ♣2 cos x ✁ 1q♣2 sin x   cos xq ✏ sin 2x ✁ sin x 2 cos3 x   cos 2x   sin x ✏ sin x   cos 3x   sin 2x ✏   sin 4x ♣1 ✁ cot xq sin3 x   ♣cos x ✁ sin xq cos2 x ✏ cos x   sin x ♣1 ✁ cos xq cot x   cos 2x   sin x ✏ sin 2x   sin x   cos x ✏ ♣1   cos xq cot x ♣2 sin x   1q♣3 cos 4x   sin x ✁ 4q   cos2 x ✏ cos 3x   cos 2x ✁ cos x ✁ ✏ sin 3x ✏ cos x cos 2x♣tan2 x   tan 2xq Phạm Thị Thu Hiền 17 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác 10 sin♣x   π q   tan x   cot x ✏ cot 2x 11 sin x ✁ ✏ 3♣1 ✁ sin xq.tan2 x 12 cos 10x ✁ cos 8x ✁ cos 6x   ✏ B.Nhóm phương trình lượng giác có cung phức tạp ✂ ✡   ✂ 3π ✡ ✏ sin 7π4 ✁ x sin x ✁ ✁ π✠ ♣1   s inx   cos2xq sin x   ❄ ✏ cos x   t anx sin x 3π ✏2 tan♣ ✁ xq     cos x 1 sin x ❄ 10 π π sin♣2x ✁ q ✏ sin♣x ✁ q   4 π π sin♣x   q ✁ sin♣2x ✁ q ✏ x x π sin2 ♣ ✁ q tan2 x ✁ cos2 ✏ ❄ 5x π 3x x π sin♣ ✁ q ✁ cos♣ ✁ q ✏ cos 4 x π   sin x   cos x ✏ cos♣ ✁ q ❄ π   tan x ✏ 2 sin♣x   q π π sin x   sin♣x   q   sin 4x ✏ sin♣2x ✁ q 3 Phạm Thị Thu Hiền 18 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC 3.1 GTLN-GTNN Những điểm cần ý: Phương trình a sin x   b cos x ✏ c có nghiệm ô a2   b2 BĐT Bunhiacopxki ⑤a.x   b.y ⑤ ↕ ❛ ♣a2   b2q ♣x2   y2q Ví dụ 3.1 Tìm GTLN, GTNN hàm số ✏ cos2 x ✁ cos x   Đặt t ✏ cos x, y ✏ t2 ✁ t   y BBT t ✁1  5 y 11 ✏ t ✏ ✁1 ô cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π   k2π 11 1 π t ✏ ô cos x ✏ ô x ✏ ✟   k2π M iny ✏ 2 Ví dụ❄3.2 Tìm GTLN-GTNN hàm số cos x y✏ (1)   sin x M axy Giải TXĐ: D ✏R 19 ➙ c2 Chuyên đề lượng giác (1)ô 2y   y sin x ✏ ❄ ❄ cos x cos x ✁ y sin x ✏ 2y(2) Phương trình (2) có nghiệm ô   ♣✁yq2 ➙ ♣2yq2 ô   y2 ➙ 4y2 ô ➙ 3y2 ô y2 ↕ ô ✁1 ↕ y ↕ Vậy M axy ✏ M iny ✏ ✁1 Bài tập: Bài Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: y ✏ cos 2x   sin x   y ✏ ♣4   cos xq♣4   sin xq ✏ sin x   cos x ✁ sin 2x ✁ cos x ✁ sin x   y ✏ sin x   cos x ✁ cos 3x   sin 3x   y ✏ cos 3x   ✁ sin x   cos x y ✏   sin x   cos x sin x cos x   cos2 x y ✏ sin x cos x   y y y ✏   12 cos x s sin x ✏ ❝ ✁ ✁ cos 2x ✁ Phạm Thị Thu Hiền π✠  2 20 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác 3.2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC Những điểm cần lưu ý sin ♣A   B q ✏ sin C cos ♣A   B q ✏ ✁ cos C A B A B cos sin ✏ cos C2 ✏ sin C2 Định lí côsin ✏ b2   c2 ✁ 2bc cos A b   c ✁ a2 ñ cos A ✏ a2 2bc Định lí sin: a sin A ✏ sinb B ✏ sinc C ✏ 2R Ví dụ 3.3 Tam giác ABC có tính chất nếu: sin A sin B sin C ✏ 2(1) ♣1q ô sin A ✏ sin B sin C ô sin ♣B   C q ✏ sin B cos C ô sin B cos C   cos B sin C ✏ sin B cos C ô sin B cos C ✁ cos B sin C ✏ ô sin ♣B ✁ C q ✏ ô B ✁ C ✏ kπ Vì B, C góc tam giác nên k ✏ ô B ✏ C Vậy tam giác ABC cân A Ví dụ 3.4 Chứng minh cos A cos B cos C ✏ ABC Chứng minh Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam tam giác Chuyên đề lượng giác ♣1q ô cos A cos B cos C ✏ ô cos A 12 rcos ♣B   C q   cos ♣B ✁ C qs ✏ ô cos A r✁ cos A   cos ♣B ✁ C qs ✏ ô ✁4cos2A   cos A cos ♣B ✁ C q ✏ ô 4cos2A ✁ cos A cos ♣B ✁ C q   ✏ ô 4cos2A ✁ cos A cos ♣B ✁ C q   cos2 ♣B ✁ C q   sin2 ♣B ✁ C q ✏ ô r2 cos A ✁ cos ♣B ✁ C qs2   sin2 ♣B ✁ C q ✏ ✩ ✬ ✫ cos A ✁ cos ♣B ✁ C q ✏ ô✬ ✪ sin ♣B ✁ C q ✏ ✩ ✩ ✩ ✬ ✬ ✬ ✫ cos A ✏ ✫ cos A ✏ ✫ cos A ✏ cos ♣B ✁ C q ô✬ ô✬ ô✬ ✪B ✏ C ✪B ✏ C ✪ B ✁ C ✏ kπ ✩ ✩ π π ✬ ✬ ✫ A ✏ ✟   k2π ✫A ✏ 3 ôA✏B✏C✏ π ô✬ ô✬ ✪B ✏ C ✪B ✏ C Vậy tam giác ABC tam giác Bài tập Bài 1: Chứng tam giác ABC vuông biết: a) cos2 A   cos2 B   cos2 C ✏1 B C A B C A cos cos ✁ sin sin sin 2 2 2 sin A   cos B c) ✏ tan A sin B   cos A sin B   sin C d) ✏ sin A cos B   cos C b c e) cos B   cos C ✏ a B a c f ) cot ✏ b b) cos g) sin 2A   sin 2B Phạm Thị Thu Hiền ✏ 12 ✏ sin A sin B 22 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác Bài 2:Chứng tam giác ABC cân biết: sin C ✏ cos A sin B sin A   sin B   sin C b) sin A   sin B ✁ sin C a) ✏ cot A2 cot C2 c) tan A   tan B ✏ cot C2 b✁c B✁C d) ✏ tan b c A B e) a tan A   b tan B ✏ ♣a   bq tan   cos B 2a   c ❄ f) ✏ sin B 4a2 ✁ c2 Bài 3:Chứng tam giác ABC biết: a) cot A   cot B   cot C ✏ tan A2   tan B2   tan C2 b) cos A   cos B   cos C ✏ sin A2   sin B2   sin C2 c) sin2 A   sin2 B   sin2 C ✏ 49 d) sin A B C sin sin 2 ✩ ✬ ✫ sin A ✏ 81   sin C ✏ sin B e) A B ✬ ✪ tan   tan ❄ ✏ 2 3.3 ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Những điểm cần lưu ý 2 i) ✁✩1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ ✩cos x ↕ 1; ↕ sin x ↕ 1; ↕ cos x ↕ ✫A ✏ ➙ 0; B ➙ ✬ ii) ô✬ ✬ ✪A   B ✏ ✪B ✏ ✩ ✬ ✫A ✏ 2 iii) A   B ✏ ô ✬ ✪B ✏ ✬ ✫A Phạm Thị Thu Hiền 23 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyên đề lượng giác ✩ ✬ ✫ A ✩ ✬ ✫A ⑤ ⑤ ↕ 1, ⑤B ⑤ ↕ ✏1 ô✬ ✬ ✪A   B ✏ ✪B ✏ ✩ ✬ ✬ A➙M ✬ ✬ ✫ iv) B ↕ M ô A ✏ B ✏ M ✬ ✬ ✬ ✬ ✪A ✏ B Ví dụ 3.5 cos x   cos 2x   cos 4x ✏ (1) Ta có ✁1 ↕ cos ✩ 4x ↕ với x ✩x ↕ 1; ✁1 ↕ cos✩2x ↕ 1; ✁1 ↕ cos ✬ ✬ ✬ x ✏ k2π ✬ ✬ ✬ x ✏ k2π cos x ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✫ ✫ Do ♣1q ô cos 2x ✏ ô 2x ✏ k2π ô x ✏ kπ ô x ✏ k2π ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ cos 4x ✏ ✪ x ✏ kπ ✪ 4x ✏ k2π Ví dụ 3.6 sin x sin 5x ✏ Ta có ✁1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ sin 5x ↕ với x Do ♣1q ô ✔ ✔✩ ✬ ✫ sin x ✖ ✖ ✖✬ ✖ ✪ sin 5x ✖✩ ✖✬ ✖ ✫ sin x ✖ ✕ ✬ ✪ ✏✁ sin 5x ✏ ✁1 ô ✏   ✏   ✏✁   ✏ ✁2   ô ✔✩ ✬ ✫x ✖ ✖ ✖✬ ✖ ✪x ✖ ✖✩ ✖✬ ✖ ✫x ✖ ✕ ✬ ✪x   k2π π ô ô x ✏ x ✏   kπ π x ✏ ✁   k2π Ví dụ 3.7 sin99 x   cos100 x ✏ Ta có ✁1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ cos x ↕ ✖ ✕ x✏ ✏ ✏ ✔✩ π ✬ ✫x k2π ✖ ✖ π ✖✬ ✖ ✪ 5x k2π ✖ ✖✩ π ✖✬ k2π ✖ ✫x ✖ ✕✬ π ✪ 5x k2π π Suy ✩ ✬ ✫ sin99 x ↕ sin2x ✬ ✪ cos100 x ↕ cos2 x Phạm Thị Thu Hiền 24 Facebook: Hội toán Bắc Nam ✏ π2   k2π π ✏ 10   k2π π ✏   k2π π ✏ ✁ 10   k2π Chuyên đề lượng giác ñ sin99x   cos100x ↕ sin2x   cos2x ✏ ✩ ✩   ✟ ✬ ✬ ✫ sin99 x ✏ sin2 x ✫ sin2 x sin97 x ✁ ✏ ô ✬ 100 ô ✬   98 ✟ ✪ cos x ✏ cos x ✪ cos x cos x ✁ ✏ ô ô ✩✔ ✬ ✬ sin2 x ✬ ✖ ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin97 x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ cos98 x ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ x kπ ✬ ✬ ✕ ✬ π ✬ ✬ ✫ x ✔ π ✬ ✬ x ✬ ✬ ✖ ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ x kπ ✏0 ✁1✏0 ✏0 ✁1✏0 ✏ ✏   k2π ✏   kπ ✏ ô ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ sin x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ cos x ✔ x✏ ✖ ô✕ π ✏0 ✏1 ✏0 ✏ ✟1 ô ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ sin x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ sin x   k2π x ✏ kπ Bài tập cos7 x   sin4 x ✏ sin4 x   cos1 5x ✏ sin3 x   cos3 x ✏ ✁ sin4 x sin100 x   cos10 x ✏ sin x   cos 4x   sin 5x ✏ cos x   cos 8x ✁ ✏ sin 2x sin 8x ✏ sin2 x   sin 3x ✏ sin x sin2 3x sin5 x ✁ cos2 x ✏ 10 sin3 x   cos3 x ✏ Phạm Thị Thu Hiền 25 Facebook: Hội toán Bắc Nam ✏0 ✏1 ✏0 ✏0 Chuyên đề lượng giác 11 sin x   cos x ✏ 3.4 ❄ 2♣2 ✁ sin 3xq PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ Ví dụ 3.8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2 x ✁ sin x ✁ m   ✏ 0(1) Đặt t ✏ sin x, t € r✁1; 1s Khi (1) trở thành t2 ✁ t ✁ m   ✏ ô t2 ✁ t   ✏ m Xét hàm số y ✏ t2 ✁ t   BBT t ✁1 y 11 Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm 11 Bài tập Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm cos 2x   cos x   m ✁ ✏ ♣2   sin xq♣2   cos xq ✏ m HD đặt t ✏ sin x   cos x sin x cos x ✏ 6♣sin x   cos x   mq tan2 x   cot2 x ✏ m♣tan x ✁ cot xq ❄ sin2 x   ✏m ♣m   1q sin x   cos x ✏ sin 2x ✁ ♣2m   1q sinx   m ✏ Bài 2: Giải biện luận phương trình ♣m ✁ 1q cos x   m ✏ Phạm Thị Thu Hiền 26 Facebook: Hội toán Bắc Nam ↕m↕5 Chuyên đề lượng giác ❄m tan x   m ✁ ✏ sin m cos 2x ✏ Phạm Thị Thu Hiền 27 Facebook: Hội toán Bắc Nam ... đưa vào đề thi Trong chủ đề tháng 12/2016 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đề lượng giác Chủ đề lượng giác chia làm ba phần: Phần 1: Cơ sở lí thuyết cung liên kết, công thức lượng giác, đẳng... thức lượng giác, đẳng thức lượng giác, hàm số lượng giác Phần 2: Các dạng phương trình lượng giác thường gặp Phần 3: Một số toán lượng giác điển hình có liên quan Chuyên đề chủ yếu xoay quanh toán... C góc tam giác nên k ✏ ô B ✏ C Vậy tam giác ABC cân A Ví dụ 3.4 Chứng minh cos A cos B cos C ✏ ABC Chứng minh Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam tam giác Chuyên đề lượng giác ♣1q