I- MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Thu gọn, tính giá trị biểu thức  A  3 B     C  3 2  64 D 2  2 E   15   3   3 1 32 2   2 1 §1.CĂN BẬC HAI  15 G    4 H   60  45  12 R   13  48 Bài Tìm điều kiện xác định biểu thức sau a)  5x b) 1 x c) 6x  x  1 x d) 2x  x2 §2.RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài 1: a a b  ab  ;(a  0, b  0) b b a m 4m  8mx  4mx   2x  x2 81 Bài 3: Rút gọn tính: a)  10a  25a2  4a với a = - Bài 2: c)  9a   12a  4a2 với a = - Bài 4: Rút gọn biểu thức sau b) 4x  với x = - 9x  6x  3m m  4m  với m < d)  m 4x  A 2x  x2 D  x  1 x x  x  20 B x  5x x 2 x 1 C  x  3x x   2  xy 2x  x  y   x  y :  Bài 5: Chứng minh   x x y   3x x  y  3x 6x  2x  3xy  y Bài 6: Cho bieåu thức A  6x  3y a)Tìm ĐKXĐ biểu thức A b)Rút gọn A tính giá trị với x = - 0,5; y = c)Tìm điều kiện x, y để A = d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm 1 a a  a với a > 0; a ≠ Bài 7: Phân tích thành thừa số: 1 a  1 x x   1 x   x   Bài 8: Chứng minh rằng:   1  1 x   1 x   x  x 1   x    Bài 9: Cho A =  : x   x   x x1 a) Ruùt gọn A ; b) Tìm x để A = Bài 10: Cho P  ( với x > ; x 1 ; x 4) x 2 x   x x 2 a) Rút gọn P Bài Giải hệ phương trình sau 3x  5y 3  5x  2y 1 x   x   x 1 (với x ≥ ; x  ) x b) Tìm x để P = - §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2x  3y  2  3x  2y  y x  1   15 2x  5y 10 3u  v 8  7u  2v 23 Bài Với giá trị tham số m  x  y m  có nghiệm nguyên 3x  5y 2m a)  mx  2y 1 vô nghiệm 3x  y 3 b)  §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Giải phương trình sau: a) 3x  12x 0 b) 5x  10x 0 c) 3x  12 0 d) 3x  0 h) x  15x  16 0 i) 19x  23x  0 k) 2x  3x  11 0 y 9x  12 1 l)   m)   y  6y  2y y  3y x  64 x  4x  16 x  1 27 n) 3x  x  14 2 p)  x  x  1  x  x  12  12 q) x   x   x x r) x  x  s) x  x  v) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1 = t) 2x   x  4 u) x 2  x  z) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) = §5 ĐỊNH LÍ VIET: Bài 1: Cho phương trình x2 – x + 15 = Không giải phương trình tính: x 2 a) x12 x  x1x 2 b) x1 x  x x1 c)  x1  2x   2x1  x     d)  x1     x  x   x1   Bài Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x – 7x – = Hãy lập phương trình có nghiệm là: a) 3x1; 3x b) 1 ; x1 x c) x1x 2 ; x12 x d) 1 ; x12 x 2 e) x1 x ; x x1 f ) x1  2x ; 2x1  x Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = a) Giaûi biện luận số nghiệm phương trình b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm lại x1 x  2 x x1 d) Tìm m để  2x1  x   x1  2x  0 c) Tìm m để e) Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Có nhận xét hai nghiệm Bài 4: Cho phương trình 2x2 – 5x + = tính x1 x  x x1 ( x1; x2 hai nghiệm phương trình) Bài 5:Cho phương trình x  3x  0 , có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau: A x12  x 2 ; B x13  x 23 ; C 3x12  5x1x  3x 2 4x13 x  4x1x 23 Bài 6: Tìm hai số u, v biết: a) u + v = - ; uv = - b) u + v = ; uv = - 24 Bài 7: Cho phương trình x – 2(m – 1)x + 2m – = a) Chứng minh PT ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1; x2 hai nghiệm PT Tìm giá trị nhỏ y = x12 + x22 Bài 8.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = a) Giải phương trình với m = -2 b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu dương Bài 9.Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Bài 10.Cho phương trình x2 – mx + m – = ( ẩn x, tham số m) a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) giá trị tương ứng m b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1 x2 +) Chứng minh A = m2 – 8m + +) Tìm m để A = +) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng m §6.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Để đoạn đường từ A đến B, xe máy hết 3h20 phút, ôtô hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Bài 2: Có hai vòi nước, vòi chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi chảy đầy bể Người ta cho vòi chảy thời gian, khóa lại cho vòi chảy tiếp, tổng cộng 1,8 đầy bể Hỏi vòi chảy bao lâu? Bài 3: Tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số ban đầu 54 Tìm số ban đầu Bài 4: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng 3m diện tích tăng thêm 225 m2 Tính kích thước hình chữ nhật Bài 5: Hai người hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc ngược chiều gặp điểm cách A 2km Nếu hai giữ nguyên vận tốc người chậm xuất phát trước người phút họ gặp quãng đường Tính vận tốc người Bài 6: Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? Bài 7: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 5h20 ’ cano chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20km Hỏi vận tốc thuyền, biết cano chạy nhanh thuyền 12km HD: Gọi x(km/h) vận tốc thuyền.(x > 0) Ta có phương trình: 20 20 16   Vận tốc thuyền 3km/h x x2 Bài 8: Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B cách 30km Khi từ B trở A, người chọn đường khác dễ dài đường cũ 6km Vì thế, với vận tốc lớn vận tốc lúc 3km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc HD: Gọi x(km/h) vận tốc lúc người xe đạp (x > 0) Ta có phương trình: 30 36   Vận tốc lúc 9km/h x x 3 Bài 9: Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 dụng cụ thời gian định Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên ngày xí nghiệp sản xuất nhiều mức dự kiến tấn; rút ngắn thời gian dự định ngày mà sản xuất thêm 10 kế hoạch Hỏi thời gian dự kiến ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm dụng cụ ? HD: Gọi x(tấn) mức sản phẩn theo kế hoạch (x > 0) Ta có phương trình: 180 190  1 x x 1 Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân phòng Nếu xếp phòng thi thêm thí sinh số phòng thi giảm phòng Hỏi lúc đầu phòng thi dự định xếp thí sinh ? HD: Gọi x số thí sinh dự định xếp vào phòng thi (x nguyên dương) Ta có phương trình: 390 390  2 x x4 §7 HÀM SỐ - ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠ 0) 2.Vị trí hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ 3.Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) 4.Vị trí đường thẳng parabol B MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1:.Trong hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) đồ thị hàm soá x2 y  ; y x  a) Vẽ (P) (d) b) Dùng đồ thị để giải phương trình x  4x  0 kiểm tra lại phép toán c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm lại (d1) với (P) Bài 2.Cho (P): y = vaø x vaø đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hoành độ – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn đường cao MH lớn MH lớn khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB tiếp xúc với (P) Bài 3: Cho (P): y = ax2 a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(1; 1) Hàm số đồng biến, nghịch biến b) Gọi (d) đường thẳng qua A cắt trục Ox điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) tìm m để (d) (P) có điểm chung Bài 4:.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) đường thẳng (d1): y = -2(x+1) a) Giải thích A nằm (d1) b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A vuông góc với (d1) d) Gọi A, B giao điểm (P) (d2); C giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa độ B C Tính diện tích tam giác ABC Bài 5:.Cho (P): y = x2 vaø (d): y = 2x + m Tìm m để (P) (d): a) Cắt hai điểm phân biệt b) Tiếp xúc c) Không giao Bài 6:.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) đồ thị hàm số y = x2 a) Vẽ (P) b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hoành độ – Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 8:.Cho hai đ thẳng (d1) (d2) có phương trình là:y = (m-2)x + vaø y = mx + m + a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hàm số với m vừa tìm b) Chứng tỏ (d1) qua điểm cố định với m ≠ c) Với giá trị m (d1) // (d2); (d1)  (d2) d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d1), (d2) trục hoành trường hợp (d1)  (d2) §8- 15 BÀI TỐN PHỤ CẦN NHỚ TRONG HÌNH HỌC Bài 1: Số đo hai cung bị chắn hai dây song song Bài 2: Hình thang nội tiếp hình thang cân Bài 3: Các đường cao tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) đường phân giác tam giác trực tâm Và cạnh tam giác trực tâm vuông góc với bán kính OA; OB;OC Bài 4: Trong tam giác, khoảng cách từ đỉnh đến trực tâm hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trung điểm cạnh đối diện Bài 5: Khoảng cách từ điểm nằm tam giác đến cạnh không đổi Bài 6:Tam giác ABC nội tiếp đ tròn (O; R) AB = BC = CA = R Bài 7: ( Hệ thức lượng đường tròn) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Hai cạnh đồi AD BC cắt M thì: MA.MD = MB.MC Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) điểm M di động cung nhỏ BC Khi MA = MB + MC Bài 9: Trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác thẳng hàng ( đường thẳng Ơ Le) Đồng thời HG = GO Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Tia AI cắt (O) D Thế DB = DC = DI Bài 11: ( Đảo toán 10) Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc A cắt (O) D Kẽ đường tròn (D; DB) cắt AD I Thế I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 12: Tam giác ABC có A 600 nội tiếp (O) ngoại tiếp (I), gọi H trực tâm điểm B; H; I; O; C thuộc đường tròn Đồng thời AH = AO Bài 13: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm đối xứng với trực tâm H qua dây BC; qua trung điểm dây BC nằm (O) Bài 14: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M di động (O) Gọi H; P; Q hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng AB; BC; CA Khi H, P, Q thẳng hàng ( đường thẳng Sim – Sơn) Bài 15: ( Đẳng thức Ptơ-lê-mê) Trong tứ giác nội tiếp Tổng tích cạnh đối tích hai đường chéo §9.CHỨNG MINH HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phương pháp chứng minh Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc Chứng minh tổng góc đỉnh với góc đối diện bù Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong M AB  CD; N AD  BC ) Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường tròn ta chứng minh điểm lúc MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By A B với (O) Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CQ BM Chứng minh: a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) AB//DE c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AA’, đường cao AM a) Hai đường cao BN, CP cắt H PN cắt AA’ S Chứng minh tứ giác BPNC A’SNC nội tiếp b) Chứng minh PN vuông góc với AA’ 3) Cho (O; R) dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P K Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp b) Chứng minh hai tam giác ACP PCB đồng dạng Từ suy CP2 = CB.CA c) Gọi H trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R d) Giả sử PA // CK, chứng minh tia đối tia BK tia phân giác góc CBP 4) Cho tam giác ABC cân A, cung tròn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B C Từ điểm D cung BC kẻ đường vuông góc DE với BC, DF với AC DG với AB Gọi M giao điểm BD GE, N giao điểm EF DC Chứng minh: a) Các tứ giác BEDG CEDF nội tiếp b) DE2 = DF.DG c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy MN vuông góc với DE d) Nếu GB = GE EF = EC Bài 5: Cho tam giác ABC vuông C Đường tròn (O) đường kính CD (D hình chiếu vuông góc C lên AB) cắt hai cạnh AC BC E F Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng BE với (O); hai đường thẳng AC MF cắt K, giao điểm EF BK P a) Chứng minh BMFP tứ giác nội tiếp b) Gọi I giao điểm AF với BE So sánh diện tích tam giác AIB với diện tích tứ giác CEIF c) Giả sử điểm D,M P thẳng hàng Tính số đo góc A ABC HD: a)Tứ giác ECFM nội tiếp  EMF = 900F trực tâm KEBEP  KB b) Ta chứng minh SAIB = SCEIF  SACF = SAEB  AC.CF = AE.BC Thaät vaäy: AE AD ED CF    (ñpcm) AC AB CB CB c)Do D,M,P thẳng hàng nên FED= FMP= PBF  FEC =  BKC   KPE vuông cân CEDF hình vuông  A = 450 Bài 6: Cho hình vuông cạnh a Điểm M di động cạnh BC, điểm N di động cạnh DC cho góc MAN = 450 Đặt BM = x DN = y a) Chứng minh hệ thức: a a. x  y   xy b) Xác định vị trí M N cho tam giác AMN có diện tích lớn Tìm giá trị lớn theo a HD: a) Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho KD = x SABCD = 2.SAKN + SMCN (đpcm) b) SAMN = SAKN = a.(x+y)/2 lớn  (x+y) lớn Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Tia CN cắt tia DA E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm EF Chứng minh rằng: a) CE = CF b)  ACE =  BCM vaø EAC  MBC c) Khi N chạy cạnh AB không trùng với A,B trung điểm M đoạn EF chạy đường thẳng cố định d) + Đặt BN = x; tính SACFE theo a x? + Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vuông ABCD HD: a) CDE = CBF ( g-c-g) b) CBMF nội tiếp  BMC =  BFC = AEC  đpcm c) Dễ chứng minh: MA = ½.EF = MC  M thuộc đường trung trực AC a (a  x) d) + SACFE = SACE + SECF = 1/2.CD.AE + ½.CE2 = 2x Trong đó: AE = a(a-x)/x + SACFE = 3.SABCD  6x2 – ax – a2 =  x = a/2 Bài 8: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Điểm A thuộc (O) cho AB > AC Đường cao AH ABC, đường tròn tâm I bán kính AH/2 cắt cạnh AB AC E D Chứng minh: a) ADHE hình chữ nhật b) BCDE tứ giác nội tiếp c) OA  DE d) Các đường tròn (O), (I) cắt F khác A Đường thẳng AF cắt BC M Chứng minh rằng: M,D ,E thẳng hàng e) Khi AC = R Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn cung nhỏ AB của(O), đoạn BH cung AH đường tròn (I) theo R Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R C điểm (O;R) khác A B Tiếp tuyến A (O) cắt BC D Gọi M trung điểm AD a) Chứng minh MC tiếp tuyến (O) b) OM cắt AC I, chứng tỏ C di chuyển, I luôn di động đường tròn cố định c) Biết BC = R Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn cung nhỏ AC đoạn thẳng AD DC §10 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Chứng minh a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh a)  a  b   4ab  a  b  2 b) A n  n     n    n   6 n  Z c) B x  2x   x d) 3x. x  1  2x. x  3  x    4x  x   x  2x  5x e) A x. 2x  1  x  2x    2x  x  15 không phụ thuộc vào bieán x g) B 2a  a     a  2a  1  a h) (1 – 2a)(5a2 + 2a + 1) = – 10a3 i) (5x3 + 4x2y + 2xy2 + y3)(2x – 10y) = 10(x4 – y4) k) a3 + b3 + c3 -3abc =  a = b = c hoaëc a + b + c = (Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác tam giác tam giác gì?) m) x, y  x y  2 y x Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức yz zx xy A   x y z Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y2z + y3 + x2z – xyz = Cho x + y + z = Chứng minh Cho xyz = Chứng minh Cho x + y + x = a 1  2  2 0 2 x y  z x z  y y z  x 1   1 xy  x  yz  y  xz  z  1 1   a Chứng minh có ln có số a x y z Tính giá trị biểu thức P = x 2009 + y2009 + z2009 Biết x, y, z nghiệm phương trình: x  y  z  a  (xy  yz  zx)a  xyz 0 §11 CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có biểu thức sau A = x2 – 4x + B = + x – x2 C = x2 – 2x + y2 – 4y + D  x  3x  3; E 2x  2y  y  2x  2xy  2007 x2 P ; Q  x  1 4x  4x  x M  x   x  ; N  2x   2x   G x   x; H  1 x  1 x Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có bểu thức sau A x  y2  6x  2y  17; B x  4xy  5y  10x  22y  28 x2 1 C x 2  x 0  ; x2  x2  x 1 E F x 1 x  x 1 8 D ; 3x  Bài 3: BĐT Cô – Si: Cho hai số không âm a, b ta có:  x  0 ; x2  x 1 G x 1 a  b 2 ab Đẳng thức xảy a = b Áp dụng: Chứng minh BĐT sau:  xy  2) (x + y)2 ≥ xy xy     3) Cho a + b = Chứng minh a2 + b2 2 4) Cho a + b + c + d = Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 5) Cho số không âm a b Chứng minh (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1) x2 + y2 ≥ 2xy 3) (x  y)2 x y  2 5) Cho x, y > x + y = Chứng minh 6) Chứng minh 4) (x  y)4 x y  4 8(x  y )  5 xy a b a b  2 ,Với a, b dấu Chứng minh   ,Với a, b khác dấu b a b a 7) x2 + y2 + z2  xy + yz + zx với x, y, z 8) (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) 9) (a + b)( 10) 1  ) 4 a b 1 1    9  a b c  a  b  c  11) Cho a, b, c > Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 12) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 13) (x + y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) với x, y, z 14) Cho số x, y, z có tổng 3, Tìm: a) GTLN P = xy + yz + zx b) GTNN Q = x2 + y2 + z2 15) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a) Chứng minh: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Chứng minh: c) Chứng minh: d)Chứng minh: 1   x y xy với x, y 1 1 1      ab c ac b bc a a b c 1  1 1   2     Trong p nứa chu vi tam giác p a p b p c  a b c 16) Giải phương trình sau: a) x2 + y2 + z2 = x(y + z) c) (x + 1)(y + 1)(x + y) = 8xy với x, y ≥ e) x2 + y2 + z2 + t2= x(y + z + t) b) (x + y)2 = (x + 1)(y + 1) d) (x2 + 1)(y2 + 4)(z2 + 9) = 48xyz 17) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ac ab   a  b  c a b c 18) Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ của: a) 1  x y  1  1 b)  x     y    x  y 19) Cho số dương x y thỏa mãn: 1   Tìm giá trị nhỏ của: x y2 a) A = xy b) B = x + y 20) Cho hai số x y thỏa x + y = Tìm giá trị nhỏ A = x3 + y3 + xy §12 CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, BC = a; AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB, N  AC, P Q  BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn nhất? a(h  x) Hướng dẫn: Đặt MQ = x, giao MN AH K AK = h – x, MN = h  SMNPQ MQ.MN  a.x(h  x) Dùng BĐT Cô – Si h ( Chú ý tốn đổi: Chứng minh SABC ≥ 2SMNPQ ) Bài 2: Trong tam giác có đáy diện tích Tam giác cân có chu vi nhỏ Bài 3: Trong hình thoi có chu vi Hình vng có diện tích lớn Bài 4: Trong tam giác nội tiếp có đáy Tam giác cân có diện tích lớn Bài 5: Trong tam giác có đáy diện tích Tam giác cân có bán kính đường trịn nội tiếp lớn 2S Hướng dẫn: Trước hết CM: r = abc Bài 6: Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi vẽ nửa đường trịn đường kính AB, AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn M, N Xác định vị trí M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R) M nằm (O) Gọi D, E hình chiếu M lên AB, AC Tìm vị trí M để DE lớn nhất? Hướng dẫn: DE ≤ AM ≤ đường kính AK = 2R nên M ≡ K Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tìm điểm M thuộc cung BC cho MA + MB + MC lớn nhất? Bài 9: Trong hình chữ nhật có đường chéo a khơng đổi Hình có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn đó? Bài 10: Cho ½(O) đường kính AB M thuộc ½(O) Hạ AD, BC vng góc với tiếp tuyến M (O) Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất? Bài 11: Cho ½(O) đường kính AB = 2R M thuộc ½(O) Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B theo thứ tự C D a) Chứng minh CD = AC + BD b) Chứng minh COD 90 c) Tìm vị trí M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất? d) Tìm vị trí M để SACM  SBDM nhỏ nhất? Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H đường cao AK a) Chứng minh hai tam giác AKB CKH đồng dạng BC2 b) Chứng minh KH.KA  Bài 13: Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác nhọn ABC hạ từ A, B, C a) CMR: S  b) c) d) h a ,h b ,h c đường cao r(a  b  c)  b c h a r      a a 1 1    hb hc r h a  h b  h c 9r §13 SỐ HỌC Tích k số tự nhiên liên tiếp chia hết cho k n3 – n chia hết cho 3; a)  a  b  4   a  b  4 b) A n  n     n  3  n   6 n  Z Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z để: x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2008 Cho số nguyên a, b, c có tổng chia hết cho Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 Chứng minh biểu thức P = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 chia hết cho Chứng minh số tự nhiên n5 n có chữ số tận giống Chứng minh x2 + y2 chia hết cho x + y chia hết cho §14 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1.Hạn chế tập nghiệm dựa vào tính chia hết: Tìm nghiệm nguyên dương PT sau: 1 a) x2 – y2 = 17 b)   với p nguyên tố c) xy – 2x – 3y + = x y p d) xy + x – 2y = e) Tìm nghiệm nguyên PT: y3 – x3 = 91 g) 4xy – 3(x + y) = 59 Sử dụng tính chất chia hết: Tìm nghiệm nguyên PT: a) x2 – 2y2 = b) x2 – 4xy = 23 c) 3x – 3y = 2 d) 19x + 28y = 729 (VT chia dư 3; VP chia dư 1) e) x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2008 Tìm tất số nguyên a để PT sau có nghiệm nguyên: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = ( (2a + 4)2 – n2 = 167 số nguyên tố.) Cho a, b số ngun Chứng minh PT sau khơng có nghiệm hữu tỉ: x2 + 3ax – 3(b2 + 1) = Tìm tất số nguyên a để PT sau có nghiệm nguyên: x2 – (a + 5)x + 5a + = Tìm tất số nguyên a để PT sau có nghiệm nguyên: x2 + ax + 198 = a Chứng minh với số nguyên n ta có n2 – n + không chia hết cho 49 ( Quy PT bậc hai khơng có nghiệm hữu tỉ) Chứng minh với số nguyên n ta có n2 + 5n + 16 khơng chia hết cho 169  ... HD: Gọi x(t? ?n) mức sản phẩn theo kế hoạch (x > 0) Ta có phương trình: 180 190  1 x x 1 Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân phòng Nếu xếp phòng thi thêm thí sinh số phòng thi giảm phòng... x  2x    2x  x  15 không phụ thuộc vào biến x g) B 2a  a     a  2a  1  a h) (1 – 2a)(5a2 + 2a + 1) = – 10a3 i) (5x3 + 4x2y + 2xy2 + y3)(2x – 10y) = 10( x4 – y4) k) a3 + b3 + c3... c)Do D,M,P thẳng hàng neân FED= FMP= PBF  FEC =  BKC   KPE vuông cân CEDF hình vuông  A = 450 Bài 6: Cho hình vuông cạnh a Điểm M di động cạnh BC, điểm N di động cạnh DC cho góc MAN