Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn tài liệu thầy trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Toàn tài liệu luyện thi đại học môn toán thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x 3dx b) I = ∫ (2x + 1)3 dx ∫ (1 − 4x ) dx d) I = c) I = ∫ (x − 1)(x − 2x + 5) dx e) I = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1)3 dx Bài giải a) I1 = ∫ x 3dx = x4 1 = 4 b) I = ∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = d(2x + 1) ⇒ I2 = ∫ (2x + 1)3 dx = ∫ (2x + 1)3 d(2x + 1) = (2x + 1)4 c) I = 0= 81 − = 10 8 ∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − d(1 − 4x ) ⇒ I3 = ∫ (1 − 4x ) dx = − d) I = ∫ (x − 1)(x ⇒ I4 = ∫ = ∫ (1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = − 0= − 81 + = −5 16 16 − 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x − 2x + 5) (x − 1)(x − 2x + 5) dx = (x − 2x + 5)4 (1 − 4x )4 4 = 162 − ∫ (x − 2x + 5)3 d(x − 2x + 5) 615 671 = 8 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e) I = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x − 3x + 1) = (2x − 3)dx ⇒ I5 = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1) dx = = ∫ (x − 3x + 1)3 d (x − 3x + 1) (x − 3x + 1)4 0= 1 − =0 4 HT 2.Tính tích phân sau: a) I = ∫ b) I = xdx c) I = d) I = ∫ x + 2dx ∫x + x dx e) I = ∫x − x dx ∫ f) I = ∫ (1 − x ) x − 2x + 3dx g) I = 2x + 1dx ∫ x x + 1dx h) I = ∫ (x − 2x ) x − 3x + 2dx Bài giải a) I = ∫ xdx = 2 x x 10 = 3 b) I = ∫ x + 2dx = c) I = ∫ 16 38 (x + 2) x + 27 = 18 − = 3 2x + 1dx = d) I = ∫ x + x dx = e) I = ∫ f) I = ∫ ∫ 2x + 1d (2x + 1) = ∫ + x d (1 + x ) = x − x dx = − 2 ∫ (1 + x ) + x 2 0= − x d (1 − x ) = − (1 − x ) − x 2 (1 − x ) x − 2x + 3dx = − 2 26 (2x + 1) 2x + 40 = − = 3 2 − 3 0= 0+ 1 = 3 ∫ x − 2x + 3d (x − 2x + 3) 2 = − (x − 2x + 3) x − 2x + 10 = − + 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng g) I = ∫x x + 1dx = 3 h) I = ∫ = 0968.393.899 ∫ x + 1d (x + 1) = (x − 2x ) x − 3x + 2dx = 3 2 −2 (x + 1) x + 10 = 3 ∫ x − 3x + 2d (x − 3x + 2) 4 (x − 3x + 2) x − 3x + 10 = − =− 3 9 HT 3.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ∫ b) I = x d) I = dx dx ∫ c) I = 2x + ∫ −1 (x + 1)dx e) I = x + 2x + ∫ dx − 2x (x − 2)dx x − 4x + Bài giải a) I = ∫ dx x b) I = ∫ 0 c) I = ∫ −1 dx 2x + ∫ e) I = ∫ = ∫ (x + 1)dx x + 2x + d(2x + 1) = 2x + 10 = − 2x + 1 =− − 2x dx d) I = = x 14 = − = ∫ d (1 − 2x ) = − 2x −1 ∫ = − − 2x − = −1 + d(x + 2x + 2) x + 2x + = x + 2x + 10 = − 1 d (x − 4x + 5) = = x − 4x + 10 = − 2 x − 4x + x − 4x + (x − 2)dx ∫ HT 4.Tính tích phân sau: e a) I = ∫ dx x 1 d) I = (x + 1)dx ∫ x + 2x + b) I = ∫ −1 dx − 2x c) I = e) I = xdx ∫ x2 + x −2 ∫ x − 4x + dx Bài giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e a) I = ∫ dx = ln x e1 = ln e − ln = x b) I = ∫ −1 c) I = ∫ d) I = ∫ dx =− − 2x = 2 x +1 xdx ∫ −1 ∫ d(1 − 2x ) 1 ln = − ln − 2x − = − (ln − ln 3) = − 2x 2 ( x +1 1 = 2 x + 2x + x −2 ∫ x − 4x + ) = ln x d x2 + (x + 1)dx e) I = ∫ +1 d(x + 2x + 2) x + 2x + ∫ d (x − 4x + 5) x − 4x + ln (ln − ln 1) = 2 0= 1 ln x + 2x + 10 = (ln − ln 2) = ln 2 2 = dx = 2 = ln x − 4x + 0= 1 (ln − ln 5) = ln 2 HT 5.Tính tích phân sau: a) I = dx ∫ x2 b) I = dx ∫ (2x − 1)2 c) I = −1 dx ∫ (3x + 1)2 Bài giải a) I = dx ∫ x2 = − x 1= − +1 = d(2x − 1) 1 = =− b) I = 2 (2x − 1) 2x − (2x − 1) −1 −1 dx ∫ c) I = ∫ dx ∫ (3x + 1)2 = d (3x + 1) −1 = 1 1 − = 1 ∫ (3x + 1)2 = − 3x + = − 12 + = HT 6.Tính tích phân sau: a) I = ∫e 3x b) I = dx ∫ ex + e) I = (2e + 1) dx c) I = ∫ (e2x − 1)2 f) I = e x 2e + 1dx h) I = ∫ x (1 − 4e x )3 dx ∫ (1 − 3e2x )3 e 2x e 2x dx 1 x ∫e e 2x dx 1 ∫ e x dx g) I = ∫e x d) I = x 2x + 3e dx i) I = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN ∫ e x dx ex + Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng a) I = ∫ b) I = ∫ e 3x dx = e 3x 0968.393.899 e3 − 3 0= 1 e (2e + 1) dx = x (2e x + 1)4 (2ex + 1)3 d(2ex + 1) = ∫ x   (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81 =  −  = −  4  8 c) I = ∫ ex (1 − 4e x )3 dx = − ∫ (1 − 4e x ) d(1 − 4e x )   (1 − 4ex )4 1 (1 − 4e)4 81 81 − (1 − 4e)4 =− = − − =  4  4  16 d) I = e x dx ∫ ex + ∫ = f) I = e +1 e2x dx ∫ (e2x = 2 − 1) e 2x dx ∫ (1 − 3e2x )3 g) I = ∫e x h) I = ∫e i) I = ∫ 2x 2 ex + 1 ∫ e +1 2 1= 12(1 − 3e ) − 12(1 − 3e ) 2e x + 1d (2e x + 1) = (2e x + 1) 2e x + 10 = (2e + 1) 2e + − 3 ∫ 2x = −1 1 1 + 3e dx = e x dx d(1 − 3e 2x ) ∫ (1 − 3e2x )3 = − 2(1 − 3e2x )2 2e + 1dx = x ln(e + 1) − ln = ln 1 1 e2 =− = − + = e 2x − 1 − 1)2 2(e − 1) 2(e − 1) 2(e − 1) 1 0= d (e2x − 1) ∫ (e2x =− 1 = ln e x + x e) I = d (e x + 1) ∫ d(ex + 1) ex + 1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = (1 + 3e 2x ) + 3e 2x 0= (1 + 3e2 ) + 3e − 9 = e x + 10 = e + − HT 7.Tính tích phân sau: e a) I1 = ∫ e ln x dx x b) I = e d) I = ∫ ∫ ln x + dx x e c) I = ln3 x + ln2 x − ln x + dx x e2 e) I = ∫ (3 ln x + 1)3 dx x ∫ e e dx x ln x f) I = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN dx ∫ x(3 ln x + 1) Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng e g) I = 0968.393.899 e ln x + 1dx x ∫ h) I = ∫x dx ln x + Bài giải e a) I1 = ∫ e ln x dx = x ∫ e b) I = ∫ ln xd (ln x ) = ln x + dx = x e c) I = ∫ e d) I = ∫ ln2 x e 1=    ln2 x (3 ln x + 1)d (ln x ) =  + ln x  e1 = ( + 1) − =  2  e ∫ (3 ln x + 1)3 dx = x e ∫ (3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) = ln x + ln2 x − ln x + dx = x e2 e ∫ ∫ ∫ (4 ln e e ∫ ln x + 1dx = x ∫ e x + ln2 x − ln x + 1)d (ln x ) = (1 + − + 1) − = d(3 ln x + 1) 1 ln = ln(3 ln x + 1) e1 = (ln − ln 1) = ln x + 3 e ∫ ln x + 1d(3 ln x + 1) = e h) I = d (ln x ) = ln(ln x ) ee = ln(ln e ) − ln(ln e ) = ln ln x dx = x (3 ln x + 1) e g) I = 64 85 − = 12 e2 dx = x ln x e f) I = e 1= = (ln4 x + ln x − ln2 x + ln x ) ∫ (3 ln x + 1)4 e e) I = ln2 e ln2 1 − = 2 e dx ∫x ln x + 1 == ∫ d(3 ln x + 1) ln x + = 16 14 (3 ln x + 1) ln x + e1 = − = 3 9 2 ln x + e1 = − = 3 3 HT 8.Tính tích phân sau: π a) I = d) I = ∫ cos π x sin xdx b) I = ∫ sin π x cos xdx c) I = ∫ sin 0 π π π sin x ∫ cos x dx e) I = ∫ sin x cos x + 1dx f) I = ∫ 2x cos 2xdx cos x dx sin x + Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π a) I1 = ∫ π ∫ cos2 x sin xdx = − 0 π π b) I = ∫ sin x cos xdx = ∫ π c) I = ∫ sin 2x cos 2xdx = π d) I = ∫ cos2 xd(cos x ) = − sin x dx = − cos x π ∫ sin3 x sin xd (sin x ) = 2 π ∫ ∫ d (cos x ) = − ln(cos x ) cos x sin x cos x + 1dx = π f) I = ∫ cos x sin 2xd (sin 2x ) = π e) I = dx = 3 sin x + cos3 x π ∫ π ∫ π 0= π 0= sin4 2x π = − ln π 0= 2 + ln = − ln 2 cos x + 1d(3 cos x + 1) = (3 cos x + 1) cos x + d(3 sin x + 1) sin x + = 3 sin x + π 0= π 0= − = −1 3 2 − = 3 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ http://www.Luuhuythuong.blogspot.com I.DẠNG 1: dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C HT 1.Tính tích phân sau: a) ∫ 0 dx 3x + b) ∫ −1 dx − 3x c) ∫    dx −  2x + − 2x  Giải a) dx ln ∫ 3x + = ln 3x + = (ln − ln 1) = 0 b) dx ∫ − 3x = − ln − 3x −1 −1 c) ∫ = ln = − (ln − ln 4) = − 3  1  1  1   3  dx =  ln 2x + + ln − 2x  10 =  ln + ln 2 −  ln + ln 4 − 2  2x + − 2x        ln + ln 2 HT 2.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x + 3x − 2x + 5x − x2 1 dx b) I = ∫ x − 3x + 2x − dx c) I = x −2 ∫ −1 2x − 3x + 4x − 1 − 2x Giải a) I1 = ∫ x + 3x − 2x + 5x − x2 dx = ∫ (x + 3x − + − )dx x x2   8  13 3x 1 1 1 x =  + − 2x + ln x +  12 =  + − + ln +  −  + − + ln + 1 = + ln     x  2 3 3   b) I = ∫ x − 3x + 2x − dx = x −2 ∫   dx x − x − x − 2)    1  x2 x =  − − ln x −  10 =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln −         c) I = ∫ −1 2x − 3x + 4x − = − 2x  ∫ −x −1 +x −  dx + 2(−2x + 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   x2  x = − + − x − ln −2x +  −   2   1 ln = (− ln 1) − ( + + − ln 3) = − 2 4 II.DẠNG 2: dx ∫ ax + bx + c HT 3.Tính tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) a) ∫ dx (x + 1)(x + 2) b) ∫ dx (x + 1)(3 − x ) dx ∫ (x + 1)(2x + 3) c) Giải a) ∫ dx = (x + 1)(x + 2) ( b) ∫ = ) 10 = ln xx ++ 21 dx = (x + 1)(3 − x ) ∫ ( − ln − x + ln x + c) (x + 2) − (x + 1) dx = (x + 1)(x + 2) ∫ = ln x + − ln x + ∫ dx = (x + 1)(2x + 3) ( = ln x + − ln 2x + 1 ∫ 0= ∫  1  −  dx  x + x +  ln − ln = ln 3 (x + 1) + (3 − x ) dx = (x + 1)(3 − x ) ) 10 = 14 ln x3 −+ x1 = 0=  1  ∫  − x + x + 1dx  1 ln ln − ln  = −   4 3 (2x + 3) − 2(x + 1) dx = (x + 1)(2x + 3) ) 10 = ln 2xx ++13 1   ∫  x + − 2x + dx ln − ln = ln 5 HT 4.Tính tích phân sau: a) dx ∫ x − x − 12 b) dx ∫ 2x − 5x + c) −1 dx ∫ − 2x − 3x Giải a) dx ∫ x − x − 12 ∫ = =  dx = (x + 3)(x − 4)  ∫ (x + 3) − (x − 4) dx (x + 3)(x − 4) x −4 ∫  x − − x + dx = (ln x − − ln x + ) = ln x + 1 1 0 (ln − ln ) = ln 7 16 b) = dx ∫ 2x − 5x + = ∫ −1 −1 2(x dx − 2)(x − ) = ∫ −1 dx = (x − 2)(2x − 1) ∫ −1 (2x − 1) − 2(x − 2) dx (x − 2)(2x − 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Bảng xét dấu x y ∫ (−x S =− – ) + 4x − dx + ∫ (−x + ) + 4x − dx 1      x  x = − − + 2x + 3x  + − + 2x + 3x  =      0  1 Vậy S = (đvdt) HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + 11x − 6, y = 6x , x = 0, x = Bài giải Đặt h (x ) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x ) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) ∫ (x S =− 2 ) − 6x + 11x − dx + ∫ (x – + ) − 6x + 11x − dx 1     11x 11x x x = −  − 2x + − 6x  +  − 2x + − 6x  =   2     Vậy S = (đvdt) HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + 11x − 6, y = 6x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 105 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Đặt h (x ) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x ) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = Bảng xét dấu S= ∫ (x h(x) + ) x − 6x + 11x − dx − ∫ (x 3 – ) − 6x + 11x − dx 2     11x 11x x x =  − 2x + − 6x  −  − 2x + − 6x  =   2     Vậy S = (đvdt) HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 4x Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm: x = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = ∨ x = ⇒S = ∫ (x ) − 4x dx + −2   x x − 4x dx =  − 2x     ∫( ) −2   x +  − 2x     =8 Vậy S = (đvdt) HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − x + trục hoành Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm: x =1 t = x = ± x − x + = ⇔ t − 4t + = 0, t = x ≥ ⇔  ⇔  ⇔  t=3 x = ±3 x =3    ⇒S = ∫ x − x + dx = −3 ∫ x − 4x + dx     2  =2 x − 4x + dx + x − 4x + dx        ∫( ) ∫( ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 106 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899       x   x  =   − 2x + 3x  +  − 2x + 3x         Vậy S =   16  =   16 (đvdt) HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − 4x + y = x + Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm:  x + ≥  x − 4x + = x + ⇔ x − 4x + = x + ⇔   x − 4x + = −x − x =  x =  Bảng xét dấu x + x − 4x + ⇒S = ∫ (x ) − 5x dx + ∫ (−x ) + 3x − dx + 1 – ∫ (x + ) − 5x dx 3       3x 5x  109  x 5x   −x x =  − + − 6x  +  −  +   =          2      3 Vậy S = 109 (đvdt) http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − , y = x + Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − = x + ⇔ t − = t + 5, t = x ≥ t = x ≥  t = x ≥  ⇔ t − = t + ⇔  ⇔ x = ±3  t =   t − = −t −   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 107 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng ⇒S = ∫ ( 0968.393.899 ) x − − x + dx = −3 ∫ x − − (x + 5) dx Bảng xét dấu x x2 − 1 ∫( ) −x − x − dx + ⇒S =2 ∫ (x – + ) − x − dx 1     x2 x2 73  −x x =  − − 4x  +  − − 6x  =   2   3   Vậy S = 73 (đvdt) HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 0, y = − x Bài giải Ta có: y = − x ⇔ x = − y , x ≥ Phương trình tung độ giao điểm: y = − y ⇔ y = ⇒S = ∫ 2 − y − y dy = 0 π = ∫ cos tdt − Vậy S = ∫  ∫   − y − y dy  π   y2 ydy = t + sin 2t  −  2  π (đvdt) HT 11.Tính thể tích hình cầu hình tròn (C ) : x + y = R2 quay quanh Ox Bài Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x = R2 ⇔ x = ±R Phương trình (C ) : x + y = R2 ⇔ y = R2 − x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng R ⇒V = π ∫ (R R −x −R Vậy V = 0968.393.899 )dx = 2π ∫ (R −x ) R   4πR x3   dx = 2π R2x −  =    4πR (đvtt) HT 12.Tính thể tích hình khối ellipse (E ) : x2 a2 + y2 b2 = quay quanh Oy Bài Giải Tung độ giao điểm (E) Oy Phương trình (E ) : x2 + a2 y2 b2 y2 = ⇔ y = ±b b2 = ⇔ x = a2 − a 2y b2 R b       4πa 2b a 2y   a 2y   a 2y   ⇒ V = π a −  = dy = 2π a − dy = 2π a y −       b b b       −b 0 b ∫ Vậy V = ∫ 4πa 2b (đvtt) HT 13.Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x quay quanh Ox Bài Giải x ≥ x =  Hoành độ giao điểm:  ⇔  x = x x =1    ⇒V = π ∫ x − x dx = π Vậy V = ∫( 1  3π x − x dx = π  x − x  =   0 10 ) 3π (đvtt) 10 HT 14.Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = −y + , x = − y quay quanh Oy Bài Giải y = −1 Tung độ giao điểm: −y + = − y ⇔  y = 2 ⇒V = π ∫ (−y −1 ) +5 − (3 − y ) dy = π 2 ∫ (y ) − 11y + 6y + 16 dy −1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   11y 153π y = π  − + 3y + 16y  =     −1 Vậy V = 153π (đvtt) HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình sau 1) y = sin x , y = , x = 0, x = 2π 15) x = 2) y = x , y = , x = −1, x = 2 y 3) y = x − 2x, y = −x + 4x ,x = − y2 , y = (y ≥ 0) 16) y = (2 + cos x ) sin x , y = , x = 4) y = x , y = 4x , x = −1, x = 5) y = −x − 5, y = −6x , x = 0, x = 17) y = x + x , y = , x = 6) y = −x − 2, y = −3x , x = 0, x = 18) y = , y = , x = 1, x = e x 7) y = −x − 2x, y = −x − + ln x , y = , x = 1, x = e x 20) y = 0, y = ln x , x = 2, x = e 8) y = x − 2x − x + trục hoành 19) y = 9) y = x − 2x − x + trục hoành 10) y = − ln x π 3π , x= 2 21) y = x2 x2 , y= 4 ,y = sin x cos x ,x= π π , x= 11) y = − − x , x + 3y = 22) y = x , y = 4x , y = 23) y = x (x + 1)(x − 2), y = , x = −2, x = 12) y = x − 4x + , y = 24) y = xex , y = , x = −1, x = 13) y = x − x + , y = 25) y = 4x , x − y + = , y = 26) x − y + = 0, x + y − = 0, y = 14) x = y, x = − y2 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 2π 1) S = ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx 0 2) S = ∫ 2π π x dx = −1 π + − cos x 2π = (đvdt) π π = − cos x ∫ x dx + ∫ −1 x4 x dx = −1 x4 + = 17 (đvdt) 3) x − 2x = −x + 4x ⇔ x = ∨ x = 3 ⇒S = ∫ (x 2 − 2x ) − (−x + 4x ) dx = ∫    2x (2x − 6x )dx =  − 3x     = 9(đvdt) 4) x − 4x = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −2 (loại) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng ⇒S = ∫ ∫ (x x − 4x dx = −1 Vậy S = 0968.393.899 − 4x )dx + −1 ∫   x (x − 4x )dx =  − 2x     −1   x +  − 2x     23 (đvdt) 5) x − 6x + = ⇔ x = ∨ x = (loại)   x ⇒S = (x − 6x + 5)dx =  − 3x + 5x  x − 6x + dx =    0 ∫ Vậy S = ∫ 2 (đvdt) 6) x − 3x + = ⇔ x = ∨ x = ⇒S = ∫ ∫ (x x − 3x + dx = − 3x + 2)dx + ∫ (x − 3x + 2)dx 1     3x 3x x x =  − + 2x  +  − + 2x  = 1(đvdt)   2     7) −x − 2x = −x − ⇔ x = −2 ∨ x =   x2 x ⇒S = (x + x − 2)dx =  + − 2x  x + x − dx =     −2 −2 −2 ∫ Vậy S = ∫ (đvdt) 8) x − 2x − x + = ⇔ x = ∨ x = ±1 ⇒S = ∫ x − 2x − x + dx = −1 ∫ (x − 2x − x + 2)dx + −1 ∫ (x − 2x − x + 2)dx     2x x 2x x x x =  − − + 2x  +  − − + 2x    3   −1   Vậy S = 37 (đvdt) 12 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 9) x 0968.393.899 t = x ≥  t = x ≥  t = ⇔ ⇔ − 2x − x + = ⇔    t − 2t − t + = t =  ⇒S = ∫ x − 2x − x + dx = −2 ∫ ∫ (x − 2x − x + 2)dx + ∫ (x 4− ∫ 4− −2   2x x x +  − − + 2x     = 3(đvdt) ∫ ∫ −2   x2 x   − − dx =  4   π    x2 x   − − dx    2 2 x2 x2 − dx = 4 2 2 =2 − 2x − x + 2)dx x2 x2 = ⇔ x + 8x − 128 = ⇔ x = ±2 4 2 ⇒S =   2x x x =  − − + 2x     10) x − 2x − x + dx =2  x = ±1 x = ±2  2 ∫ 2 16 − x dx − ∫ x dx 2 π 2 2  4 1 x3 = 16 cos2 tdt − x 2dx = t + sin 2t  −   2 2 0 ∫ Vậy S = 2π + ∫ (đvdt) 2 x x 11) x + 3y = ⇔ y = − ⇔ x + 9x − 36 = ⇔ x = ± ⇒ − − x2 = − 3 ∫ ⇒S = − x2 − − 3 =2 ∫ x2 dx = − x dx − 3 ∫  x   − − x dx     π 3 ∫ x dx =24 ∫ cos tdt − 3 ∫ π   x3 x dx = 2 t + sin 2t  −   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4π + (đvdt) Vậy S =  x − 4x + = 12) x − 4x + = ⇔  ⇔ x − 4x + = −3   x = x =  Bảng xét dấu x + x − 4x + ⇒S = ∫ ∫ (x x − 4x + − dx = ) − 4x dx +   x =  − 2x     1 – + ∫ (−x ) + 4x − dx +   −x +  + 2x − 6x     ∫ (x ) − 4x dx   x +  − 2x  = 8(đvdt)    x =1 13) x − x + = ⇔ x − x + = ⇔  ⇔ x =3   x = ± x = ±  Bảng xét dấu x x − 4x + 3 ⇒S = + – ∫ x − x + dx = −3   = 2   x − 4x + dx ∫ (x ∫ ) − 4x + dx −   x − 4x + dx    ∫( )  3      x   x  2 =  − 2x + 3x  −  − 2x + 3x         1   Vậy S = 16 (đvdt) 14) Tung độ giao điểm y = y = , ≤ y < ⇔  y = − y2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng ⇒S = 3 ∫ Vậy S = − ∫ π (đvdt) 15) Tung độ giao điểm 2 ∫ y2 2 y2 − = ⇔y =2 − y2    dy = …  −  y 2  −y  2 − y2 Vậy S = − − 16) S =    − y  dy = …     −y − y dy = − y2 ⇒S = 0968.393.899 dy = ∫ π (đvdt) 12 3π π π π 3π ∫ (2 + cos x ) sin x dx = ∫ (2 + cos x ) sin xdx − ∫ (2 + cos x ) sin xdx π 3π     1 = − 2 cos x + cos 2x  + 2 cos x + cos 2x  = 3(đvdt) 4   π   π π 17) Hoành độ giao điểm x + x = ⇔ x = ⇒S = ∫ x + x dx = ∫ Vậy S = ∫ 1 + x d(1 + x ) = (1 + x )3 2 2 −1 (đvdt) e 18) S = x + x dx = 2 ln x ∫ e dx = x 1  ln x  > ∀x ∈ 1; e   dx   x  x ln x ∫2 Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt x = ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 ⇒S = tet dt ∫2 et = ∫   td  et  = t et   1 − ∫ et dt = e − et Vậy S = − e (đvdt) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng e + ln x dx = x ∫ 19) S = 0968.393.899 e + ln x dx x ∫ Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x ⇒ 2tdt = dx x x = ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 ⇒S = ∫ t.2tdt = ∫ 2t 2dt = t −2 (đvdt) Vậy S = e ∫ 20) S = e ln x dx = e e ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx 2 Vậy S = − ln 21) cos x π ⇒S = = ∫ π sin x cos x π    ⇔x = ∫ π = π − π  π π  ∈ ;   dx = sin x ∫ 1  dx + − cos2 x sin2 x  π π π ∫ π cos x − π dx + sin x ∫ π cos x − sin2 x dx    − dx  cos2 x sin2 x  π = (tgx + cotgx ) + (tgx + cotgx ) π Vậy S = π − 12 (đvdt)  x = y = x 22) Tọa độ giao điểm  ⇔  y = 4x y =     x = y y = x  Ta có:  ⇔ y y = 4x x =  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng ∫ ⇒S = Vậy S = 0968.393.899    y − y dy = y    (đvdt) ∫ 23) S = x (x + 1)(x − 2) dx −2 −1 = ∫( ) x − x − 2x dx + −2 ∫( ) x − x − 2x dx + −1 ∫ (x ) − x − 2x dx −1       x3 x3 x3 x x x =  − − x  +  − − x  +  − − x     3   −2   −1   Vậy S = 37 (đvdt) 2 ∫ 24) S = x xe dx = −1 Vậy S = ∫ x xe dx − ∫ xex dx = (x − 1)e x −1 − (x − 1)e x −1 e + 2e − (đvdt) e   x = y y = 4x 25)  ⇒ y2 = y − ⇔ y = ⇔   x − y + =  x = y −1   ⇒S = ∫ Vậy S = y − (y − 1) dy = 4 ∫(   y y − 4y + dy =  − 2y + 4y    ) (đvdt) x − y + = x = y − ⇒ y3 − = − y ⇔ y3 + y − = ⇔ y = 26)  ⇔  x + y − = x = − y   ⇒S = ∫( Vậy S = 1  y + y − dy =  y + y − 2y    ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 16.Tính thể tích hình phẳng giới hạn đường 1) y = 3x , y = x , x = 0, x = quay quanh Ox 6) ellipse (E ) : x y2 + = quay quanh Ox 16 3) y = (x − 1) , x = y = quay quanh Ox 7) ellipse (E ) : x2 x2 + = quay quanh Oy 16 4) y = − x , x = quay quanh Oy 8) y = x + 2, y = − x quay quanh Ox 5) (C ) : x + (y − 4)2 = quay quanh Oy 9) y = x , y = x quay quanh Ox 2) y = x2 , y = , y = 4, x = quay quanh Oy 2 10) y = − − x , x + 3y = quay quanh Ox http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) V = π ∫ (3x ) 2 − x dx = 8π Vậy V = ∫ 8πx x dx = 8π (đvtt) x2 2) Ta có y = ⇔ x = 2y ⇒ V = π ∫ x dy = π ∫ 2ydy = π y 2 Vậy V = 12π (đvtt) 3) Ta có (x − 1) = ⇔ x = ⇒ V = π ∫ y dx = π ∫ Vậy V = (x − 1)4 (x − 1) dx = π π (đvtt) y = − x x = − y 4) Ta có  ⇔  ⇒ y = ±2 x = x =   ⇒V = π ∫ (4 − y ) −2 Vậy V = 2   8y y   dy = 2π 16y − +     512π (đvtt) 15 5) Tung độ giao điểm (C ) : x + (y − 4)2 = Oy: y − = (y − 4)2 = ⇔  ⇔ y − = −2  y =  y =  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng ⇒V = π 6 ∫ x dy = π ∫ 2 0968.393.899    y  2 − ( − 4) = π − + − 12 y dy y y         Cách khác: Hình khối tròn xoay hình cầu bán kính R = nên V = 6) Hoành độ giao điểm (E ) : Ta có: x y2 + = Ox x = ±4 16 x y2 + = ⇔ y2 = 16 − x 16 16 ( ⇒V = π ∫ −4 9π y dx = 16 32π 4π 23 Vậy V = (đvtt) 3 ) 4 ∫ −4   9π  x  − (16 − x )dx = 16 x     Vậy V = 48π (đvtt) 7) Tung độ giao điểm (E ) : x y2 + = Oy y = ±3 16 x y2 16 + = ⇔ x2 = − y2 16 9 ( ⇒V = π ∫ −4 16π x dy = ∫ −3 )   32π  y  (9 − y )dy = 9y −    Vậy V = 64π (đvtt) 8) Hoành độ giao điểm x + = − x ⇔ x = ±1 ⇒V = π ∫ (x ) − (4 − x ) +2 2 −1   x dx = 24π x − dx = 24π  − x     0 ∫ Vậy V = 16π (đvtt) 9) Hoành độ giao điểm x = x ⇔ x = x ⇔ x = ∨ x = 1   x2  x ⇒ V = π x − x dx = π x − x dx = π  −     0 ∫ Vậy V = ∫( ) 3π (đvtt) 10 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 118 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 10) Hoành độ giao điểm − − x = − ⇒V = π ∫ (4 − x ) − Vậy V = x4 2π − dx = 9 x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ± 3 ∫ (36 − 3x −x ) 2π dx =   x   36x − 3x −    28π (đvtt) Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô bạn học sinh đọc tài liệu này! Mọi góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com Toàn tài liệu ôn thi môn toán Lưu Huy Thưởng địa sau: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119 ... GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Toàn tài liệu luyện thi đại học môn toán thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x 3dx b) I... CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 mx + n ∫ ax + bx + c dx III.Dạng 3: HT 8.Tính tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm phân. .. CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Tính tích