Chuyên đề 7: Tích phân ứng dụng Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 448 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Chuyên đề 7: Tích phân ứng dụng 449 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 Các toán tích phân đề thi TSĐH đánh giá toán quan trọng, xuất dạng tính tích phân trực tiếp xác định diện tích, thể tích giới hạn đường cong Để làm tốt dạng toán học sinh nên lưu ý nhớ vận dụng lịnh hoạt công thức nguyên hàm bản, cách xác định công thức tính thể tích diện tích giới hạn đường cong Hai phương pháp sử dụng xuyên suốt cho toán tích phân đổi biến tích phân phần( thường kết hợp phương pháp này) KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm nguyên hàm hàm số: Hàm số f ( x) xác định liên tục khoảng D Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) F '( x)  f ( x), x  D Và nguyên hàm f ( x) xác định theo công thức, thực chất ký hiệu nguyên hàm hàm số: F ( x)   f ( x) dx Để tìm nguyên hàm hàm số dựa vào nguyên hàm số hàm bản: Nguyên hàm số hàm bản:   x dx   x 1  c,   1  1 dx  ln x  c x  cos xdx  sin x  c 450 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  sin xdx  cos x  c sin x  tan xdx   cos x dx   ln cos x  c cos x  cot xdx   sin x dx  ln sin x  c x  dx xa  ln c a 2a x  a dx  ln x  x  a  c x a Khái niệm tích phân hàm số: Tích phân hàm số f ( x) xác định đoạn  a, b  giá trị F (b)  F (a) b ký hiệu  f ( x)dx  F (b)  F (a) a MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN Dưới trình bày số toán tích phân, cách thức tiến hành đưa biểu thức dấu tích phân dạng  f (u)du 100 Bài Tính tích phân I    x  1 x  1 dx Lời giải: 1 100 Ta có I    x  1 x  1 100 dx     x  1  1  x  1 dx    x  1 451 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 101 dx    x  1 100 dx TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 101  2  x  1 100 d  x  1    x  1 d  x  1  1 152 102 100   x  1   x  1 51 101 5151 Bài Tính tích phân I  x x  1dx 1 Lời giải: Ta có I   x x  1dx  1   x  1  x  1dx  1 0 2 1  x  1 dx    x  1 dx  1 1 0 0 1 1 1    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1   x  1 1   x  1 1  1 1 10 15 2 2 Bài Tính tích phân I   x4  dx x 1 Lời giải: Ta có I   1    x  x  x  1   x4  x4 1  6   dx   dx    x  1  x2  1  dx x 1 x 1 x  1 0 7 1 1 x2 dx   x  x3   x   ln x   x 1 12 4 0 Bài Tính tích phân I   dx x   x 1 Lời giải: Ta có I   dx   x   x 1 Bài Tính tích phân I     x   x  dx  x  ex  dx 4x xe x 452 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  x  1   x 1  c TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: Ta có I   1     x  dx     e x dx   2 x e   12 x  x  e x    1e  e1 cos5 x Bài Tính tích phân I   dx  sin x Lời giải: cos3 x 1  sin x  cos5 x Ta có I   dx   dx   cos3 x 1  sin x dx  sin x  sin x   cos xdx   cos x sin xdx   1  sin x  d  sin x    cos xd  cos x  1  sin x  sin x  cos x  c  Bài 7.Tính tích phân I   x sin x   x  1 cos x x sin x  cos x dx Lời giải:  Ta có I  x sin x   x  1 cos x x sin x  cos x  dx    x sin x  cos x    d  x sin x  cos x     4  x    ln x sin x  cos x   ln x sin x  cos x 4 0 Bài Tính tích phân I     x sin x  cos x   x cos x dx  dx  tan x dx cos2 x 453 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  x cos x  x sin x  cos x dx TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: tan x tan x tan x tan x Ta có I   dx   dx   dx   d  tan x cos2 x cos2 x  sin x  tan x cos x 1  tan x  tan x  tan x     tan x d  tan x    d  tan x    tan xd  tan x   tan x   tan x  1 d 1  tan x  1    tan x   ln  tan x  tan x  c 2  tan x 2 2   Bài Tính tích phân I   x , x dx Lời giải:   x  x Xét x  x   x x x    x   Vậy với  x   x ,   Với  x   x , x  x       Vậy I   x , x dx   x , x dx   x , x dx 0 1 2 1 1   x dx   xdx  x  x x  3  Bài 10 Tính tích phân I    tan x, x  dx   Lời giải:    Xét hàm số f ( x)  tan x  x đoạn   ;   4 454 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta có f '( x)       0, x    ;   f ( x ) hàm số đồng biến đoạn cos x  4     ;    Ta có f (0)  Từ suy          f ( x)  f (0)  0, x    ;   tan x  x, x    ;    tan x, x   tan x, x    ;              f ( x)  f (0)  0, x  0;   tan x  x, x   0;    tan x, x   x, x  0;   4  4  4     tan x, x  dx    tan x, x  dx    tan x, x dx Vậy I        0 sin x 2 2   tan xdx   xdx  x   dx   ln cos x    ln 32 32    cos x  4 4 Bài 11 Tính tích phân I   x  x dx Lời giải: Với  x    x    x   x Với  x    x    x  x  2 Vậy I   x  x dx   x 1  x  dx   x  x  1 dx 0 1 1 1 2 1   x  x    x  x    3 1 2 Bài 12 Tính tích phân I   x2  x x2  dx L ời gi ải: 455 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta c ó I     x2  x x2  3 dx   x2  x x2  dx x2  x x2  x dx  1 x  dx x2  1 1 x2  x x  d  x  3  Xét K    dx       dx    dx    dx  x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 0 0 1 3dx  1  ln   2 x 3 Đặt x  tan t  dx  dt  ; x   t  0; x   t  cos t  4 3 Khi K  1  ln   dt  1  ln  3 x2  x 3 Tương tự : L   dx   ln  x 3 Vậy I  K  L   ln Bài 13 Tính tích phân I   x2  e x  x 2e x dx  2e x Lời giải: 1 x 1  2e x   e x x  e x  x 2e x e x dx Ta có I   dx   dx   x dx    2e x  2e x  2e x 0 0 1 1 d 1  2e  x3    2e x x    ln  2e e Bài 14 Tính tích phân I   x 1 1   ln 1  2e  ln 3 2 ln xdx x   ln x   ln x 456 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: Đặt t  ln x  dt  1  2t  2t tdt   t  2t 2t  2t  Vậy I    dx ; x   t  0; x  e  t  x 2  t  1  2 t Bài 15 Tính tích phân I    11 dt   20     t   t dt 1  3  3 xn dx,  n  *  x2 x3 xn  x     2! 3! n! Lời giải: Đặt f n ( x )   x  I   x2 x3 xn x x3 x n     f 'n ( x)   x      f ( x) 2! 3! n! 2! 3!  n  1 ! n1 n ! f n ( x)  f n1 ( x)    f ( x)  f ' ( x)  dx  n!  1  n1 dx  n!    n dx f n ( x) f n ( x)  f n ( x)     x x3 xn   n ! x  n !ln f n ( x)  C  n ! x  n !ln   x       C 2! 3! n!   Bài 16 Tính tích phân I   1 x  x 1 dx  x4  3x  Lời giải: 1  x  x   x Ta có I   1  x  x    x 1 2  3x2  1 1  x  x2 x  3x2  dx   dx   dx 2  3x  1 1 x 1  x  1 x 1  x  457 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG    cos 2t    d  cos t      1  cos t  5cos t 3cos t  15  Bài Tính tích phân I    5 x dx 5 x Lời giải:   Đặt x  cos 2t , t  0;   dx  10 sin 2tdt  2 Khi x   t   Vậy I  10     ;x   t   1  cos2t  sin 2tdt  20  cos tdt 1  cos2t      5  10  1  cos2t dt  10  t  sin 2t    2    4    BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tính tích phân I   x  x dx Bài Tính tích phân I  x  x2 dx 1 Bài Tính tích phân I   x 2 x dx 2 x Bài Tính tích phân I   x  1dx 539 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x dx Bài Tính tích phân I    x2  1 x  1 dx Bài Tính tích phân I   x2  Bài Tính tích phân I  x  x  2dx  1 1  x  Bài Tính tích phân I   x8 dx 1 x dx 1 x Bài Tính tích phân I   Bài 10 Tính tích phân I  dx x x2  Bài 11 Tính tích phân I   Bài 12.Tính tích phân I   x  16 dx x x3 1  x  dx Bài 13 Tính tích phân I   x x  x  2dx BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY + Diện tích hình phẳng  y  f ( x), y  Cho hình phẳng giới hạn đường   x  a, x  b b Khi diện tích hình phẳng : S   f ( x ) dx a 540 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  y  f ( x), y  g ( x) Cho hình phẳng giới hạn đường   x  a, x  b b Khi diện tích hình phẳng là: S   f ( x)  g ( x) dx a Khi đề chưa cho x  a, x  b x  a, x  b tìm từ nghiệm phương trình f ( x)  g ( x)  y  f ( x), y  + Thể tích vật thể giới hạn đường  quay quanh trục hoành  Ox   x  a, x  b b Vx    f ( x) dx a  y  f ( x), y  g ( x) + Thể tích vật thể giới hạn đường  quay quanh trục hoành  Ox   x  a, x  b b Vx    f ( x)  g ( x) dx a BÀI TẬP MẪU Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y   e  1 x y  1  e x  x Lời giải: Hoành độ giao điểm hai đường nghiệm phương trình  e  1 x  1  e x  x  x  e x  e    x  x  Vậy diện tích cần tính S 1 x2 x  e  e  dx   x  e  e dx  e  xdx   xe dx  e   xd  e x  0 0 x x e  x1 x  e     xe   e dx     e  e x  0   x 1 e   1(dvdt) 0 541 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x với trục hoành đường thẳng x  e Lời giải: Giao điểm đường cong y  x ln x với trục hoành nghiệm phương trình x ln x   ln x   x  ( điều kiện x  0) Vậy diện tích cần tính e S   x ln xdx dx  du   u  ln x  x Đặt   dv  xdx v  x  Vậy S  e 1e e2 e e2 x ln x   xdx   x   21 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y    x2 y   x Lời giải: Hoành độ giao điểm hai dường cong nghiệm phương trình   x   x   x  x    x   x   x  3 x  12   x   diện tích cần tính S   3 3 2   x   x dx     x   x dx   x    x dx    I + 3      3 Tính I    x dx     Đặt x  sin t , t    ;   dx  cos tdt  2 542 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Khi x    t    Vậy I    S     ;x  t  3  4    sin t cos tdt   cos tdt   1  cos2t  dt   t  sin 2t            3   4  3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bà Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x2 e x y   x3e x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x  16 y  24 x  48 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x với trục hoành đường thẳng x  e 3 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x y    x  Bài 5.Xác định số dương a cho diện tích hình phẳng giớ hạn hai đường cong y x  2ax  3a a  ax y  lớn  a4  a4 Bài 6.Tính thể tích giới hạn đường cong y   x  1 e x đường thẳng x  e quay quanh trục hoành Bài 7.Tính thể tích giới hạn đường cong y  sin x  cos6 x hai đường thẳng x  x  quay quanh trục hoành Bài 8.Tính thể tích giới hạn hai đường cong y   x y  x  quay quanh trục hoành Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 543 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG y x ; y  0; x  0; x    sin x Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ba đường sau: Elip  E  : x2  y  ; đường thẳng  d  : x  y   trục hoành Bài 11 Cho  H  hình phẳng giới hạn đường cong y  log xe2 x , trục Ox đường thẳng có phương trình x  e Tính thể tích vật thể tròn xoay  H  quay quanh Ox Bài 12 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y xe x , trục hoành đường thẳng x  quay quanh trục hoành ex  Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  xsin2 x; y  x; x   x Bài 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x 1 ; trục Ox hai đường thẳng x  0; x  Bài 15 Tính thể tích vật tròn xoay sinh hình phẳng  H  quay quanh Ox Biết  H  giới hạn Ox, Oy đồ thị hàm số y  đường thằng x  e  e x x Bài 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln   x   x2 trục hoành Bài 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  đường thẳng thẳng y  x  Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  đường thẳng y  x3 x2 x2 Bài 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   y  4 544 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 20 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e  ln x , trục hoành đường thẳng x  x MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 1.1 I  x  x  2 ex x2  4x  e ; dùng phương pháp tích phân phân Đáp số: I  1.2 dx   I   ln  x4  x   2ln x dx Đáp số: I  ln  ln    ; dùng phương pháp tích phân phân kết hợp đổi 3 biến số 1.3 I  x 1 x  x2 1 1.4 I  dx dx  x  1 x2  2x  Đặt t  x  x  đặt x    1.5  x sin x  cos x  1.6 x2 I  I  2012  x 2  2012  x  t dx dx 1.7 I    x  1 3x ,  xdx 545 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1.8 I  cos2 x  cos x   cos x  cos x  cos x  dx   Viết lại I    cos x  cos x  cos2 x dx  1.9 x  tan  x  sin x  tan  x  sin x   dx tan  x  sin x  1  cos x    tan  I     cos2 x  cos x.cos  2sin x   sin Viết lại I   dx  ln  sin x  sin  sin x    ln sin x  sin  sin x    sin  4   1.10 I    e 1.11 I   1.12 I x.sin x dx cos x 1   x  1 e  ln xdx 1  e  x x sin x  cos x  x  sin x  cos x   dx  x  sin x  cos x   sin x cos x x  12  ' ' Viết I    ln  sin x  x     ln  cosx  x   dx    12  1.13  tan x  I    dx ln cos x tan x ln sin x           1.14 I  7x 1  x  1 dx 546 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I  Viết lại I     x 1     x  1  7x 1 1.15 dx Viết lại I   x 1 x2 2x2  x  dx x  x   x  x  1 x  x  1 x2 x  x  1 1  x 1  d    x  5  x      7x 1  2 dx   x  x  x  1.16 cos x dx 3 sin x  cos x I   1.17 I   tan xdx  Đặt t  tan x ln 1  x  dx  x 1.18 I  Đặt x  tan t  1.19   I   cos x  sin x  1   1dx  sin x   e 1.20 I  x  1  ln x   x x x2  1  1.21 I  e 1.22 I    dx x x sin x  x  sin x x 1 ln x  ln x  ln x  x  1  2x2  2x 1 dx dx 547 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam  x2  x   dx   d     x   TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ln x  ln  x  15 1.23 I   x  15 x  x  15  dx Viết tích phân dạng: I 15 Đặt t     x 15ln    x  15  dx    x2  15 1  2x  x  15   x x  15  1.24 I    1.25 I  e 1.26 1.27 I  e 15dx  dt  sin x x x  e 2sin x dx tan x dx  cos2 x  x   x  1 ln x  ln x 2 1  xe x   x e x  e 2sin x  x  x cos x  esin x 1  x ln x  I   15  x   xe x  2 dx dx  e2 1.28 I   x  1 sin  ln x   xcos  ln x  dx x  1.29 x cos4    x  I  3  3  4  cos4  x    sin  x     e 1.30 I  dx   1   x   x  1 ln x  ln x 1  x ln x  548 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1.31 I    1.32 I   1.33 I   1.34 I   1.35 I    1.36 I  1.37 I   x  sin x cos x  ln  sin x  cos x  cos x tan x ln  cos x  cos x  I   dx dx dx dx cos x  sin x sin x  x cos x  x sin x dx  x sin x  sin x  16 x   sin x  cos x  e 1.38 cos x  x  cos2 x  dx x  ln x  1   x  1 ln x  x ln x dx x ln x  x  ln x  x cos2 x  x sin x  cos x  x  sin x cos x  dx   sin  x   4  I  dx  2sin x cos x   1.39 3 1.40 I   cot x  cot x dx ex 549 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  x   1  xe x   1.41 I  dx x 1  xe x  1 1.42 I    x  x  1 e x  x 1 dx  1.43 cos x   I    dx  sin x  cos x   1.44  cos x  sin x  I    dx cos x  0  1.45 I  sin x 1  sin x  dx  1.46 sin x  cos x dx 1  cos x 1  sin x  I   1.47  sin x  x I    cos x dx   x sin x     1.48 I   dx sin x  cos x  2 1 1.49  I sin x cos x  sin x cos x  x2   x  ln   dx  x2  1 x   1.50 sin x  cos x ln   sin x  dx  sin x I  1.51 I  1  x  e x  1  x  e x dx e x  e x  550 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1.52 x2 I  dx  1  x tan x  x  tan x  cos x 1.53 I   1  x  x  cos ln  x  1  x  2 1.54 I  1.55 I    x2 x  3   x   x sin ln x   x  x  1  x  x    x  1 x  x  dx x4  x  11  cos x  cos4 x dx  cos4 x 1.56 sin x  sin x  dx e  x  sin x  I   1.57 1.58 x  sin x  cos x  dx x  e x  sin x  sin x  cos x  I  I    sin x  cos x cos2 x sin x   1.59  sin x  3sin x  cos x dx sin x  cos x  I  1.60 I  1 e x  x  2 x  x2  e x  dx 2 1.61 x e x  x e x  xe x  e x  I  dx xe x  1.62 I  e xe x  x ln x  x  dx x  e x  ln x  1 551 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam dx  dx TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1.63 e  1 I       ln  x2   x ln x  dx x x  1 1.64 e ln x   1   I   1    ln    dx x x   x x  1 e 1.65 I  x   x2 ln x cos ln  x  1  dx x3  x2 1.66 I    e x  e2 x  2012 e x  e x dx 1.67 I  1.68 I  1.69 I  xa x  x ln a  1 dx a x  x ln a  1 x  a  x ln a   I  dx x 2011 dx x 2013  2012 1.70 dx   x 1  x x x x n x      1.71 x 2012  dx 2013  1  x  1  x I   1.72 I  cos x dx e   sin x  cos x  x  1.73 x n   sin x  cos x  I  x x3 x e  sin x   x   e 1.74 I   x   ln x     ln x  x   ln x  2 dx 552 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1.75   x I    tan  x   tan 4  1.76 I     dx    x4 1  x2 dx x4  Đặt x  tan t  1.77 I   sin x sin xdx Đặt t   x 553 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam ... Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài Tính tích phân I   x3  x  1 Bài 10 Tính tích phân I  dx  x x dx Bài 11 Tính tích phân I   1 Bài 12 Tính tích phân I   Bài 13 Tính tích phân I... 1 Bài Tính tích phân dx  1 x  1 474 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài Tính tích phân I   Bài Tính tích phân I  ... Tính tích phân I   dx x  5x Bài Tính tích phân I   dx x  9x Bài 10 Tính tích phân I   xdx x  3x  16 Bài 11 Tính tích phân I   x2  dx x  x3  10 x  x  1 Bài 12 Tính tích phân