Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC ðẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG” Lĩnh vực áp dụng: Sáng kiến ñược áp dụng giảng dạy nội dung Bất ñẳng thức dành cho ñối tượng: Học sinh giỏi toán THCS, học sinh giỏi toán THPT, học sinh chuyên toán; ñã áp dụng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán dự thi học sinh giỏi khu vực Duyên hải ðồng Bắc bộ, bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia tập huấn học sinh thi chọn ñội tuyển dự thi toán Quốc tế Một phần sáng kiến sử dụng ôn luyện thi THPT Quốc gia nhằm rèn luyện lực vận dụng cao Thời gian áp dụng: Từ tháng 06/2015 ñến Tác giả: Họ tên: PHẠM BẮC PHÚ Năm sinh: 1984 Nơi thường trú: ðội 10-xã Hải Thanh-huyện Hải Hậu-tỉnh Nam ðịnh Trình ñộ chuyên môn: Cử nhân khoa học-chuyên ngành sư phạm Toán Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong ðịa liên hệ: Phạm Bắc Phú-Giáo viên THPT chuyên Lê Hồng Phong Mail: phupb.toan@gmail.com ðơn vị áp dụng sáng kiến: ðơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong ðịa chỉ: 76 Vị Xuyên, thành phố Nam ðịnh ðiện thoại: 0350 3640 297 Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG BÁO CÁO Kí hiệu tắt Giải thích THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông NXB Nhà xuất HSG Học sinh giỏi [x] – Tr.y Tài liệu [x], trang y [x] – Tr.y-z Tài liệu [x], trang y ñến trang z S.O.S Sum of square BðT Bất ñẳng thức ðPCM ðiều phải chứng minh Bất ñẳng thức AM – GM Bất ñẳng thức ñại lượng trung bình cộng trung bình nhân (còn ñược gọi bất ñẳng thức Cauchy) ∑ f ( a;b; c ) = sys ∑ f ( a / ; b / ; c / ) , ñó tổng ñược lấy theo tất ( a ;b ;c ) / / / ( a ; b ; c ) hoán vị ( a;b; c ) / ∑ f ( a;b; c ) / / = f ( a; b; c ) + f ( b; c; a ) + f ( c; a; b ) cyc ∏ f ( a; b; c ) = f ( a; b; c ) f ( b; c; a ) f ( c; a; b ) cyc Bài n [X] X tên tác giả toán n Bài n (X) X tên kì thi toán mà ñề thi có chứa n Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 BÁO CÁO SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC ðẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG I ðiều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Bất ñẳng thức nội dung hay phức tạp, ñóng vai trò quan trọng nội dung Toán học bậc trung học (THCS THPT) Bất ñẳng thức ñược xem “mảnh ñất màu mỡ” cho việc phát triển lực chuyên biệt Toán học, dù nội dung khó có nhiều người ñam mê thường xuyên có mặt hầu hết ñề thi môn Toán (thi học sinh giỏi cấp, thi THPT Quốc gia, …) với chức câu phân loại học sinh cấp ñộ vận dụng cao tư Bởi lẽ ñó, nhiều người học toán làm toán khác, tác giả trăn trở tìm kiếm ñường lối giảng dạy học tập ñơn giản trước phong phú dạng phương pháp làm toán bất ñẳng thức Thực nhiệm vụ năm học 2015-2016, kể từ tháng 06/2015, giảng dạy Toán chuyên, tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia, tập huấn học sinh dự thi chọn ñội tuyển thi Toán quốc tế, bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi cụm Duyên hải ðồng Bắc nhiều thi khác; ñó bất ñẳng thức nội dung tác giả ñã thực giảng dạy thu ñược kết tốt Trong trình này, tác giả cho hướng dẫn học sinh làm bất ñẳng thức với việc trọng phát huy lực cá nhân (ước lượng, phát giải vấn ñề) quan trọng việc cho học sinh học nhiều dạng kĩ thuật Mặt khác việc cố gắng hạn chế ñánh giá trung gian, hạn chế sử dụng bất ñẳng thức phụ giúp cho người làm toán nhìn thấy vẻ ñẹp nguyên gốc toán, ñồng thời nảy sinh sáng tạo từ gốc ñó Bất ñẳng thức ba biến với biểu thức dạng ñối xứng hay dạng hoán vị vòng thường xuyên xuất kì thi nên ñã từ lâu, trở thành nội dung bắt buộc dạy học toán chuyên 10 bồi dưỡng ñội tuyển Chúng ta thấy rõ ñiều qua ñề thi, chẳng hạn: Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 * Cho a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: 1 a b c  + + ( a + b + c )  + +  ≥   a b c b+c c+a a+b (Trích ñề thi HSG Quốc gia Việt Nam năm 2006) * Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 2 2 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c) ab + bc + ca + ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ ( a + b + c) ( ) (Trích ñề thi HSG Quốc gia Việt Nam năm 2015) * Cho a, b, c số dương thay ñổi cho a + b + c = abc Chứng minh rằng: b c a 1 1 3+ + + ≥  + +  + a b c a b c (Trích ñề thi HSG khu vực Duyên hải ðồng Bắc lần thứ IX năm 2015-2016) … Khi tiếp cận giải bất ñẳng thức dạng này, tác giả thấy việc vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương ñã góp phần giải ñược số nhận ñịnh ñã nêu, giúp phát huy lực chứng minh bất ñẳng thức học sinh ñược tốt Hơn thế, kĩ có ñược với phương pháp phân tích tổng bình phương giúp ích cho học sinh câu hỏi vận dụng cao ñề thi THPT Quốc gia Bởi lẽ ñó, sở giảng Bất ñẳng thức ba biến ñã thực hiện, tác giả lựa chọn báo cáo kinh nghiệm: “Phát triển lực chứng minh bất ñẳng thức ñại số cho học sinh giỏi Toán bậc trung học qua phương pháp phân tích tổng bình phương” Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 II Mô tả giải pháp: Trong phần này, báo cáo trình bày nội dung sau: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: 1.1 Cơ sở lí luận: Năng lực toán học thể chứng minh bất ñẳng thức 1.2 Tóm tắt số kiến thức bất ñẳng thức, phương pháp phân tích tổng bình phương tiêu chuẩn ñã có 1.3 Một số hạn chế mắc phải vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: 2.1 Phát triển lực phân tích tổng bình phương 2.2 Phát triển lực vận dụng tiêu chuẩn 2.3 Hướng sáng tạo từ việc vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương 2.4 Bài tập rèn luyện ðiểm sáng tạo sáng kiến so với tài liệu Bất ñẳng thức có trình bày phương pháp phân tích tổng bình phương là: o Việc thành thạo kĩ ước lượng bất ñẳng thức kĩ biến ñổi ñại số ñã hình thành kĩ thuật phân tích tổng bình phương phù hợp cho số dạng tập o Dựa nguyên tắc chung phương pháp phân tích tổng bình phương cho phép sáng tạo tiêu chuẩn S.O.S mới, khai thác tiêu chuẩn ñã có ñể tạo toán o Trong báo cáo thể 25 toán tác giả sáng tạo, số lượng phần ñã mô tả ñược cách thức sáng tạo, bạn ñọc theo hướng ñể tạo “tài nguyên” cho riêng Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến 1.1 Cơ sở lí luận: Năng lực Toán học thể chứng minh bất ñẳng thức Trong báo cáo sáng kiến năm 2014 bàn “Năng lực Toán học dạy học số phương pháp kĩ thuật ñiển hình tìm nguyên hàm, tích phân”, tác giả ñã có tìm hiểu khái niệm “năng lực”, “năng lực Toán học” Dưới ñây tác giả xin nêu lại vài ñiểm “năng lực Toán học” khả phát triển lực Toán học dạy học bất ñẳng thức 1.1.1- Khái niệm: Năng lực Toán học ñặc ñiểm tâm lí cá nhân, trước hết ñặc ñiểm hoạt ñộng trí tuệ ñáp ứng yêu cầu hoạt ñộng học Toán, tạo ñiều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực Toán học tương ñối nhanh chóng sâu sắc ñiều kiện Năng lực Toán học ñược xét theo hai góc ñộ: Một là: Năng lực nghiên cứu, sáng tạo Hai là: Năng lực học tập Toán học 1.1.2- Các thành phần lực Toán học: * Theo Kônmôgôrốp, thành phần lực Toán học bao gồm: - Năng lực biến ñổi khéo léo biểu thức chữ phức tạp; lực tìm ñược ñường giải toán, toán quy tắc chuẩn; lực tính toán - Trí tưởng tượng hình học - Suy luận logic theo bước ñã ñược phân chia cách ñúng ñắn nhau; có kĩ quy nạp, khái quát vấn ñề * Theo A.V.Cruchetxki ([13]), cấu trúc lực Toán học bao gồm: a) Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu Toán; nắm bắt cấu trúc toán b) Chế biến thông tin: - Năng lực tư logic phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian, tư với kí hiệu Toán học - Năng lực khái quát hóa ñối tượng – quan hệ - cấu trúc; lực rút ngắn trình suy luận tính toán - Tính mềm dẻo trình tư hoạt ñộng Toán - Khuynh hướng rõ ràng, giản ñơn, tiết kiệm hợp lí lời giải Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 - Năng lực thay ñổi nhanh chóng dễ dàng suy nghĩ theo dạng tương tự, dạng tư thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải toán theo nhiều khía cạnh khác nhau; lực phân chia trường hợp c) Lưu trữ thông tin: Ghi nhớ khái quát; chứng minh; nguyên tắc giải 1.1.3- Phát triển lực Toán học trình dạy học môn Toán bậc trung học Quá trình dạy học môn Toán, hai tuyến nhân vật giáo viên học sinh tác ñộng qua lại với thông qua nội dung chương trình Toán học Phát triển lực Toán học trình bao gồm: Phát triển lực Toán học cho giáo viên phát triển lực Toán học cho học sinh Theo nghiên cứu từ [11] – Tr.107-110, thấy rằng: a – Phát triển lực Toán học cho học sinh trình dạy học môn Toán bậc trung học gồm có: • Phát triển lực nhận dạng thể (khái niệm, ñịnh lí, phương pháp) • Phát triển lực hoạt ñộng phức hợp môn Toán: Chứng minh, ñịnh nghĩa, dựng hình, giải toán quỹ tích, tính toán ước lượng, … • Phát triển lực hoạt ñộng trí tuệ phổ biến môn Toán: Lật ngược vấn ñề, xét tính giải ñược, phân chia trường hợp, xét ñoán khả xảy ra… • Phát triển lực hoạt ñộng trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, ñặc biệt hóa, … • Phát triển lực hoạt ñộng ngôn ngữ: Phát biểu, giải thích lời; biến ñổi hình thức toán… • Phát triển lực tri giác thẩm mĩ: Thấy ñược vẻ ñẹp nội Toán học, nâng cao tình yêu với môn học b – Phát triển lực Toán học cho giáo viên trình dạy học môn Toán trường THPT: • Trước hết người dạy Toán phải học sinh học Toán, cần tự phát triển, bồi dưỡng nhóm lực Toán học ñối với người học sinh • Hơn thế, người giáo viên cần có lực nghiên cứu sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, toán mới) ñể nâng cao trình ñộ nghiệp vụ mình, giữ ñúng vai trò hình mẫu, người ñiều khiển (nhưng không làm thay chủ thể) trình dạy học Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 Tóm lại: Phát triển lực Toán học trình dạy học môn Toán tìm cách nâng cao ba yếu tố sau: Tri thức chuyên môn Toán, kĩ làm Toán, thái ñộ tình cảm ñối với môn Toán 1.1.3 – Phát triển lực chứng minh bất ñẳng thức ñại số qua phương pháp phân tích tổng bình phương a- Năng lực Toán học biểu hoạt ñộng chứng minh bất ñẳng thức: (i) Năng lực tính toán, biến ñổi biểu thức ñại số cách linh hoạt (ii) Năng lực phán ñoán, ước lượng, so sánh ñại lượng; phát giải so sánh hướng ñích cần thiết (iii) Năng lực ngôn ngữ: Lựa chọn sử dụng kí hiệu, phát biểu toán theo hình thức khác nhau, trình bày lời giải hợp lí… (iv) Năng lực sáng tạo: Khái quát kĩ thuật biến ñổi, kĩ thuật chứng minh, sáng tạo toán (tạo toán mới, làm chặt toán cũ,…) b- Phát triển lực cho học sinh qua phương pháp phân tích tổng bình phương: Trước hết ta tóm tắt kĩ thuật chứng minh bất ñẳng thức phương pháp phân tích tổng bình phương mà lí thuyết ñược trình bày mục 1.2.2 1.2.3 sau: Có hai khâu chính: 2 Khâu – ðưa toán dạng S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + S c ( a − b ) ≥ Khâu – Tìm kiếm ñánh giá xung quanh ñại lượng Sa , Sb , Sc ñể hoàn thiện chứng minh ðối chiếu theo lực Toán học chung ñã nêu, vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương, ta phát triển lực cụ thể sau người làm toán: - Phân tích thành tổng bình phương phù hợp cho toán - Phán ñoán, ước lượng Sa , Sb , Sc (tìm kiếm tiêu chuẩn) - Sáng tạo tiêu chuẩn phù hợp cho toán, sáng tạo toán từ việc nghiên cứu tiêu chuẩn ñã có - Mở rộng tri thức phương pháp: dùng kĩ thuật phân tích tổng bình phương toán ban ñầu tính ñối xứng Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 1.2 Tóm tắt số kiến thức bất ñẳng thức, phương pháp phân tích tổng bình phương tiêu chuẩn ñã có 1.2.1 – Một số bất ñẳng thức ñại số thường dùng: a Bình phương số thực số không âm: x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ b Bất ñẳng thức AM – GM: x + x + ⋯ xn n ≥ x1 x2 xn * Phát biểu: ∀x1 , x2 , , xn ≥ , n Dấu xảy x1 = x2 = x3 = ⋯ = xn a+b a+b+c * Hệ quả: + ∀a, b, c ≥ :   ≥ ab ,   ≥ abc     a b + ∀a, b > : + ≥ b a c Bất ñẳng thức Cauchy – Schwarz – Bunyakovsky: * Phát biểu: Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi ñó: ( a1b1 + a2b2 + ⋯anbn ) ≤ ( a12 + a22 + ⋯ + an2 )( b12 + b22 + ⋯ + bn2 ) ( ) Dấu xảy tồn số k cho = k bi ∀i = 1, n a12 a22 an2 ( a1 + a2 + ⋯ + an ) + +⋯ + ≥ * Hệ quả: + ∀ai , bi > i = 1, n , b1 b2 bn b1 + b2 + ⋯ + bn ( ) + ∀a, b, c ∈ ℝ : ( a + b ) ≥ ( a + b ) , 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c) + ∀a, b, c > : 1 1 + ≥ , + + ≥ a b a+b a b c a+b+c d Bất ñẳng thức Shur – Với a, b, c ≥ r > , ta có bất ñẳng thức: a r ( a − b )( a − c ) + b r ( b − a )( b − c ) + c r ( c − a )( c − b ) ≥ Dấu xảy số a, b, c có hai số số lại ba số Chứng minh: Không tổng quát coi a ≥ b ≥ c Khi ñó có: a r ( a − b )( a − c ) + br ( b − a )( b − c ) + c r ( c − a )( c − b ) = = cr ( a − c )( b − c ) + ( a − b ) a r ( a − c ) − br ( b − c )  ≥ , có ðPCM Hệ - Khi r = (còn gọi bất ñẳng thức Shur bậc 3) ta có: • a + b3 + c + 3abc ≥ ∑ ab ( a + b ) cyc • ( a + b + c) + 9abc ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 1.2.2 – Tóm tắt sở lí thuyết phương pháp phân tích tổng bình phương: Sơ lược lịch sử: Xuất phát từ ý tưởng ñơn giản là: ðể chứng minh biểu thức chứa biến không âm, ta biến ñổi biểu thức ñó thành tổng (hoặc tích) ñại lượng không âm – ñó tổng bình phương Ý tưởng ñược người yêu toán qua trang mạng http://www.artofproblemsolving.com khai thác mạnh vào năm 2005 trở ñi, sau ñó tác giả Vasile Cirtoaje gián tiếp trình bày cách rời rạc qua số ví dụ lời giải “Algebraic Inequalities – Old and New Methods” – nhà xuất GIL năm 2006 Năm 2009, tác giả Phạm Kim Hùng ñã trình bày lại kĩ thuật cách có hệ thống với việc sở lí thuyết biểu diễn nêu tiêu chuẩn S.O.S (sum of square) “Sáng tạo Bất ñẳng thức” (bản tiếng Việt tiếng Anh) Cho ñến phương pháp ñang tiếp tục ñược nghiên cứu ñược coi phương pháp chứng minh bất ñẳng thức ñại Quy ước: Trong báo cáo xét biểu thức với ba biến dương (hoặc không âm) giải thích thêm ðịnh nghĩa – Biểu thức ñối xứng ba biến - Biểu thức F ( a; b; c ) gọi biểu thức ñối xứng ba biến F ( a; b; c ) = F ( a / ; b/ ; c / ) với ( a / ; b/ ; c / ) hoán vị ( a; b; c ) - Biểu thức ñối xứng ba biến F ( a; b; c ) gọi biểu thức ñối xứng ba biến chuẩn với số thực dương x, có F ( x; x; x ) = ðịnh nghĩa – Biểu thức nửa ñối xứng ba biến - Biểu thức G ( a; b; c ) biểu thức nửa ñối xứng ba biến G ( a; b; c ) = G ( a; c; b ) với ( a; b; c ) - Biểu thức nửa ñối xứng ba biến G ( a; b; c ) gọi biểu thức nửa ñối xứng ba biến chuẩn với cặp số thực dương x, y, có G ( x; y; y ) = ðịnh lí – Sự tồn biểu diễn sở ñối với lớp ña thức ñối xứng chuẩn Nếu F ( a; b; c ) ña thức ñối xứng ba biến chuẩn tồn ña thức nửa ñối xứng ba biến G(a; b; c) cho 2 F ( a; b; c ) = G ( a; b; c )( b − c ) + G ( b; c; a )( c − a ) + G ( c; a; b )( a − b ) Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 > 1 a + b + c + 3abc − 1 1 + + − 2 + +  + = ab bc ca abc a b c Ta nhắc lại BðT Schur bậc ba: Với a, b, c > , ta có ( a + b + c ) − ( a + b + c )( ab + bc + ca ) + 9abc ≥ , mà ab + bc + ca = nên abc ≥ ( a + b + c )  − ( a + b + c )  , suy a + b + c + 3abc − ≥ ( a + b + c − ) + = ( a + b + c )  − ( a + b + c )  = ( − a − b − c )( a + b + c − 1)( a + b + c + 3) (*) Ta có ( a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca ) = nên a + b + c ≥ > - Nếu a + b + c ≥ hiển nhiên a + b + c + 3abc − > - Nếu < a + b + c < (*) suy a + b + c + 3abc − > Vậy S a Sb + Sb S c + S c S a > Như vậy: • Từ 2( Sa + Sb + Sc ) > suy có tổng S a + Sb , Sb + S c , Sc + S a dương Chẳng hạn S a + Sb > , ñó từ ñồng thức S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + Sc ( a − b ) = 2 ( Sa + Sb )( b − c ) + Sb ( a − b )  + ( S a Sb + Sb Sc + Sc S a )( a − b ) = S a + Sb 2 chứng minh suy ðPCM: Sa ( b − c ) + Sb ( c − a ) + Sc ( a − b) ≥ 2 Ví dụ 30 (thi HSG khu vực Duyên hải ðồng Bắc bộ, năm 2015-2016) Cho ba số dương a, b, c thay ñổi thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh b c a 1 1 3+ + + ≥ + +  + a b c a b c Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 49 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 Lời giải (của tác giả HS ðội tuyển Toán 10 tỉnh Nam ðịnh):  x, y , z >  1 1 Trước hết ta ñổi biến ( x; y; z ) =  ; ;  , có kiện  , cần a b c  xy + yz + zx = x2 y z 2 chứng minh BðT + + + ≥ ( x + y + z ) + (*) y z x x2 ( x − y) suy Từ − 2x + y = y y ∑ ( x − y) ⇔∑ ≥ (x + y + z) − + − (x + y + z) ( x − y) y cyc 2 y cyc x2 ( x − y ) + x + y + z , có (*) tương ñương: =∑ ( ) ∑ y cyc y ≥ (x + y + z) − + − (x + y + z) x+ y+z+ Có ( x + y + z ) − = ( x + y + z ) − 3( xy + yz + zx) = ∑ 2 cyc ( x − y) Vậy:     1 1 1   − + ( y − z) + − + ( *) ⇔ ( x − y ) +  y x + y + z + 2  z x + y + z + 2     ( ) ( )   1 1  + ( z − x) + − ≥ x x+ y+ z + 2   Ta kí hiệu ( Sx = 1 + − , z x+ y+z+ Sy = 1 + − , x x+ y+z+ Sz = 1 + − , y x+ y+z+ ( ) ) ( ) ( ) kí hiệu S = S x ( y − z ) + S y ( z − x ) + S z ( x − y ) Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong 2 Trang 50 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 { } Không tổng quát, coi x = max { x, y, z} , ñó S y = Sx , S y , S z Trường hợp – Nếu S y ≥ có S x , S y , S z ≥ ⇒ S ≥ Trường hợp – Nếu S y = 1 1 + − < − < ⇒ x > x x+ y+z+ x ( ⇒ = xy + yz + zx > y + z ⇒ y + z < Do ñó có 1 1 ⇒ y, z < ⇒ , > 2 y z Sx + Sy = 1 + + −1 > −1 =1, z x x+ y+z+ S y + Sz = 1 + + −1 > −1 = , x y x+ y+z+ Sy +1 = Lại có: ) 1 + + > x x+ y+z+ ( ) S = Sx ( y − z ) + S y ( z − x ) + Sz ( x − y ) = 2 2 2 = Sx ( y − z ) + S y ( x − y ) + ( x − y )( y − z ) + ( y − z )  + Sz ( x − y ) =   = ( S x + S y ) ( y − z ) + ( S y + S z ) ( z − x ) + S y ( x − y )( y − z ) 2 ( ) ( )( Theo BðT AM – GM: ( y − z ) + Sy + Sz ( z − x) ≥ Sx + Sy Sy + Sz 2 ) ( x − y)( y − z) , mà ( x − y )( y − z ) ≤ ( x − y )( y − z ) ⇒ 2S y ( x − y )( y − z ) ≥ 2S y ( x − y )( y − z ) nên S ≥ ( x − y)( y − z)  ( Sx + Sy )( Sy + Sz ) + Sy  ≥ ( x − y)( y − z) 1+ Sy  ≥ ðPCM   Nhận xét: So sánh hai BðT cần chứng minh Ví dụ 29 Ví dụ 30 ta dễ dàng nhận thấy “nét tương ñồng”, nhiên cách xử lí ∑S ( y − z) x ≥ ñã tiến hành theo hướng khác Ở Ví dụ 29 dựa theo tiêu chuẩn S.O.S Ví dụ 30 không tuân theo tiêu chuẩn ñã trình bày, tiềm ẩn ñó tiêu chuẩn hoàn toàn ñược nêu mục 2.3 ðiều khẳng ñịnh “thuộc tiêu chuẩn” không quan trọng việc nắm vững “hai vấn ñề cốt lõi” ñã trình bày từ ñầu mục 2.2, tùy toán mà người giải có triển khai thích hợp theo sáng tạo riêng Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 51 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 2.3 Hướng sáng tạo từ việc vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương 2.3.1 – Sáng tạo toán dựa phân tích tiêu chuẩn S.O.S Có hai ñịnh hướng mà tác giả ñã thực ñể tạo toán theo phương pháp S.O.S, ñó là: + Từ kết phân tích S.O.S toán ñã giải, làm chặt bổ sung giả thiết, ñổi biến ñể tạo toán + Xây dựng nhóm biểu thức S a , Sb , S c thỏa mãn tiêu chuẩn S.O.S ñể tạo toán Sau ñây hai ví dụ minh họa cho hai ñịnh hướng ñã nêu Ví dụ 31 Ta khai thác kết phân tích Ví dụ chứng minh BðT Nesbitt: a b c 1 (a − b)  a + + − = ∑ − =∑ ≥ b + c c + a a + b cyc  b + c  cyc ( c + a )( c + b ) * Sử dụng BðT AM – GM cho ñại lượng mẫu thức:  c + a + c + b  ( a + b + 2c ) • ( c + a )( c + b ) ≤  ,  = 2   2 • ( c + a )( c + b ) ≥ 2.2 ca cb = 8c ab - Ta thu ñược toán sau: [PBP-09] Chứng minh với số thực dương a, b, c, ta có: 2a (a − b)  a−b  + 2∑  ≤3+ ∑  ≤∑ cyc c ab cyc  a + b + 2c  cyc b + c 2 - Bổ sung ñiều kiện a + b + c = ta có: [PBP-10] Với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 1, ta có: 2 a b c  a −b b−c c−a  + + ≥ +  +  +  1− a 1− b 1− c  1+ c   1+ a   1+ b  Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 52 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 - Thực ñổi biến ( a; b; c ) ( p − a; p − b; p − c ) , từ [PBP-05] thu ñược: [PBP-11] Chứng minh với a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi, S diện tích, R r bán kính ñường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ñó thì:  a −b b+c c+a a +b ( a − b) + + ≤3+ ∑ i) + ∑   ≤ cyc  a + b  a b c cyc ( p − c ) ( p − a )( p − b ) 2 p + r − Rr (a − b)  a−b ii) + 2∑  ≤ ≤ + ∑  Rr 8S cyc p − c cyc  a + b  2 * Sử dụng BðT Cauchy - Schwarz cho ñại lượng mẫu thức: • ( c + a )( c + b ) ≥ ( c + • ( c + a )( c + b ) ≥ ( ab ) cb + ac , ) =c ( ) a + b , ta có toán: 2a  a −b  ≤ + ∑ [PBP-12] ∀a, b, c > , ∑  cyc b + c cyc  c + ab  2a 1 a − b  ≤3+ ∑  [PBP-13] ∀a, b, c > , ∑  a+ b cyc b + c cyc c  Ví dụ 32 Xây dựng toán theo cấu trúc S = Sc ( a − b) + Sa ( b − c) + Sb ( c − a) ≥ 2 cách lựa chọn biểu thức S a , Sb , S c thỏa mãn tiêu chuẩn S.O.S ðể thao tác nhanh xác trình thu gọn S, ñối với giáo viên sử dụng phần mềm Toán hỗ trợ, chẳng hạn sử dụng Wolfram Mathematica 8.0 với gói lệnh Expand, Factor ðiều quan trọng sau có S, cần xếp lại nhóm biểu thức thay ñổi hình thức cho giả thiết bổ sung Trong ví dụ 32 ta minh họa việc tạo toán từ tiêu chuẩn S.O.S 5: * Theo tiêu chuẩn 1: S a , Sb , S c ≥ ( ) Chọn Sc = c3 + ca2 − c 2a = c c − ca + a > , Sa = a + ab2 − a 2b , Sb = b3 + bc − b 2c , Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 53 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 ta thu ñược: S = ∑ a 3b3 + ∑ ab + 2abc∑ ab − 4abc∑ a cyc cyc cyc cyc Ta có toán sau: [PBP-14] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: + 2a + 2b + 2c + + + ab + bc + ca ≥ ( a + b2 + c ) 3 a b c [PBP-15] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: i)   1  10 +  + +   ∑ ab3 ( a + b )  ≥ ( a + b + c )  a b c   cyc  ii) + ab4 + bc4 + ca4 +10 ≥ 4( a + b + c) + (1+ a2 )(1+ b2 )(1 + c2 ) abc * Theo tiêu chuẩn 5: S a + Sb + S c ≥ S a Sb + Sb S c + S c S a ≥ Chọn S a = b − c + , Sb = c − a + , Sc = a − b + ( ) Ta có S a + Sb + S c = > Sa Sb + Sb Sc + Sc Sa = + ab + bc + ca − a2 + b2 + c , S = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 3∑ ( ab − a 2b ) Bây ta lựa chọn ñiều cyc kiện ñể ñảm bảo S a Sb + Sb S c + S c S a ≥ , lưu ý ∑ ( ab − a 2b ) = ( a − b )( b − c )( c − a ) cyc có BðT S ≥ ñúng Dưới ñây số kết thu ñược: [PBP-16] Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b2 + c = Chứng minh ( a − b )( b − c )( c − a ) + ≥ ( ab + bc + ca ) Khi a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca) nên có toán: [PBP-17] Cho a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a + b + c + ( a − b )( b − c )( c − a ) ≥ Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 54 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 [PBP-18] Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 2 ( a − b ) + (b − c ) + ( c − a ) ≤ Chứng minh ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + 3( a − b )( b − c )( c − a ) ≥ 2 x + y + z = [PBP-19] Cho x, y, z số thực tùy ý thỏa mãn  2 x + y + z ≤  2 Chứng minh x + y + z + xyz ≥ 2.3.2 – Sáng tạo toán dựa việc khai thác tiêu chuẩn ñã có Trong phần này, ta xem xét lại lời chứng minh tiêu chuẩn theo ý tưởng: Nếu dấu S ñược suy từ ñiều kiện nhóm biểu thức A, B, C … biểu diễn S (ñẳng thức) biểu thức A, B, C, … ñó Trên sở ñẳng thức ta xây dựng BðT Ta xét tiêu chuẩn 5: Khi nói tiêu chuẩn 5, […] tác giả Phạm Kim Hùng gợi ý việc sử dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc hai, phần 1.2.3 báo cáo này, tác giả ñã nêu cách chứng minh dựa ñẳng thức Diễn ñạt lại trình sau: Xét S = S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + S c ( a − b ) S a + Sb ≠ , có ñẳng thức: 2 2   S S +S S +S S Sb S = ( S a + S b ) ( b − c ) + ( a − b ) + a b b c c a ( a − b ) S a + Sb S a + Sb   Khai thác: Ta viết lại ñẳng thức thành ( Sa + Sb ) S = ( c − a ) Sb + ( c − b ) Sa  + ( a − b ) ( S a S b + Sb S c + S c S a ) Ta có hai ñẳng thức tương tự cộng vế chúng lại thu ñược: 2 ( S a + Sb + Sc ) S = ( c − a ) Sb + ( c − b ) Sa  + ( b − a ) Sc + ( b − c ) S a  + 2 + ( a − b ) Sc + ( a − c ) Sb  + ( Sa Sb + Sb Sc + Sc Sa ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) (I) Từ ñẳng thức (I) ta thu ñược số kết sau: [PBP-20] Với số thực a, b, c biểu thức Sa, Sb, Sc, có: 2 ( Sa + Sb + Sc )  Sa ( b − c ) + Sb ( c − a ) + Sc ( a − b )  ≥ ≥ ( Sa Sb + Sb Sc + Sc S a ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 55 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 [PBP-21] Với số thực a, b, c biểu thức Sa, Sb, Sc thỏa mãn Sa + Sb + Sc = a + b + c − ab − bc − ca , có: S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + S c ( a − b ) ≥ S a Sb + S b S c + S c S a 2 [PBP-22] Với số thực a, b, c, x, y, z tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0, chứng minh: ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) ≥ ( ab + bc + ca ) ( x + y + z ) [PBP-23] Với số thực a, b, c, x, y, z tùy ý, chứng minh: ( x + y + z )( a + b2 + c + ab + bc + ca ) + ( xy + yz + zx )( ab + bc + ca ) ≥ ( a + b + c ) a ( x + yz ) + b ( y + zx ) + c ( z + xy ) * Lựa chọn S a = 2b − c, Sb = 2c − a, Sc = 2a − b ta có toán: [PBP-24] Chứng minh với ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca , có: ( ab + bc + ca ) a+b+c ≥ a ( a − b )( 4b − a ) + b ( b − c )( 4c − b ) + c ( c − a )( 4a − c ) * Chuẩn hóa toán ñược: [PBP-25] Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện ( xy + yz + zx) ≥ x x − y y − x + y y − z 4z − y + z z − x 4x − z x + y + z = ( )( ) ( )( ) ( )( ) x+ y+z 2 2 * Lựa chọn Sa = b − bc, Sb = c − ca, Sc = a − ab Sa + Sb + Sc = a + b + c − ab − bc − ca , Sa Sb + Sb Sc + Sc Sa = a 2b + b2c + c a − ab3 − bc3 − ca3 , thay vào BðT [PBP-21] làm gọn ta có toán sau: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ 3( ab3 + bc3 + ca3 ) Bài toán tác giả Vasile Cirtoaje nêu lời giải tác giả dựa tam thức bậc hai vô phức tạp ðây bất ñẳng thức khó ñóng vai trò Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 56 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 quan trọng nhiều BðT ba biến không ñối xứng ñưa ñối xứng Với cách sử dụng ñẳng thức (I) ta tìm ñược dấu BðT ( a; b; c ) tỉ lệ 4π 2π π  với (1;1;1)  sin ;sin ;sin  hoán vị Chính “lệch tâm” 7 7  ñiều kiện xảy dấu mà việc sử dụng tiêu chuẩn S.O.S thông thường không giải ñược toán Như vậy, với việc khai thác lời chứng minh tiêu chuẩn S.O.S cho ta toán lớn Việc lựa chọn biểu thức cụ thể ñể thay vào kết [PBP20, 21, 22, 23] thu ñược BðT nhiều biến khó, bạn ñọc theo cách tìm kiếm kết riêng 2.3.3 – Sáng tạo tiêu chuẩn Trong phần này, báo cáo bàn việc tìm kiếm tiêu chuẩn mới, ñây ñiều tác giả ñộng viên học sinh giải toán BðT nhắm tạo công cụ mang màu sắc cá nhân Việc sáng tạo tiêu chuẩn không nằm nguyên tắc ñã nêu “Vấn ñề – Về mặt kĩ thuật” ñã nêu mục 2.2 Với hướng giải ñã trình bày Ví dụ 30 ta có khái quát sau: Tiêu chuẩn S.O.S - 6: Xét S = S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + S c ( a − b ) , ñó S a , Sb , S c biểu 2 S + S ≥ b  a thức ẩn a, b, c Khi ñó S ≥ xảy  Sb + Sc ≥   ( S a + Sb )( Sb + Sb ) − Sb ≥ Chứng minh: 2 2 Ta có S = Sa ( b − c ) + Sb ( b − c ) + ( b − c )( a − b ) + ( a − b )  + Sc ( a − b )   = ( S a + Sb ) ( b − c ) + ( Sb + S c ) ( a − b ) + Sb ( a − b )( b − c ) ≥ ≥2 = 2  ( Sa + Sb )( Sb + Sc ) ( a − b )( b − c ) − Sb ( a − b )( b − c ) = ( Sa + Sb )( Sb + Sb ) − Sb  ( a − b )( b − c ) ≥ , có ðPCM Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 57 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016  S a + Sb ≥ α >  Hệ quả: Nếu  Sb + Sc ≥ β > S ≥  S ≤ αβ  b Bây ta xét S = S a ( b − c ) + Sb ( c − a ) + S c ( a − b ) biểu thức dạng hoán 2 vị, tức S ( a; b; c ) = S ( b; c; a ) = S ( c; a; b ) Ta xét phân tích: (b − c ) = ( b − c )( b − a + a − c ) = ( b − c )( b − a ) + ( b − c )( a − c ) Khi ñó S = ( a − b) ( a − b) Sc − ( b − c) Sa  + ( a − c) ( b − c) Sa − ( c − a) Sb  , từ ñây có: Tiêu chuẩn S.O.S - 7: Nếu a số lớn (hoặc bé nhất) ba số a, b, c, ñồng thời ( a − b ) Sc − ( b − c ) Sa  ( b − c ) Sa − ( c − a ) Sb  ≥ S ≥ Mở rộng tiêu chuẩn 2: Xuất phát từ ý tưởng sử dụng BðT AM-GM: ( a − c) = ( a − b) + ( b − c) 2 + 2( a − b)( b − c) ≤ ( a − b) + ( b − c) 2 ( a − b) + + α2 ( b − c) α với 1  2  α > Khi Sb ≤ S ≥ ( a − b )  Sc + 1 +  Sb  + ( b − c )  S a + (1 + α ) Sb   α   Từ BðT ta có: Tiêu chuẩn S.O.S - 8:  S a ≥ 0, Sc ≥  Nếu có số dương α thỏa mãn αSc + (1 + α ) Sb ≥ S ≥   S a + (1 + α ) Sb ≥  Sb ≤  Nếu có số dương α thỏa mãn αSc + (1 + α ) Sb ≥ S ≥   S a + (1 + α ) Sb ≥ Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 58 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 2.4 Bài tập rèn luyện: Bài tập Cho a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: a 3b3 + b3c + c 3a ≥ ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ( a + b3 + c ) Bài tập Cho a, b, c thuộc [3; 4] Chứng minh ( a + b + c )  ab bc ca  + +  ≥ 3( a + b2 + c ) a b   c Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh a ( b + c ) − bc b ( c + a ) − ca c ( a + b ) − ab + + ≥ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 Bài tập Cho a, b, c ≥ (không có hai số ñồng thời 0), chứng minh: 2a + bc 2b + ca 2c + ab + + ≥ b2 + c2 c + a2 a + b2 Bài tập Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1  ( ab + bc + ca ) 13 + + ≥ + a b b c c a + + +   (a + b + c) ( a + b + c )  Bài tập Cho a, b, c ≥ Chứng minh 4a 2b c ≥ ( a + b3 + c + abc ) ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) Bài tập (IMO 2005) Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz ≥ 1, chứng minh rằng: x5 − x y5 − y z5 − z + + ≥ x5 + y + z y5 + z + x2 z + x2 + y Bài tập Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a (b + c ) b(c + a) c(a + b) + + ≥ 2 b + bc + c c + ca + a a + ab + b Bài tập Cho a, b, c không âm, chứng minh rằng: a + b + c + 3abc ≥ bc 2b + 2c + ca 2c + a + ab a + 2b Bài tập 10 Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 2   ( a − b) (b − c) ( c − a) a2 b2 c2 + + + ≤ + +  2 2 2 + 2c2 + 2a2 + 2b2  − ( b + c ) − ( c + a ) − ( a + b )  Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 59 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 III Hiệu sáng kiến mang lại: Hiệu mặt kinh tế: Khó ño lường Hiệu mặt xã hội: - Các nội dung báo cáo sáng kiến ñã ñược tác giả thực giảng dạy cho ñối tượng học sinh: Học sinh chuyên Toán, học sinh dự thi HSG Quốc gia, học sinh dự thi chọn ñội tuyển thi Toán Quốc tế, ñội tuyển Toán 10 tỉnh Nam ðịnh dự thi HSG khu vực Duyên hải ðồng Bắc nhiều kì thi HSG Toán học khác năm học 2015-2016 Qua chuyên ñề ñã học, học sinh có kĩ xử lí bất ñẳng thức ba biến tốt có ñược kết cao kiểm tra ñội tuyển kì thi ðặc biệt, kì thi HSG khu vực Duyên hải ðồng Bắc có toán ñã nêu Ví dụ 30 ñược coi câu phân loại HSG với số lượng thí sinh làm ñược ít, ñội tuyển Nam ðịnh có 2/3 học sinh giải ñược toán theo tiêu chuẩn ñã trình bày hoàn toàn khác biệt với cách giải ñáp án thí sinh ñơn vị khác (ñáp án không theo phương pháp S.O.S mà sử dụng bất ñẳng thức phụ khó) Sự khác biệt góp phần ñịnh thành tích hai Huy chương Vàng, Huy chương ðồng cho ñội Nam ðịnh - Những ñịnh hướng sáng tạo trình bày báo cáo giúp học sinh giáo viên tạo kết lạ, tài liệu hữu ích cho công tác dạy học cho ñối tượng HSG bậc trung học Do ñơn giản ý tưởng phương pháp S.O.S mà nội dung ñã trình bày sáng kiến áp dụng rộng rãi cho cấp THCS THPT nhằm nâng cao lực làm Toán tăng thêm say mê với môn Toán IV Cam kết không chép vi phạm quyền: Những nội dung trình bày báo cáo hoàn toàn phát triển riêng tác giả dựa tảng chung lí luận dạy học môn phương pháp phân tích tổng bình phương S.O.S, tác giả xin cam kết không chép vi phạm quyền người khác Nam ðịnh, tháng năm 2016 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Phạm Bắc Phú Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 60 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 61 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ðoàn Quỳnh, Nguyễn Huy ðoan (chủ biên) ðại số 10 Nâng cao NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [2] ðoàn Quỳnh, Nguyễn Huy ðoan (chủ biên) Bài tập ðại số 10 Nâng cao NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [3] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (chủ biên) ðại số 10 NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [4] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (chủ biên) Bài tập ðại số 10 NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [5] ðoàn Quỳnh (chủ biên) Tài liệu chuyên Toán ðại số 10 NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2012 [6] ðoàn Quỳnh (chủ biên) Tài liệu chuyên Toán Bài tập ðại số 10 NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2012 [7] Phạm Kim Hùng Sáng tạo Bất ñẳng thức NXB Hà Nội, năm 2006 [8] Vasile Cirtoaje Algebraic Inequalities – Old and New Methods GIL Publishing House ISBN 973 – 9417 – 66 – 3, 2006 [8] Zdravko Cvetkovski Inequalities – Theorems, Techniques and Selected Problems Springer 2012 Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [9] [10] Hojoo Lee Topics in Inequalities 2005 [11] Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn Toán NXB ðại học Sư phạm, năm 2004 [12] Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn Toán, Phần hai: Dạy học nội dung NXB Giáo dục, năm 1994 [13] V.A.Cruchetxki Tâm lí lực Toán học học sinh NXB Giáo dục, năm 1973 Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 62 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 [14] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán lớp 10, 11, 12 NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2009 [22] Bộ Giáo dục ðào tạo Chương trình chuyên sâu THPT chuyên, môn Toán Hà Nội – 2009 [23] Các trang, diễn ñàn từ Internet: www.mathvn.com, www.vnmath.com, http://boxmath.vn, http://diendantoanhoc.net, http://dethi.violet.vn, http://www.artofproblemsolving.com … Các ñề thi HSG Toán quốc gia, ñề thi HSG Toán Quốc tế, IMO Shortlist, … Gv Phạm Bắc Phú – THPT chuyên Lê Hồng Phong Trang 63 ... chặt toán cũ,…) b- Phát triển lực cho học sinh qua phương pháp phân tích tổng bình phương: Trước hết ta tóm tắt kĩ thuật chứng minh bất ñẳng thức phương pháp phân tích tổng bình phương mà lí thuyết... môn Toán, kĩ làm Toán, thái ñộ tình cảm ñối với môn Toán 1.1.3 – Phát triển lực chứng minh bất ñẳng thức ñại số qua phương pháp phân tích tổng bình phương a- Năng lực Toán học biểu hoạt ñộng chứng. .. trình Toán học Phát triển lực Toán học trình bao gồm: Phát triển lực Toán học cho giáo viên phát triển lực Toán học cho học sinh Theo nghiên cứu từ [11] – Tr.107-110, thấy rằng: a – Phát triển lực