Tuyển tập công thức thủ thuật tính nhanh – môn Toán CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN Số điện thoại: 0975 306 275 Bài toán bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  *  cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Phương pháp chung:  Bước 1: Tìm tập hợp  H  điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện  *   Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M   H  cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ y Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vuông tô đậm hình vẽ bên Môđun lớn số phức z -1 O A z max  B z max  2 C z max  D z max  -1 Lời giải: z max nửa độ dài đường chéo hình vuông cạnh  Chọn đáp án C Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vuông tô đậm hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z  B z  C z  z D z  x y -1 O x -1 Lời giải:  , điểm biểu diễn điểm O  Chọn đáp án A Ví dụ 3: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình tròn tô đậm hình vẽ bên Môđun lớn số phức z A z max  B z max  C z max  y x O D z max  Lời giải: Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên OA  OB  z  OB  Vậy z max   Chọn đáp án C y A x O B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan VÍ DỤ MINH HỌA Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Ví dụ 4: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ phần tô đậm (kể đường viền) Môđun nhỏ số phức z A z  B z  2 C z  D z  3 Lời giải: y x A x Vậy z   Chọn đáp án A O y x Elip có độ dài trục nhỏ 2b   z O Lời giải:   Chọn đáp án A Ví dụ 6: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình elip tô đậm hình vẽ bên Môđun lớn số phức z A z max  B z max  y x Elip có độ dài trục lớn 2a   z max O Lời giải:   Chọn đáp án B y Ví dụ 7: Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng  hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 D 2 d x O Lời giải: Phương trình d : x  y    M  d Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z   z  OM   Vì M  d : x  y    M  t ;1  t  Vậy z  2 D z max  C z max  Suy z  t    t  D z  C z  2 B Ví dụ 5: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z  B z  C y Tam giác OAB có góc OBA góc tù nên OA  OB  z  OB  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan O 2  1  1 1  2t  2t    t  t      t     4 2   2 2  Chọn đáp án D Tuyển tập công thức thủ thuật tính nhanh – môn Toán MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z   a  bi   c ,  c   , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải: z   a  bi   c ,  c    Tập hợp điểm M biểu diễn số y phức z đường tròn có tâm I  a; b  bán kính R  c max z  OM  OI  R  a  b  c   2 z  OM  OI  R  a  b  c   b I R M1 x Tìm tọa độ điểm M1 , M2 (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ O nhất, lớn nhất) a  Phương trình đường tròn  C  quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là: C  :  x  a    y  b  2  c2  Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O , I là: d : Ax  By  C  Khi đó, M1 , M2 giao điểm  C  d 2   x  a    y  b   c  hai nghiệm  tọa độ hai điểm Giải hệ phương trình:    Ax  By  C  So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O, khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M1 điểm lại điểm M2 Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r ,  r   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z  max z   Giải:  min z    z2 r  z1 z1 z2 r  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Nếu số phức z thỏa mãn z   4i  z có giá trị lớn A Tập hợp điểm M  z  C D Lời giải: đường tròn có tâm I  2;  bán B 13 y kính R  M Vậy max z  OM  OI  R  22  42   5  Chọn đáp án A Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ bao nhiêu? Trả lời: z  ON  OI  R  22  42   Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn Trả lời: Phương trình đường thẳng OI y  2x O I N x https://www.facebook.com/ThayCaoTuan z  OM Khi đó:   M2 R Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình:  y  x  y  x    2 2  x     y     x     x   x   N  1;   y   y  x     x  5  x  x     M  3;    y   Số phức z có môđun lớn z   6i ứng với điểm M  3;   Số phức z có môđun nhỏ z   2i ứng với điểm N  1;  Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN – Lần 1]: Nếu số phức z thỏa mãn 1  i  z   i  z có giá trị lớn https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A B C Lời giải:   7i   Ta có:   i  z   i   1  i   z   i   D   i z    4i    z    4i    z    4i   Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  3;  bán kính R  Vậy max z  OI  R  32  42    Chọn đáp án D Ví dụ 3: Nếu số phức z thỏa mãn A 2  3i z   z có giá trị nhỏ  2i B C D Lời giải: 2  3i z    iz    i z    z  i   z   i   Ta có:  2i i Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  0; 1 bán kính R  Vậy max z  OI  R  02   1    Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z2 Gọi I  z1  , A  z2  , M  z  Lời giải:  max P  AM1  r1  r2 Khi đó: IA  z1  z2  r2    min P  AM2  r1  r2 y A M2 Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M1 , M2 đường tròn  I , r1  với đường thẳng AI I M1 x O Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r1 ,  r1   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z  z3 Giải: max P  z r z2 r  z3  P   z3  z1 z1 z1 z1 Tuyển tập công thức thủ thuật tính nhanh – môn Toán VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z   i A B C Lời giải: D Ta có: z   2i  z    2i    r1 z   i  z   1  i  z1 z2  z1  z2    2i    1  i    r2  z   i     Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z  5i  , số phức có z nhỏ có phần ảo B Tập hợp điểm M  z  C Lời giải: đường tròn có tâm D y M I  0;  bán kính R  Vì z  OM nên số phức z có môđun nhỏ I z  2i ứng với điểm M1  0;   Chọn đáp án C M1 x -4 -3 -2 -1 O Ví dụ [Trích đề thi HK – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  , gọi z  a  bi ,  a, b   số phức có z  4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P  a  b   A P   B P    C P   2 D P   2 Lời giải: Ta có: z   2i  z    2i    I  2; 2  z  4i  z   4i   A  0; 4  z1 z2 Tập hợp điểm M  z  đường tròn có tâm I  2; 2  bán kính r1  Phương trình đường thẳng IA là: x  y   Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y  x   x  y    y  x   1    2 2  x     y     x     x      x      y  x  x   x     1  1     2    M1   ; 2  ; M2   ; 2     2 2   x     y  2   y  2     2 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan bao nhiêu? A Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275    AM1      Khi đó:   AM          2  AM1  AM2  M2 điểm biểu diễn số phức cần tìm 1  ;2  2  a  2    z  a  bi   z  2   2    P  a  b      Chọn đáp án A  i  2  2 b  2    ;2 Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  k ,  k   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn https://www.facebook.com/ThayCaoTuan P  z Lời giải: Gọi M  z  , M1  z1  , M2  z2  Khi đó: z  z1  z  z2  k  MM1  MM2  k  M  elip  E nhận M1 , M2 làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a Vì chương trình Toán 10, học elip có hai tiêu điểm F1  c;  , F1  c;  nên thường đề cho dạng: z  c  z  c  k ,   c , k    M  elip  E  nhận F1  c;  , F1  c;  làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k  2a  k  z max  a    k  4c z  b   Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  z1 z  z2  k ,  k   Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P  z k  z2 k Giải: max z  z  z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Trong tất số phức z thỏa mãn z   z   10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P  M  m2 A P  6 B P  13 C P  5 Lời giải: 10  5 D P  4   M  z max Áp dụng công thức trên, ta có:   P  M  m2   32  4 2 10  4.4 m  z  3   Chọn đáp án D Tuyển tập công thức thủ thuật tính nhanh – môn Toán Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  m  ni z1  z2  p  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 Lời giải:  z  a  bi a  c  m  z1  z2  a  c   b  d  i  m  ni   Giả sử:  c  d  n  z2  c  di Ta có: z1  z2  a  c   b  d  i  z1  z2   a  c    b  d   p 2 Khi đó: P  z1  z2  a2  b2  c  d2  Mà a  b  c  d 2  2  2        12  a2  b2  c  d2   a2  b2  c  d2    a  c  b  d  a  c   b  d  2 1 2 m2  n2  p2  VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN – Lần 4]: Với hai số phức phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 A B  C 26 Lời giải: D 34  Áp dụng công thức ta được: P  z1  z2  82  62  22  26  Chọn đáp án C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2  1; 2  B  1;  C 2; D  1;  Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu Trong số phức z thỏa mãn: z   4i  z số phức z có modul nhỏ 11 B z   2i C z  5  i D z  3  i  i 2 Câu Trong số phức z thỏa mãn: z   4i  z  2i số phức z có modul nhỏ A z  A z  2  2i B z  2  2i C z   2i D z   2i Câu Trong số phức z thỏa mãn: z   4i  z , biết số phức z  a  bi ,  a, b   có modul nhỏ Khi đó, giá trị P  a2  b 1 1 A P  B P  C P   D P   4 Câu Trong số phức z thỏa mãn: z   5i  z   i , biết số phức z  a  bi ,  a, b   có modul nhỏ Khi đó, tỉ số A B a b C D P   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Suy ra: a2  b2  c  d2  m2  n2  p2  P  m2  n2  p2  max P  m2  n2  p2 Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Giá trị lớn z  A  B  C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z  i A B Câu Cho số phức z thỏa mãn C D   i  z   Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z  A B 2 C D Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  10 Giá trị lớn z   4i https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Giá trị T  M  m2 A T  50 B T  64 C T  68 D T  16  ... thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Giá trị lớn z  A  B  C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z  i A B Câu Cho số. .. LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2  1; 2  B  1;  C 2; D  1;  Câu Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu Trong số phức z thỏa... công thức thủ thuật tính nhanh – môn Toán MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z   a  bi   c ,  c   , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải: z