PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài: Trong chương trình Toán THPT toán có liên quan đến xác suất phần quan trọng Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan Chính giảng dạy việc giúp cho học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực, tự lập học sinh biết áp dụng kiến thức học vào giải toán ứng dụng toán học vào thực tế cần thiết Xác suất biến cố nội dung quan trọng chương trình Toán phổ thông Sau học sinh học xong “xác suất biến cố ” thân muốn học sinh tìm xác suất toán, ứng dụng thực tế cách đơn giản, nên viết “ Một số dạng toán xác suất biến cố ” đại số - giải tích 11 giúp cho học sinh làm tập cách nhanh chóng xác Mục đích nghiên cứu: Nhằm hệ thống lại kiến thức xác suất biến cố để học sinh hiểu vận dụng tốt toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Một số kiến thức liên quan đến xác suất biến cố chương trình Đại số - giải tích 11 học sinh lớp 11 trường THPT Phạm Văn Đồng Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảng dạy, hệ thống lại kiến thức, mở hướng Trang Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình sử dụng kiến thức vào giải toán Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề Trang PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Khái niệm xác suất biến cố khái niệm học sinh Xác suất biến số đưa để đánh giá khả xảy biến cố Do đó, xác suất có biến cố gần hay xảy biến cố có xác suất gần thường xảy Khi nói đến việc tìm số yếu tố liên quan đến xác suất biến cố đại đa số học sinh làm toán yêu tìm xác suất biến cố học sinh nhiều lúng túng phải áp dụng quy tắc cộng xác suất hay quy tắc nhân xác suất hay dạng toán tổng hợp quy tắc công quy tắc nhân Vì chọn đề tài để nghiên cứu Nội dung đề tài chia thành mục: Chương I Một số kiến thức liên quan đến xác suất biến cố Chương II Một số toán liên quan đến xác suất biến cố Trang CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Phép thử, không gian mẫu - Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đoán trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử - Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu Biến cố Biến cố tập không gian mẫu Định nghĩa cổ điển xác suất - Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu n( A) hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số n(Ω) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) ta có P ( A) = n( A) n (Ω) Tính chất xác suất - P( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = - ≤ P ( A) ≤ , với biến cố A - Nếu A B xung khắc, P ( A  B ) = P ( A) + P ( B) Trang - Với biến cố A, ta có P ( A) = − P ( A) Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất Nếu xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố khác ta nói hai biến cố độc lập Tổng quát, hai biến cố ta có mối quan hệ sau: A B hai biến cố độc lập P ( A.B) = P ( A).P ( B) Trang CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Dạng toán 1: Bài tập xác suất dựa vào liệt kê phần tử, dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân dựa vào công thức tính hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ví dụ 1: Gieo ba đồng tiền cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau: a Mặt sấp xuất lần b Mặt sấp xuất lần Phân tích: Ta quy ước mặt có ghi chữ số mặt ngửa – kí hiệu N, mặt lại mặt sấp – kí hiệu S Bài giải: Gieo lần ba đồng tiền cân đối đồng chất Không gian mẫu phép thử là: Ω = { NNN, SNN, NSN, NNS, SSN, SNS, NSS, SSS} ⇒ n(Ω) = a Gọi A biến cố “ mặt sấp xảy lần” A = { SNN, NSN, NNS} ⇒ n( A) = Nên P ( A) = b Gọi B biến cố “ mặt sấp xuất lần” Trang B = { SSN, NSS, SNS} ⇒ n(B ) = Nên P( B) = Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người có nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người tổ Tìm xác suất để : a Hai người chọn nữ b Hai nguời chọn nam c Hai người chọn có nam nữ Bài giải: Tổng số học sinh tổ 12 người Chọn ngẫu nhiên người Vậy không gian mẫu có C12 = 66 phần tử a Gọi A biến cố “ hai người chọn nữ” Có C5 = 10 cách chọn nữ nữ Vậy P ( A) = 10 = 66 33 b Gọi B biến cố “ hai nam nam Vậy P( B) = 21 = 66 22 c Gọi C biến cố “ hai người chọn có nam nữ” Có C5 = cách chọn nữ nữ Trang Và có C7 = cách chọn nam nam Vậy P (C ) = 5.7 35 = 66 66 Ví dụ 3: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau : A: “ Xuất mặt chẵn” B : “ Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3” C: “ Xuất mặt có số chấm không nhỏ 3” Bài giải Không gian mẫu: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = Ta có: * A = { 2, 4, 6} nên n( A) = Vậy P ( A) = = * B = { 3, 6} nên n( B) = Vậy P( B) = = * C = { 3, 4, 5, 6} nên n( C) = Vậy P (C ) = = Trang Ví dụ 4: Có chín miếng bìa ghi từ đến Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa xếp theo thứ tự từ trái sang phải Tính xác suất biến cố sau : a A: “ Số tao thành số chẵn” b B : “ Số tạo thành số chia hết cho 5” c C: “ Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ chữ số hàng đơn vị” Phân tích: Với đề học sinh đọc đề không kỹ dẫn đến tìm sai số phần tử không gian mẫu học sinh không nhận có xếp thứ tự Đối với câu c học sinh tính số phần tử theo hai cách: theo tổ hợp theo quy tắc đếm Bài giải Mối kết phép thử chỉnh hợp chập phần tử Vậy, không gian mẫu gồm: Ω = A9 = 72 ⇒ n(Ω) = 72 ( kết đồng khả năng) a Kí hiệu số tạo thành là: n = ab Vì n ∈ A : nên b ∈ { 2, 4, 6, 8} Vậy có : cách chọn b có cách chọn a ( a ≠ b) Theo quy tắc nhân, ta có: n( A) = 4.8 = 32 Vậy P ( A) = 32 = 72 b Vì n ∈ B : nên b = Vậy có : cách chọn b có cách chọn a Trang Theo quy tắc nhân, ta có: n( B) = 1.8 = Vậy P( B) = = 72 c Cách 1: Vì n ∈ C ⇔ a < b Rõ ràng số ab tổ hợp chập phần tử ngược lại Do đó, ta có: n( C) = C9 = 36 Vậy P (C ) = 36 = 72 Cách 2: Vì n ∈ C ⇔ a < b Với a = 1, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 2, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 3, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 4, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 5, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 6, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 7, ta có cách chọn a, cách chọn b Với a = 8, ta có cách chọn a, cách chọn b Theo quy tắc cộng ta có: n( C) = 1.8 + 1.7 + 1.6 +1.5 + 1.4 + 1.3 +1.2 + 1.1 = 36 Trang 10 C53 10 37 P ( A) = − P ( A) = − = − = C9 84 42 Ví dụ 3: Gieo đồng thời hai súc sắc n lần liên tiếp Tìm xác suất xuất lần mặt chấm Bài giải: Gọi A biến cố “ xuất lần hai mặt 6”, A biến cố “ không xuất hai mặt 6” Khi P ( A) = − P ( A) Số khả xảy gieo hai súc sắc = 36 Số khả để không xuất hai mặt 35 35 Vậy xác suất để lần gieo không xuất mặt 36 n  35    Vậy xác suất để n lần gieo không xuất mặt  36  n  35  P ( A) = − P( A) = −    36  Do đó: Bài tập áp dụng: Trang 27 Có người nam người nữ Chọn ngẫu nhiên người Tìm xác suất cho: a Cả hai nữ b Ít nữ ( Sách 500 tập nâng cao toán 11 – trang 69) Đáp số: C32 P ( A) = = C10 15 a C72 P( B) = − P( B) = − = C10 15 b Từ hộp chứa ba cầu trắng, hai cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai Tính xác suất cho: a Hai lấy khác màu b Hai lấy màu ( Sách đại số - giải tích 11 – trang 69) Đáp số: C31 C 21 P ( A) = = C 5 a b P ( B ) = P ( A) = − P( A) = Trang 28 Dạng toán 4: Bài tập xác suất biến cố giao - quy tắc nhân xác suất Ví dụ 1: Gieo hai súc sắc Tìm xác suất để: a Cả hai súc sắc xuất mặt chấm b Có hai súc sắc xuất mặt chấm Bài giải: a Gọi hai suác sắc M N, A biến cố “ Súc sắc M xuất mặt chấm”, B biến cố “ súc sắc N xuất mặt chấm” Ta nói A B biến cố độc lập Nên P ( A) = 1 P( B) = Biến cố “ Cả hai súc sắc xuất mặt chấm” AB hai biến cố A B đồng thời xảy Vậy xác suất để hai súc sắc xuất mặt chấm là: P(AB) = P(A).P(B) = 36 b.Gọi X biến cố “ có mmột hai súc sắc xuất mặt chấm”, ta có X hợp hai biến cố xung khắc AB AB , tức X = AB  AB Do P ( X ) = P ( A B ) + P( AB ) Trang 29 Vì P ( A) = − P ( A) = − 5 = P( B) = − P( B) = 6 nên 5 + = P ( X ) = P ( A B ) + P ( AB) = 6 6 18 Ví dụ 2: Có hai bình, bình chứa viên bi khác màu: viên bi xanh, viên bi vàng , viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình viên bi Tìm xác suất để lấy hai viên bi xanh Bài giải: Gọi A biến cố “ lấy hai viên bi cuàng màu xanh” giao hai biến cố A biến cố “ lấy bi xanh từ bình thứ nhất” A biến cố “ lấy bi xanh từ bình thứ nhất” ⇒ P( A1 ) = ⇒ P( A2 ) = Mà A A hai biến cố độc lập Do 1 P ( A) = P ( A1  A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = = 3 Ví dụ 3: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tìm xác suất cho tổng số chấm hai lần gieo không bé 10, nếu: a Lần gieo xuất mặt chấm b Mặt chấm xuất nhât lần Trang 30 Bài giải: Không gian mẫu Ω = { (a, b) / ≤ a, b ≤ 6} ⇒ n(Ω) = 36 Kí hiệu: A “ Tổng số chấm hai lần gieo lớn 10” B: “ Lần đầu xuất mặt chấm” C: “ Mặt chấm xuất lần” a Ta có : A = { ( 4,6); ( 6,4); ( 5,5); ( 5,6) ; (6,5)} B = { ( 5,1); ( 5,2); ( 5,3); ( 5,4); (5,5); ( 5,6)} Do A B = { (5,5); (5,6)} P( B) = 6; P( A  B) = 18 P( A  B) 18 P( A / B) = = = = 18 P( B) Vậy: b C = { ( 5,1); ( 5,2); ( 5,3); ( 5,4); (5,5); ( 5,6); (1,5) ; ( 2,5); (3,5); (4,5);(6,5)} Mà A C = { (5,5) ; (5,6); (6,5)} P (C ) = 11 36 ; Trang 31 P( A  C ) = 36 P ( A  C ) 36 P( A / C ) = = = 11 11 P (C ) 36 Vậy: Bài tập áp dụng: Có hai hộp Hộp thứ chứa hai bi trắng bi đen, hộp thứ hai chứa hai bi trắng hai bi đen Từ hộp thứ nhất, lấy ngẫu nhiên bi, xem màu bỏ vào hộp thứ hai Sau từ hộp thứ hai, lấy ngẫu nhiên bi Tìm xác suất cho hai bi lấy màu trắng ( Sách tuyển chọn 400 tập đại số giải tích 11 – trang 89) Đáp số: Kí hiệu: A “ Bi lấy từ hộp thứ màu trắng” Trang 32 B: “ Bi lấy từ hộp thứ hai màu trắng” P( A  B) = Một công nhân đứng máy hoạt động độc lập với nhau, xác suất để ca làm việc: Máy I hoạt động tốt 0,7 Máy II hoạt động tốt 0,8 Máy III hoạt động tốt 0,9 Tìm xác suất cho: a Cả ba máy hoạt động tốt b Cả ba máy hoạt động không tốt ( Sách 500 tập nâng cao toán 11 – trang 70) Đáp số: a P = P( ABC) = P(A).P(B).P(C) = 0,7.0,8.0,9 = 0,504 b P = P ( A).P ( B ).P (C ) = 0,3.0,2.0,1 = 0,006 Dạng toán 5: Bài tập dạng toán tổng hợp quy tắc cộng quy tắc nhân Ví dụ 1: Có hai hộp, hộp thứ đựng bi đỏ, bi xanh bi vàng; hộp thứ hai đựng hai bi đỏ, bi xanh hai bi vàng Lấy ngẫu nhiên hai bi hộp bi Tính xác suất để lần lấy bi đỏ Bài giải: Trang 33 Gọi A biến cố “ lần lấy đung bi đỏ”, A i biến cố “ lấy bi đỏ hộp thứ i” với i = 1,2 Ta có: A = A1 A2  A2 A1 Suy P ( A) = P ( A1 A2 ) + P ( A2 A1 ) = 29 + = 10 10 70 Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên giáo viên tổ chuyên môn Hóa – Sinh – Thể dục để thành lập đoàn công tác cho môn phải có giáo viên Biết tổ có giáo viên Hóa, giáo viên Sinh, giáo viên Thể dục, môn Hóa có giáo viên nữ, môn Sinh có giáo viên nữ môn Thể dục có giáo viên nữ Tính xác suất để đoàn công tác: a Có giáo viên nữ b Có giáo viên nam Bài giải: a.Gọi H biến cố “ có giáo viên nữ môn Hóa đoàn”, S biến cố “có giáo viên nữ môn Sinh đoàn” , T biến cố “ có giáo viên nữ môn Thể dục đoàn” Ta có: P( H ) = P( H ) = = ; P ( S ) = ; P (T ) = 3 = ; P( S ) = ; P (T ) = Gọi X biến cố “ có đung giáo viên nữ đoàn” Trang 34 Ta có X = H S T  H S T  H ST , hợp biến cố xung khắc Theo quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất, ta có: P ( X ) = P ( H S T ) + P( H S T ) + P ( H ST ) 1 2 1 P ( H S T ) = = ; P ( H S T ) = = ; P ( H ST ) = = 5 15 10 Mà Suy 13 + + = P ( X ) = P ( H S T ) + P( H S T ) + P ( H ST ) = 15 10 30 b.Gọi Y biến cố “ Trong đoàn giáo viên nữ” Ta có Y = HTS, Với H, T, S biến cố độc lập 1 = Suy P( Y) = P( HTS) = 15 Do biến cố “ Trong đoàn công tác có giáo viên nam” có xác suất là: P (Y ) = − P (Y ) = − 14 = 15 15 Trang 35 Bài tập áp dụng: Lớp 11B có 12 đoàn viên Tổ I có đoàn viên, tổ II có đoàn viên, tổ III có đoàn viên, tổ IV có đoàn viên Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên đoàn viên lớp để trang trí đại hội Tính xác suất để đoàn viên chọn có đoàn viên tổ I đoàn viên tổ II ( Sách rèn luyện giải toán đại số giải tích- trang 80) Đáp số: Gọi A i biến cố “ Một đoàn viên chọn tổ i” với i = I, II, III, IV Gọi X biến cố “ đoàn viên, chọn đoàn viên tổ I đoàn viên tổ II Khi P ( X ) = P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A4 ) = 166375 2.Một nhà xuất phát hành ba tên sách A, B, C có 50% học sinh mua sách A; 70% học sinh mua sách B; 60% học sinh mua sách C; 30% học sinh mua sách A B; 40% học sinh mua sách B C; 20% học sinh mua sách A C; 10% học sinh mua loại sách A, B, C Chọn ngẫu nhiên học sinh, tính xác suất để em đó: a Mua hai ba tên sách nói ( Sách bồi dưỡng học sinh giỏi 11 trang 147) Đáp số: Trang 36 Gọi A biến cố “ em mua sách A”, B biến cố “ em mua sách B”, C biến cố “ em mua sách C” Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6; P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P( AC) = 0,2 P(ABC) = 0,1 Gọi H biến cố “ em mua hai ba tên sách nói trên” H = ABC  ABC  ABC Ta có P ( H ) = P( ABC ) + P ( A BC ) + P ( ABC ) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6 KẾT QUẢ Trong khuôn khổ viết này, đưa số ví dụ để phù hợp với đối tượng học sinh Với cách làm học sinh nhận kiến thức theo logic từ đơn giản sau nâng lên Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài “ số dạng toán xác suất biến cố ”, nhận thấy vấn đề giúp cho học sinh định hướng tìm yếu tố cần thiết để tìm xác suất biến cố Kết thử nghiệm năm học 2014 – 2015, cho học sinh lớp dạy làm dạng tập “ xác suất biến cố” phương pháp phân dạng học sinh, hầu hết em định hướng cách làm biết áp dụng công thức cho dạng tập Kết đạt sau: Lớp 11B2 Sĩ số 38 Số h/s hiểu 38 Số h/s tích cực 30 Số h/s có kỹ 30 Trang 37 PHẦN III: KẾT LUẬN Thực mục đích đề tài, giải vấn đề sau: Học sinh biết vận dụng kiến thức vào việc tìm xác suất biến cố Đưa ví dụ cụ thể mà học sinh thường gặp Những ví dụ trình bày lời giải đầy đủ chi tiết theo cách thông thường Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh lớp vận dụng ý tưởng đề tài Trên ứng dụng mà thân cảm thấy phù hợp với đối tượng học sinh lớp Nhưng bên cạnh cách làm học sinh rèn khả tính toán vận dụng công thức cách linh hoạt xác Thông qua viết này, mong muốn góp phần công sức nhỏ bé vào việc hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, tự lập làm toán từ tạo cho học sinh có hứng thú học Toán học sinh nhận Toán học ứng dụng nhiều đời sống Hy vọng đồng nghiệp học sinh phát triển khắc phục hạn chế nói để nội dung đề tài ứng dụng có hiệu Trang 38 Tuy nhiên thời gian có hạn nên mong đóng góp, bổ sung hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để kinh nghiệm hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn Iasao, ngày 29 tháng năm 2016 Người viết Nguyễn Thị Tiến TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số giải tích 11 – Vũ Tuấn, Nhà xuất Giáo Dục , năm 2007 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số - giải tích 11 – Lê Hoành Phò, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, năm 2012 Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức kỹ 11 – Nguyễn Thế Thạch Nhà xuất Giáo Dục, năm 2010 Phân dang phương pháp giải dạng toán đại số - giải tích 11 – Nguyễn Phú Khánh- Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, năm 2015 Sách giáo khoa đại số - giải tích 11 – Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy Nhà xuất Giáo Dục năm 2006 500 tập nâng cao toán 11 - Nguyễn Văn Lộc, – Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, năm 2009 Trang 39 Tuyển chọn 400 toán Đại số - giải tích 11 – Nguyễn Cam - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, năm 2012 MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I: Đặt vấn đề …………………………………… Phần II: Nội dung Thực trạng đề tài ………………………………… Chương I ………………………………………… Chương II ………………………………………… …… …………………………………… 32 Phần III Kết luận ………….………………………… 33 Tài liệu tham khảo …………………………………… 34 Mục lục ……………………………………………… 35 Kết Trang 40 Trang 41 ... mục: Chương I Một số kiến thức liên quan đến xác suất biến cố Chương II Một số toán liên quan đến xác suất biến cố Trang CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Phép thử, không... suất biến số đưa để đánh giá khả xảy biến cố Do đó, xác suất có biến cố gần hay xảy biến cố có xác suất gần thường xảy Khi nói đến việc tìm số yếu tố liên quan đến xác suất biến cố đại đa số học... Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74) Đáp số: a b P ( A) = P( B) = 15 Trang 13 Dạng toán 2: Bài tập xác suất biến cố hợp - quy tắc cộng xác suất Ví dụ 1: Một hộp đựng viên