ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN LỜI NÓI ĐẦU: Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý chương trình vật lý đại cương, thấy phần tập học vật rắn phần kiến thức khó đặc biệt phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng mô men lực trục quay hay điểm khó phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ toán học tốt phần giải tích vec tơ Đây phần kiến thức khó giúp giải toán học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn Chính biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức bản, rèn luyện kĩ vận dụng định lý việc giải toán học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp đặc biệt học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương Olympic quốc tế Sau nội dung chuyên đề: - Cơ sở lý thuyết - Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức - Các tập tổng hợp có lời giải chi tiết - Các tập tự luyện tập với đáp số I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S trọng tâm điểm M i có khối lượng mi, gọi O điểm tùy ý, ta có uuur r OG = rG = r r i i i i ∑m r = ∑m r M ∑m r uuuur (1) với r i = OM i i uu r r Nếu ta chọn O G rG = b) Đối với vật rắn: r r r ∫ rdm ∫ rdm rG = = M dm ∫ (2) Động lượng a) Định nghĩa: r Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vi hệ quy chiếu R ur Tổng động lượng p S R tổng cộng động lượng chất điểm cấu tạo nên hệ S: u r uuur d ri d d r r r r p = ∑ mi vi = ∑ mi = ( ∑ mi vi ) = m.OG = mvG dt dt dt ( ) (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng hệ chất điểm hệ quy chiếu (HQC) R động lượng R chất điểm giả định khối tâm G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ S ur r p = mvG b) Tổng động lượng HQC trọng tâm R* r* ur* Theo định nghĩa, điểm G điểm cố định R *, vG tổng động lượng p hệ S R* ur* r không: p = (4) Mối liên hệ động lượng lực Định luật II Newton    dp F = + Lực: ∑ ext dt = MaG (5)  Trong ∑ Fext tổng ngoại lực tác dụng lên hệ uu r τ uuu r uuuu r uuu r X = F dt = F ∆ t = ∆ P + Xung lực: extb ∫ ex Động hệ, định lý Koenig động Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G khối tâm hệ, ta có: K (0) = Vì 1 mi vi2 = ∑ mi viG + mvG2 (6) ∑ 2 2 mi viG động toàn phần hệ hạt khối tâm G, nên ta có: ∑ 2 Định lý Koenig động năng: K = mv (G ) + K * (G ) (7) Mô men động lượng Định lý Koenig mô men động lượng a) Mô men động lượng hệ điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S HQC R) tổng mô men động lượng tất điểm tạo nên hệ S    L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8) b) Mô men động lượng hệ khối tâm G S R *, theo định nghĩa là: uuuur r r r r L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9) c) Định lý Koenig mô men động lượng Mô men động lượng O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men động lượng O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men động lượng G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) r r uuur r L0 = L*G + OG ∧ mvG (10) d) Mô men động lượng trọng tâm Nếu A điểm đó, ta viết R*: uu r ur* uuuu r ur uuur uuuu r L A = ∑ AM i ∧ mi vi = ∑ AG + GM i ∧ mi vi* uu r uu r uuur uuuu r = AG ∧ ∑ mi vi* + ∑ GM i ∧ mi vi* uu r r ur* p = m v Biết ∑ i i* = , nhận thấy mô men động lượng hệ ( ) HQC trọng tâm độc lập với điểm mà ta tính Chúng ta viết mô men ur ur* ur* mà không cần nói rõ số điểm đó: L A = LG = L ur ur* ur* Dùng định lý Koenig ta có: LG = LG = L e) Mô men động lượng điểm trục Giả sử vật rắn S cánh cửa hình vẽ HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật ur ur ur rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ωez = θ ' ez HQC R ur Ta viết biểu thức mô men động lượng L A vật rắn điểm A cố định trục Oz (A điểm cố định HQC gắn với vật rắn) R: ur uuuu r r L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M ) dm S r r ur uuuu r ur uuuu r Với v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AM Từ rút ra: ur uuuu r r uuuu r ur uuuu r L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M ) dm = Ω ∫∫∫ AM ∧ (ez ∧ AM )dm S S ur uuuu r ur uuuu r ur uuuu r Vậy L A = Ω ∫∫∫S ( AM ez − ( AM ez ) AM )dm Ta đưa vào điểm H hình chiếu M trục quay: uuuu r uuur uuuur uuuu r ur ur uuuur AM = AH + HM = AM ez ez + HM ( ) Vậy ta được: ur ur uuuu r ur uuuur L A = Ω ∫∫∫ HM dm − Ω ∫∫∫ ( AM ez ) HM )dm (Vì HM = AM − AH ) S S ur Như ta phân biệt biểu thức L A hai thành phần: ur ur + Một thành phần phương với vec tơ quay, là: L AP = Ω ∫∫∫S HM dm ur uuuu r ur uuuur + Một thành phần vuông góc với vec tơ quay, là: L A⊥ = −Ω ∫∫∫ ( AM ez ) HM )dm S f) Mô men động lượng trục ∆ - Mô men quán tính: ur Thành phần L∆ trục quay L A mô men động lượng gọi mô men động lượng vật rắn trục ∆ ur ur ur ur urur L∆ = L A ez = L AP.ez = ez Ω ∫∫∫ HM dm = Ω ∫∫∫ HM dm S S Theo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trí điểm A trục ∆ + Khoảng cách HM = r điểm M đến trục quay không đổi vật rắn quay ta định nghĩa mô men quán tính J ∆ vật rắn trục quay ∆ sau: J ∆ = ∫∫∫S r dm Mô men quán tính vật rắn trục quay đặc trưng cho mức quán tính chuyển động quay vật rắn quanh trục (bất biến theo thời gian), phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng vật rắn Mô men lực, định lý Koenig mô men lực uur uur uuuur ur + Mô men lực M O điểm O hệ S R có biểu thức là: M O = ∑ OM i ∧ mi + Mô men lực G R* (R* tịnh tiến R) uur* uuuur r* r* r M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i uu r uur uu r ur uu r uur Từ công thức cộng gia tốc ta có: = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai* Gia tốc Coriolis không gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào số i uur gia tốc aG điểm G uur uuur uuuu r ( r uur uu uuur ) uur uuuu r uur * * Ta rút ra: M O = ∑ ( OG ∧ GM i ) ∧ mi aG + = OG ∧ maG + ∑ GM i ∧ mi Vì uuuur ∑ m GM i i r = uu r uur r m a ∑ i i* = F * = nên ta suy định lý Koenig mô men lực: uuuur τ uuur uuur + Xung mô men lực: M Ox = ∫ M g dt = ∆L0 Định lý Koenig mô men lực: Mô men lực O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men lực O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men lực G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) uur uur* uuur uur M = M G + OG ∧ maG (10) Mô men lực trọng tâm: Cũng mô men động lượng, mô men lực S HQC trọng tâm R * không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta viết mô men mà không uur uur* uur* cần nói rõ số điểm đó: M A = M G = M uur uur* uur* Dùng định lý Koenig ta có: M G = M G = M Mối liên hệ mô men động lượng mô men lực Ta xét trường hợp tổng quát, điểm chọn để tính mô men điểm bất ký P, điểm đứng yên chuyển động điểm cố định O chọn làm gốc tọa độ (hình vẽ) y O rr r1 − rP r rr r1r r rP P −2rP r r2 x Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần hệ điểm P là:      LP = ∑ ( ri − rP ) ∧ mi ( vi − vP ) Lấy đạo hàm theo thời gian, ta          dLP = ∑ (vi − vP ) ∧ mi ( vi − vP ) + ( ri − rP ) ∧ mi ( − aP ) dt     = + ∑ ( ri − rP ) ∧ ( mi − mi aP )    Thay mi = Fi ex + Fi in tổng hợp ngoại lực nội lực tác dụng lên hạt I, ta được: r r dLP r r r r r = ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ext − ∑ mi ( ri − rP ) ∧ aP dt r r Thay tiếp ∑ mi ri = mrG , ta r r dLP r r r r r = ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aP dt r r r Vì ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex theo định nghía mô men ngoại lực P, nên cuối ta công thức tổng quát: r r dLP r r r = ∑ M Pex − ( rG − rP ) ∧ maP dt (6) Công thức (6) cho thấy mối liên hệ mô men lực mô men động lượng không đơn giản mối liên hệ lực động lượng Có dự khác biệt mô men động lượng mô men lực tùy thuộc vào điểm để tính mô men Bây ta bàn tiếp số hạng thứ hai công thức (6) Số hạng triệt tiêu ba điều kiên sau thỏa mãn: r r a) aP = Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều) r r dLP = ∑ M P (P cố định) (7) dt r r b) rG = rP hay P ≡ G Khi ta có: r r dLG = ∑ M Gex dt uuur r r r r c) Gia tốc aP / / ( rG − rP ) hay aG / / PG Khi ta có: r uuur r dLP r = ∑ M Pex aP / / PG (9) dt { Các ý toán học: ur } ur Cho hai vec tơ: A = (ax , ay , az ) , B = (bx , by , bz ) ur ur + Tích vô hướng hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + azbz ) ur ur r r r + Tích có hướng hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx ) rr r Với i, j, k vec tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz II BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ Hai chất điểm A B giống hệt nhau, có khối lượng m liên kết với chiều dài b, khối lượng không đáng kể A dịch chuyển vòng tròn tâm O bán kính b AB dao động quanh trục qua A vuông góc mặt phẳng hình vẽ Tính tổng động lượng mô men O α A β B động lượng O hệ AB theo góc α, β đạo hàm chúng theo thời gian Giải Cách 1: ur r r Ta có: p = mv( A) + mv ( B ) uur uuu r r uuur r LO = OA ∧ mv ( A) + OB ∧ mv ( B) uuu r Với OA = (b cos α , b sin α , 0) r uuu r suy v( A) = OA ' = (−bα 'sin α , bα ' cosα , 0) uuur OB = (b(cos α + cosβ ), b(sin α + sin β ), 0) r uuu r v( B ) = OB ' = (−b(α 'sin α + β 'sinβ ), b(α ' cosα + β ' cosβ ), 0) ur r r Suy p = mv( A) + mv ( B ) = m(−b(2α 'sin α + β 'sinβ ), b(2α ' cosα + β ' cosβ ), 0) uur uuu r r uuur r ur Và LO = OA ∧ mv ( A) + OB ∧ mv ( B) = mb (2α '+ β '+ β ' cos(α − β ))ez ur Với ez vec tơ đơn vị trục Oz vuông góc, mặt phẳng hình vẽ Cách 2: Chúng ta dùng định lý Koenig cách đưa vào khối tâm G (trung điểm AB) hệ uuur 2 Ta có OG = (b(cos α + cosβ ), b(sin α + sin β ), 0) uu r uuur 2 Và vận tốc khối tâm G là: vG = OG ' = (−b(α 'sin α + β 'sinβ ), b(α 'cos α + β ' cosβ ), 0) Mô men động lượng hệ khối tâm G: uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r r r r r r L*G = GA ∧ mv ( A)* + GB ∧ mv ( B)* = 2GB ∧ mv ( B )* GA = −GB v ( A)* = −v ( B )* uuur 1 GB = ( bcosβ , b sin β , 0) 2 1 r v ( B )* = (− β 'sinβ , bβ ' cosβ , 0) 2 Rõ ràng ta tìm ur r p = 2mv(G ) = m(−b(2α 'sin α + β 'sinβ ), b(2α ' cosα + β ' cosβ ), 0) Và tổng mô men động lượng hệ: uur r* uuur ur r LO = LG + OG ∧ 2mv (G ) = mb (2α '+ β '+ β ' cos(α − β ))ez Ví dụ Một AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m treo hai dây nhẹ giống AA’ BB’ có chiều dài b Thanh dao động mặt phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ BB’ song song với a) Tính động theo đạo hàm α ' góc nghiêng α dây thời điểm cho trước b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ Giải a) Định lý Koenig động cho ta: K= A’ B’ α α A G mv (G ) + K * (G ) Trong HQC R* (G,x,y,z) đứng yên K * (G ) = nên: K= mv (G ) = mb 2α '2 (1) 2 b) Chọn mốc vị trí thấp trình dao động + Thế là: U = mgb(1 − cosα ) (2) + Cơ hệ là: E = K + U = mb 2α '2 + mgb(1 − cosα ) = mgb(1 − cosα ) = const (3) Đạo hàm theo thời gian hai vế (3) ta được: α " b + g sin α = (4) Với α < 10o → sin α ≈ α (rad ) phương trình (4) trở thành: α "+ ω 2α = với ω = g b B Vậy chu kỳ dao động nhỏ là: T = 2π b = 2π ω g Ví dụ Một vòng tròn đồng có tâm O, khối lượng m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục cố định Tính mô men động lượng vòng tròn O động vòng tròn Giải uuuu r ω ur Điểm M vòng tròn xác định tọa độ cực: OM = aer r uu r Vận tốc M là: v( M ) = aω eθ Từ suy ra: + Mô men động lượng O: uur LO = ∫ uuuu r r ur OM ∧ v( M )dm = ma 2ω ez vòng + Mô men lực O: uuur d uur d uuuu r r ur r d M O = LO = OM ∧ v ( M ) dm = ( ma ω ) e z =0 ∫ dt dt vòng dt 2 + Động K = J ∆ω = ma 2ω Ví dụ Chứng minh định lý Huygens cách: a) Dùng định lý Koenig mô men động lượng b) Dùng chứng minh hình học Giải a) Gọi A điểm cố định trục ∆ + Trong R: L∆ = J ∆G Ω uur uur ur uuur r r ur ur uuu + Theo định lý Koenig: L∆ = LA ez = ( AG ∧ mv(G ) ) ez + L*G ez r ur uuur Với v(G ) = Ωez ∧ AG uuur r ur 2 AG ∧ mv ( G ) e Từ đó: z = m ( AG − AH G ) Ω = ma Ω ( ) ur ez uur C uuur d L r uu r ur d uuuu O M = = ( OM ∧ v (M )dm) = mRα '' ez + Mô men lực: O ∫ dt dt B Và động năng: K = mR 2α '2 Ví dụ Một AB đồng chiều dài 2b khối tâm G trung điểm AB Thanh tựa lên mặt đất nằm ngang gối lên tường thẳng đứng Vị trí xác định theo góc uuu r uuur α = Ox, OG , góc thay đổi trượt ( ) A B y + B G r 1) Xác định thành phần vận tốc v(G ) điểm G theo α đạo hàm α ur 2) Tìm vec tơ quay Ω x O A Chú ý: cần ý đến dấu biểu thức tính toán Giải Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó: uuur OG = ( b cos α , b sin α , ) r d uuur OG = ( −bα 'sin α , bα ' cosα , ) (1) dt ur ur ur Véc tơ quay hướng theo trục ez , ta đặt Ω = Ωez r Ta viết biểu thức v(G ) sau: r r ur uuur v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG Vận tốc khối tâm: v(G ) = uuu r r uu r Biết OA = 2b cos α ex suy v( A) = r r ur uuur r uu r d uuu OA = −2bα 'sin α ex dt Từ suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2α ') sin α ; −bΩcosα ;0) (2) ur ur Cho (1) (2) ta Ω = −α ' ez O Ví dụ Một lắc kép gồm hai OA AB giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b α G2 y A + β x G1 y’ B x’ nối khớp A Hai chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Oxy góc nghiêng chúng xác định góc α, β so với đường thẳng đứng Ox hướng xuống Tính mô men động lượng O động lắc kép Giải Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho: J OZ (OA) = mb + m(2b) = mb 12 Từ ta có mô men động lượng OA điểm O: uur ur ur LO (OA) = J Oz (OA).α ' ez = mb 2α ' ez Động OA: K (OA) = J Oz (OA).α '2 = mb 2α '2 Áp dụng định lý Koenig cho phép tính phần tử động học AB: uur uuuur r ur LO ( AB ) = OG2 ∧ mv(G2 ) + J G2 z ( AB ).β ' ez K ( AB ) = mv (G2 ) + J G2 z ( AB ).β '2 2 2b cos α + b cos β uuuur Biết rằng: OG2 2b sin α + b sin β −2bα 'sin α − bβ 'sin β r d uuuur Và vận tốc G2 v(G2 ) = OG2 = 2bα ' cosα + bβ ' cosβ dt Và J Gz ( AB) = 1 m(2b) = mb = J 12 uur ur   Ta có: LO ( AB) =  mb (4α '+ β '+ 2(α '+ β ')cos(α − β ) + mb β ' ÷ez    2 2 2 Và động năng: K ( AB) =  mb (4α ' + β ' + 4α '.β ' cos(α − β ) + mb β ' ÷ 2 Đối với hệ lắc kép: uur uur uur  16  ur LO = LO (OA) + LO ( AB ) = mb  α '+ β '+ 2(α '+ β ')cos(α − β ) ÷ez    8  K = K (OA) + K ( AB ) = mb  α '2 + β '2 + 2α '.β ' cos(α − β ) ÷ 3  Ví dụ Hai vật khác có khối lượng m trượt không ma sát mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu vật thực trượt tịnh tiến( không quay) tâm chúng có vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách đường thẳng d Tại thời điểm định xảy va chạm đàn hồi lý tưởng vật Sau va chạm, vật thực chuyển động tịnh tiến, quay tiếp tục trượt mặt bàn, vận tốc góc vật thứ ω1 , vật thứ hai ω2 Mô men quán tính chúng tính theo trụ thẳng đứng qua khối tâm I1 I2 a) Hãy mô men xung lượng vật tính theo điểm xác định mặt bàn tổng mô men xung lượng vật tính theo khối tâm b) Tính khoảng cách d’ đường thẳng dọc theo khối tâm hai vật chuyển động sau va chạm c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc vật thứ v vật thứ hai không quay Hãy xét phụ thuộc d’ vào d Giải: a) Ta cần chứng minh: uur uur uu r uu r uur uu r uu r LO = LG + (∑ mi )rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG mi + u u r Xét phần tử mi vật rắn Ta có: rG uur uu r u r uu r ur G O LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur = (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi u r r ∑ mi ri = ur r Nhận xét:  ∑ mi vi = uur uu r uu r u r ur LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi Do u r ri G Mặt khác, uu r uu r uu r uu r (∑ mi ) rG ∧ vG = M rG ∧ vG u r ur uur  m r ∑ i i ∧ vi = LG uur uur uu r uu r LO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM) nên ' b) Gọi v1 vận tốc vật (của G1) sau va chạm m G1 r v r v G2 Do hệ kín nên động lượng hệ bảo toàn dó đó: ur uu r uu r r r r ur' ur ' ' mv1 + mv2 = mv − mv = ⇒ v1 = −v2' = −v ' Ta xét mô men động lượng hệ G2 Do ngoại lực nên mô men động lượng trước sau va chạm Ta có, ban đầu LG2 = mvd sau L 'G2 = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2 Mà ω1 ; ω2 có chiều hình vẽ gọi chiều dươngd' nên mvd = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2 ⇒d'=