Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

176 313 0
Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN Đ I H C QU C GIA HÀ N I LU N VĂN TH C SĨ "PHÂN LO I CÁC H PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN H C PH THÔNG" H C VIÊN: LÊ VĂN LƯU CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ c p MÃ S : 60460113 CÁN B HƯ NG D N: PGS TS Nguy n Minh Tu n HÀ N I - 2015 L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o hư ng d n c a PGS TS Nguy n Minh Tu n Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn T t n đáy lòng em xin c m bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i: th y cô khoa Toán-Cơ-Tin h c; Phòng sau đ i h c Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c Gia Hà N i; Các th y cô giáo tham gia gi ng d y khóa cao h c chuyên ngành phương pháp toán c p khóa 2013-2015; Ban giám hi u đ ng nghi p trư ng THPT Nguy n Siêu Hưng Yên t o u ki n thu n l i cho hoàn thành lu n văn c a M c dù c g ng r t nhi u r t nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên c u th i gian trình đ h n ch nên nh ng n i d ng đư c trình bày lu n văn r t khiêm t n không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô b n đ ng nghi p đ lu n văn đư c hoàn thi n Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi Lê Văn Lưu i M cl c M đu Phương trình đ i s b c ba b n 1.1 Phương trình đ i s b c ba 41.2 Phương 81.2.2 81.2.3 91.2.4 10 11 trình đ i s b c b n 1.2.1 Phương trình d ng (x − a)4 + (x − b)4 = c Phương trình d ng Phương trình v i h s ph n h i Phương trình d ng t4 = αt2 + βt + λ 1.2.5 Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , a = H phương trình thư ng g p 2.1 H phương trình b c nh t hai n 2.2 H phương trình đ i x ng 2.2.1 H phương trình đ i x ng lo i m t 2.2.2 H phương trình đ i x ng lo i hai 2.3 H phương trình đ ng c p 2.3.1 H phương trình ch a m t phương trình đ ng c p 2.3.2 H phương trình đ ng c p 2.4 H phương trình b c hai t ng quát 2.5 H phương trình b c cao nhi u n s 2.5.1 H phương trình hoán v vòng quanh 2.5.2 H phương trình b c cao nhi u n s 2.6 H phương trình ch a căn, h phương trình mũ logarit 2.6.1 H phương trình ch a 2.6.2 H phương trình mũ logarit H phương trình không m u m c 3.1 Phương pháp bi n đ i tương đương 3.1.1 Phương pháp c ng 3.1.2 Phương pháp th 3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân t 12 12 15 15 31 41 41 43 51 58 58 67 73 73 79 83 88 89 94 97 ii M CL C M CL C 3.2 Phương pháp đ t n ph 102 3.3 Phương pháp hàm s 107 3.4 Phương pháp đánh giá 112 K t lu n 117 Tài li u tham kh o 118 iii M đu H phương trình m t nh ng n i dung tr ng tâm, ph bi n có v trí đ c bi t quan tr ng chương trình toán h c ph thông Nó xu t hi n nhi u kỳ thi h c sinh gi i kỳ thi n sinh vào đ i h c cao đ ng H c sinh ph i đ i m t v i r t nhi u nh ng d ng toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa đư c li t kê đ y đ sách giáo khoa Đó h phương trình b c nh t, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng c p, h phương trình b c hai t ng quát, Vi c phân lo i h phương trình vi c tìm l i gi i h vi c xây d ng h ni m đam mê c a không ngư i, đ c bi t nh ng ngư i tr c ti p gi ng d y Chính v y đ đáp ng nhu c u gi ng d y h c t p, tác gi ch n đ tài "Phân lo i h phương trình toán h c ph thông" làm đ tài nghiên c u c a lu n văn Đ tài nh m m t ph n đáp ng mong mu n c a b n thân v m t đ tài phù h p mà sau có th ph c v thi t th c cho vi c gi ng d y c a nhà trư ng ph thông Lu n văn đ c p đ n vi c phân lo i h phương trình chương trình toán ph thông, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n h phương trình Lu n văn đư c chia thành ba chương Chương đ c p đ n hương trình b c ba phương trình b c b n Chương phân lo i có h th ng m t s h phương trình thư ng g p Chương nêu m t s phương pháp gi i n hình cho h phương trình không m u m c Hy v ng s m t tài li u h u ích gi ng d y h c t p c a th y, cô em h c sinh Chương Phương trình đ i s b c ba b n Chương ta s nêu cách gi i cho phương trình b c ba phương trình b c b n t ng quát 1.1 Phương trình đ i s b c ba Trong ph n ta s nêu phương pháp gi i phương trình b c ba v i h s th c tùy ý: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = Bài toán 1.1 Gi i phương trình (1.1) bi t m t nghi m: x = x0 L i gi i Theo gi thi t ax3 + bx2 + cx0 + d = 0 Phương trình (1.1) tương đương v i phương trình sau ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx0 + d; 0 a x3 − x3 + b x2 − x2 + c (x − x0) = 0; 0 (x − x0)(ax2 + (ax0 + b)x + ax2 + bx0 + c) = 0 Xét ∆ = (ax0 + b)2 − 4a ax2 + bx0 + c 1) N u ∆ < phương trình (1) có nghi m nh t x = x0 (1.1) Phương trình đ i s b c ba b n 2) N u ∆ ≥ phương trình có nghi m √ √ ∆, x = −(ax0 + b) − 2a x1 = x0, x2 = −(ax0 + a) + b ∆ Nh n xét 1.1 1) N u x0 nghi m c a (1.1) u ki n c n đ đ (1.1) có ba nghi m phân bi t là: ax2 + (ax0 + b)x0 + ax2 + bx0 + c = 0 ∆ > 2) N u x0 nghi m c a (1.1) có th phân tích ax3 + bx2 + cx + d = f (x) (x − x0) , f (x) tam th c b c hai 3) N u x1, x2, x3 nghi m c a (1.1) ax3 + bx2 + cx + d = a (x − x1) (x − x2) (x − x3) , công th c Viét x1 + x2 + x3 = − b , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c , x1x2x3 = − d a a a Bài toán 1.2 Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| ≤ L i gi i Đ t m = cosα = cos (α ± 2π) Khi = 4cos3 α − cos α cosα = cos 3.α 3 α Do v y phương trình có ba nghi m: x1 = cos , x2 = cos Bài toán 1.3 a) Đ t x = a+ a α π +2 , x3 = cos α π −32 , a = Ch ng minh đ ng th c 4x3 − 3x = a3 + a13 b) Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| > L i gi i a) Ta có x = (a + ) hay a2 − 2ax + = v i a = x ± x2 − a Phương trình đ i s b c ba b n √ Đ t a = x + x2 − x = 1(a + ) x3 = 1(a3 + 3a + + a13 ) Suy a a 4x3 − 3x = 1(a3 + 3a + + a13 ) − (a + ) = (a3 + a13 ) a a b) Ta ch ng minh phương trình có nghi m nh t Th t v y, phương trình nghi m x0 ∈ [−1; 1] n u x0 ∈ [−1; 1] đ t x0 = cosϕ suy 4x3 − 3x = 4cos3ϕ − cos ϕ = |cos3ϕ| ≤ < |m| Gi s phương trình có nghi m x1, |x1| > 1, 4x3 − 3x1 = m Khi 4x3 − 3x = 4x3 − 3x1; (x − x1) 4x2 + 4xx1 + 4x2 − = Ta có ∆ = 4x2 − 4x2 − = 12 − 12x2 < 1 V y x = x1 nghi m nh t Đ t m = a3 + a3 , a3 = m ± √ m2 − Khi phương trình có nghi m nh t x= m − 1+ m+ m− m2 − Bài toán 1.4 Gi i phương trình: 4x3 + 3x = m L i gi i Nh n xét r ng x = x0 nghi m c a phương trình nghi m nh t Th t v y, xét x > x0, 4x3 + 3x > 4x3 + 3x1 = m Tương t , v i x < x0 4x3 + 3x < 4x3 + 3x1 = m 1 a− Đ tx= , a = Khi d dàng ki m tra đ ng th c a 4x3 + 3x = a3 − a13 Suy cách gi i phương trình, đ t m2 + m = a − a13 , a = m ± Khi phương trình có nghi m nh t x= m+ m 2 + 1+ H phương trình không m u m c C ng theo v hai phương trình c a h phương trình (1) ta đư c (x − y)3 + 2(x − y) = (y + 1)3 + 2(y + 1) Xét hàm s f (y) = t3 + 2t, f (t) = 3t2 + > v i m i t ∈ R (3.9) nên hàm s f(t) đ ng bi n R phư ơng trình (3.9) tươn g đươ ng v i f(x − y) = f (y + 1) hay x= 2y + Th vào phư ơng trình mt ca h phư ơng trình (1) X é t ta đư c 6y3 + 12y2 + 3y = Gi i phương trình tìm đư c y = 0; y= −2− √ ; y= √ −2+ √ √ √ h m s −2−√2 V y h phương trình có nghi m (x; y) = (1; 0), (−1 − 2; ), (−1 + 2; − 2+ ) Bài toán 3.22 Gi i h phương trình √ √ √ x + + x + = (y3 + 1) y − 1+8 (x − 1)3 + 3y3 + √y + = x f ( x ) = x + 8y − Phân tích Phương trình hai c a h có th tách r i hai bi n nên ta nghĩ đ n phương pháp hàm s T phương trình m t c a h ta suy u ki n c a hai n x y x + L i gi i Đi u ki n: x ≥ −2, y ≥ Bi n đ i phương trình m t c a h phương trình cho tr x thành v √ i x √ ( x + − 2) + 2( x + − 3) = (y3 + 1) ≥ y − 1; (x − 2)(√ ≥ 0; x ≥ 2 ) = (y3 + 1) +√ y− x+2+2 T a Bi n đ i phương trình hai c a h phương trình c ó x+7+3 cho thành 3 x − 3x + 2x + 3y − 8y + √y + = f ( x ) = 3x2 − 6x + > v i m i x ≥ 10 H phương trình không m u m c Hàm s f(x) đ ng bi n kho ng [2; ∞) min) f(x) = f(2) = [2;∞ Xét g(y) = 3y3 − 8y + √y + v i y ≥ Ta có g (y) = 9y − + 2√y > v i m i y ≥ Hàm s g(y) đ ng bi n kho ng [1; ∞) nên min) g(y) = g(1) = [1;∞ Tóm l i f(x) + g(y) ≥ min(f(x)) + min(g(y)) = D u b ng x y x = 2; y = Th l i ta th y (x; y) = (2; 1) th a mãn h V y h phương trình có nghi m (x; y) = (2; 1) Bài toán 3.23 (ĐH kh i A.2010)Gi i h phương trình √ (4x2 + 1)x +√y − 3) − 2y = ( 4x2 + y2 + − 4x = L i gi i Đi u ki n x ≤ 3, y ≤ Bi n đ i phương trình m t c a h phương trình cho tr thành (4x2 + 1)x + −(5 −2 y) − − 2y = 0; − 2y (4x2 + 1)2x = ((5 − 2y) + 1) Xét hàm s f(t) = t(t2 + 1) R, đ o hàm f (t) = 3t2 + > v i m i t ∈ R Suy f(t) đ ng bi n R nên phương trình (1) tương đương v i f (2x) = f ( − 2y) Hay 2x = T ta có − 2y x≥0 y = 5−24x 5−4x2 Th y = vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c − 4x2 )2 + 2√3 − 4x = f ( x) = +( x 111 (1) H phương trình không m u m c √ Xét hàm s f(x) = 4x2 + (5−24x2 ) + − 4x kho ng [0; 3] Ta có f (x) = −4x(3 + 4x2) − √ < v i m i x ∈ [0; ] − 4x 1 nên hàm s f(x) đ ng bi n kho ng [0; ] M t khác f( ) = nên x = nghi m nh t c a phương trình f(x) = V y h phương trình có nghi m (x; y) = (1; 2) 3.4 Phương pháp đánh giá Phương trình, h phương trình b t đ ng th c có m i liên h ch t ch v i Ch ng h n ch ng minh m t b t đ ng th c ta c n d đoán d u b ng x y nào, u d n t i vi c tìm m t nghi m c a phương trình, h phương trình Nhi u toán v h phương trình, phương trình l i s che d u m t b t đ ng th c D u hi u nh n d ng toán s phương trình s n, phương trình r t ph c t p, không m u m c, mang bóng dáng b t đ ng th c M t u c n lưu y đ i v i phương pháp đoán đư c nghi m s góp ph n r t l n vào thành công c a l i gi i Các b t đ ng th c đư c áp d ng có th AMGM, Cauchy-Schwarz, b t đ ng th c hình h c, Bài toán 3.24 (Olympic Balan 1997-1998) Gi i h phương trình 3(x2 + y2 + z2) = x2y2 + y2z2 + z2x2 = xyz(x + y + z)3 Phân tích H phương trình có s n nhi u s phương trình nên ta nghĩ đ n phương pháp đánh giá L i gi i Ta có x; y; z ho c (x + y + z) không th b ng T phương trình hai c a h phương trình cho suy xyz(x + y + z) = x y + y z + z x ≥ 22 112 22 (x + y + z)2 22 H phương trình không m u m c V i ba s th c a; b; c theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có 3(a2 + b2 + c2) ≥ (ab + bc + ac)2 T hai phương trình c a h phương trình cho áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có = 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 = x y z+xy+zy + zz)x ≥ xyxyz(x + z + xyz = 22 22 + 22 z + x2 y y + z) xy ( D u b ng x y ch x = y = z T ta tìm đư c x = y = z = x = y = z = −1 V y h phương trình có nghi m (x; y; z) = (1; 1; 1), (−1; −1; −1) 333 3 Bài toán 3.25 (Olympic 30/04/2014) (Xem [7]) Gi i h phương trình √ 5x2 + 2xy + 2y32 + 2x2 + 2xy + 5y2 = 3(x + y) √ 2x + y + + 7x + 12y + = 2xy + y + L i gi i T phương trình m t c a h phương trình cho suy x + y ≥ 5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy + 5y2 = (2x + y)2 + (x − y)2 + ≥ (2x + y)2 + (x + 2y)2 + (x − y)2 (x + 2y)2 = |2x + y| + |x + 2y| ≥ 3(x + y) D u b ng x y ch x = y ≥ Th y = x vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c √ 3x + + 19x + = 2x2 + x + 5; √ √ ( 3x + − x − 1) + 2[ 19x + − x − 2] = 2x2 − 2x; + −2(x3 + 6x2 − 7x) √ −x + x √ 3x + + x + x2 − x √ 3x + + x + + 3x + + x + + 2(x2 − x) = 0; 2(x + 7) (x2 − x)(√ = 2x2 − 2x; √ (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + (x + 2)2 2(x2 − x)(x + 7) √ (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + (x + 2)2 + (19 + 8x) + (x + 2)√19 + 8x + (x + 2)2 + 2) = H phương trình không m u m c Vì x ≥ nên ta tìm đư c x = x = V y h phương trình có nghi m (x; y) = (0; 0), (1; 1) Bài toán 3.26 (VMO 2009) Gi i h phương trình √2 1+2xy + √1+2y2 = √1 1+2x y(1 − 2y) = x(1 − 2x) + Phân tích T phương trình m t c a h phương trình ta liên h v i b t đ ng th c sau √ 2+ + 2x ≤√ + 2y + 2xy L i gi i Đi u ki n: ≤ x; y ≤ V i u ki n ta có b t đ ng th c ≤√ √ 2+ + 2x + 2y (*) + 2xy D u b ng x y ch x = y Ch ng minh Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có √ 2+ + 2x + 2y 1 + 2x + + 2y ≤2 D u b ng x y ch √ 2= + 2x 1 + 2y Hay x = y Ta l i có 1 2(x − y)2(2xy − 1) + 2x + + 2y2 − + 2xy = (1 + 2x2)(1 + 2y2)(1 + 2xy) ≤ ( ≤ xy ≤ ) D u b ng x y ch x = y V y b t đ ng th c (*) đư c ch ng minh Phương trình m t c a h phương trình cho tương đương d u b ng x y (*) hay x = y Thay vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c x(1 − 2x) = ; 162x − 81x + = 114 H phương trình không m u m c √ 81± 5913 2.162 Gi i phương trình đư c x = √ = V y h phương trình có nghi m (x; y) = 73 √ √ √ 36 √ (9+3673; 9+3673), (9−3673; 9−3673) 9± Bài toán 3.27 (VMO 2013) Gi i h phương trình 20y x+y  sin  2x + sin 12x + cos2y + cos12y =  sin2y + sin2y cos2x + + cos2x 20x x+ y = Phân tích Hình th c h cho th cách ti p c n t t nh t dùng đánh giá c th ta dùng b t đ ng th c đ s lý h L i gi i Đi u ki n: sinx.cosx.siny.cosy = Nhân theo v hai phương trình c a h phương trình cho, ta thu đư c ( sin2 x + cos y + cos y )( 1+ sin2 x sin2 y + = 20 xy (x + y)2 1+ sin2 y cos2 x + cos12 x ) (3.10) Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz AM-GM, ta có sin2x sin2x + 2 cos x + cos x ≥ |sin x cos x| + |sin x1cos x| |sin 2x| + |sin 2x| + |sin 2x| = ≥ 1+ 2 = 25 Tương t ta có cos y + cos y sin2y + 2 sin y ≥ 25 Do theo b t đ ng th c AM-GM V T (3.10) ≥ 4 sin2x + ≥44 cos x + cos x 2 sin x 25 = 10 ≥ 20 115 xy (x + y)2 sin2y + sin y = V P (3.10) cos y + cos y 2 H phương trình không m u m c Đ ng th c x y ch sin2x = 1; x = y hay x = y = Th l i ta th y r ng x = y = π π π + k , ta có sin2x = cos2 x = sin2y = cos2 y = 1, x x y = x + y = y + Khi c hai v c a m i phương trình h cho đ u b ng V yx=y= π π + k , k ∈ Z 2 √ 10 π + k , k ∈ Z t t c nghi m c a h phương trình cho Bài toán 3.28 (HSG Bình Đ nh 2010-1011) Gi i h phương trình x6 + y8 + z10 ≤ x2007 + y2009 + z2011 ≥ Phân tích T h phương trình ta liên h đ n b t đ ng th c x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ mà d dàng nh n −1 ≤ x; y; z ≤ t phương trình m t c a h ta s d ng phương pháp đánh giá đ gi i h L i gi i T phương trình m t c a h phương trình cho ta có −1 ≤ x; y; z ≤ K t h p hai phương trình c a h phương trình cho suy x2007 + y2009 + z2011 ≥ x6 + y8 + z10; x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ T u ki n −1 ≤ x; y; z ≤ 1, ta d dàng th y r ng x6(1 − x2001) ≥ 0; y8(1 − y2001) ≥ 0; z10(1 − z2001) ≥ Do ph i có đ ng th c x y (1), t c x6(1 − x2001) = y8(1 − y2001) = z10(1 − z2001) = Gi i h phương trình k t h p v i u ki n x6 + y8 + z10 ≤ 1, ta có nghi m c a h phương trình cho (x; y; z) = (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) 116 (1) K t lu n Ki n th c v phương trình h phương trinh đ i s đư c r t nhi u ngư i nghiên c a sáng t o Các toán liên quan đ n phương trình h phương trình r t đa d ng vô phong phú Lu n văn "Phân lo i h phương trình toán h c ph thông" gi i quy t đư c nh ng v n đ sau: Trình bày đư c phương pháp gi i cho phương trình đ i s b c ba phương trình đ i s b c b n t ng quát H th ng m t s h phương trình thư ng g p phương pháp gi i cho t ng h Đó h phương trình: h phương trình bâc nh t hai n, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng c p, h phương trình b c hai t ng quát, h phương trình hoán v vòng quanh-h phương trình b c cao nhi u n s , h phương trình ch a h phương trình mũ logarit Trình bày m t s phương pháp thông d ng nh t đ gi i h phương trình không m u m c Đó phương pháp bi n đ i tương đương, phương pháp đ t n ph , phương pháp hàm s , phương pháp đánh giá 117 Tài li u tham kh o [1] N T Chung (2014), Sáng t o gi i phương trình, h phương trình, b t phương trình , NXB TP.H Chí Minh [2] N V Lương, P V Hùng, N N Th ng (2008), H phương trình phương trình ch a th c, NXB ĐHQGHN [3] Nguy n Văn M u (1996), Phương pháp gi i phương trình b t phương trình, NXB Giáo D c [4] Đ ng Thành Nam (2014), K thu t gi i nhanh h phương trình, NXB ĐHQGHN [5] Đ ng Hùng Th ng (1998), Phương trình, b t phương trình h phương trình NXB Giáo D c [6] T p chí toán h c tu i tr [7] Tuy n t p đ thi Olympic 30/04/2014, NXB ĐHQGHN 118 ... Chương Phương trình đ i s b c ba b n Chương ta s nêu cách gi i cho phương trình b c ba phương trình b c b n t ng quát 1.1 Phương trình đ i s b c ba Trong ph n ta s nêu phương pháp gi i phương trình. .. toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa đư c li t kê đ y đ sách giáo khoa Đó h phương trình b c nh t, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình. .. c a nhà trư ng ph thông Lu n văn đ c p đ n vi c phân lo i h phương trình chương trình toán ph thông, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n h phương trình Lu n văn đư

Ngày đăng: 02/05/2017, 09:57

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan