Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - NGUY N THU HÀ S T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN QUAN H BI N PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS TS T Hà N i - Năm 2015 DUY PHƯ NG M cl c M đu Ki n th c s 1.1 Ki n th c tôpô gi i tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ 6 61.1.2 Không gian 71.1.3 Không gian véctơ 91.1.4 Không gian metric 10 11 12 12 15 v m b t đ ng c a 16 tôpô tôpô 1.1.5 Không gian véctơ đ nh chu n 1.2 Ánh x đa tr 1.2.1 Đ nh nghĩa ánh x đa tr 1.2.2 Tính liên t c c a ánh x đa tr 1.2.3 M t s đ nh lý v s tương giao ánh x đa tr Bài toán quan h bi n phân 2.1 Phát bi u toán m t s ví d 2.2 S t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân 2.2.1 Đ nh lý b n 2.2.2 Tiêu chu n d a s tương giao c a t p 2.2.3 Tiêu chu n d a đ nh lý m b t đ ng S t n t i nghi m c a toán quan tính l i 3.1 Nguyên lý gi i đư c h u h n 3.2 Ánh x tương giao đóng 3.2.1 Bài toán minimax 3.2.2 Bài toán m yên ng a 3.2.3 Bài toán m b t đ ng 3.2.4 Bài toán cân b ng Nash 3.2.5 Bài toán cân b ng chi n lư c tr compact 17 17 21 21 22 28 32 32 33 34 34 35 35 36 h bi n phân i Bài toán quan h bi n phân tính ch t KKM 4.1 Quan h KKM t ng quát 4.2 Bài toán quan h bi n phân tính ch t KKM 4.3 ng d ng vào m t s toán 4.3.1 Bài toán bao hàm th c bi n phân 4.3.2 B t đ ng th c Ky Fan minimax t ng quát v i hàm C t a lõm 4.3.3 B t đ ng th c véctơ minimax Ky Fan véctơ t ng quát v i C - P - t a lõm 4.3.4 Trò chơi đa m c tiêu t ng quát trò chơi n - ngư i không h p tác t ng quát 4.4 K t lu n K T LU N Tài li u tham kh o 38 38 41 45 45 48 49 51 52 53 54 M đu Đ đưa m t ch ng minh đơn gi n ch ng minh ban đ u r t ph c t p c a đ nh lý m b t đ ng Brower (1912), ba nhà toán h c Balan Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz ch ng minh m t k t qu quan tr ng v giao khác r ng c a h u h n t p đóng không gian h u h n chi u (1929), k t qu sau g i b đ KKM Năm 1961, Ky Fan m r ng b đ không gian vô h n chi u, k t qu đư c g i Nguyên lý ánh x KKM Vào năm 2008, GS Đinh Th L c s d ng quan h KKM vào m t toán m i, toán "Quan h bi n phân", nh m nghiên c u m t toán t ng quát theo nghĩa m t s l p toán quen thu c toán t i ưu n tính, toán t i ưu phi n, toán cân b ng, toán t a cân b ng, toán bao hàm th c bi n phân, toán bao hàm th c t a bi n phân, toán b t đ ng th c bi n phân có th bi n đ i đư c v toán Bài toán quan h bi n phân đư c phát bi u sau: Cho A, B, Y t p khác r ng, S1 : A A, S2 : A B, T : A ⋅ B ánh x đa tr v i giá tr khác r ng R(a, b, y) quan h gi a ph n t a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y Hãy tìm m t m a ∈ A cho Y (1) ¯ m b t đ ng c a ánh x S1, t c ¯ ∈ S1(¯); a a (2) Quan h R(¯ b, y) v i m i b ∈ S2(¯) y ∈ T (¯ b) a, a a a, M c đích c a lu n văn trình bày s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân trư ng h p toán có ho c tính ch t KKM tính l i d a theo báo [3] , [4] , [5] Ngoài ph n m đ u, k t lu n tài li u tham kh o, lu n văn g m b n chương: Chương Ki n th c s Chương gi i thi u s lý thuy t cho ba chương sau, nh c l i m t s ki n th c v gi i tích hàm, trình bày m t s khái ni m tính liên t c c a ánh x đa tr Chương Bài toán quan h bi n phân M c đích c a chương trình bày v s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân d a tính ch t tương giao KKM đ nh lí v m b t đ ng Chương S t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân tính l i M c đích c a chương trình bày s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân tính l i Chương S t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân tính ch t KKM M c đích c a chương trình bày s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân tính ch t KKM Lu n văn c g ng trình bày m t cách có h th ng (v i ch ng minh chi ti t hơn) v s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân đư c đ c p báo [3] , [4] , [5] L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i Nhân d p xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i PGS TS T Duy Phư ng - Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c Công ngh Vi t Nam, ngư i th y t n tình hư ng d n hoàn thành công vi c nghiên c u này Tôi xin g i t i quý th y cô Khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô tham gia gi ng d y khóa cao h c 2012 - 2014, l i c m ơn sâu s c nh t Xin đư c c m ơn gia đình, đ ng nghi p, b n bè đ ng viên r t nhi u giúp hoàn thành lu n văn Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi lu n văn Nguy n Thu Hà Chương Ki n th c s Trong chương này, ta s trình bày m t s ki n th c v gi i tích hàm khái ni m không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái ni m ánh x đa tr , tính liên t c c a ánh x đa tr , (theo [1] [2]) c n thi t cho vi c trình bày n i dung chương sau 1.1 1.1.1 Ki n th c tôpô gi i tích hàm Không gian véctơ Đ nh nghĩa 1.1.1 (Xem [1], trang 181) Ký hi u R t p s th c Các ph n t c a R đư c g i s (hay đ i lư ng vô hư ng) M t không gian véctơ V trư ng R m t t p h p V không r ng mà xác đ nh hai phép c ng véctơ phép nhân v i m t s đư c đ nh nghĩa cho tiên đ sau đư c th a mãn: Phép c ng véctơ có tính ch t k t h p: V i m i u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép c ng véctơ có tính ch t giao hoán: V i m i v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép c ng véctơ có ph n t trung hòa: V i m i v ∈ V, có m t ph n t ∈ V, g i véctơ không: v + = v; Phép c ng véctơ có ph n t đ i: V i m i v ∈ V, t n t i w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hư ng phân ph i v i phép c ng véctơ: V i m i α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; 6 Phép nhân véctơ phân ph i v i phép c ng s : V i m i α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân s phân ph i v i phép nhân véctơ: V i m i α, β ∈ R; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Ph n t đơn v c a R có tính ch t: V i m i v ∈ V : 1.v = v.1 = v Đ nh nghĩa 1.1.2 (Xem [1], trang 256) Cho X không gian véctơ T p C ⊆ X đư c g i t p l i n u v i m i x, y ∈ C v i m i λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (nói cách khác, C ch a m i đo n th ng n i hai m b t kì thu c nó) Đ nh nghĩa 1.1.3 (Xem [1], trang 262) Cho X không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ X s λ1, λ2, , λk th a mãn λj ≥ 0, j = 1, , k k x= j=1 k j=1 λj = Khi đó, λjxj, đư c g i t h p l i c a véctơ x1, x2, , xk ∈ X Đ nh nghĩa 1.1.4 (Xem [1], trang 262) Gi s S ⊂ X Bao l i c a S, kí hi u convS t p h p t h p l i c a m c a S Đ nh nghĩa 1.1.5 Cho X không gian véctơ M t t p C ⊆ X đư c g i nón n u v i m i λ ≥ 0, m i x ∈ C λx ∈ C M t nón đư c g i nón l i n u đ ng th i t p l i Như v y, m t t p C nón l i ch có tính ch t sau: (i) λC ∈ C v i m i λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C 1.1.2 Không gian tôpô Đ nh nghĩa 1.1.6 (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho t p X = ∅ M t h τ t p c a X đư c g i m t tôpô X n u th a mãn tính ch t sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao c a m t s h u h n ph n t thu c τ thu c τ ; (iii) H p c a m t s tùy ý ph n t thu c τ thu c τ M t t p X v i m t tôpô τ X, đư c g i không gian tôpô (X, τ ) Đ nh nghĩa 1.1.7 (Xem [1], trang 373) Cho hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 y u τ2 (hay τ2 m nh τ1) n u τ1 ⊂ τ2, nghĩa m i t p m tôpô τ1 đ u t p m τ2 Đ nh nghĩa 1.1.8 (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) không gian tôpô • T p G ⊂ X đư c g i t p m X n u G ∈ τ • T p F ⊂ X đư c g i t p đóng X n u X∴F ∈ τ Đ nh nghĩa 1.1.9 (Xem [1], trang 375) Lân c n c a m t m x không gian tôpô X b t c t p bao hàm m t t p m ch a x Nói cách khác V lân c n c a x n u có m t t p m G cho x ∈ G ⊂ V Đ nh nghĩa 1.1.10 M t h ς = V : V lân c n c a m x ∈ X đư c g i s lân c n c a m x n u v i m i lân c n U c a m x, t n t i lân c n V ∈ ς cho x ∈ V ⊂ U Đ nh nghĩa 1.1.11 (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ), A m t t p b t kì c a X Đ i v i m i ph n t b t kì x ∈ X ta g i: (i) x m c a A n u t n t i nh t m t lân c n c a x n m A (ii) x m biên c a A n u m i lân c n c a x đ u ch a nh t m t m c a A m t m không thu c A Đ nh nghĩa 1.1.12 (Xem [1], trang 377) Gi s A t p b t kì c a không gian tôpô (X, τ ) Ta g i ph n c a A h p c a t t c t p m n m A Ph n c a A t p m l n nh t n m A Nó đư c ký hi u b i A ho c intA Đ nh nghĩa 1.1.13 (Xem [1], trang 377) Gi s A t p b t kì c a không gian tôpô (X, τ ) Ta g i bao đóng c a A giao c a t t c t p đóng ch a A Bao đóng c a A t p đóng nh nh t ch a A Nó đư c ký hi u b i A ho c ¯ clA Đ nh nghĩa 1.1.14 (Xem [1], trang 383) Cho X m t không gian tôpô M ⊂ X M t p compact n u ch n u m i ph m c a M đ u ch a m t ph h u h n Đ nh nghĩa 1.1.15 (Xem [1], trang 377) Cho X, Y hai không gian tôpô M t ánh x f t X vào Y đư c g i liên t c t i m x0 n u v i m i lân c n V c a f (x0) t n t i m t lân c n U c a x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh x f đư c g i liên t c X n u liên t c t i m i m x ∈ X o Ta đ nh nghĩa quan h R sau: R (a, b) n u ch n u ϕ (a, b) ≤ γ Khi ϕ hàm t a - lõm γ suy r ng t i b n u ch n u R KKM t ng quát (ii) Hàm t a - lõm chuy n đ i chéo (diagonal transfer ) Hàm ϕ (a, b) : A ⋅ A → R đư c g i t a lõm chuy n đ i chéo t i b A n u v i m i t p h u h n {b1, , bn} c a A t n t i tương ng {a1, , an} c a A cho m i t p I ⊆ {1, , n} a ∈ conv {aj : j ∈ I} ta có minj∈I φ (a, bj) ≤ φ (a, a) Ta đ nh nghĩa quan h R sau: R (a, b) ch ϕ (a, b) ϕ (a, a) Khi ϕ t a lõm chuy n đ i chéo t i b ch R KKM t ng quát H qu 4.1.1 Cho X không gian véctơ tôpô l i đ a phương Khi toán (VR) có nghi m n u u ki n sau th a mãn: (i) A t p khác r ng, compact; (ii) S1 (a) = A v i m i a ∈ A; (iii) Ánh x đa tr S2 hàm n a liên t c dư i; (iv) Quan h R quan h KKM t ng quát v i m i m b ∈ A, R (•, b, •) đóng v i bi n th nh t bi n th ba; (v) V i m i m b ∈ A, T (•, b) n a liên t c dư i theo bi n th nh t Ch ng minh Gi s Υ m t s lân c n l i c a m g c không gian X V i m i U ∈ Υ xét toán quan h bi n phân (V R)U v i ánh x S2U (x) = (S2 (x) + U ) ∩ B Theo B đ 2.2.1 Chương ta có PU (b) đóng Do đó, P (•) tương giao đóng Theo Đ nh lí 4.1.1, (V R)U có nghi m v i m i U ∈ Υ Vì PR (b) đóng v i m i b ∈ B, t B đ 2.2.2 Chương ta suy Q có giá tr ngh ch nh m , th Q n a liên t c dư i Tương t , ánh x S2U m A ⋅ B nên ánh x đa tr S2U (x) ∩ Q (x) = (S2 (x) + U ) ∩ Q (x) n a liên t c dư i tôpô c m sinh B Vì Q (a) ⊆ B v i m i a ∈ A, S2U (x) ∩ Q (x) n a liên t c dư i tôpô X Bây gi ta xét t p AU = {x ∈ A : S2U (x) ∩ Q (x) = ∅} Vì (V R)U có nghi m v i m i U ∈ Υ nên AU = ∅ Ngoài ra, tính n a liên t c dư i c a S2U (x) ∩ Q (x) v i tính compact c a A suy AU đóng Vì th , AU gi m d n theo U, h t p AU t p compact khác r ng v i U ∈ Υ có m t m chung, ký hi u a V y a nghi m c a toán (VR) 40 4.2 Bài toán quan h bi n phân tính ch t KKM nh ng ph n ta nghiên c u s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân có tính ch t KKM ho c KKM suy r ng Trong ph n ta s nghiên c u s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân tính ch t KKM, theo [5] Đ nh nghĩa 4.2.1 Cho E không gian véctơ tôpô Hausdorff , A t p khác r ng c a E A đư c g i có tính ch t m b t đ ng n u m i ánh x liên t c f : A → A có m b t đ ng Đ nh nghĩa 4.2.2 Cho A, B t p khác r ng c a không gian véctơ tôpô R (a, b) quan h gi a ph n t a ∈ A, b ∈ B V i m i m b ∈ B, quan h R (., b) đư c g i bi n phân đóng n u m i lư i {aα} h i t t i m a R (aα, b) v i m i α quan h R (a, b) Ti p theo nghiên c u toán quan h bi n phân tính ch t KKM Đ nh lý 4.2.1 Cho A t p khác r ng compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff, A có tính ch t m b t đ ng R (a, b) quan h gi a ph n t a ∈ A, b ∈ B G a s r ng: (i) V i m i m b ∈ A R (., b) đóng; (ii) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) đ R (ϕn (λ) , ai) đúng, ∆n = (λ1, , λn) ∈ R : n n i=1 λi = 1, λi , J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi t n t i a∗ ∈ A cho R (a∗, b) v i m i b ∈ A Ch ng minh Trư c h t, v i m i m b ∈ A ta ký hi u: U (b) = {a ∈ A : R (a, b) không } Theo u ki n (i) nên U (b) m A Th t v y, đ t W = A∴U (b) G a s lư i {aα} ∈ W , {aα} h i t đ n a Ta có R (aα, b) nên suy R (a, b) (vì R (•, b) bi n phân đóng) T suy a ∈ U(b) nên a ∈ W V y W t p đóng hay U (b) t p / m 41 Bây gi , gi s ngư c l i, v i m i a ∈ A t n t i b ∈ A cho R (a, b) không Khi A = b∈A U (b), nghĩa {U (b)}b∈A ph m c a A Vì A khác r ng, compact U (b) t p m , nên t n t i (b1, , bn) ⊂ A cho n A= ( bi ) U i=1 G i {βi : i = 1, 2, , n} phân ho ch đơn v đ i v i h ph m {U (bi) : i = 1, 2, , n} c a A, t c {βi : i = 1, 2, , n} hàm liên t c th a mãn u ki n sau đây: ≤ βi (a) ≤ 1, n i=1 βi (a) = 1; ∀a ∈ A, i = 1, 2, , n, n u a ∈ U (bi) v i i βi (a) = 0, v y R (a, bi) / Theo u ki n (ii), v i m i {a1, , an} ⊂ A có t n t i ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai) J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Ti p theo, ánh x ψ : A → A đư c đ nh nghĩa b i ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) , ∀a ∈ A Vì A có tính ch t m b t đ ng, t n t i a ∈ A cho a = ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) Khi t n t i i0 ∈ {i ∈ {1, , n} : βi (a) > 0} cho R (a, bi0) đúng, t c R (ψ (a) , bi0) Khi a ∈ U (bi0) t c βi0 (a) = / Đi u mâu thu n v i i0 ∈ J (β1 (a) , , βn (a)) , nghĩa βi0 (a) > V y u gi s sai Do t n t i a∗ ∈ A cho R (a∗, b) v i m i b ∈ A Ta có đ nh lý t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân t ng quát tính ch t KKM dư i Đ nh lý 4.2.2 Cho A, B hai t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng S1 : A A , S2 : A T : A⋅A A ánh x đa tr v i giá tr khác r ng R (a, b, y) quan h gi a ph n t a ∈ A, b ∈ B y ∈ Y Gi s r ng: (i) E := {a ∈ A : a ∈ S1 (a)} t p đóng; 42 A, (ii) V i m i a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S−1 (b) t p m A v i m i b ∈ A; (iii) V i m i m b ∈ A, T (•, b) n a liên t c dư i; (iv) V i m i m b ∈ A, R (•, b, •) đóng; (v) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) v i m i y ∈ T (ϕn (λ) , ai); N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) R (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh Đ nh nghĩa quan h bi n phân ρ (a, b) gi a ph n t a, b ∈ A b i: ρ (a, b) n u ch n u ho c b ∈ S2 (a) ho c a ∈ S1 (a) R (a, b, y) ∀y ∈ T (a, b) / (I) V i m i m b ∈ A m i lư i {aα} h i t đ n a mà ρ (aα, b) v i m i α Ta có hai trư ng h p: (1) N u b ∈ S2 (aα) aα ∈ S−1 (b) /2 / T gi thi t S−1 (b) m A v i m i b ∈ A suy a ∈ S−1 (b), t c /2 b ∈ S2 (a) V y ρ (a, b) / (2) N u aα ∈ S1 (aα) R (aα, b, y) ∀y ∈ T (aα, b) a ∈ S1 (a) theo u ki n (i) N u t n t i y ∈ T (a, b) cho R (a, b, y) không T gi thuy t T (•, b) n a liên t c dư i nên t n t i yα ∈ T (aα, b) v i yα → y Vì R (•, b, •) đóng nên t p {(a, y) ∈ A ⋅ B : R (a, b, y)không đúng} t p m Do t n t i α0 cho R (aα, b, yα) không v i m i α > α0 Đi u mâu thu n v i R (aα, b, y) v i y ∈ T (aα, b) V y a ∈ S1 (a) R (a, b, y) v i y ∈ T (aα, b) V y ρ (a, b) đúng, nghĩa ρ (•, b) đóng v i m i m c đ nh b ∈ A (II) Theo u ki n (v) v i b t kỳ t p h u h n {a1, , an} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ ∈ ∆n, ∃i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) v i y ∈ T (ϕn (λ) , ai) V y ta có hai trư ng h p (1) N u có i0 ∈ J (λ) cho ai0 ∈ S2 (ϕn (λ)) ,v y ta có ϕn (λ) ∈ A∴S−1 (ai0) Do ρ (ϕn (λ) , ai0) / (2) N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ), theo u ki n (v) ta có ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Theo u ki n (ii) ta có S2 (φn (λ)) ⊂ S1 (φn (λ)) V y ϕn (λ) ∈ S1 (ϕn (λ)) v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) v i m i y ∈ T (ϕn (λ) , ai) Suy ρ (ϕn (λ) , ai0) Như v y m i t p h u h n {a1, , an} c a A, t n t i ánh x đa tr ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = {λ1, , λn} ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho ρ (ϕn (λ) , ai) (III) Do đó, theo Đ nh lý 4.1.1, t n t i a∗ ∈ A cho ρ (a∗, b) đúng, t c a∗ ∈ S1 (a∗) R (a∗, b, y) v i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) H qu 4.2.1 trư ng h p đ c bi t c a Đ nh lý 4.2.2 H qu 4.2.1 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Gi s r ng: (i) E t p đóng; (ii)V i m i a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S−1 (b) m A v i m i b ∈ A; (iii) V i m i m b ∈ A, R (•, b) đóng; (iv) M i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai) đúng; N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i i ∈ J (λ) ϕn (x) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) R (a∗, b) v i m i b ∈ S2 (a∗) Ti p theo ta nêu đ nh lý KKM t ng quát Đ nh nghĩa 4.2.3 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff Ánh x đa tr F : A A đư c g i ánh x KKM t ng quát n u m i t p h u h n {a1, , an} ⊂ A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho ϕn (λ) ∈ F (ai) Chú ý 4.2.1 N u ϕn (λ) = λ1a1 + + λnan ánh x KKM ánh x KKM xét Chương Đ nh lý 4.2.3 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff , ánh x đa tr F : A A ánh x KKM t ng quát có giá tr đóng A có tính ch t m b t đ ng Khi F (a) = ∅ a∈A 44 Ch ng minh Áp d ng Đ nh lý 4.2.1, R (a, b) n u ch n u a ∈ F (b) Ti p theo đ nh lý t ng quát v s tương giao Ky Fan Đ nh lý 4.2.4 Cho A t p khác r ng compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff , A có tính ch t m b t đ ng B ⊂ A ⋅ A th a mãn u ki n sau: (i) V i m i b ∈ A, {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t p m A; (ii) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) đ (ϕn (λ) , ai) ∈ B / Khi ∃a ∗ ∈ A cho (a∗, b) ∈ B v i m i b ∈ A / Ch ng minh Đ nh nghĩa quan h bi n phân R (a, b) b i: R (a, b) n u ch n u (a, b) ∈ B / Ta có t u ki n (i), v i m i b ∈ A, t p {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t p m A nên v i m i b ∈ A, t p {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t p đóng A / Gi s lư i {aα} ∈ A, {aα} h i t đ n a Ta có R (aα, b) (aα, b) ∈ B mà t p {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t p đóng / / A nên (a, b) ∈ B suy R (a, b) / V y R (•, b) đóng v i m i b ∈ A Theo u ki n (ii), v i m i t p h u h n {a1, , a2} c a A t n t i ánh x đa tr ϕn : ∆n → A cho v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) đ R (ϕn (λ) , ai) Do theo Đ nh lý 4.2.1 R (a∗, b) v i m i b ∈ A, nghĩa ∃a∗ ∈ A cho (a∗, b) ∈ B v i m i b ∈ A / 4.3 4.3.1 ng d ng vào m t s toán Bài toán bao hàm th c bi n phân Cho A, B, Y t p c a không gian véctơ tôpô Hausdorff F : A ⋅ A⋅Y Z, G : A ⋅ A ⋅ Y Z, S1 : A A, S2 : A A, T : A ⋅ B Y ánh x đa tr Bài toán bao hàm th c bi n phân (I) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) ∈ F (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Bài toán bao hàm th c bi n phân (II) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (a∗, b, y) ⊂ G (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) 45 Bài toán bao hàm th c bi n phân (III) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (a∗, b, y)∩G (a∗, b, y) = ∅ v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Đ nh lý 4.3.1 Cho A, B hai t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff, A có tính ch t m b t đ ng Gi s u ki n (i) (iii) c a Đ nh lý 4.2.2 và: (1) V i m i m b ∈ A, {(a, y) ∈ A ⋅ B : ∈ F (a, b, y)} đóng; (2) V i m i t p h u h n {a1, , a2} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho ∈ F (ϕn (λ) , ai, y) v i m i y ∈ T (ϕn (λ) , ai) ; N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi toán bao hàm th c bi n phân (I) có nh t m t nghi m t c t n t i a∗ ∈ X cho a∗ ∈ S1 (a∗) ∈ F (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh Áp d ng Đ nh lý 4.2.2, quan h R (a, b, y) n u ∈ F (a, b, y) H qu 4.3.1 Gi s u ki n (1) c a Đ nh lý 4.3.1 đư c thay th b i u ki n sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) đóng Khi t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) ∈ F (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh V i m i m b ∈ A, n u m i lư i {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A ⋅ Y : ∈ F (a, b, y)} h i t đ n (a, y) ∈ F (aα, b, yα) T gi thuy t (a, y) → F (a, b, y) đóng nên ∈ F (a, b, y) V y {(a, y) ∈ A ⋅ Y : ∈ F (a, b, y)} đóng Đ nh lý 4.3.2 Cho A, B hai t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Gi s u ki n (i) - (iii) c a Đ nh lý 4.2.2 và: (1) V i m i m b ∈ A, {(a, y) ∈ A ⋅ Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} đóng; (2) V i m i t p h u h n {a1, , a2} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → X cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) đ F (ϕn (λ) , ai, y) ⊂ G (ϕn (λ) , ai, y) v i m i y ∈ T (ϕn (λ) , ai); N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) 46 Khi toán bao hàm th c bi n phân (II) có nh t m t nghi m, t c t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (a∗, b, y) ⊂ G (a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh Áp d ng Đ nh lý 4.2.2, quan h R (a, b, y) n u F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) H qu 4.3.2 Gi s u ki n (1) c a Đ nh lý 4.3.2 đư c thay th b i u ki n sau: (a) Ánh x (a, y) → F (a, b, y) n a liên t c dư i, (a, y) → G(a, b, y) ánh x đóng Khi t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (a∗, b, y) ⊂ G(a∗, b, y) v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh V i m i m b ∈ A, n u m i lư i {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A ⋅ Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y)} h i t đ n (a, y) F (aα, b, yα) ⊂ G(aα, b, yα.) V i m i u ∈ F (a, b, y), (a, b) → F (a, b, y) n a liên t c dư i nên t n t i uα ∈ F (aα, b, yα) ⊂ G(aα, b, yα) cho uα → u Vì (a, b) → G (a, b, y) đóng nên u ∈ G (a, b, y) Do F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) V y {(a, y) ∈ A ⋅ Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} t p đóng Đ nh lý 4.3.3 Cho A, B hai t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Gi s u ki n (i) - (iii) c a Đ nh lý 4.2.2 và: (1) V i m i m b ∈ A, {(a, y) ∈ A ⋅ Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} t p đóng; (2) V i m i t p h u h n {a1, , a2} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) đ F (ϕn (λ) , ai, y)∩ G (ϕn (λ) , ai, y) = ∅ v i m i y ∈ T (ϕn (λ) , ai); N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi toán bao hàm th c bi n phân (III) có nh t m t nghi m, t c t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (ϕn (λ) , ai, y) ∩ G (ϕn (λ) , ai, y) = ∅ v i m i y ∈ S2 (a∗) z ∈ T (a∗, b) Ch ng minh Áp d ng Đ nh lý 4.2.2, quan h R (a, b, y) n u F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅ H qu 4.3.3 Gi s u ki n (1) c a Đ nh lý 4.3.3 đư c thay th b i u ki n sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ánh x đóng 47 Khi t n t i a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗) F (a∗, b, y) ∩ G (a∗, b, y) = ∅ v i m i b ∈ S2 (a∗) y ∈ T (a∗, b) Ch ng minh V i m i m b ∈ A, n u v i m i lư i {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A ⋅ B : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} h i t đ n (a, y) đó, (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) t p đóng nên t n t i uα ∈ F (aα, b, yα) ∩ G(aα, b, yα) cho uα → u ∈ F (a, b, y) ∩ G(a, b, y) Như v y {(a, y) ∈ A ⋅ Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} t p đóng 4.3.2 B t đ ng th c Ky Fan minimax t ng quát v i hàm C - t a lõm Đ nh nghĩa 4.3.1 (Xem [5]) Cho X không gian tôpô A, Y ⊂ X Hàm f : X ⋅Y → R đư c g i C - t a lõm A n u m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → Y cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , xi) i∈J(λ) v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n Dư i đ nh lý t n t i nghi m c a b t đ ng th c Ky Fan t ng quát Đ nh lý 4.3.4 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng S1 : A A, S2 : A A ánh x đa tr v i giá tr khác r ng, hàm f : A ⋅ A → R hàm nh n giá tr th c Gi s r ng u ki n (i) - (iii) c a H qu 4.2.1 (1) V i m i m b ∈ A, a → f (a, b) hàm n a liên t c dư i; (2) V i m i a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; (3) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i λ ∈ ∆n ta có f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , ai) ; i∈J(λ) N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho f (a∗, b) ≤ v i m i b ∈ S2 (a∗) Ch ng minh Đ nh nghĩa quan h bi n phân R (a, b) b i R (a, b) n u ch n u f (a, b) ≤ Theo gi thi t, v i m i m b ∈ A, a → f (a, b) n a liên t c dư i, nên R (•, b) đóng v i m i m c đ nh b ∈ A Theo u ki n (3), v i m i t p h u h n {a1, , an} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → Y cho v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho 48 f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , ai) i∈J(λ) V i m i a ∈ A, f (a, a) ≤ nên t n t i i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ai) ≤ 0, t c R (ϕn (λ) , ai) M i u ki n c a H qu 4.2.1 th a mãn Do t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho R (a∗, b) v i m i b ∈ S2 (a∗) , hay t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho f (a∗, b) ≤ v i m i y ∈ S2 (x∗) H qu 4.3.4 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Hàm f : A ⋅ A → R th a mãn u ki n sau đây: (i) V i m i m b ∈ A, a → f (a, b) hàm n a liên t c dư i; (ii) V i m i m a ∈ A, b → f (a, b) C - t a lõm A; (iii) V i m i m a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; Khi t n t i a∗ ∈ A cho f (a∗, b) ≤ v i m i b ∈ A 4.3.3 B t đ ng th c véctơ minimax Ky Fan véctơ t ng quát v i C - P t a lõm Dư i t ng quát b t đ ng th c minimax Ky Fan véctơ v i C- t a lõm, t ta thu đư c b t đ ng th c minimax Ky Fan véctơ v i C - P- t a lõm Đ nh nghĩa 4.3.2 Cho X không gian tôpô, Z không gian véctơ tôpô Hausdorff v i nón P l i, nh n, đóng, khác r ng, intP = ∅ A, Y ⊂ X Hàm f : X ⋅ Y → Z đư c g i C − P - t a lõm A n u v i m i t p h u h n {x1, , xn} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → Y, cho v i m i λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n, t n t i i ∈ J (λ) đ f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , xi) + P Đ nh nghĩa 4.3.3 Hàm giá tr véctơ f : X → Z đư c g i P - liên t c t i x0 ∈ X n u v i m i lân c n m V c a g c Y t n t i lân c n m U c a x0 X cho v i m i x ∈ U f (a) ∈ f (x0) + V + P Hàm f đư c g i P - liên t c X n u f P - liên t c t i m i m c a X Đ nh lý 4.3.5 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Cho f : A ⋅ A Y ánh x đa tr Gi s u ki n (i) - (iii) c a H qu 4.2.1 49 (1) V i m i m b ∈ A, ánh x a → f (a, b) P - liên t c; (2) V i m i a ∈ A, f (a, a) ∈ intP ; / (3) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , ai) + P N u ∈ S2 (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho f (a∗, b) ∈ intP v i m i y ∈ S2 (a∗) / Ch ng minh Đ nh nghĩa quan h bi n phân R (a, b) b i: R (a, b) n u ch n u f (a, b) ∈ intP / V i m i m b ∈ A, m i lư i {aα} c a A mà R (aα, b) aα → a Gi s R (a, b) không đúng, f (a, b) ∈ intP V y t n t i lân c n m V c a m g c Y cho f (a, b) + V ∈ intP V i m i m b ∈ A, ánh x a → f (a, b) P - liên t c, nên t n t i lân c n m U c a a A cho v i m i a ∈ U ta có f (a , b) ∈ f (a, b) + V + P ⊂ intP + P ⊂ intP T suy t n t i α0 cho f (aα, b) ∈ intP v i α > α0 Đi u m u thu n v i gi thuy t R (aα, b) V y R (•, b) đóng m i b ∈ A Hơn n a, theo u ki n (3), v i m i t p h u h n {a1, , an} c a A t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho v i m i λ = {λ1, , λn} ∈ ∆n, t n t i i0 (λ) ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f ϕn (λ) , ai0(λ) + P N u t n t i λ0 ∈ ∆n cho R (ϕn (λ0) , yi) không v i m i i ∈ J (λ0) f (ϕn (λ0) , ai) ∈ intP V i m i i ∈ J (λ0) t ta có: f (ϕn (λ0) , ϕn (λ0)) ∈ f ϕn (λ0) , ai0(λ0) + P ⊂ intP + P ⊂ intP Đi u mâu thu n gi thi t f (a, a) ∈ intP v i m i a ∈ A / Khi đó, v i m i λ ∈ ∆n, t n t i i (λ) ∈ J (λ) cho R ϕn (λ) , ai(λ) T theo H qu 4.2.1, t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho R (a∗, b) v i m i y ∈ S2 (a∗) t c t n t i a∗ ∈ S1 (a∗) cho f (a∗, b) ∈ intP v i m i b ∈ S2 (a∗) / 50 H qu 4.3.5 Cho A t p khác r ng, compact c a không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính ch t m b t đ ng Ánh x đa tr f : A A → Y th a mãn u ki n sau: (1) M i m a ∈ A, a → f (a, b) P - liên t c; (2) M i m a ∈ A, b → f (a, b) C − P - t a lõm; (3) M i m a ∈ A, f (a, a) ∈ intP / Khi t n t i a∗ ∈ A cho f (a∗, b) ∈ intP v i m i b ∈ A / 4.3.4 Trò chơi đa m c tiêu t ng quát trò chơi n - ngư i không h p tác t ng quát Xét trò chơi đa muc tiêu n ngư i t ng quát Γ I, Ai, F i, Gi Gi s r ng: (i) I = {1, , n} t p h p ngư i chơi; (ii) V i m i i ∈ I, Xi = ∅ t p chi n lư c đư c thi t l p b i ngư i chơi th i; (iii) V i m i i ∈ I, F i = f1i, , fki : A = i∈IAi → Rk véctơ hàm chi phí b i ngư i chơi th i; (iv) V i m i i ∈ I, Gi : A−i = J∈I∴{i}Aj → 2Ai ánh x ch p nh n đư c c a ngư i chơi th i Ký hi u A−i = i∈I∴{i} Aj → 2Ai, a−i = (a1, , ai−1, ai+1, , an) ∈ A−i, a = (ai, a−i) ∈ A Ph n t a∗ = a∗, a∗ ∈ A đư c g i m cân b ng y u Pareto - Nash c a i− Γ I , Ai , F i, Gi n u v i m i i ∈ I ta có: a∗ ∈ Gi a∗ i ; F i ui, a∗ i − F i a∗, a∗ i ∈ intRk , ∀ui ∈ Gi a∗ i i − − i− / + − N u k = 1, Γ I, Ai, F i, Gi trò chơi t ng quát có n ngư i không h p tác m t m c tiêu Đ nh nghĩa ánh x U : A ⋅ A → Rk G : A → 2A b i: n U (a, b) = i=1 F i (ai, y−i) − F i (ai, a−i) , G ( a) = i∈I Gi (a−i) Ta có th ch ng minh r ng a m cân b ng y u Pareto - Nash c a Γ I, Ai, F i, Gi n u ch n u a ∈ G (a) U (a, b) ∈ intRk v i m i b ∈ G (a) + / Khi ta có k t qu sau Đ nh lý 4.3.6 Gi s r ng: (i) V i m i i ∈ I, Ai t p khác r ng, compact A có tính ch t m b t đ ng; 51 (ii) V i m i i ∈ I, {a ∈ A : ∈ Gi (a−i)} t p đóng, G−1 (bi) t p m v i i m i bi ∈ A i ; (iii) V i m i m b ∈ A, a → U (a, b) Rk liên t c; + (iv) V i m i t p h u h n {a1, , an} c a A, t n t i ánh x liên t c ϕn : ∆n → A cho, v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ U ϕn (λ) , + Rk + N u ∈ G (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi t n t i nh t m t m cân b ng y u Pareto - Nash a∗ ∈ A c a Γ I, Ai, F i, Gi Ch ng minh Áp d ng H qu 4.3.4 N u k = 1, ta có Đ nh lý 4.3.7 Gi s r ng: (i) V i m i i ∈ I, Ai t p khác r ng, compact A có tính ch t m b t đ ng; (ii) V i m i i ∈ I, {a ∈ A : ∈ Gi (a−i)} đóng, G−1 (bi) m v i m i bi ∈ Ai; i (iii) V i m i m b ∈ A, a → U (a, b) n a liên t c dư i; (iv) V i m i t p h u h n {a1, , a2} c a A, t n t i ánh x đa tr ϕn : ∆n → A cho, v i m i λ ∈ ∆n t n t i i ∈ J (λ) cho U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ U ϕn (λ) , i∈J(λ) N u ∈ G (ϕn (λ)) v i m i i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi t n t i nh t m t m cân b ng Nash a∗ ∈ A c a Γ I, Ai, F i, Gi Ch ng minh Áp d ng H qu 4.3.4 4.4 K t lu n Chương trình bày phương pháp m i đ nghiên c u toán quan h bi n phân tính ch t KKM T ta có đ nh lý t n t i nghi m c a toán bao hàm th c bi n phân, b t đ ng th c minimax Ky Fan véctơ t ng quát , trò chơi n ngư i không h p tác t ng quát trò chơi đa m c tiêu t ng quát 52 K T LU N D a báo [3]-[5] nh ng ki n th c v gi i tích hàm ánh x đa tr , lu n văn trình bày s t n t i nghi m c a toán quan h bi n phân trư ng h p toán có ho c tính ch t KKM tính l i Chúng c g ng ch ng minh chi ti t đ nh lý k t qu báo nêu Bài toán quan h bi n phân nhi u k t qu phong phú nhi u câu h i m chưa đư c trình bày lu n văn Vì v y, theo chúng tôi, toán quan h bi n phân m t đ tài nhi u u thú v có th khai thác 53 Tài li u tham kh o [A] Tài li u Ti ng Vi t [1] Hoàng T y (2005), Hàm th c gi i tích hàm, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [2] Nguy n Đông Yên (2007), Giáo trình gi i tích đa tr , NXB Khoa h c T nhiên Công ngh [B] Tài li u Ti ng Anh [3] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [4] D T Luc, Ebrahim Sarabi, Antoine Soubeyran (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, J Math Anal Appl 138, 544 - 555 [5] Y.J Pu, Z Yang (2012), Variational relation problem without the KKM property with applications, J Math Anal Appl 393, 256 - 264 54 ... A = Chương Bài toán quan h bi n phân Trong chương ta trình bày toán quan h bi n phân đưa m t s toán có th xem toán quan h bi n phân trình bày s t n t i nghiêm c a toán quan h bi n phân d a tính... cân b ng, toán t a cân b ng, toán bao hàm th c bi n phân, toán bao hàm th c t a bi n phân, toán b t đ ng th c bi n phân có th bi n đ i đư c v toán Bài toán quan h bi n phân đư c phát bi u sau: Cho... d ng quan h KKM vào m t toán m i, toán "Quan h bi n phân" , nh m nghiên c u m t toán t ng quát theo nghĩa m t s l p toán quen thu c toán t i ưu n tính, toán t i ưu phi n, toán cân b ng, toán t