Đang tải... (xem toàn văn)
200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 · Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x - y + 17 x+ y-5 é x + 3y - 13 = (D1 ) = Ûê ë3 x - y - = (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với D1 D2 KL: x + 3y - = 3x - y + = Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x - y + = d2 : x + y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 r r · d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = nên d1 ^ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = Û Ax + By - A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I Û d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A - B é A = 3B Û = cos 450 Û A2 - AB - 3B = Û ê ë B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : x + y - = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y - = ; d : x - 3y - = Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = , P(0;1) ĐS: x + 3y - = ; x - y + = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d2 : x + y + = điểm I (1; -2) Viết phương trình đường thẳng D qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 uur uur · Giả sử A(a; -3a - 5) Ỵ d1; B(b; -3b - 1) Ỵ d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uur uur ìb - = k (a - 1) I, A, B thẳng hng ị IB = kIA ợ-3b + = k (-3a - 3) · Nếu a = b = Þ AB = (khơng thoả) b -1 · Nếu a ¹ -3b + = (-3a - 3) Û a = 3b - a -1 AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + ùû = 2 Û t + (3t + 4)2 = (với t = a - b ) + Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + = Û 5t + 12t + = Û t = -2; t = - Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t = Câu Trần Sĩ Tùng -2 -2 Þ a-b = Þ b = , a = Þ D : 7x - y - = 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : x – y –1 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d1) (d2) tương uuur uuur r ứng A B cho MA + MB = · Giả sử: A(a; uuur –a–1),uuur B(b; r2b – 1) Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x – y + = A, B cho MB = 3MA uuur ì A Ỵ (d1 ) ì A(a; -1 - a) ìï uuur MA = (a - 1; -1 - a) ·í Ûí Þí B Ỵ ( d ) B (2 b 2; b ) ỵ ïỵ MB = (2b - 3; b) î uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) MB = -3MA (2) ì ỉ 1ư ì A 0; -1) ïA - ;Þ (d ) : x - y - = (1) Þ í ỗố 3 ữứ ị (d ) : x - 5y - = (2) Þ í ( î B(4;3) ï B(-4; -1) î Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - = 0, d2 : x + y - = A, B cho Câu MA – 3MB = · Giả sử A(a;3a - 5) Ỵ d1 , B(b;4 - b) Î d2 uuur uuur é2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng MA = 3MB nên ê uuur MA = MB (2) ë ì ỉ 5ư ïa = ì2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) Û í ị A ỗ ; ữ , B(2;2) Suy d : x - y = î2(3a - 6) = 3(3 - b) è2 2ø ïîb = ì2(a - 1) = -3(b - 1) ìa = + (2) Û í Ûí Þ A(1; -2), B(1;3) Suy d : x - = ỵ2(3a - 6) = -3(3 - b) ỵb = Vậy có d : x - y = d : x - = Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA + 3OB) nhỏ Câu · PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): M(3; 1) Ỵ d = x y + = (a,b>0) a b Cô - si + ³ Þ ab ³ 12 a b a b ìa = 3b ï ìa = Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 1 Û í îb = ïî a = b = x y Phương trình đường thẳng d là: + = Û x + 3y - = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA + OB nhỏ · x + 2y - = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ + OA2 OB · Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) vi a.b ị Phng trỡnh ca (d) có dạng + = a b Vì (d) qua M nên + = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có : a b Câu 2 ỉ1 2ư ỉ1 æ öæ ö 9 9 = ỗ + ữ = ỗ + ữ Ê ỗ + 1ữỗ + ữ Û + 2³ + ³ 2 2 b ø è øè a 10 10 b ø a b OA OB èa bø è3 a 2 20 Dấu xảy : = 1: + = Û a = 10, b = Þ d : x + y - 20 = a b a b Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2) · x + 3y - = 0; x - y - = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = · Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b ì2 ì2b + a = ab ï + =1 Theo giả thiết, ta có: í a b Ûí ab = ỵ ï ab = ỵ · Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = Þ d1 : x + y - = · Khi ab = -8 2b + a = -8 Ta có: b2 + 4b - = Û b = -2 ± 2 + Với b = -2 + 2 Þ d : (1 - ) x + (1 + ) y - = + Với b = -2 - 2 Þ d : (1 + ) x + (1 - ) y + = Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 ĐS: d : 3x - y - 12 = ; d : 3x - 8y + 24 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (D) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = Û ax + by – 2a + b = (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos a = 2a - b = Û 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = Þ b = 1; b = 10 5(a2 + b2 ) Þ (D1): x + y – = (D2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng D qua A tạo với đường thẳng d góc 450 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = Û ax + by – (2a + b) = (a2 + b2 ¹ 0) 2a + 3b Ta có: cos 450 = é a = 5b Û 5a2 - 24ab - 5b2 = Û ê ë5a = - b 13 a2 + b2 + Với a = 5b Chọn a = 5, b = Þ Phương trình D : x + y - 11 = + Với 5a = -b Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + = Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x - y - = điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45 · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = (a2 + b2 ¹ 0) Vì (· d , D) = 450 nên 2a - b 2 a +b é a = 3b Ûê ë b = -3a = 4+c éc = = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 = 10 Û ê · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û ëc = 12 10 · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û Vậy đường thẳng cần tìm: x + y + = 0; 3x + y - 14 = ; x - 3y - = 0; x - 3y + 12 = Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x + y + = x - 3y + = Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho + đạt giá trị nhỏ AB AC · A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) Ta có d1 ^ d2 Gọi D đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A D ta có: 1 AB + AC = 1 AH ³ AM (không đổi) H º M, hay D đường thẳng qua M AB AC AM vng góc với AM Þ Phương trình D: x + y - = Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; -2) , d1 : x + y + = , d2 : x - 3y + = ĐS: D : x + y + = Þ + đạt giá trị nhỏ Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – = đường tròn (C ) : x + y – y = Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) à M ẻ (d) ị M(3b+4; b) ị N(2 – 3b; – b) N Ỵ (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = Þ b = 0; b = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng ỉ 38 ỉ 4ư Vậy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ữ ố 5ø è 5ø Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng D: x + 3y + = Tìm điểm B thuộc đường thẳng D cho đường thẳng AB D hợp với góc 450 r ì x = - 3t · D có PTTS: í VTCP u = (-3;2) Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) ẻ D ợ y = -2 + 2t é 15 uuur r uuur r êt = 13 AB.u ( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) = Û Û 169t - 156t - 45 = Û ê r = AB u 2 êt = - 13 ë ỉ 32 ỉ 22 32 Vy cỏc im cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ỗ ; - ữ ố 13 13 ø è 13 13 ø Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - = điểm N(3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 uuur · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x - 3y = Giả sử M (3m + 6; m) Î d 2S Khi ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = ON 4.(3m + 6) - 3m -13 Û = Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m = ỉ -13 -13 + Với m = -1 Þ M (3; -1) + Với m = ị M ỗ -7; ữ 3 ứ ố Cõu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x - y + = Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC · Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Ỵ d uuur r ỉ2 6ư 5 Vì DABC vuông B nên AB ^ d Û AB.ud = B ỗ ; ữ ị AB = ị BC = 5 è 5ø éc = Þ C (0;1) BC = 125c - 300c + 180 = Û ê ỉ4 7ư êc = ị C ỗ ; ữ 5 ố 5ø ë Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - = , d2 : x + y - = điểm A(1; 4) Tìm điểm B Ỵ d1, C Ỵ d2 cho tam giác ABC vuông cân A uuur uuur · Gọi B(b;3 - b) Ỵ d1, C (c;9 - c) Ỵ d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) uuur uuur ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = ì AB AC = DABC vng cân A Û í Ûí 2 2 (*) ỵ AB = AC ỵ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vì c = khơng nghiệm (*) nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì (b + 1)(5 - c) (1) ïïb - = c -1 (*) Û í (5 - c)2 ï(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) ïỵ (c - 1) éb = c - Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê ë b = -c + Với b = c - , thay vào (1) ta c = 4, b = Þ B(2;1), C (4;5) + Với b = -c , thay vào (1) ta c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) Vậy: B(2;1), C (4;5) B(-2;5), C (2;7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + – m = ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – = Chứng minh d1 d2 ln cắt Gọi P = d1 Ç d2 Tìm m cho PA + PB lớn ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - · Xét Hệ PT: í ỵ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + æ 3ư m -1 m - Ta có D = = ỗ m - ữ + > 0, "m - m m -1 2ø è Þ d1, d2 ln cắt Ta có: A(0;1) Ỵ d1, B(2; -1) ẻ d2 , d1 ^ d2 ị D APB vng P Þ P nằm đường trịn đường kính AB Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = AB = 16 Þ PA + PB £ Dấu "=" xảy Û PA = PB Û P trung điểm cung » AB Û P(2; 1) P(0; –1) Û m = m = Vậy PA + PB lớn Û m = m =2 Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – y – = hai điểm A(-1;2) , B(3;4) Tìm điểm MỴ(D) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ uuur uuur · Giả sử M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) ỉ 2ư ỉ 26 ö Ta có: AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) ị f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ữ ố 15 ứ ố 15 15 ø Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x - y + = điểm A(1; 0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ · Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > Þ A, B nằm phía d Gọi A¢ điểm đối xứng A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - = Với điểm M Ỵ d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B Mà MA¢ + MB nhỏ Û A¢, M, B thẳng hàng Û M giao điểm A¢B với d ỉ 17 Khi ú: M ỗ - ; ữ ố 11 11 ø Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B giao điểm đường thẳng (d): x – y – = đường tròn (C’): x + y - 20 x + 50 = Hãy viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A, B, C(1; 1) · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x + y - x - 8y + 10 = , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm DABC nằm đường thẳng d : 3x – y – = Viết phương trình đường trịn qua điểm A, B, C · Tìm C (1; -1) , C2 (-2; -10) 11 11 16 + Với C1(1; -1) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : x + y - = , d2 : x + y + = , d3 : x + 3y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3 · Gọi tâm đường trịn I (t;3 - 2t ) Ỵ d1 3t + 4(3 - 2t ) + 4t + 3(3 - 2t ) + ét = = Û ê 5 ët = 49 Vậy có đường trịn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = 25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – y –10 = , d2 : x + y + = , d3 : x - 3y - = Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û 2 æ 10 ö æ 70 ö æ ö ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ 43 ø è 43 ø è 43 ø è 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + = , D ' :3x - y + 10 = điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng D , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng D¢ Câu · Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Ỵ D Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 +4 = (-3t - + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = PT đường tròn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x - 3y + = D ' : x - y - 31 = Lập phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D điểm có tung độ tiếp xúc với D ' Tìm tọa độ tiếp điểm (C ) D ' Câu · Gọi I (a; b) tâm đường tròn (C) (C ) tiếp xúc với D điểm M(6;9) (C ) tiếp xúc với D¢ nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì ì 4a - 3b + 3a - 4b - 31 54 - 3a ìduuu (rI , D) = d (I , D ') ï ï 4a - + = 6a - 85 = Ûí Ûí r í 5 ỵ IM ^ uD = (3; 4) ïỵ3(a - 6) + 4(b - 9) = ïỵ3a + 4b = 54 ì ï 25a - 150 = 6a - 85 é a = 10; b = Ûí Ûê 54 - 3a b = ë a = -190; b = 156 ïỵ Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' N(13;2) (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' N(-43; -40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn qua A(2; -1) tiếp xúc với trục toạ độ é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) · Phương trình đường trịn có dạng: ê 2 êë( x - a) + ( y - a) = a (b) a) Þ a = 1; a = b) Þ vơ nghiệm Câu Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x - y - = Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d) · Gọi I (m;2m - 4) Ỵ (d ) tâm đường trịn cần tìm Ta có: m = 2m - Û m = 4, m = Câu 2 æ 4ö æ ö 16 · m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = 3ứ ố 3ø è · m = phương trình đường tròn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng (D): 3x – y + = Lập phương trình đường trịn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng (D) Câu · Tâm I đường tròn nằm uuurtrên đường trung trực d đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT AB = (4;2) Þ d: 2x + y – = Þ Tâm I(a;4 – 2a) éa = Ta có IA = d(I,D) Û 11a - = 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = Û ê 31 êa = ë · Với a = Þ I(3;–2), R = Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 ỉ 31 ỉ 31 4225 31 65 à Vi a = ị I ỗ ; -27 ữ , R = ị (C): ỗ x - ữ + ( y + 27)2 = 2 2ø è ø è Câu Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + y - = D : x + 3y - = Lập 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với D à Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) (C) tiếp xúc với D nên: phương trình đường trịn có bán kính d (I , D) = R Û a-2 10 = 10 éa = Ûê ë a = -2 Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = 5 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + x - = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C¢), bán kính R¢ = tiếp xúc ngồi với (C) A · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I¢ tâm (C¢) ì PT đường thẳng IA : í x = 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) ỵ y = 2t + uur uur AI = I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y – y – = Hãy viết ỉ4 2ư phương trình đường trịn (C¢) đối xứng với đường trịn (C) qua im M ỗ ; ữ ố 5ứ à (C) có tâm I(0;2), bán kính R = Gọi I’ điểm đối xứng I qua M æ -6 ị I ỗ ; ữ ị (CÂ): ố5 ứ 2 ổ 8ử ổ 6ử ỗx - ữ +ỗy+ ữ = 5ứ ố 5ứ ố Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y - x + y + = Viết phương trình đường trịn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) hai điểm A, B cho AB = · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = PT đường thẳng IM: 3x - y - 11 = AB = ì H Ỵ IM ì3 x - y - 11 = ï ï Û Gọi H ( x; y ) trung điểm AB Ta có: í í 2 2 ïỵ IH = R - AH = ïỵ( x - 1) + ( y + 2) = é 29 ê x = - ; y = - 10 ỉ 29 ỉ 11 11 ị H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ữ ố 10 ứ è 10 ø ê x = 11 ; y = - 11 10 ë ỉ 29 à Vi H ỗ - ; - ữ Ta có R¢2 = MH + AH = 43 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 è 10 ø æ 11 11 à Vi H ỗ ; - ữ Ta có R¢2 = MH + AH = 13 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 è 10 ø Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = điểm K(3;4) Lập phương trình đường trịn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I tâm đường trịn (C) · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = SD IAB lớn Û DIAB vuông I Û AB = 2 Mà IK = 2 nên có hai đường trịn thoả YCBT + (T1 ) có bán kính R1 = R = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC ỉ1 với đỉnh: A(–2;3), B ç ;0 ÷ , C (2;0) è4 ø ỉ1 à im D(d;0) ỗ < d < ữ thuộc đoạn BC chân đường phân giác gúc A ố4 ứ 2 ổ9ử ỗ ÷ + ( -3) d DB AB 4= è ø = Û Þ 4d - = - 3d Þ d = DC AC 2-d + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = Û x + y - = ; AC: = Û 3x + y - = -3 -3 Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: é (1 - b ) + 4b - ê b - = 5b Þ b = - = b Û b - = 5b Þ ê 2 ê b - = -5b Þ b = +4 ë Rõ ràng có giá trị b = hợp lý Phương trình AD: 2 ỉ 1ư ỉ 1ư Vậy, phương trình đường trịn nội tiếp DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ÷ = 2ø è 2ø è Câu 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x - 3y - 12 = (d2): x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2) trục Oy · Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 Ç Oy, C = d2 Ç Oy Þ A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A AO phân giác góc A Gọi I, R tâm bán kính đường trũn ni tip DABC ổ4 ị I ỗ ;0 ÷ , R = è3 ø Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - = hai đường trịn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc với (C1) (C2) · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 tâm bán kính (C), (C1), (C2) Giả sử I (a; a –1)Ỵ d (C) tiếp xúc với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II = R + R2 Þ II1 – R1 = II – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - Û a = Þ I(0; –1), R = Þ Phương trình (C): x + ( y + 1)2 = Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng a) AB :12 x - y - 23 = , BC : x - 5y + = , M(3;1) b) AB : x - y + = , BC : x - 3y - = , M(3;2) ĐS: AC : 8x + y - 33 = ĐS: AC : x + y - = Câu 65 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(6; 6) diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC · Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (C) có tâm I(6;6) bán kính R = IA = Þ (C): ( x - 6)2 + ( y - 6)2 = 25 Gọi D giao điểm (C) với đường thẳng x - y + = Þ D(9;10) uur Ta có: ID ^ BC Þ ID = (3; 4) VTPT BC Þ Phương trình BC có dạng : 3x + y + m = Theo đề ta có SD ABC = 3SDIBC Û d ( A, BC ) = 3d (I , BC ) Û 18 + m = 42 + m é m = -54 Ûê ë m = -36 Vậy có hai đường thẳng thỏa YCBT : x + y - 54 = x + y - 36 = Câu 66 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1; 4) , tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3; 0) trung điểm cạnh BC M(0; -3) Viết phương trình đường thẳng AB, biết điểm B có hồnh độ dương uuur uuur · Giả sử N trung điểm AC Vì DABH ~ DMNI HA // MI nên HA = MI Þ A(-7;10) 2 ì Ta có: IA = IB, IM ^ MB Þ Toạ độ điểm B thoả hệ: í( x + 3) + y = 116 Þ B(7; 4) î-3 x + 3( y + 3) = Vậy: Phương trình AB : x + y - 49 = Câu 67 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A chia DABC thành hai phần có tỉ số diện tích · 3x + y –15 = 0; x + 5y –12 = Câu 68 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 :2 x + 5y + = ; d2 :5x - y - = cắt A điểm P(-7;8) Viết phương trình đường thẳng d3 qua 29 · Ta có A(1; -1) d1 ^ d2 PT đường phân giác góc tạo d1 , d2 là: P tạo với d1 , d2 thành tam giác cân A có diện tích D1: x + 3y - = D2: 3x - 7y - 10 = d3 tạo với d1 , d2 tam giác vng cân Þ d3 vng góc với D1 D2 Þ Phương trình d3 có dạng: x + 3y + C = hay 3x - y + C ¢ = Mặt khác, d3 qua P(-7;8) nên C = 25 ; C¢ = 77 Suy : d3 : x + 3y + 25 = hay d3 :3 x - y + 77 = Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích Trang 45 29 Þ cạnh huyền 58 PP toạ độ mặt phẳng Suy độ dài đường cao A H = Trần Sĩ Tùng 58 = d ( A, d3 ) 58 ( thích hợp) 87 · Với d3 : 3x - y + 77 = d ( A; d3 ) = ( loại ) 58 · Với d3 : x + 3y + 25 = d ( A; d3 ) = Câu 69 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (D) : 3x - y - = cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích ìx = t · Phương trình tham s ca D: M ẻ D ị M(t; 3t – 5) ỵ y = 3t - æ7 ö SMAB = SMCD Û d ( M , AB) AB = d ( M , CD ).CD Û t = -9 Ú t = Þ M (-9; -32), M ỗ ;2 ữ ố3 ứ Cõu 70 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AC x + y - = x + y + = , điểm M(1;2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D uuur uuur cho DB.DC có giá trị nhỏ · Phương trình BC có dạng: a( x - 1) + b( y - 2) = 0, a2 + b2 > a + 2b 2a + b é a = -b Ûê ëa = b a2 + b2 a2 + b2 æ -2 ö · Với a = - b : chọn b = -1, a = Þ BC: x - y + = ị B(0;1), C ỗ ; ÷ Þ M khơng thuộc è 3ø đoạn BC · Với a = b : chọn a = b = Þ BC : x + y - = Þ B(4; -1), C (-4; 7) Þ M thuộc đoạn BC uuur uuur uur uur uur uur BC BC Gọi trung điểm BC I(0;3) Ta có: DB.DC = (DI + IB).( DI + IC ) = DI ³4 uuur uuur Dấu "=" xảy Û D º I Vậy DB.DC nhỏ D(0; 3) DABC cân A nên cos B = cos C Û = Câu 71 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích ; trọng tâm G DABC nằm đường thẳng (d): 3x – y – = Tìm bán kính đường tròn nội tiếp D ABC · Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C; AB) = é a - b = (1) Þ a-b-5 =3Û ê ; ë a - b = (2) S · (1), (3) Þ C(–2; 10) Þ r = = p 2+ S · (2), (3) Þ C(1; –1) Þ r = = p +2 a-b-5 = 2SDABC AB ổ a+5 b-5ử Trng tõm G ỗ ; ữ ẻ (d) ị 3a b =4 (3) ứ è 3 65 + 89 Câu 72 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 96 Gọi M(2;0) Trang 46 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng trung điểm AB, phân giác góc A có phương trình: d : x - y - 10 = Đường thẳng AB tạo với d góc a thỏa mãn cos a = Xác định đỉnh tam giác ABC · Gọi M ' đối xứng với M(2;0) qua d : x - y - 10 = Þ M '(10; -8) PT đường thẳng AB qua M(2;0) có dạng: a( x - 2) + by = AB tạo với d : x - y - 10 = góc a Þ a-b a2 + b2 = cos a = é a = 7b Ûê ë b = 7a · Với a = 7b Þ AB: x + y - 14 = AB cắt d A Þ A(3; -7) Þ B(1; 7) Þ AB = 10 uuur uuuur 1 Þ SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC Þ AC = AM ' Þ C (17; -9) 2 · Với b = 7a Þ AB: x + y - = AB cắt d A Þ A(9; -1) Þ B(-5;1) Þ AB = 10 uuur uuuur 1 Þ SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC Þ AC = AM ' Þ C (11; -15) 2 Vậy, A(3; -7), B(1;7), C (17; -9) A(9; -1), B(-5;1), C (11; -15) Câu 73 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Đỉnh B(1; 1) Đường thẳng AC có phương trình: x + 3y - 32 = Trên tia BC lấy điểm M cho BC BM = 75 Tìm 5 · Đường thẳng (AB) qua B vng góc với (AC) Þ ( AB) : 3x - y + = Þ A(5;4) Gọi E rlà giao điểm uur uuu uuur uuu r đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC với BA ta có: BA.BE = BM BC = 75 ( M nằm tia BC ) Þ tìm E(13;10) đỉnh C biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMC Vì DAEC vng A nên CE đường kính đường trịn ngoại tiếp DAMC Þ EC = 5 Do C giao đường trịn tâm E bán kính r = 5 với đường thẳng AC ì4 x + 3y - 32 = é x = 2; y = Þ Toạ độ C nghiệm hệ í Û ê 2 ë x = 8; y = ỵ( x - 13) + ( y - 10) = 125 Vậy: C(2;8) C(8;0) Câu 74 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC: x - y - = , đỉnh A B nằm trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ì · Toạ độ điểm B nghiệm hệ: í x - y - = ị B(1; 0) ợy = Đường thẳng BC có hệ số góc k = nên · ABC = 60 Þ đường phân giác BE tam 3 nên có phương trình: y = x 3 Tâm I (a; b) đường tròn nội tiếp DABC thuộc BE d ( I , Ox ) = nên: b = giác ABC có hệ số góc k  = + Vi b = ị a = + Þ I(1 + 3;2) + Với b = -2 Þ a = - Þ I(1 - 3; -2) Đường phân giác AF có dạng: y = - x + m Vì AF qua I nên: + Nếu I(1 + 3;2) m = + Þ ( AF ) : y = - x + + Þ A(3 + 3; 0) Trang 47 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Do AC ^ Ox nên AC có phương trình: x = + Từ suy C(3 + 3;6 + 3) ỉ4+4 6+2 ; Suy to trng tõm G ỗ ữ 3 è ø + Nếu I(1 - 3; -2) m = -1 - Þ ( AF ) : y = - x - - Þ A(-1 - 3; 0) Do AC ^ Ox nên AC có phương trình: x = -1 - Từ suy C ( -1 - 3; -6 - ) æ -1 - + ö Suy to trng tõm G ỗ ; ữ 3 è ø ỉ4+4 6+2 ỉ -1 - + Vậy có hai im tho YCBT: G ỗ ; ; ữ hoc G ỗ ữ 3 ứ 3 ố ố ø Câu 75 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Đỉnh A có toạ độ số dương, hai điểm B, C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 7( x - 1) Biết chu vi DABC 18, tìm toạ độ đỉnh A, B, C · Ta có: B = ( AB) Ç Ox Þ B(1; 0) Giả sử A ( a;3 7(a - 1) ) ( a > x A > 0, y A > ) Gọi AH đường cao DABC Þ H (a;0) Þ C (2a - 1;0) Þ BC = 2(a - 1), AB = AC = 8(a - 1) PD ABC = 18 Û a = Þ C (3;0), A ( 2;3 ) Vậy: A ( 2;3 ) , B(1; 0) , C(3;0) Trang 48 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 05: TỨ GIÁC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình d1 : 3x - y = , đường thẳng BD có phương trình Câu d2 : x - y = , góc tạo hai đường thẳng BC AB 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương r · D = d1 Ç d2 Þ D(0; 0) º O VTPT đường thẳng AD BD n1 = (3; -1) , r n2 = (1; -2) Ta có: cos· ADB = Þ· ADB = 450 Þ AD = AB BC , AB) = 450 nên · BCD = 450 Þ DBCD vng cân B Þ DC = 2AB Vì (· AB2 S ABCD = 24 Û ( AB + CD ) AD = = 24 Þ AB = Þ BD = 2 uuur æ 10 10 ỉ xB 10 ỉ xB Gi B ỗ x B ; ữ ẻ d2 , x B > BD = x B + ỗ ữ = x B = ị Bỗ ; ữ ỗ ữ ứ 5 è è ø è ø Đường thẳng BC qua B vng góc với d2 ÞPhương trình BC là: x + y - 10 = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD) Biết A(0; 2), D(–2; –2) giao điểm I AC BD nằm đường thẳng có phương trình d : x + y - = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang góc · AOD = 450 Câu à I ẻ d ị I ( x; - x ) AD = 5; IA = x - x + ; ID = x - 8x + 40 IA2 + ID - AD éx = = cos· AID Þ ê 2IA.ID ëx = uur ID uur + Với x = Þ IA = 2, ID = Þ ID = - IB IB Trong D AID có: Þ B ( + 2;2 + ) , C ( + 2;2 + ) + Với x = Þ B ( + 2;2 + ) , C ( + 2; -2 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = điểm A(0; –4), B(4; 0) Tìm tọa độ điểm C D cho đường tròn (C) nội tiếp hình thang ABCD có đáy AB CD Câu · (C ) : ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = có tâm I(1; -1) R = PT cạnh AB: x - y - = PT cạnh CD có dạng: x - y + c = 0; c ¹ -4 CD tiếp xúc với (C) Þ d ( I , CD ) = R Û 1+1+ c = Û c = Þ PT cạnh CD: x - y = Nhận thấy đường thẳng x = 0, x = tiếp tuyến (C) Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx - y - = (k ¹ 1) Ta có: d ( I , AD ) = R Û k - = 2(k + 1) Û k + 6k - = Û k = -7 æ -1 -1 ỉ1 1ư Þ PT cạnh AD: x + y + = ị D ỗ ; ữ PT cạnh BC: x + y - = ị C ỗ ; ữ ố 2 ø è2 2ø Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết Trang 49 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng A(1; 0), B(0; 2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D uuur · Ta có: AB = (-1;2) Þ AB = Phương trình AB: x + y - = I Ỵ (d ) : y = x Þ I (t; t ) I trung điểm AC BD nên: C (2t - 1;2t ), D(2t;2t - 2) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chiều cao) Þ CH = é ỉ 8ư ỉ8 2ư 6t - 4 t = Þ C ỗ ; ữ,Dỗ ; ữ Ngoi ra: d (C; AB) = CH Û = Û è3 3ø è3 3ø ê 5 ( t = Þ C -1; 0), D(0; -2) êë ỉ 8ư ỉ8 2ử Vy C ỗ ; ữ , D ỗ ; ÷ C (-1;0), D(0; -2) è3 3ø è3 3ø Câu hỏi tương tự: a) Với S ABCD = , A(2; 0), B(3; 0), I = AC Ç BD , I Ỵ d : y = x ĐS: C (3; 4); D(2; 4) C (-5; -4); D(-6; -4) b) Với S ABCD = , A(0; 0), B(–1; 2), I = AC Ç BD , I Ỵ d : y = x - æ -2 -8 ö æ -14 ö ĐS: C(2; 0), D(3; 2) hoc C ỗ ; ữ , D ç ; ÷ è 3 ø è3 ø Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm parabol (P): y = x - x + , tâm I nằm cung AB (P) Tìm tọa độ hai đỉnh C, D cho tam giác IAB có diện tích lớn · I nằm cung AB ( P) nên I (a; a2 - 2a + 1) với < a thuộc đường thẳng (d ) : x - y - = có hồnh độ x I = ổ9 3ử à I ỗ ; ữ Gọi M = d Ç Ox trung điểm cạnh AD, suy M(3;0) AB = IM = è2 2ø S 12 S ABCD = AB AD = 12 Û AD = ABCD = = 2 AB ì AD ^ (d ) í M Ỵ AD , suy phương trình AD: x + y - = ỵ Lại có MA = MD = Vậy tọa độ A, D nghiệm hệ phương trình: ìï x + y - = ìy = -x + ìx = ìx = í Vậy A(2;1), D(4;–1), Ûí Ûí í 2 2 ỵy = ỵ y = -1 ỵ( x - 3) + y = ỵï ( x - 3) + y = ì x A + xC ïï x I = ì x = xI - x A = - = ỉ9 3ư I ỗ ; ữ l trung im ca AC, suy ra: í Ûí C è2 2ø ỵ yC = yI - y A = - = ï y = y A + yC I ïỵ Tương tự I trung điểm BD nên ta có: B(5;4) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; –1) Câu hỏi tương tự: a) Giả thiết với tâm I = d1 Ç d2 , d1 : x - y - = d2 : x + y - = , M = d1 Ç Ox ĐS: A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; –1) Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng D: x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB · I (6; 2); M (1; 5) D : x + y – = 0, E ẻ D ị E(m; m); Gọi N trung điểm AB ìï x N = xI - xE = 12 - m I trung điểm NE Þ í Þ N (12 – m; m – 1) y = y y = + m = m ïỵ N I E uuuur uur MNr uu =r (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) uuuu MN IE = Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = Û m – = 0uuuu hay r 14 – 2m = Û m = hay m = + m = Þ uuuu MNr = (5; 0) Þ PT (AB) y = + m = Þ MN = (4; 1) Þ PT (AB) x – 4y + 19 = Câu hỏi tương tự: a) Với I(2;2) , M(–3;1) , E Ỵ D : x + y - = ĐS: x - y + = x - 5y + 14 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AB, AD qua điểm M (2;3), N (-1;2) Hãy lập phương trình đường thẳng BC CD, ỉ5 3ư biết rng hỡnh ch nht ABCD cú tõm l I ỗ ; ÷ độ dài đường chéo AC 26 è2 2ø r · Giả sử đường thẳng AB có VTPT nAB = (a; b) (a2 + b2 ¹ 0) , AD vng góc với AB nên r đường thẳng AD có vtpt nAD = (b; - a) Do phương trình AB, AD là: Trang 52 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng AB : a( x - 2) + b( y - 3) = 0; AD : b( x + 1) - a( y - 2) = Ta có AD = 2d ( I ; AB) = a - 3b a2 + b2 ; AB = 2d ( I ; AD ) = 7b + a a2 + b2 é a = -b Û 3a2 - ab - 4b2 = Û ê 4b êa = a2 + b2 ë Gọi M', N' điểm đối xứng M, N qua I suy M Â(3;0) ẻ (CD ), N Â(6;1) ẻ ( BC ) r r + Nếu a = - b , chọn a = 1, b = -1 suy nAB = (1; -1), nAD = (1;1) r PT đường thẳng CD có VTPT nAB = (1; -1) qua điểm M ¢(3;0) : (CD) : x - y - = r PT đường thẳng BC có VTPT nAD = (1;1) qua điểm N ¢(6;1) : (BC ) : x + y - = Do đó: AC = AB + AD Û 26 = (a - 3b)2 + (7b + a)2 4b r r , chọn a = 4, b = suy nAB = (4;3), nAD = (3; -4) r PT đường thẳng CD có VTPT nAB = (4;3) qua điểm M ¢(3;0) : (CD ) : x + 3y - 12 = r PT đường thẳng BC có VTPT nAD = (3; -4) qua điểm N ¢(6;1) : ( BC ) : 3x - y - 14 = + Nếu a = Vậy: (BC ) : x + y - = , (CD) : x - y - = ( BC ) : x - y - 14 = , (CD ) : x + 3y - 12 = Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm đường thẳng (d): x - y + = Tìm toạ độ đỉnh B, C, D ì B, D Î d · C đối xứng với A qua đường thẳng d Þ C(3; 1) í AB = AD = ị B(2; 1), D(6; 5) ợ Cõu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y –1 = , điểm A( 0; –1), B(2; 1) Tứ giác ABCD hình thoi có tâm nằm đường thẳng D Tìm tọa độ điểm C, D · Gọi I(a;uur b) tâm hìnhuurthoi Vì I Ỵ D nên a + b – = hay b = – a (1) Ta có: AI = (a; b + 1) BI = (a – 2; b –1) Do AI ^ BI Þ a(a - 2) + (b + 1)(b - 1) = (2) Từ (1) (2) Þ a2 - 2a = Û a = Ú a = · Với a = I(0; 1) Þ C(0;2) D(–2;1) · Với a = I(2; –1) Þ C(4; –1) D(2; –3) Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) D(–2;1) C(4;–1) D(2;–3) Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0), đường chéo BD có phương trình d : x – y + = Tìm toạ độ đỉnh B, C, D , biết BD = · AC ^ BD Þ Phương trình AC: x + y - = Gọi I = AC ầ BD ị I(0;1) ị C ( -1;2 ) BD = Þ IB = 2 PT đường trịn tâm I bán kính IB = 2 : x + ( y - 1) = ìï ì é B(2;3), D(-2; -1) Toạ độ B, D nghiệm hệ : í x + ( y - 1) = Û í x = Û ê ỵ y = x + ë B(-2; -1), D(2;3) ïỵ x - y + = Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình đường chéo d : x + y - = , điểm B(0;–3) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi biết diện tích hình thoi 20 Trang 53 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng · Ta có B(0; -3) ẽ d ị A, C ẻ d Ph.trỡnh BD: x - 3y - = Gọi I = AC ầ BD ị I(3; -2) ị D(6; -1) BD = 10 Gọi A(a;7 - 3a) Ỵ d S ABCD = d ( A, BD ).BD Þ a - 3(7 - 3a) - 12 + 32 é A (2;1); C1(4; -5) éa = 2 10 = 20 Û ê Þ ê ëa = ë A2 (4; -5); C2 (2;1) Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) AC = BD ổ 4ử ổ 13 im M ỗ 2; ữ thuc ng thng AB , im N ỗ 3; ữ thuộc đường thẳng CD Viết è 3ø è 3ø phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ ỉ 5ư · Tọa độ điểm N¢ đối xứng với điểm N qua I N  ỗ 3; ữ ị N nm trờn ng thng AB è 3ø Đường thẳng AB qua M, N¢ có PT: x - 3y + = Þ IH = d (I , AB) = Do AC = BD nên IA = IB Đặt IB = a > IA + IB = IH Û a 3-9+2 + 10 4a = = 10 Ûa= Đặt B( x; y ) Do IB = B Ỵ AB nên tọa độ B nghiệm hệ: ì 14 x= ìï x - + y - = 2 ï ì ) ( ) Û í5y - 18y + 16 = Û í Ú ìí x = > í( ỵy = ỵ x = 3y - ïy = ỵï x - 3y + = ỵ ỉ 14 ö Do xB < nên ta chọn B ç ; ÷ Vậy, phương trình đường chéo BD là: x - y - 18 = è 5ø Câu hỏi tương tự: ỉ 1ư a) I(2;1) , AC = BD , M ỗ 0; ÷ , N(0;7) , x B > ĐS: B(1; -1) è 3ø Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm đường thẳng D : x - y - = Điểm M(4; -4) nằm đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N(-5;1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB Biết BD = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết điểm D có hồnh độ âm · Lấy M¢ điểm đối xứng với M qua BD Þ M ¢(-2;2) Đường thẳng AB qua N(-5;1) M ¢(-2;2) Þ Phương trình AB : x - 3y + = ìx - y - = Tọa độ điểm B nghiệm hệ: í Þ B(7;5) ỵ x - 3y + = Giả sử D(d ; d - 2) Ỵ D , BD = Û (d - 7)2 + (d - 7)2 = 128 Û d = -1 Þ D(-1; -3) Gọi I tâm hình thoi Þ I(3;1) , đường thẳng AC qua I vng góc với BD Þ Phương trình AC : x + y - = ìx + y - = Tọa độ điểm A nghiệm hệ: í Þ A(1;3) Þ C(5; -1) î x - 3y + = Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB AD x + y - = x + y + = Điểm M(1;2) thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ đỉnh hình thoi Trang 54 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng ỉ 5ư ì x + 2y - = · Tọa độ nh A l nghim ca h: ị Aỗ - ; ữ ợ2 x + y + = è 3ø é( d ) : x - y + = x + 2y - 2x + y + PT đường phân giác góc A là: =± Û ê 5 ë( d ) : x + y - = • Trường hợp (d1 ) : x - y + = Đường thẳng (BD) qua M vng góc với (d1) nên (BD ) : x + y - = Suy B = AB ầ BD ị B(4; -1) , D = AD ầ BD ị D(-4; 7) ỉ 13 Gọi I = BD Ç (d1) Þ I (0;3) Vì C đối xứng với A qua I nờn C ỗ ; ữ ố3 ø • Trường hợp (d2 ) : x + 3y - = Đường thẳng (BD) qua M vng góc với (d2 ) nên ( BD ) : x - y + = ỉ 1ư Suy B = AB Ç BD ị B(0;1) , D = AD ầ BD ị D ỗ - ; ữ ố 3ứ ổ 2ư ỉ2 1ư Gọi I = BD Ç (d2 ) ị I ỗ - ; ữ Vỡ C i xng vi A qua I nờn C ỗ ; - ÷ è 3ø è 3ø ỉ 5ử ổ 13 Vy: A ỗ - ; ữ , B(4; -1) , C ỗ ; ữ , D(-4;7) è 3ø è3 ø æ 5ử ổ2 1ử ổ 1ử hoc A ỗ - ; ữ , B(0;1) , C ỗ ; - ữ , D ỗ - ; ữ ố 3ứ ố 3ø è 3ø Câu 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C) có phương trình ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = điểm A thuộc đường thẳng (d): x - y + = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D, biết BD = AC hồnh độ điểm A khơng nhỏ · (C) có tâm I(2; -1) , bán kính R = 2 , IB = 2IA 1 Trong tam giác vng IAB ta có: + 2= Þ = Þ IA = 10 Þ IB = 10 2 IA IB IH IA Giả sử A(2t - 3; t ) Ỵ d x A ³ Ta có IA = 10 Û (2t - 5)2 + (t + 1)2 = 10 Û t = Suy A(1;2) , I trung điểm AC nên C(3; -4) Gọi D đường thẳng qua I vng góc với AC Þ D : x - 3y - = Ta có B, D Ỵ D IB = ID = 10 Þ Toạ độ B, D nghiệm hệ: ì x - 3y - = é x = 8; y = Û ê Þ B(8;1), D(-4; -3) B(-4; -3), D(8;1) í 2 ë x = -4; y = -3 ỵ( x - 2) + ( y + 1) = 40 Vậy: A(1;2) , B(8;1), C (3; -4), D(-4; -3) A(1;2) , B(-4; -3), C (3; -4), D(8;1) ỉ 5ư è2 2ø B nằm đường thẳng d1 : x + y - = đường thẳng d2 : x + y - = Tìm tọa độ đỉnh hình vng uur ỉ uur æ ö 5 · Giả sử A(a;3 - a) Ỵ d1; B(b; - b) Ỵ d2 ị IA = ỗ a - ; - a ữ ; IB = ỗ b - ; - b ữ 2 2 è ø è ø Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuụng ABCD cú tõm I ỗ ; ữ , hai điểm A, Trang 55 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì IA = IB ìa = ìa = ABCD vng tâm I nên í uur uur Ûí Úí ỵb = ỵb = ỵ IA.IB = · Với a = 2; b = Þ A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2) · Với a = 1; b = Þ A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4) Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 10 Xác định toạ độ đỉnh A, C hình vng, biết cạnh AB qua điểm M(–3; –2) điểm A có hồnh độ xA > · (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 10 PT AB qua M(–3; –2) có dạng ax + by + 3a + 2b = (a2 + b2 ¹ 0) | 2a + 3b + 3a + 2b | é a = -3b Û 10(a2 + b2 ) = 25(a + b)2 Û ê Ta có d ( I , AB) = R Û 10 = b = -3a 2 ë a +b · Với a = -3b Þ AB: 3x - y + = Gọi A(t;3t + 7),(t > 0) Ta có IA = R Þ t = 0; t = -2 (khơng thoả mãn) · Với b = -3a Þ AB: x - 3y - = Gọi A(3t + 3; t ), (t > -1) ét = Þ A(6; 1) Þ C(–2; 5) Ta có IA = R Þ ê ë t = -1 (loại) æ3 1ö è2 2ø qua điểm M(-4; -1) , N(-2; -4) Tìm toạ độ đỉnh hình vng biết B có hồnh độ âm · Gọi M¢, N¢ điểm đối xứng vi M, N qua I ị M Â(7;2) , N ¢(5;5) Ta có: N¢ Ỵ AB Câu 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I ç ; ÷ Các đường thẳng AB, CD ỉ1 ö Phương trình AB: x - 3y + = Gọi H hình chiếu I lờn AB ị H ỗ ;2 ữ ố2 ứ ỡ2a - 3b = -5 ï ì B Ỵ AB ìa = -1 Gọi B(a; b), a < Ta có í Û íỉ Ûí Þ B(-1;1) 1ư 13 HA HI b = = a b ợ + ( 2) = ợ ữ ùỗ 2ứ îè Khi A(2;3), C (1; -2), D(4; 0) Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD A thuộc đường thẳng d1 : x + y - = C , D nằm đường thẳng d2 : x - y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết hình vng có diện tích -7 · Giả sử A(a;1 - a) Î d1 Ta có S ABCD = Û d ( A, d2 ) = Û a = a = + Với a = Þ A(1; 0) Þ Phương trình cạnh AD : x + y - = Þ D(-1;1) ìC Ỵ d2 Giả sử C ( x; y ) Ta có: í Þ C(0;3) C(-2; -1) ỵ DC = ỉ1 3ư – Với C(0;3) Þ Trung im I ca AC l I ỗ ; ữ Þ B ( 2;2 ) è2 2ø ỉ 1ư – Với C(-2; -1) Þ Trung điểm I AC l I ỗ - ; - ữ ị B ( 0; -2 ) è 2ø Trang 56 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng æ -7 10 ö æ -1 ö æ -4 ö -7 ị A ỗ ; ữ Tng t nh trờn ta tỡm c: D ỗ ; ữ ,C ỗ ; ÷ , è 3ø è 3ø è 3ø ỉ -10 ỉ -1 ổ 13 ổ -4 16 Bỗ ; ữ hoc D ỗ ; ữ , C ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ ố 3ứ è 3ø è3 ø è 3ø Vậy có hình vng ABCD thỏa mãn u cầu toán: A(1; 00, B(2;2), C (0;3), D(-1;1) + Với a = ỉ -7 10 ỉ -10 ỉ -4 ỉ -1 A(1; 0), B(0; -2), C (-2; -1), D(-1;1) hoc A ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ ,C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ ố 3ø è 3ø è 3ø æ -7 10 ỉ -4 16 ỉ 13 ổ -1 hoc A ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ , C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ ố 3 ø è3 ø è 3ø Câu 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm E(1; -1) tâm hình vng, cạnh có phương trình d : x - y + 12 = Viết phương trình cạnh cịn lại hình vng · Giả sử cạnh AB nằm đường thẳng d : x - y + 12 = Gọi H hình chiếu E lên đường thẳng AB Þ H(-2;5) Þ AH = BH = EH = 45 ì x - y + 12 = ì A, B Ỵ d é x = 4; y = Û í Û ê Þ A(4;8), B(-8;2) Ta có: í 2 ë x = -8; y = ỵ( x + 2) + ( y - 5) = 45 ợ AH = BH = 45 ị C(-2; -10) Þ Phương trình cạnh cịn lại: AD : x + y - 16 = ; BC : x + y + 14 = ; CD : x - y - 18 = Câu 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD biết điểm M(2; 1); N(4; – 2); P(2; 0); Q(1; 2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình cạnh hình vng r · Giả sử đường thẳng AB qua M có VTPT n = (a; b) (a2 + b2 0) r ị VTPT ca BC là: n1 = (-b; a) AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= Û ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 Û – bx + ay +4b + 2a =0 -b 3b + 4a é b = -2 a Do ABCD hình vng nên d(P; AB) = d(Q; BC) Û = Ûê ë b = -a a2 + b2 a2 + b2 · b = –2a: AB: x – 2y = ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – =0 · b = –a: AB: –x + y+ =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ =0 Phương trình Câu 27 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y – x + y + 21 = đường thẳng d : x + y - = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A Ỵ d · (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Ta thấy I Ỵ d Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn Ta có: x = x = tiếp tuyến (C) nên: – Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(2; –1) – Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(6, –5) · A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) · A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(-2;6) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x - y + = Gọi M, N hai điểm cạnh BC, CD cho Trang 57 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng æ 14 ö BM = CN Xác định tọa độ đỉnh C, biết AM cắt BN điểm I ç ; ÷ è5 ø · Giả sử B(2 y - 6; y ) Ỵ d Ta thấy D AMB = DBNC uur uur Þ AI ^ BI Þ IA.IB = Þ y = Þ B(2; 4) Phương trình BC : x - y = Þ C (c;2c) , AB = 5, BC = (c - 2)2 + (2c - 4)2 AB = BC Þ c - = Þ C (0; 0); C (4;8) Vì I nằm hình vng nên I , C phía với đường thẳng AB Þ C(0;0) Câu 29 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD đoạn AC lấy điểm M cho AC = 4AM N trung điểm cạnh CD Chứng minh BMN tam giác vuông cân · Goi a độ dài cạnh hình vng ABCD Chọn hệ tọa độ Oxy cho A(0; 0), B(a; 0) , uuuur æ ö uuur æ -1 ö æ1 ö æ1 C(a;a) v D(0; a) ị M ỗ a; a ữ , N ỗ a; a ữ ị MN = ç a; a ÷ , MB = ç a; a ÷ è4 ø è2 ø è4 ø è4 ø uuuur uuur Từ có MN MB = MN = MB = a Þ DBMN vuông cân M Câu 30 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng có đỉnh A(-4;5) đường chéo có phương trình D : x - y + = Viết phương trình cạnh hình vng · Vì A Ï D nên đường chéo BD nằm D PT đường thẳng d qua A có dạng: a( x + 4) + b( y - 5) = ( a2 + b2 ¹ ) d hợp với BD góc 450 Û 7a - b = é a = 3, b = -4 Û ê ë a = 4, b = 50 a2 + b2 Þ ( AB) : x - y + 31 = , ( AD ) : x + 3y + = ỉ 9ư Gi I l tõm hỡnh vuụng ị I ỗ - ; ữ ị C(3;4) ố 2ứ ị (BC ) : x + 3y - 24 = , (CD ) : 3x - y + = Câu 31 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(4;5) , đường chéo BD có phương trình y - = Tìm toạ độ dỉnh cịn lại hình vng · Đường chéo AC vng góc với BD nên PT có dạng: x + c = AC qua A nên c = -4 Þ ( AC ) : x - = Þ I(4;3) Đường trịn (C) ngoại tiếp hình vng ABCD có tâm I(4;3) , bán kính R = AI = Þ Phương trình (C): ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = ìy = é x = 6, y = Toạ độ điểm B, D nghiệm hệ: í Û ê 2 ë x = 2, y = ỵ( x - 4) + ( y - 3) = Vậy: B(6;3), C (4;1), D(2;3) B(2;3), C (4;1), D(6;3) Câu 32 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có M trung điểm BC, phương trình đường thẳng DM : x - y - = , đỉnh C(3; -3) , đỉnh A nằm đường thẳng d : x + y - = Xác định toạ độ đỉnh cịn lại hình vng 4t - 2.4 ét = Û ê ë t = -1 2 Þ A(3; -7) A(-1;5) Mặt khác, A C nằm hai phía DM nên có A(-1;5) · Giả sử A(t;2 - 3t ) Ỵ d Ta có: d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) Û Trang 58 = Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng thoả mãn uuur uuur Gọi D(m; m - 2) Ỵ DM Þ AD = (m + 1; m - 7) , CD = (m - 3; m + 1) uuur uuur ì(m + 1)(m - 3) + (m - 7)(m + 1) = ì DA.DC = ABCD hình vng nên í Ûí 2 2 Ûm=5 ỵ DA = DC ỵ(m + 1) + (m - 7) = (m - 3) + (m + 1) uuur uuur Þ D(5;3) ; AB = DC Þ B(-3; -1) Vậy: A(-1;5) , B(-3; -1) , D(5;3) Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 59 ... cho hình thang vng ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình d1 : 3x - y = , đường thẳng BD có phương trình Câu d2 : x - y = , góc tạo hai đường thẳng BC AB 450 Viết phương trình. .. mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng D qua A tạo với đường thẳng d góc 450 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) =... 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 = phương trình: x + y – 2(m + 1) x + 4my – = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường trịn với m Gọi đường trịn tương ứng (Cm) Tìm