TÀI LIỆU TỐN 12 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT ƠN THI THPT QUỐC GIA 2017 Phần Ứng dụng đạo hàm _01_ Phần Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit _15_ Phần Nguyên hàm, tích phân ứng dụng _21_ Phần Số phức _31_ Phần Khối đa diện _33_ Phần Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu _45_ Phần Tọa độ không gian Oxyz _53_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Phần Ứng dụng đạo hàm I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến K f b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến K  [ f ( x ) đồng biến K ]   [ f ( x ) nghịch biến K ]  [ f '  x   với x  K ] '( x )  với x  K f '( x )  với x  K [ f '( x )  với x  K ] [ f '( x )  với x  K ]  [ f ( x ) không đổi K ] Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) không đổi K  [ f '  x   với x  K ]  [ f ( x ) đồng biến K ]  [ f '  x   với x  K ]  [ f ( x ) nghịch biến K ] Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Phần Ứng dụng đạo hàm NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c (a  0) ta có:    f ( x)  x     a     f ( x)  x     a  VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y  f  x  , ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y   y  không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x , m) , m laø tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y   xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y  ax  bx  c thì:  a  b   c   y '  0, x       a      a  b   c   y '  0, x       a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c :  Nếu   g  x  dấu với a  Nếu   g  x  dấu với a (trừ x   b ) 2a  Nếu   g  x  có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm g  x  khác dấu với a , khoảng hai nghiệm g  x  dấu với a 4) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P   S  www.facebook.com/VanLuc168      x1  x2   P   S  VanLucNN  x1   x2  P  www.TOANTUYENSINH.com Phần Ứng dụng đạo hàm 5) Để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  x1; x2  d ta thực bước sau:  Tính y   Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a     1  Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  x1 x2  d 2  Sử dụng định lí Viet đưa   thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f ( x )  (hoặc , ,  ) Xét hàm số y  f ( x ) tập xác định đề định  Xét dấu f '  x  Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến  Dựa vào định nghóa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f '  x  ta đặt h  x   f '  x  quay lại tiếp tục xét dấu h '  x  … xét dấu 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f  a   f  b  Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) khoaûng  a; b  VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f  x   g  x  (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau:  Chọn nghiệm x0 phương trình  Xét hàm số y  f ( x )  C1  vaø y = g(x)  C2  Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi  C1   C2  giao điểm có hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y  C kết luận www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Phần Ứng dụng đạo hàm CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '  x0   Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ; b  Khi a) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f ( x0 )  f có đạo hàm cấp hai khác khơng điểm x0 Khi a) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí  Tìm f   x   Tìm điểm xi  i  1, , mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí  Tính f   x   Giải phương trình f   x   tìm nghiệm xi  i  1, 2,   Tính f   x  f   xi   i  1, 2,  Nếu f   xi   hàm số đạt cực đại xi www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Phần Ứng dụng đạo hàm Neáu f   xi   hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực trị điểm x0 f   x0   x0 đạo hàm Để hàm số y  f ( x ) đạt cực trị điểm x0 f   x  đổi dấu x qua x0 Chú ý:  Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trị  Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y  x0  hai cách: + y  x0   ax03  bx02  cx0  d + y  x0   Ax0  B , Ax  B phần dư phép chia y cho y ax  bx  c P( x )   aa '   có cực trị  Phương trình y  có hai a' x  b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y  x0  hai cách:  Hàm soá y  y  x0   P  x0  Q  x0  hoaëc y  x0   P ' x0 Q ' x0  Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số baäc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d  Chia f  x  cho f   x  ta được: f  x   Q  x  f   x   Ax  B  y  fx  Ax  B 1  Khi đó, giả sử  x1; y1  ,  x2 ; y2  điểm cực trị thì:  y  fx  Ax  2 B  Các điểm  x1; y1  ,  x2 ; y2  nằm đường thẳng y  Ax  B P( x ) ax  bx  c  2) Hàm số phân thức y  f ( x )  Q( x ) dx  e  Giả sử  x0 ; y0  điểm cực trị y0  P '  x0  Q '  x0   Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y  P ' x Q ' x  2ax  b d www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Phần Ứng dụng đạo hàm GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f   x   Xét dấu f   x  lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  a; b   Tính f   x   Giải phương trình f   x   tìm nghiệm x1 , x2 , , xn treân  a; b  (nếu có)  Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  ,  , f  xn   So sánh giá trị vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ) [a; b ] m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a; b ] VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào định nghóa GTLN, GTNN hàm số  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Một số kiến thức thường dùng:  b   a) f ( x )  ax  bx  c  a  x    2a  4a  b) Bất đẳng thức Cô-si: ab  ab  a  b  ab Với hai số a, b không âm  a, b   ta ln có: Dấu "=" xảy a  b abc  abc  a  b  c  33 abc Với ba số a, b, c không âm  a, b, c   ta ln có: Dấu "=" xảy a  b  c c) Một số bất đẳng thức thường dùng 1) a2  b2  2ab  ab  a2  b2 2) (a  b)2  4ab   ab  (a  b)2 3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2  www.facebook.com/VanLuc168 (a  b)2 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Phần Tọa độ không gian Oxyz IV Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng   (  ) gọi chùm mặt phẳng  Gọi  d  giao tuyến hai mặt phẳng d   : A1 x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  Khi  P  mặt phẳng chứa  d  phương trình mặt phẳng  P  có dạng  P  : m.(A1x  B1y  C1z  D1 )  n.(A2 x  B2 y  C2 z  D2 )  0,  P  m  n2  VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác định điểm thuộc   VTPT  Dạng 1:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  coù VTPT n   A; B;C  :   : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0     Daïng 2:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp VTCP a , b :    Khi VTPT   laø n   a , b  Dạng 3:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phaúng    : Ax  By  Cz  D  :   : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Dạng 4:   qua điểm không thẳng hàng A, B, C :    Khi ta xác định VTPT   là: n   AB, AC  Dạng 5:   qua điểm M đường thẳng  d  không chứa M :  – Trên  d  lấy điểm A VTCP u    – Một VTPT   là: n   AM , u  Daïng 6:   qua điểm M vuông góc với đường thẳng  d  :  VTCP u đường thẳng  d  VTPT   Dạng 7:   qua đường thẳng cắt d1 , d2 :   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2    – Một VTPT   là: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M    Dạng 8:   chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 ( d1 , d2 chéo ) :   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2    – Một VTPT   laø: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1  M    Dạng 9:   qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1 , d2 :   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 62 Phần Tọa độ không gian Oxyz    – Một VTPT   laø: n   a , b  Dạng 10:   qua đường thẳng  d  vuông góc với mặt phẳng    :   – Xác định VTCP u  d  VTPT n       – Một VTPT   laø: n  u , n  – Lấy điểm M thuộc d  M    Dạng 11:   qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt     ,    :   – Xác định VTPT n , n    vaø       – Một VTPT   là: n  u , n  Dạng 12:   qua đường thẳng  d  cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D   A2  B  C   – Lấy điểm A, B   d   A, B    ( ta hai phương trình 1 ,  ) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( ))  k , ta phương trình  3 – Giải hệ phương trình 1 ,   ,  3 (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13:   tiếp xúc với mặt cầu  S  điểm H : – Giả sử mặt cẩu  S  có tâm I bán kính R   – Một VTPT   là: n  IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C  Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng   MH , n phương  Điểm H hình chiếu điểm M  P     H  (P )    Điểm M ' đối xứng với điểm M qua  P   MM   MH www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 63 Phần Tọa độ không gian Oxyz VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,   có phương trình:   : A1 x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  Góc   ,     bù với góc hai VTPT n1 , n2   n1.n2 cos  ( ),( )      n1 n2 Chú ý:  00  ( ),( )  900 A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22  ( )  ( )  A1 A2  B1B2  C1C2  VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R     S  điểm chung  d ( I ,( ))  R    tiếp xúc với  S   d ( I ,( ))  R   tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I  S  vuông góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d   H tiếp điểm  S  với      cắt  S  theo đường tròn  d ( I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I  S  vuông góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d   H tâm đường tròn giao tuyến  S  với   Bán kính r đường tròn giao tuyến: r  R  IH www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 64 Phần Tọa độ không gian Oxyz ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1) Vectơ phương đường phẳng:   Định nghĩa: Cho đường phẳng d Nếu vectơ a  có giá song song trùng với đường phẳng d vectơ a gọi vectơ pháp tuyến đường phẳng d Kí  hiệu: a  (a1; a2 ; a3 )  Chú ý:   1) a VTCP d k.a (k  0) VTCP d  2) Nếu d qua hai điểm A, B AB VTCP d   3) Trục Ox có vectơ phương a  i  (1; 0; 0)   4) Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1; 0)   5) Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) 2.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm  M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : z  a () M0 M ( x, y , z ) y  x  x0  ta1  () :  y  y0  ta2  z  z  ta  t   O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình tắc đường thẳng () qua  điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : ( ) : x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC  M a  ( ) a n  n a M www.facebook.com/VanLuc168 ( )  n a a VanLucNN M  a ( ) www.TOANTUYENSINH.com 65 Phần Tọa độ không gian Oxyz  x  x0  a1t (1)   Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho: đường thẳng () :  y  y0  a2 t (2) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 )  z  z  a t (3)   qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT n  ( A; B; C ) Khi :   a.n    a.n    M  ( P )   a.n     M  ( P ) () caét ( ) () // ( ) ()  ( )  Đặc biệt: Aa1  Ba2  Ca3  Aa1  Ba2  Ca3    Ax  By0  Cz0  D  Aa1  Ba2  Ca3    Ax  By0  Cz0  D   a   n ( )  ( )  a n phương  a1 : a2 : a3  A : B : C a  pt () PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M      ta giải hệ phương trình:  tìm  pt ( ) x , y, z Suy ra: M  x , y, z    Thế 1 ,   ,  3 vào phương trình mp  P  rút gọn đưa dạng: at  b  (*)  d cắt mp  P  điểm  Pt * có nghiệm t  d song song với  P   Pt * vô nghiệm  d nằm  P   Pt * có vơ số nghiệm t    d vng góc  P   a n phương Vị trí tương đối hai đường thẳng: 1  ' a  M0 M0 u 1  '  b 1 M M u '  2 ' M0 M0  u M0  u  u' 2 M ' 1  u' 2 PP HÌNH HỌC Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng:  x  x0 y  y0 z  z0   coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) a b c  x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c      (1 ) ( ) đồng phaúng  u, u'  M M 0'    (1 ) : www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 66 Phần Tọa độ không gian Oxyz  (1 ) caét ( )     '  '  u, u  M0 M0      a : b : c  a' : b ' : c '   (1 ) // ( )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : (z0'  z0 )  (1 )  ( )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )      u, u'  M M0'       u.u '   (1 ) ( ) chéo  (1 )  ( )  pt (1 ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) vaø ( ) ta giải hệ phương trình :   pt ( ) tìm x , y, z Suy ra: M  x , y, z    3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu:  x  x0  a1t (1)  Cho đường thẳng d:  y  y0  a2 t (2) mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 có  z  z  a t (3)  tâm I (a; b; c) , bán kính R PP HÌNH HỌC B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S  đến đường thẳng d   h  d (I , d )   IM a     a B2 So sánh d ( I , d ) bán kính R mặt cầu: ● Nếu d ( I , d )  R d khơng cắt  S  ● Nếu d ( I , d )  R d tiếp xúc  S  ● Nếu d ( I , d )  R d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu PP ĐẠI SỐ: Thế 1 ,   ,  3 vào phương trình  S  rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t * ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt  S  ● Nếu phương trình * có nghiệm d tiếp xúc  S  ● Nếu phương trình * có hai nghiệm d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 67 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình :  n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1   (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  n  ( A2 ; B ; C ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có cơng thức: cos   a A1 A2  B1 B2  C1C2 0    90 A12  B12  C12 A22  B22  C22 b Góc đường thẳng mặt phẳng: ( ) x  x0 y  y0 z  z0   Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho đường thẳng () : a b c mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin    n  ( A; B ; C ) a Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   a' b' c'  a  ( a ; b; c ) 0    90  a1  ( a; b; c ) 1 (1 ) :  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 2 0    90 Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & ( ) ta có cơng thức: cos   aa '  bb '  cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính cơng thức: M ( x0 ; y ; z ) d ( M0 ; )  a H Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho đường thẳng () qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP  u  (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến ( ) tính cơng thức:    M0 M1; u  M1   d ( M1 , )    u u ( ) M ( x0 ; y0 ; z ) H www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 68 Phần Tọa độ không gian Oxyz Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng chéo :  (1 ) coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (1 ) vaø ( ) tính cơng thức  1 u M0 M 0'  u'    u, u ' M M 0'   d (1 ,  )    u; u '   2 VAÁN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP  Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2 t z  z  a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B :  Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên VTPT  P  VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  :  Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với việc (Q ) chọn giá trị cho ẩn)    – Tìm VTCP d : a   nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 :    Vì d  d1 , d  d2 nên VTCP d laø: a   ad , ad   2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H      M0 H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 69 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz  Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua A vuông góc với d ;  Q  mặt phẳng qua A chứa d Khi ñoù d    P    Q  Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 :  Cách 1: Gọi M1  d1 , M2  d2 Từ điều kiện M , M1 , M2 thẳng hàng ta tìm M1 , M2 Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi  P   ( M , d1 ) ,  Q   ( M , d2 ) Khi d   P    Q  Do đó, VTCP    d chọn a   nP , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d2 : Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d2   P  Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d2 : Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1 , mặt phẳng  Q  chứa  d2 Khi ñoù d   P    Q  Dạng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau:  MN  d , ta tìm M , N  Cách 1: Gọi M1  d1 , M2  d2 Từ điều kiện  MN  d  Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:    – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a   ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d d1 , cách: + Lấy điểm A d1    + Một VTPT  P  laø: nP   a, ad    – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d   P    Q  Daïng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng  P  :  Lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa  vuông góc với mặt phẳng  P  cách: – Lấy M      – Vì  Q  chứa  vuông góc với  P  nên nQ   a , nP  Khi d   P    Q  Dạng 13: d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1 , ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa M d2 Khi d   P    Q  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 70 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d   Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a   Caùch 2:  Caùch 3:  M M , a    d(M , d )   a – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thẳng d – d  M , d   MH – Goïi N  x; y; z   d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d ) – Tìm t để MN nhỏ – Khi N  H Do ñoù d  M , d   MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2   d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2     a1 , a2  M1M d (d1 , d2 )     a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 71 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng   VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP a1 , a2   Góc d1 , d2 bù với góc a1 , a2     a1.a2 cos  a1 , a2     a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng   Cho đường thẳng d coù VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng   có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d '   sin d ,()  www.facebook.com/VanLuc168 Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 72 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình mặt cầu S  tâm I  a; b; c  , bán kính R là: z (S) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 1 (S ) I R M ( x; y; z ) Phương trình 1 gọi phương trình y tắc mặt cầu O Đặc biệt: x Khi I  O (C ) : x  y  z2  R 2 Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg  Oxyz  Phương trình : x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c  d  phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , bán kính R  a2  b2  c2  d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho mặt phẳng ( ) mặt cầu  S  có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R Gọi d ( I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu  S  đến mặt phẳng  Ta có : (S ) ( ) cắt mặt caàu (S)  d(I; ) < R ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d(I; ) =R ( ) không cắt mặt cầu (S)  d(I; ) > R (S ) I (S ) I R R R H a a (C ) I M M H M r H a Chú ý: Khi  cắt mặt cầu  S  cắt theo đường tròn  C  Đường tròn  C  có:  Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 73 Phần Tọa độ không gian Oxyz  Bán kính r  R2  d ( I ,  ) Để viết phương trình mặt cầu  S  , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1:  S  có tâm I  a; b; c  bán kính R :  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R Dạng 2:  S  có tâm I  a; b; c  qua điểm A : Phương pháp:  Khi bán kính R  IA Dạng 3:  S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Phương pháp:  Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI  x A  xB y  yB z  zB ; yI  A ; zI  A 2 AB Dạng 4:  S  qua bốn điểm A, B, C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) :  Bán kính R  IA  Phương pháp:  Giả sử phương trình mặt cầu  S  có dạng: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  *  Thay toạ độ điểm A, B, C , D vào  * , ta phương trình  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu  S  Dạng 5:  S  qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng  P  cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng Dạng 6:  S  có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước: Phương pháp:  Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu T   Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu  S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) 2 Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d   S  có tâm I  –a; –b; –c  bán kính R  a  b2  c  d Cho hai mặt cầu S1  I1 , R1  S2  I , R2   I1 I  R1  R2   S1  ,  S2   I1I  R1  R2   S1  ,  S2   I1 I  R1  R2   S1  ,  S2  tiếp xúc  I1I  R1  R2   S1  ,  S2  tiếp xúc  R1  R2  I1I  R1  R2   S1  ,  S2  cắt theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp:  Ta có bán kính mặt cầu R  d  I ;  P   www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 74 Phần Tọa độ không gian Oxyz  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d  I ,  P   Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước   theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện Phương pháp:  Ta có bán kính mặt cầu R  d  I ;  P    Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo giao tuyến đường trịn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d  I ,  P   Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có   tâm I  a; b; c  cho trước Phương pháp Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu  S  ta có R  d  I ,   Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm M  xo , yo , zo  thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp  Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M vng góc với đường thẳng   Toạ độ tâm I   P    nghiệm phương trình  Bán kính mặt cầu R  IM  d  I ,    Kết luận phương trình mặt cầu  S  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 75 Phần Tọa độ không gian Oxyz Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ dài AB số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp Xác định d  I ,    IH , IAB cân I nên HB  AB a Bán kính mặt cầu R  IH  HB IH b Bán kính mặt cầu R  sin 45o IH c Bán kính mặt cầu R  sin 60o www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 76 ... DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M '' xác định gọi phép biến hình không gian Phép biến hình không gian gọi phép dời hình bảo toàn... lí quan hệ vuông góc:  Định lí 1: Nếu mp(P ) mp(Q) vuông  Định lí 2: Cho mp(P ) vuông góc mp(Q) góc với mp   giao tuyến (nếu có) Một đường thẳng d nằm mp  P  vuông chúng vuông góc mp ... Phần Khối đa diện khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm lại không gian thành hai miền không giao miền miền hình đa diện, có miền