A Bài tập phần độ đo Bài Cho X tập khác rỗng a) Chứng minh {∅, X} σ-đại số X b) Chứng minh P(X) σ-đại số X c) Cho ví dụ σ-đại số X khác với câu Bài Cho X tập khác rỗng {Mi }i∈I họ σ-đại số X Chứng minh Mi σ-đại số X i∈I Định nghĩa: Cho X tập khác rỗng M ⊂ P(X) Ta nói giao tất σ-đại số X chứa M σ-đại số sinh M kí hiệu σ(M) Bài Chứng minh rằng: a) Nếu M σ-đại số σ(M) = M b) Tìm σ(M) với M = {∅} M = {K} c) Nếu M1 ⊂ M2 ⊂ σ(M1 ) σ(M2 ) = σ(M2 ) Bài Cho ε σ-đại số X X0 ⊂ X a) Chứng minh M1 = {A ∩ X0 |A ∈ ε} σ-đại số X0 b) Chứng minh ε = σ(M) M1 = σ(M0 ) M0 = {A ∩ X0 |A ∈ M} Bài Cho X tập khác rỗng ε σ-đại số lớn X Đặt µ(A) = |A| (bản số A, cardinal of A) Lúc µ có độ đo dương ε hay không? Bài Cho X không gian đo với σ-đại số ε µ độ đo dương ε, A phần tử ε Ta đặt M = {A ∩ N : N ∈ ε} µ1 (K) = µ(K) với K ∈ M Chứng minh rằng: (A, M, µ1 ) không gian đo Bài Cho X tập khác rỗng x ∈ X Với A ∈ P(X) ta     x ∈ A δx (A) =    x ∈ /A Chứng minh δx (A) độ đo dương Bài Cho X không gian đo với σ-đại số ε độ đo dương µ A B phần tử ε cho A ⊂ B Chứng minh µ(A) µ(B) Bài Cho (X, ε, µ) không gian đo f song ánh từ X vào Y Ta đặt M = {f (B) : B ∈ ε} µ1 (A) = µ(f −1 (A)), ∀A ∈ M Chứng minh (Y, M, µ1 ) không gian đo Bài 10 Cho (X, ε, µ) không gian đo {Bn }n∈N ⊂ ε thoả mãn B1 ⊂ B2 ⊂ ⊂ Bn ⊂ Chứng minh +∞ µ Bk = lim µ(Bn ) n→+∞ k=1 Bài 11 Cho X = N đặt Ck = {m k : m ∈ N} với k Khi đẳng thức +∞ µ Ck k=1 = lim µ(Cn ) có không? Vì sao? n→+∞ Bài 12 Cho (X.ε, µ) không gian đo {Dn } ⊂ ε thoả mãn µ(D1 ) < +∞ D1 ⊃ D2 ⊃ ⊃ Dm Chứng minh +∞ µ Dk = lim µ(Dn ) n→+∞ k=1 Bài 13 Chứng minh hàm đơn ánh xạ đo Bài 14 Cho (X, ε, µ) không gian đo f ánh xạ đo (X, ε) Giả sử f (x) tập hữu hạn phần tử R Chứng minh f hàm đơn Bài 15 Cho (X, ε) không gian đo fm dãy ánh xạ đo (X, ε) R Chứng minh ánh xạ g(x) = sup fm (x), h(x) = inf fm (x) u(x) = lim inf fm (x) đo m m m→∞ Bài 16 Cho f hàm đo Chứng minh |f |, f + , f − đo Bài 17 Chứng minh hàm liên tục hầu khắp nơi R đo Bài 18 Cho f hàm đo g hàm liên tục R Chứng minh g ◦ f hàm đo Bài 19 Cho ánh xạ f (x) =     x−3 x = g(x) =     (x − 1)−1 x =    −∞ x =    x = có ánh xạ đo (R, B) không? Chú ý: B σ-đại số Borel R gồm khoảng mở R Bài 20 Cho (X, ε, µ) không gian đo f ánh xạ đo từ (X, ε) vào [0; ∞] Chứng minh có dãy hàm đơn {sm } X cho i) s1 (x) s2 (x) f (x), ∀x ∈ X ii) sm (x) → f (x), ∀x ∈ X Bài tập phần lý thuyết tích phân Bài Phát biểu chứng minh định lý Hội tụ đơn điệu Bài Phát biểu chứng minh định lý Hội tụ bị chận Bài Phát biểu chứng minh Bổ đề Fatou Định nghĩa: Cho (X, ε, µ) không gian đo tính chất P = {P (x) : x ∈ X} Ta nói P hầu khắp nơi X theo độ đo µ( viết µ − h.k.n hay h.k.n X), có tập A ∈ ε µ(A) = cho P (x) với x ∈ X\A Ví dụ: Ta có f = g h.k.n tập A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} có µ(A) = Bài Chứng minh (L1 (X, µ) , ) không gian Banach Trong f |f |dµ , ∀f ∈ L1 (X, µ) = X Bài Cho (X, ε, µ) làm không gian đo được, A ∈ ε {λm } hàm đo không âm Chứng minh +∞ +∞ λm dµ λm dµ = m=1 A A m=1 Bài Cho f hàm số đo g hàm số khả tích không gian đo (X, ε, µ) Giải sử |f | ≤ g Chứng minh f hàm số khả tích X Bài Cho f hàm khả tích không âm R Đặt K = {x ∈ K : f (x) < +∞} Chứng minh tập R\A có độ đo không Bài Cho hàm số f : [0; 1] → R với f (0) = f (x) = x− x > Chứng minh f khả tích [0; 1] tính f (x)dx +∞ Bài Cho dãy {fm } hàm số không âm khả tích Lebesgue R thoả mãn +∞ fm khả tích Lebesgue R hội tụ R Chứng minh m=1 +∞ +∞ fm dx = R fm dx m=1 R m=1 fm dx m=1 R Bài 10 Cho hàm số g : Rd × (a; b) → R (d ∈ R) giả sử i) Với y ∈ (a; b) hàm số x → g(x, y) khả tích Ledesgue Rd ; ii) Tồn hàm số ϕ : Rs → R cho ϕ(x) = lim− g(x, y), với x ∈ Rd ; y→b iii) Tồn số thực dương M cho với y ∈ (a; b) g(x, y)dx M; Rd iv) g(x, y1 ) ≤ g(x, y2 ) y1 ≤ y2 , với x ∈ Rd lim g(x, y)dx = y→b− Rd ϕ(x)dx Rd Bài 11 Cho hàm số f : Rd × (a; b) → R, yo ∈ [a; b] giả sử i) Với y ∈ (a; b), hàm số x → f (x, y) đo R; ii) Tồn g : Rd → R khả tích Lebesgue thoả mãn với y ∈ (a; b), |f (x, y)| ≤ g(x), với x ∈ Rd ; iii) Tồn hàm ϕ : Rd → R cho ϕ(x) = lim f (x, y), với x ∈ Rd Chứng tỏ ϕ y→y0 khả tích Lebesgue Rd lim ϕ(x)d(x) f (x, y) = y→y0 Rd Rd Bài 12 Cho hàm số g : Rd × (a; b) → R giả sử i) Với y ∈ (a; b), hàm số y → g(x, y) khả tích Lebesgue Rd ; ii) Với x ∈ Rd , hàm số y → g(x, y) khả vi (a; b); iii) Tồn hàm số ϕ : Rd → R khả tích Lebesgue cho ∂ g(x, y) ∂y ϕ(x) , với (x, y) ∈ Rd × (a; b) Chứng tỏ hàm số y → G = g(x, y)dx khả vi (a; b) Rd d G(y) = dy ∂ g(x, y)dx ∂y Rd Bài 13 Cho số thực α > hàm số f đo R thoả mãn |f (x)| ≤ h.k.n R + |x|α Chứng minh f khả tích Lebesgue R Bài 14 Cho < α < hàm số f đo đoạn [a; b] Cho x0 ∈ (a; b) giả sử tồn số thực dương M cho |f (x)| ≤ M |x − x0 |α ∀x ∈ [a; b] · Chứng ming f khả tích Lebesgue [a; b] Bài 15 Chứng minh hàm đo f đoạn [−a; a] (a > 0) thoả mãn |f (x)| ≤ h.k.n [−a; a] 2|x|α không khả tích Lebesgue [−a; a] α ≥ Bài 16 Chứng tỏ hàm số  sin x    x > x f (x) =    x = không khả tích Lebesgue [0; +∞) Bài 17 Chứng minh hàm số sau khả tích tập xác định tương ứng a) f (x) = sin x x , x ∈ R b) f (x) = e−k|x| , x ∈ R k > c) f (x) = x−α , x ∈ (1; +∞) α > Bài 18 Các hàm số sau có khả tích Lebesgue miền xác định tương ứng hay không? Vì sao? a) f (x) = 1, x ∈ (0; +∞) b) f (x) = x, x ∈ [−1; 1) ex c) f (x) = √ , x ∈ (0; 1) x d) f (x) = e−x , x ∈ (0; +∞) e) f (x) = e−x , x ∈ R f) f (x) = √ x, x ∈ (0; +∞) g) f (x) = √ , x ∈ (1; +∞) x2 h) f (x) = √ , x ∈ (0; +∞) x x i) f (x) = x cos4 x, x ∈ (1; +∞) j) f (x) = − cos x , x ∈ (1; +∞) x k) f (x) = χ(0;1) (x) · √ + χ[1;+∞) (x) · x, x ∈ (0; +∞) x Bài 19 Tính tính phân sau dạng chuỗi số: a) b) ex − dx x sin x dx x Bài 20 Chứng minh hàm số sau liên tục: sin(tx(s))ds, với s → x(s) hàm đo (0; 1) a) A(t) = x(s) sin(ts)ds, với s → x(s) hàm khả tích Lebesgue (0; 1) b) B(t) = +∞ x(s) sin(ts)ds, với s → x(s) khả tích Lebesgue (0; +∞) c) C(t) = +∞ f (x) exp {−itx} dx, t ∈ R Chứng Bài 21 Cho f khả tích Lebesgue R Đặt f (t) = −∞ minh a) t → f (t) hàm liên tục R b) lim f (t) = lim f (t) = t→+∞ t→−∞