ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THANH HẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 1.1 1.2 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.2 Dưới vi phân 1.1.3 Tính đơn điệu Phép chiếu lên tập lồi Phương pháp chiếu giải quy hoạch lồi 2.1 2.2 14 Bài toán quy hoạch lồi 14 2.1.1 Mô tả toán 14 2.1.2 Sự tồn nghiệm tối ưu 16 2.1.3 Điều kiện tối ưu 17 Phương pháp chiếu gradient xấp xỉ 26 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 3.1 33 Bài toán bất đẳng thức biến phân 33 3.1.1 Mô tả toán 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 3.1.2 Sự tồn nghiệm 34 3.1.3 Các toán liên quan 39 Phương pháp chiếu giải toán (VIP) 42 3.2.1 Phương pháp chiếu 42 3.2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa (2010 - 2012) mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 05 năm 2012 Người viết Luận văn Nguyễn Thanh Hằng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi môn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán, vận trù học Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên phương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" D Kinderlehrer G Stampacchia , xuất năm 1980 sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Application to Free Boundary Problems" C Baiocci A Capelo , xuất năm 1984 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều giới thiệu đầy đủ Finite-Dimensional Variational-Inequalities and Complementarity Problems S Facchinei and J Pang (2003) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải, có phương pháp dựa vào cách tiếp cận điểm bất động Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải bất đẳng thức biến phân toán tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Một cách tiếp cận điểm bất động dựa phương pháp chiếu Một lớp toán quan trọng bất đẳng thức biến phân toán Quy hoạch lồi lớp toán tối ưu hóa Một đặc điểm toán điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Hơn lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Có nhiều phương pháp hữu hiệu cho toán này, phương pháp giới thiệu sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) tác giả Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe nhà xuất Cambridge University Press in năm 2004 Mục đích luận văn chủ yếu trình bày ứng dụng phép chiếu vuông góc vào toán bất đẳng thức biến phân toán tôí ưu Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại kiến thức tập lồi hàm lồi, vi phân, tính đơn điệu, phép chiếu lên tập lồi Chương giới thiệu toán quy hoạch lồi trình bày phương pháp chiếu gradient xấp xỉ Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Toán tử chiếu lên tập lồi đóng Dưới đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kiến thức chương lấy chủ yếu từ tài liệu ([1]), ([2]), ([3]) sử dụng chương sau 1.1 1.1.1 Một số khái niệm tính chất Tập lồi hàm lồi Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ Rn tập véc tơ x có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb; α ≥ 0; β ≥ 0; α + β = 1} Tập lồi khái niệm giải tích lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C; ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Ví dụ 1.1 • Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} • Toàn không gian, siêu phẳng, hình tam giác, hình vuông, hình tròn, mặt phẳng, nửa mặt phẳng R2 Mệnh đề 1.1 Giao họ tập lồi tập lồi Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử {Aα }α∈I họ tập lồi Cần chứng minh A = Aα tập α∈I lồi • Với x1 , x2 ∈ A suy x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) • Với α ∈ I Do Aα lồi nên với λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A Theo định nghĩa A = ✷ Aα tập lồi α∈I Mệnh đề 1.2 (Tính chất tập lồi) (i) Nếu C, D ⊂ Rn tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D} ; αC = {αx : x ∈ C, α ∈ R} tập lồi Rn , C − D = C + (−1) D tập lồi Rn (ii) Nếu C ⊂ Rn , D ⊂ Rm tập lồi C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rn+m Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊂ Rn gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi nón tập lồi Định nghĩa 1.3 Cho C ⊆ Rn tập lồi xo ∈ C (i) Tập NC x0 := w : wt (x − x0 ) ≤ 0; ∀x ∈ C gọi nón pháp tuyến C x0 tập −NC x0 gọi nón pháp tuyến C x0 (ii) Tập NCε x0 := w : wt (x − x0 ) ≤ ε; ∀x ∈ C gọi nón ε pháp tuyến C x0 Định nghĩa 1.4 Cho hàm f : C → (−∞; +∞], C lồi tập Rn Khi đó: (a) f gọi hàm lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) f gọi lồi chặt C với x, y ∈ C cho x = y với λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) (c) f gọi tựa lồi y ∈ C với x ∈ C cho f (x) ≤ f (y) với λ ∈ [0, 1], ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) Hàm f gọi lồi C , tựa lồi điểm C (d) f gọi tựa lồi chặt y ∈ C với x ∈ C cho f (x) < f (y) với λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) < f (y) (e) f gọi lồi mạnh C với hệ số β > với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 Hàm lồi mạnh lồi chặt lồi chặt suy lồi Chẳng hạn hàm y = x2 lồi mạnh, lồi chặt lồi Điều ngược lại nói chung không Ví dụ hàm affine y = ax + b lồi không lồi chặt, hàm y = x lồi chặt không lồi mạnh (0, ∞) Ví dụ 1.2 • Giả sử C ⊆ Rn Hàm đặc trưng C hàm: δC (x) := x ∈ C +∞ x ∈ / C δC (x) hàm lồi C tập lồi • Hàm chuẩn f (x) = x = x, x , x ∈ Rn lồi ✷ Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : C → (−∞; +∞], C lồi tập Rn Khi đó, miền hữu hiệu f , kí hiệu domf , xác định domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f gọi thường nếu: domf = ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ domf Mệnh đề 1.3 Cho hàm f : C → R với C ⊆ Rn Nếu f hàm số khả vi ∇f liên tục Khi đó, f hàm lồi f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x , ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.6 Hàm f : C → R ∪ {+∞} gọi liên tục Lipchits quanh x0 có L > lân cận U x0 cho f (x) − f (x ) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ U ∩ C Khi đó, L gọi số Lipchits Hàm f gọi liên tục Lipchits C f (x) − f (x ) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ C 1.1.2 Dưới vi phân Định nghĩa 1.7 Véc tơ w ∈ Rn gọi đạo hàm f x0 ∈ Rn w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn • Tập hợp tất đạo hàm hàm f x0 gọi vi phân f x0 kí hiệu ∂f (x0 ) Vậy ∂f (x0 ) := {w ∈ Rn : w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn } • Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Ví dụ 1.3 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn Xét hàm tập lồi C có dạng δC (x) := x ∈ C, +∞ x ∈ / C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng... thiệu toán quy hoạch lồi trình bày phương pháp chiếu gradient xấp xỉ Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Số hóa... nghiệm tối ưu 16 2.1.3 Điều kiện tối ưu 17 Phương pháp chiếu gradient xấp xỉ 26 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 3.1 33 Bài toán