Đang tải... (xem toàn văn)
Dành cho sinh viên ôn thi toán cao cấp A2 hết học phần hoặc tham khảo khi học đại học , với các dạng toán có hướng dẫn lý thuyết . Lời giải hay và dễ hiểu và có nhiều dạng bài khác nhau, được chia dạng kỹ lưỡng CỦA trường Đại Học CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH- IUH
GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH CHNG 1: MA TRN V NH THC Phn 1: Túm tt lý thuyt cụng thc A MA TRN nh ngha Cho m v n l hai s nguyờn dng mt ma trn A cp m x n l mt bng gm m x n s c xp thnh m hng v n ct Kớ hiu: A = [aij]mxn Cỏc phộp toỏn trờn ma trn 2.1 Cỏc phộp toỏn Cho ma trn A, B, C thuc Mmxn ta cú _ _ Hai ma trn bng nhau: A = B nu (A)ij = (B)ij, i = 1, m , j = 1, n Phộp nhõn mt s vi ma trn: (KA)ij = k(A)ij, i = 1, m , j = 1, n , k R Phộp cng ma trn: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = 1, m , j = 1, n _ Hiu hai ma trn: A B = A + (- B) n ( A) ik ( B ) KJ _ , i = 1, m , j = 1, n Phộp nhõn hai ma trn: (AB)ij = k =1 2.2 Tớnh cht Tng t nh cỏc phộp tớnh i s ma trn cng cú cỏc tớnh cht nh giao hoỏn, kt hp 2.3 Phộp chuyn v ma trn AT l ma trn chuyn v ca ma trn A nhn c t A bng cỏch chuyn hng thnh ct _ (A )ij = (A)ji , i = 1, m , j = 1, n T Tớnh cht: (A + B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AT)T=A (AB)T=BTAT *Tng quỏt: (A1,A2,An)T=AnTA2TA1T Ly tha ca ma trn: AP = AP-1A 2.4 Cỏc phộp bin i s cp ma trn bc thang 2.4.1 Ma trn bc thang L ma trn cú tớnh cht sau: Cỏc hng khỏc khụng u trờn hng bng khụng SV IUH K12 Page GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Phn t c s ca mt hng nm ct bờn phi so vi phn t c s ca hng trờn (phn t c s ca hng l phn t khỏc khụng du tiờn t bờn trỏi qua) 2.4.2 Cỏc phộp bin i s cp Mi ma trn u a v c dng ma trn bc thang nh cỏc phộp bin i s cp i vi hng nh sau: Nhõn cỏc phn t ca mt hng vi mt s khỏc khụng: hi hi ( 0) Cng vo cỏc phn t ca hng cỏc phn t tng ng ca hng khỏc ó nhõn vi mt s hi hi + hi ( 0) i ch hai hng cho nhau: hi hj Cỏc hng t l vi hay ging thỡ cú th b i ch tr li mt hng * Chỳ ý: Nu cỏc phộp bin i s cp thc hin trờn ct thỡ gi l phộp bin i s cp i vi ct B NH THC nh ngha Cho ma trn vuụng cp n: A=[aij]mxn nh thc A kớ hiu l detA hay (1) n (1 n ) 21 n A l a11 a 2 a n a n mt s thc c xỏc nh nh sau: Tớnh cht * Tớnh cht 1: detA = detAT * Tớnh cht 2: Nu A cú mt hng cỏc phn t u bng thỡ detA = * Tớnh cht 3: Nu i ch hai hng cho thỡ detA i du * Tớnh cht 4: Nu A cú hai hng ging thỡ detA = * Tớnh cht 5: Nu nhõn mi phn t mt hng ca A vi mt s khỏc thỡ detA cng c nhõn lờn vi s ú * Tớnh cht 6: Nu A cú hai hng t l thỡ detA =0 * Tớnh cht 7: Nu mi phn t hng ca A cú dng tng ca hai s hng thỡ nh thc cú th tỏch thnh tng hai nh thc * Tớnh cht 8: Nu cng vo mt hng no ú ca A bi ca dũng khỏc thỡ nh thc khụng thay i * Tớnh cht 9: Nu cng vo mt hng no ú ca A t hp tuyn tớnh ca ca cỏc dũng cũn li thỡ detA khụng i Mt s phng phỏp tớnh nh thc 3.1 Phng phỏp khai trin theo mt hng hay mt ct Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Cho A = (aij)n, A b i hng i ct j phn cũn li to mt ma trn vuụng cp n-1 nh thc ú c gi l nh thc bự ca a ij kớ hiu l ij : Aij = (-1)i+j ij gi l phn bự i s ca aij 3.2 Phng phỏp Gauss S dng phộp bin i trờn hng a nh thc v dng tam giỏc ú nh thc s bng tớch cỏc phn t trờn ng chộo chớnh 3.3 Khai trin Laplace M rng cụng thc khai trin theo mt hng hay mt ct thnh cụng thc khai trin trờn k hng k ct nh lý Laplace: Chn k hng bt kỡ detA, gi M 1, M2,,Ms l tt c cỏc nh thc cp k k hng va chn kt hp vi k ct n ct ca A v A1,A2,,AS l phn bự i s tng ng ta cú detA = M1A1 + M2A2 + .+ MSAS n! S= k!(n k )! 3.4 Phng phỏp truy toỏn Bin i nh thc cựng dng nhng cp thp hn tớnh ng dng ca nh thc Hng ma trn: Hng ca A l cp cao nht ca cỏc nh thc khỏc khụng ca A Kớ hiu r(A) Tỡm hng ma trn: Dựng cỏc phộp bin i s cp a ma trn v dng ma trn bc thang ú hng ma trn bng s cỏc hng khỏc khụng Ma trn nghch o 5.1 Cỏc nh ngha a) Ma trn ph hp Cho ma trn vuụng cp n: A=(aij)v A ij l phn bự i s ca aij ta lp ma trn A11 A ~ A = 21 A1n A21 A22 A2 n An1 An Ann ~ A gi l ma trn ph hp ca A b) Ma trn khụng suy bin Ma trn vuụng A gi l khụng suy bin nu detA c) Ma trn nghch o Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Cho A Mn Nu tn ti ma trn B cho AB = BA = I n thỡ B gi gi l ma trn nghch o ca A, kớ hiu B = A-1 5.2 Phng phỏp tỡm ma trn nghch o ~ A A Phng phỏp dựng nh thc: A-1 = Phng phỏp dựng cỏc phộp bin i s cp trờn hng : (A/In) Bin i trờn hng In//A-1 Phần Bài tập trắc nghiệm Cõu 1: 1.31 denta1 46 = Tớnh nh thc 4 0 Gii = 7 4 0 = (-1)3+4 Cõu 2: 1.31 denta 46 1 = 2 0 4 Tớnh nh thc Gii = 4 0 =1+4 Cõu 3: 1.31 denta3 Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Tớnh nh thc = 1 4 0 Gii = 1 0 4 =4 Cõu 4: 0 = 0 4 Tớnh nh thc Gii = 0 0 4 =(-1)2+2 Cõu 5: = Tớnh nh thc 0 4 Gii = 1 0 4 =(-1)1+2 Cõu 6: Tớnh nh thc m = 0 1 Tỡm m Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Gii Cõu 7: 1.39c 47 Tớnh nh thc m = m 1 m = m m Tỡm m = Gii Cõu 8: Tớnh nh thc Tỡm m = Gii Cõu 9: 1.39b 47 Tớnh nh thc 1 =1 m 1 m Tỡm m Gii Cõu 10: 1 m Tớnh nh thc =1 1 Tỡm m < Gii Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 1 m =1 1 = Cõu 11: m = 2m Tớnh nh thc 1 Tỡm m > Gii m = 2m 2 = Cõu 12: Tớnh nh thc = m 1 Tỡm m > Gii Cõu 13: 1.40a 47 = Tớnh nh thc = m m +1 m+2 Tỡm m > Gii m m +1 m+2 Cõu 14: Tớnh nh thc m+2 = m m m Tỡm m = Gii Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH m+2 = m m m Cõu 15: Tớnh nh thc 2m + = m + 2m + 2 2m Tỡm m = Gii 2m + = m + 2m + 2 2m Cõu 16: Tớnh nh thc m = m 0 m +1 + m Tỡm m = Gii m = m 0 m +1 + m Cõu 17: + 2m = Tớnh nh thc m+3 m m Tỡm m > Gii Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH + 2m = m m+3 m Cõu 18: 1.40c 47 + 2m 12 = m3 m +1 3m m+3 m 3m 12 = m3 m +1 3m m+3 m 3m Tớnh nh thc + 2m Tỡm m > Gii Cõu 19: Tớnh nh thc + 2m = m+3 m m Tỡm m > Gii + 2m = m+3 m m Cõu 20: m+5 = m m Tớnh nh thc 1 Tỡm m = Gii m+5 = m m 1 1 Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Cõu 21: 1.40d 47 m 2m m m m = 1 0 m 0 Tỡm m > Tớnh nh thc Gii m 2m m m m = 1 0 m 0 Cõu 22: m m = 1 m 2m Tớnh nh thc 0 m 0 0 Tỡm m > Gii m m = 1 m 2m 0 m 0 0 Cõu 23: Tớnh nh thc m m = m+7 m Tỡm m = Gii m m = m+7 m Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 10 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Gi s A l mt ma trn vuụng cp cú vector riờng l ( 1, 2,1) ; ( 1, 0,1) ; ( 1, 0, ) ln lt 1 ữ P = 0ữ 1 0ữ Khng nh no sau õy ỳng ? ng vi cỏc tr riờng l 1, 2v t 0 ữ P AP = ữ 0 3ữ a) A c chộo húa v 0 ữ P AP = ữ 0 3ữ b) A c chộo húa v 0 ữ P AP = ữ 0 1ữ c) A c chộo húa v d) Cỏc khng nh trờn u ỳng Gii A l mt ma trn vuụng cp cú vector riờng l ( 1, 2,1) ; ( 1, 0,1) ; ( 1, 0, ) ln lt ng vi cỏc tr riờng l 1, v 1 ữ P = 0ữ 1 0ữ Theo : 0 ữ P AP = ữ 0 3ữ Theo nh lý ca chng V suy ra: a) A c chộo húa v Phng ỏn ỳng l phng ỏn a Cõu 292: Gi s A l mt ma trn vuụng cp cú vector riờng l ( 2, 2,1) ; ( 1,1,1) ; ( 2, 0, ) ln lt ng vi cỏc tr riờng l 3, 2v Ma trn P no sau õy tha ng thc 0 ữ P AP = ữ 0 4ữ Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 127 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 2 ữ a) P = 1 ữ 0ữ 2 ữ c) P = ữ 1 ữ 2 ữ b) P = ữ ữ 1 2 ữ d) P = ữ 1ữ Gii A l mt ma trn vuụng cp cú vector riờng l ( 2, 2,1) ; ( 1,1,1) ; ( 2,0, ) ln lt ng vi cỏc tr riờng l 3,2v Ma trn P no sau õy tha ng thc 2 0 P = P AP = ữ ữ 1 0 4ữ Suy ra: chn cõu b) Cõu 293: Gi s A l mt ma trn vuụng cp cú a thc c trng l ( ) = ( 2) ( 4) Khng nh no sau õy ỳng? a) A chộo húa c b) A chộo húa c v ch ng vi tr riờng 0, A cú hai vector riờng c lp tuyn tớnh c) A chộo húa c v ch ng vi tr riờng A cú hai vector riờng c lp tuyn tớnh d) A chộo húa c v ch ng vi tr riờng A cú hai vector riờng c lp tuyn tớnh Gii ( ) = ( 2) ( 4) = ( ) = = = A l mt ma trn vuụng cp cú a thc c trng l Vỡ A cú tr riờng phõn bit nờn: a) A chộo húa c Phng ỏn a ỳng Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 128 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Cõu 294: = 2) ( 4) Gi s A l mt ma trn vuụng cp cú a thc c trng l ( ) ( Khng nh no sau õy ỳng ? a) A khụng chộo húa c vỡ A khụng cú hai tr riờng phõn bit b) A chộo húa c c) A chộo húa c v ch ng vi tr riờng 2, A cú hai vector c lp tuyn tớnh d) Cỏc khng nh trờn u sai Gii Gi s A l mt ma trn vuụng cp cú a thc c trng l ( ) = ( 2) ( 4) Khng nh sau õy ỳng: c) A chộo húa c v ch ng vi tr riờng 2, A cú hai vector c lp tuyn tớnh ỏp ỏn c ỳng Giải tập làm thêm A MA TRN Tỡm ma trn tớch AB v BA (khi chỳng c xỏc nh) Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 129 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH a , A = 16 AB = 11 v BA khụng xỏc nh 1 b,A= B= B = 10 22 15 AB = v BA = 15 21 10 1 1 0 1 c,A= B = 12 12 AB = 1 v BA = 7 Tỡm vớ d chng t AB = vi A 0; B 1 1 A = 1 B = 1 0 AB = 0 A = 0 B= 0 AB = 0 Vớ d chng t AB = AC vi A 0; B C 1 2 1 1 2 A= B= C = 1 AB = AC = Cỏc vớ d chng t ma trn vuụng cp m bỡnh phng bng ma trn Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 130 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 1 1 1 ì 1 = 0 0 2 2 ì 2 0 2 = 0 n n n n n n 0 n n = 0 ì Tớnh An, Cn A2 = = v A3 = ì 2n An = = v C3 = ì C2 = Cn = 2n ì = = 27 ì 3n B NH THC 2.1 Xỏc nh nghch th cỏc hoỏn v sau: a) (3 9); N = + + = 12 b) (n (n-1) (n-2) 1) n2 N = +2 + ++(n-2) + (n-1) = c) (1 7(2n-1) 6(2n)); n2 N = (n-1) + (n-2) + (n-3) ++3 + 2+ = d) (2 (2n) 7(2n-1)); n2 N = n +(n-1) + (n-2) ++ +1 = + n 2.2 Tớnh cỏc nh thc cp ba sau: a) 2 3 = 3.0.3 + (-2).(-2).2 + (-4) (-2).3.3- 2.3 = Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 131 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH t +3 1 t 6 t+4 = (t+3).(t-3).(t+4)- -30 - 6.(t-3) + 6.(t+3) + 5.(t+4) = (t -9) (t+4) 36 + 36 + 5t + 20 = t3 + 4t2 - 4t -16 b) a a2 1 a bc b ca c) c ab = b b c c a2 a a2 a = ba a a ca c a 2 = (b a).(c a) b + a = (b a ).(c a ).(c b) c+a 0 a b d) e) a c = b c abc abc = 1 1 a a3 b b3 c = a c3 a3 = (b a ).(c a ) a a3 0 ba b3 a ca c3 a3 1 a + ab + b a + ac + c = (b a ).(c a ).(c + ac ab b ) 2.3 Tớnh cỏc nh thc 1 6 6 1 1 1 1 0 = = = 6.2.2.2 = 48 1 1 0 a) 1 b) 1 3 4 1 0 4 1 1+1 = = (1) 10 = 260 2 10 10 13 10 13 2.4 Tớnh cỏc nh thc cp n: Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 132 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 2 a) b) 2 2 2 2 = n 0 0 = (1).2.1.2.3 (n 2) = ( 2).( n 2)! n x y 0 x y 0 x y 0 y 0 x y 0 ( 1) 1+1 x ( 1) n+1 0 x y 0 x y y 0 x = y x + 0 x y n +1 n n = x + ( 1) y c) x x x x x x x x x x (n 1) x (n 1) x (n 1) x ( n 1) x ( n 1) x x x x x x = x x x x x x 1 1 x x = ( ( n 1) x 1) x x x x x x x = ( ( n 1) x 1) 1 0 x ( x + 1) x ( x + 1) x 0 ( x + 1) = ( ( n 1) x 1) (1) n ( x + 1) n d) a1 x D= x x a2 x x x a3 x x x x x x an Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 133 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Nhõn hng u vi (-1)ri cng tt c cỏc hng li ta c: a1 x a1 = x a1 x a1 x x a2 x 0 a3 x 0 x an x a1 a1 x a2 a2 x 1 1 = (a1 x)(a2 x)(a3 x) (an x) a3 an a3 x an x 0 a1 x = 1+ a1 x Cng tt c cỏc ct 2,3 n v ct vi a1 x n a3 an a2 x 1+ a2 x a3 x an x i =1 x D = (a1 x )(a2 x )(a3 x ) (an x ) 0 0 n x = (a1 x )(a2 x )(a3 x ) (an x) + ữ i =1 x 0 1 a1 1 a2 e) 1 0 0 0 an 0 an Khai trin theo hng u ta c: Dn = a1 a2 a3 an1 + ( 1) n +1 a1 1 a2 0 0 an Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 134 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Thc hin i ch (n-2) ln a hng cui cựng lờn hng du tiờn, hng chuyn lờn hng 2, hng thnh hng c vy hng (n-2) thnh hng (n-1), nh vy mi ln i li xut hin du (-) n +1 n2 Vy: Dn = a1a2 a3 an1 + (1) (1) Dn1 = a1a2 a3 an1 Dn1 C tip tc lm nh vy ta c: Dn = a1 a2 a3 an a1a2 a3 an + (1) n a1 + (1) n +1 + a1 1 + a2 f) 1 1 + a3 + a n Ly ln lt theo th t hng n tr i hng (n-1), hng (n-1) tr i hng (n-2) Hng tr hng Ta c: + a1 a1 a2 a2 a3 0 a n 1 0 an a 0 0 2 1 b 2 0 0 3 = 2.7 Dựng nh lý Laplace hóy tớnh cỏc nh thc: = 1 4 4 + +1+ 2 = ( ) 25 = 125 = ( 1) 2 0 0 1 0 2 1+ +1+ = ( 1) 2 0 1 0 2 1 1 1+ + 3+ 1 ( 1) = = ( 3) 1.5 = 15 1 1 Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 135 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 1 x a1 x2 a12 x n1 a1n1 x a1 x x2 a12 x x n1 a1n1 x n1 a2 a22 a2n1 = a2 x a22 x a2n1 x n1 an1 an21 ann11 2 n an1 x an1 x an1 x n1 x x2 x n1 a1 + x a1n + a1n3 x + + a1 x n3 + x n = ( a1 x ) ( a2 x ) ( an1 x ) a2 + x a2n + a2n3 x + + a2 x n3 + x n an + x ann12 + ann13 x + + an x n3 + x n2 x x2 a1 + x = ( a1 x ) ( a2 x ) ( an1 x ) 0 a2 a1 x n1 a1n + a1n x + + a1 x n a2n a1n2 + ( a2n3 a1n3 ) x + + ( a2 a1 ) x n3 0 an a1 ann12 a1n2 + ( ann13 a1n3 ) x + + ( an a1 ) x n3 x n1 x x = ( a1 x ) ( a2 x ) ( an1 x ) ( a2 a1 ) ( a3 a1 ) ( an1 a1 ) 0 a2n3 + a a1n3 + ( a2n3 a1n ) x + + ( a2 a1 ) x n 0 C.H PHNG TRèNH TUYN TNH 1.Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) x1+2x2 +5x3=-9 x1 - x2 +3x3 = ta cú: 3x1-6x2 x3 =25 -9 -11 -12 -16 52 x1 = x2 = -3 x3 = -1 A = -9 -1 3 -6 -1 25 -9 -11 0 -8 x 1+2x2+5x3 = -9 3x 2+2x3=-11 -8x 3=8 b) Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 136 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH x1 - x2 + x3 =-2 2x1+x2 - 2x3 = x1+2x2+ 3x3 = Ta cú : -1 -2 -4 10 0 -6 c) x1+2x2-3x3+5x4 =1 x1+3x2-13x3+22x4=-1 Ta cú 3x1+5x2 +x3 -2x4 =5 2x1+3x2+4x3-7x4 =4 -1 -2 A = -2 x1-x2 +x3 =-2 3x2-4x3=10 6x3=-6 A = 2 -1 -2 -4 10 x1=1 x2=2 x3=-1 -3 -13 22 -1 -2 -7 0 -3 -1 10 -17 -1 10 -17 -1 10 -17 2 -3 -1 10 -17 x1+2x2-3x3+5x4=1 -x2-10x3-17x4=2 x1= 23a + 12b + t x3 = a , x4 = b ta c: x2= -10a - 17b - x3 = a x4 = b d) 3x1 - 4x2 + x3 - x4 = ta cú A = -4 6x1 - 8x2 + 2x3 + 3x4 = -8 x 1= 4a - b / 3x1-4x2+x3-x4=0 x2= a 5x4=0 x3 = b x4 = Gii v bin lun phng trỡnh theo m mx1+x2+x3=1 m 1 x1+mx2+x3=m ta cú A = m x1+x2+mx3=m2 1 m m 1 A = m m 1 m m2 -1 3 -4 -1 0 -5 m 1 1-m 1-m (1) 1-m 1-m2 m 1 1-m 1-m 1-m2 1-m 1-m2 1-m3 (2) T (1) v (2) ta cú: Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 137 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Nu m = Nu m # Kt lun rA = rA < n rA = rA = n =3 H vụ s nghim H cú nghim nht * m=1: H vụ s nghim * m # 1: H cú nghim nht Bin lun phng trỡnh theo a x+ y +z =3 1 x +(a-1)y +z= ta cú A= a-1 x+y+az=1 1 a 1 A = a-1 1 a T (1) v (2) ta cú: Nu a = Nu a # 1 2-a 0 1-a 1 2-a 0 0 1-a rA = r A < n rA = rA = n (1) (2) H vụ s nghim H cú nghim nht a#1 Nu a = r A < rA H vụ nghim Kt lun * a = 2: H vụ s nghim * a # v a # 2: H cú nghim nht * a = 1: H vụ nghim Gii h phng trỡnh sau: x1+2x2+4x3-3x4=0 -3 3x1 +x2+6x3-4x4=0 ta cú A = -4 4x1+5x2-2x3+3x4=0 -2 3x1+8x2+24x3-19x4=0 24 -19 0 -1 -6 -3 -18 12 -3 15 28 0 0 -3 -1 -6 -5 0 0 0 38 0 0 0 0 - x 1+2x2+4x3-3x4=0 x 2-6x3+5x4=0 38x 4=0 t x3= -a / x1= - 2a / x2= x4=0 Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 138 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH D KHễNG GIAN VECTOR 4.1 Trong R3 cho cỏc vector U1 = (1,-2,3) , U2 = (0,1,-3) Vector U = (2,-3,3) cú phi l t hp tuyn tớnh ca U1 v U2 khụng ? Tr li Vỡ (2,-3,3) = 2.(1,-2,3) +(0,1,-3) Nờn U = 2.U1+ U2 Vy U l t hp tuyn tớnh ca U1 v U2 Tỡm m vecto V = (1,m,-3) l t hp tuyn tớnh ca U1 v U2 Tr li Ta cú: V = k1 U1 + k2U2 (1, m, -3) = k1(1, -2, 3) + k2(0, 1, -3) = k1 k1 = m = k + k k = = 3k 3k m = Khi ú V = U1 + 2U2 Vy m = l giỏ tr cn tỡm 4.2 Gi s h vector { A1 , A2 , , AK } c lp tuyn tớnh CM rng nu h vector { A1 , A2 , , An , B} ph thuc tuyn tớnh thỡ B l t hp tuyn tớnh ca A , A A 2,, K Ta cú h vector { A1 , Tr li A2 , , An } nờn: k1A1 + k2A2 + k3A3 ++knAn = vi k1 = k2 = k3= = kn = Mt khỏc, h { A1 , A2 , , An , B} ph thuc tuyn tớnh nờn: k1A1 + k2A2 + k3A3 ++ knAn + B = m k1 = k2 = k3= = kn = nờn Chia hai v cho ta c : kn k1 k A1 + A2 + An + + B =0 kn k1 k A1 A2 An Hay B = - - Vy B l t hp tuyn tớnh ca A1, A2 ,,An 4.5 Trong R3 xột xem cỏc h vector sau õy l c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn tớnh ? a) U1 = ( 1,-2,1) , U2 = ( 2,1,-1) , U3= ( 7.-4,1) Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 139 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH b) V1=(1,-3,7), V2= (0,2,1), V3= (-1,-2,1), V4= (1,0,0) c) Z1= (1,2,-3), Z2= (1,-3,2), Z3=(2,-1,5) Tr li 10 Xột ma trn A= =0 vecto ph thuc tuyn tớnh DetA = 10 b) Trong khụng gian R3 h gm vector H ph thuc tuyn tớnh 5 11 c) Ma trn A= 5 = 55 + 25 = 30 DetA = 11 H c lp tuyn tớnh 4.6 Trong R4 xột xem cỏc h vector sau õy l c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn tớnh? a) U1 = (1,-1,2,0), U2 = (-1,0,1,1), U3 = (2,1,-1,2) b) V1 = (-1,1,1,-1), V2 = (2,-1,2,-1), V3 = (0,1,4,-3) Tr li a) 1 0 A= r(A) = H c lp tuyn tớnh 1 1 b) A= r(A) = H ph thuc tuyn tớnh 4.7 Chng minh rng nu h vector { A1 A2 A3 } c lp tuyn tớnh thỡ h cỏc vector: B1 = A1 + A2, B2 = A1 - A2, B3 = A1 - 2A2 + A3 cng c lp tuyn tớnh 4.8 Xỏc nh cỏc tr s ca bin s thc x h cỏc vector sau R3: (x, a, a), (a, x, b), (b, b, x) l ph thuc tuyn tớnh 4.9 Trong R4 tỡm hng ca cỏc h vecto sau: a) U1= (-1,2,0,1), U2= (1,2,3,-1), U3= (0,4,3,0); Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 140 SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH b) V1= (-1,4,8,12), V2= (2,1,3,1), V3= (-2,8,16,24), V4= (1,1,2,3) 4.10 Tỡm h c lp tuyn tớnh cc i ca h cỏc vector sau khụng gian R 4: U1= (1,2,0,-1), U2= (0,1,3,-2), U3= (-1,0,2,4), U4= (3,1,-11,0) 4.11 H vector no cỏc h sau õy l c s ca R3: a) B1 = { (1,2,3), (0,2,3)} b) B2 = { (1,2,3), (0,2,3), (0,0,5)} c) B3 = { (1,1,2), (1,2,5), (0,1,3)} d) B4 = { (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (2,0,5)} 4.12 Chng minh rng h vector { A1 A2 A3 } ú A1 = (1,1,1), A2 = (1,1,2), A3 = (1,2,3) l c s ca R3 v tỡm ta ca vector X = (6,9,14) c s ú 4.13 Trong R3 cho cỏc h vector {V } B = {U U U } v B`= Trong ú U1 = (1,1,1), U2 = (1,1,2), U3 = (1,2,3) v V1 = (2,1,-1), V2 = (3,2,5), V3 = V2 V (1,-1,m), m R a) Chng minh B l c s ca R3, tỡm ta ca vector X = (a, b, c) c s ca B b) Tỡm m B` l mt c s ca R3 c) Tỡm ma trn i c s t B sang B` ng vi m = Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page 141 SV IUH K12 ... Phng phỏp khai trin theo mt hng hay mt ct Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Cho A = (aij)n, A b i hng i ct j phn cũn li to mt ma... =(-1)1+2 Cõu 6: Tớnh nh thc m = 0 1 Tỡm m Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH Gii Cõu 7: 1.39c 47 Tớnh nh thc m = m 1 m = m m Tỡm... 10: 1 m Tớnh nh thc =1 1 Tỡm m < Gii Nhóm 7.1 - Lớp Dhtp3 - Đại học công nghiệp HCM Page SV IUH K12 GII BI TP NGN HNG CU HI TON A2 IUH 1 m =1 1 = Cõu 11: m = 2m Tớnh nh thc 1 Tỡm m >