www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON A/ t Vn : I Lí DO CHN TI L Giỏo Viờn dy hc mụn toỏn, chỳng ta mi tht s thy c tm quan trng toỏn hc, nú rt a dng v phong phỳ, thuc nhiu lnh vc nghiờn cu khoa hc cho cỏc ngnh ngh Bt c ngnh no ngh no cng ũi hi phi cú s tớnh toỏn Mun tớnh toỏn gii ta phi hc tt mụn toỏn, t nhng s, ri thc hin cỏc phộp tớnh n gin cho n cỏc phộp tớnh khú.v.v Vỡ vy ta phi xõy dng th h hc sinh tr thnh nhng ngi mi phỏt trin ton din Bờn cnh phi giỏo dc cho hc sinh cú y phm cht o c, nng lc, trớ tu ỏp ng vi yờu cu thc t hin Mun gii quyt nhim v quan trng ny, trc ht Thy, Cụ giỏo chỳng ta cng phi xõy dng cho mỡnh mt phng phỏp dy tht tt v thng xuyờn ci tin phng phỏp ging dy cho phự hp vi tng ni dung, iu kin ging dy vo cỏc i tng tham gia hc tp, nhm to tin vng chc, lõu bn vic tip nhn tri thc, n np v thỏi hc ca cỏc em nh trng giỳp hc sinh hc tt mụn toỏn, ngoi vic truyn th kin thc c bn theo phõn phi chng trỡnh ca B Giỏo dc & o to ban hnh cho cỏc trng hc ph thụng ( K c ba cp ), giỏo viờn cng nh hc sinh cn phi nghiờn cu tht nhiu cỏc ti liu, sỏch bỏo, bng hỡnh, cú liờn quan n mụn toỏn b sung cỏc dng kin thc mi, phng phỏp gii mi, Giỳp hc sinh hc d hiu, d tip thu bi nhm to c sõn chi thõn thin, t ú cỏc em mi tớch cc tham gia cỏc hot ng hc tp, ri cú ý tng t nghiờn cu sỏng to cho vic hc v gii toỏn c thun li hn Theo nh khoa hc Lep-Nitx ó núi: Mt phng phỏp c coi l tt, nu nh t u ta cú th thy trc v sau ú cú th khng nh c rng theo phng phỏp ú ta s t ti ớch Vi mi bi toỏn Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON ta cng cú th gii c, ch cn bt chc theo nhng chun mc ỳng n v thng xuyờn thc hnh L ngi giỏo viờn, chỳng ta cn phi nghiờn cu, tham kho tht nhiu cỏc loi sỏch, bỏo, ti nghip v s phm, phng phỏp gii mt s dng toỏn.v.v cú liờn quan n lnh vc toỏn hc kp thi nm bt v dng vo thc t ging dy Tuy nhiờn sut qỳa trỡnh ging dy cho thy vic dng kin thc c bn sỏch giỏo khoa, sỏch nõng cao i vi nhng bi toỏn nh Tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn vit di dng ly tha cú bc thp thỡ hc sinh d tỡm ra, cũn nhng ly tha dng bc cao thỡ hc sinh vụ cựng lỳng tỳng, khú gii Chớnh vỡ vy m Tụi c nghiờn cu v tỡm c phng phỏp gii n gin i vi s t nhiờn dng an Ngoi Tụi mnh dng a Mt s dng toỏn v ly tha chng trỡnh toỏn v phng phỏp gii, chỳng c ỳc kt qua kinh nghim thc t ging dy v mụn s hc ca Tụi Cỏc bi toỏn v ly tha tht l a dng, phong phỳ v hp dn, th nhng khụng ớt Hc sinh lm loi toỏn ny thng cha phõn c dng nờn cha cú phng phỏp gii phự hp, dn n b tc hoc cú nhng cỏch gii cũn phc tp, cha ti u Chớnh vỡ vy m Tụi a l giỳp cho cỏc em gii quyt c phn no khú khn m cỏc em vp phi B NI DUNG KIN THC C BN V V D Phn 1: Phng phỏp tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn n dng: a vi: a v a 1, n N ( Gi tt l phng phỏp H ) Theo nh ngha v ly tha s hc lp ta c: Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON an= a a a n tha s Ta cú nhn xột trng hp a = Trong dóy cỏc ly tha 21, 22, 23, 2n luụn tn ti bn dóy ly tha M mi ly tha cựng mt dóy cú ch s tn cựng bng Ta ký hiu: D2-1 l hp cỏc ly tha cú dng 1; 25; 29; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D2-2 l hp cỏc ly tha cú dng 22; 26; 210; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D2-3 l hp cỏc ly tha cú dng 3; 27; 211; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D2-4 l hp cỏc ly tha cú dng 24; 28; 212; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l Vn trỡnh by nh ó nờu trờn cho thy giỏ tr ca cỏc ly tha ca dóy D2 = 21, 22, 23, 2n cú ch s tn cựng c lp li theo th t m s m mi dóy l mt cp s cng cú hiu ( s ln tr s nh ) l Ta cú bng túm tt ca cỏc dóy v phng phỏp tỡm ch s tn cựng ca D2-1 = 121;225;3 29; n Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l dóy D2 = , , , nh sau: D2-2 = 22; 26; 210; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D2-3 = 23; 27; 211; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D2-4 = 24; 28; 212; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l Nhng s cú nhiu ch s nh 12n; 22n; 32n; u ỏp dng nh trờn Cỏch tỡm: Ta chia s m ca ly tha cho Nu s d l thỡ thuc D2-1 nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D2-2 Nờn cú ch s tn cựng l Trang: Nu s d l thỡ thuc D2-4 Nờn cú ch s tn cựng l www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Vớ d1: Tỡm ch s tn cựng ca A = 265 ; B = 22003 Gii: Vỡ 265 2n nờn ta chia s m 65 cho ta c s d l D2-1 Vy s 265 cú ch s tn cựng l Hay A cú ch s tn cựng l 2 Vỡ 22003 2n Nờn ta chia s m 2003 cho ta c s d l D2-3 Vy B cú ch s tn cựng l Vớ d 2: Tỡm ch s tn cựng ca s: 3244 ; 109214; 3521001; 1228051 Gii: Vỡ 32 = 30 + nờn mun tỡm ch s tn cựng ca 32 44 ta ch vic tỡm ch s tn cựng ca 244 l tha ( nhng s chn chc ly tha n lờn luụn cú ch s tn cựng bng ) Do ú ta chia 44 cho thỡ d bng 0, m s d va tỡm c li thuc D2-4 Vy S 3244 cú ch s tn cựng l Vỡ 1092 = 1090 + cỏch tỡm tng t nh bi toỏn trờn Mun tỡm ch s tn cựng ca s 109214 ta i tỡm ch s tn cựng ca 214 Do 14 chia cho cũn d l 2, m s d ny thuc vo D2-2 nờn cú ch s tn cựng Vy s 109214 cú ch s tn cựng l Vỡ s 352 cú ch s tn cựng bng Nờn 3521001 v 21001 cú ch s tn cựng ging Cỏch tỡm: ta tỡm s d ca phộp chia 1001 cho 4, ta c s d l ng vi s d ny ta cú ch s tn cựng l Vy: 3521001 cú ch s tn cựng l Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Ta thy s 122 cú ch s tn cựng l nờn 1228051 v 28051 cú ch s tn cựng bng Da vo cỏch tỡm ta cú s d ca phộp chia 8051 cho l M ng vi s d ta cú ch s tn cựng l Vy: 1228051 cú ch s tn cựng l Ta cú nhn xột trng hp a = Trong dóy cỏc ly tha 31, 32, 33, 3n luụn tn ti bn dóy ly tha M mi ly tha cựng mt dóy cú ch s tn cựng bng Ta ký hiu: D3-1 l hp cỏc ly tha cú dng 1; 35; 39; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D3-2 l hp cỏc ly tha cú dng 32; 36; 310; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D3-3 l hp cỏc ly tha cú dng 3; 37; 311; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D3-4 l hp cỏc ly tha cú dng 34; 38; 312; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l Vn trỡnh by nh ó nờu trờn cho thy giỏ tr ca cỏc ly tha ca dóy D3 = 31, 32, 33, 3n cú ch s tn cựng c lp li theo th t m s m miDdóy l3mt s ln tr s l 4.l ; 35;cp 39; s cng Giỏcútrhiu mi(ly Cú ch snh tn )cựng 3-1 = Ta cú bng túm tt ca cỏc dóy v phng phỏp tỡm ch s tn cựng ca D 32; 36; 310; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l dóy D3-23 == 31, 32, 33, 3n nh sau: D3-3 = 33; 37; 311; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D3-4 = 34; 38; 312; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l Nhng s cú nhiu ch s nh 13n; 23n; 33n; u ỏp dng nh trờn Cỏch tỡm: Ta chia s m ca ly tha cho Nu s d l thỡ thuc D3-1 nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D3-2 Nờn cú ch s tn cựng l Trang: Nu s d l thỡ thuc D3-4 Nờn cú ch s tn cựng l www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Vớ d: Tỡm ch s tn cựng ca: 3999 ; 43126; 21535717 Gii: * Ta chia s m 999 cho ta c s d l 3, s d ny thuc D3-3 Nờn ch s tn cựng ca s 3999 l: * Vỡ 43 = 40 + 3, nờn ch s tn cựng ca s 43126 li bng ch s tn cựng ca s 3126 Da vo cỏch tỡm ch s tn cựng ca mt ly tha vi c s ( 126 : = 31 d ), m s d thuc D3-2 Vy: S 43126 cú ch s tn cựng l * Ta thy: s 2153 cú ch s tn cựng l 3, nờn s 21535717 v s 35717 cú ch s tn cựng bng Do ú ta cú cỏch tỡm ch s tn cựng nh sau: Ta chia s m 5717 cho ta c s d l 1, ng vi s d ny ta cú ch s tn cựng l Vy: 21535717 cú ch s tn cựng l Ta cú nhn xột trng hp a = Trong dóy cỏc ly tha 41, 42, 43, 4n luụn tn ti hai dóy ly tha M mi ly tha cựng mt dóy cú ch s tn cựng bng Ta ký hiu: Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON D4-1 l hp cỏc ly tha cú dng 1; 43; 45; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D4-2 l hp cỏc ly tha cú dng 2; 44; 46; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l Vn trỡnh by nh ó nờu trờn cho thy giỏ tr ca cỏc ly tha ca dóy D4 = 41, 42, 43, 4n cú ch s tn cựng c lp li theo th t m s m mi dóy l mt cp s cng cú hiu ( s ln tr s nh ) l iu ny cho thy D4 ch tn ti hai dóy ly tha, ú l dóy ly tha vi s m l v dóy ly tha vi s m chn Ta cú bng túm tt ca cỏc dóy v phng phỏp tỡm ch s tn cựng ca dóy D4 = 41, 42, 43, 4n nh sau: D4-1 = 41; 43; 43; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D4-2 = 42; 44; 46; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l Nhng s cú nhiu ch s nh 14n; 24n; 34n; u ỏp dng nh trờn Cỏch tỡm: Ta chia s m ca ly tha cho Nu s d l thỡ thuc D4-1 nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D4-2 Nờn cú ch s tn cựng l Hoc cng cú th xỏc nh ch s tn cựng bng nhn xột trờn s m; Nu s m ca ly tha m chn thỡ ch s tn cựng ca s ú l 6, cũn nu s m ca ly tha l s l thỡ ch s tn cựng ca s ú l Vớ d: Tỡm ch s tn cựng ca 418 , 487 , 18942n Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Gii: Do Ly tha vi c s cho ta cỏc ch s tn cựng hoc hoc Nu s m l thỡ cú ch s tn cựng l 4; cũn s m chn thỡ cúa ch s tn cựng l Vy: * S 418 cú ch s tn cựng l ( vỡ s m l chn ) * S 487 cú ch s tn cựng l ( vỡ s m l l ) * S 18942n = ( 1890 + )2n 42n cú ch s tn cựng l ( 2n l s m chn ) Vy: s 18942n cú ch s tn cựng l Ta cú nhn xột trng hp a = Khi a = thỡ 5n ( Vi n N* ) luụn luụn cú ch s tn cựng bng Vớ d: 53 cú ch s tn cựng bng 5100 cú ch s rn cựng bng Ta cú nhn xột trng hp a = Khi a = Thỡ 6n ( Vi n N* ) luụn luụn cú ch s tn cựng bng Vớ d: 61 = 6; 62 = 36; 63 = 216; 64 = 1296 6n = Ta cú nhn xột trng hp a = Trong dóy cỏc ly tha 71, 72, 73, 7n luụn tn ti bn dóy ly tha M mi ly tha cựng mt dóy cú ch s tn cựng bng Ta ký hiu: Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON D7-1 l hp cỏc ly tha cú dng 1; 75; 79; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D7-2 l hp cỏc ly tha cú dng 72; 76; 710; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D7-3 l hp cỏc ly tha cú dng 3; 77; 711; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D7-4 l hp cỏc ly tha cú dng 74; 78; 712; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l Vn trỡnh by nh ó nờu trờn cho thy giỏ tr ca cỏc ly tha ca dóy D7 = 71, 72, 73, 7n cú ch s tn cựng c lp li theo th t m s m mi dóy l mt cp s cng cú hiu ( s ln tr s nh ) l Ta cú bng túm tt ca cỏc dóy v phng phỏp tỡm ch s tn cựng ca dóy D7 = 71, 72, 73, 7n nh sau: D7-1 = 71; 75; 79; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D7-2 = 72; 76; 710; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D7-3 = 73; 77; 711; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l D7-4 = 74; 78; 712; Giỏ tr mi ly Cú ch s tn cựng l Nhng s cú nhiu ch s nh 17n; 27n; 37n; u ỏp dng nh trờn Cỏch tỡm: Ta chia s m ca ly tha cho Nu s d l thỡ thuc D7-1 nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D7-2 Nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D7-3 Nờn cú ch s tn cựng l Nu s d l thỡ thuc D7-4 Nờn cú ch s tn cựng l Trang: www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Vớ d: Tỡm ch s tn cựng ca 71234 ; 72009 ; 8755 ? Gii: Ta chia s m 1234 cho ta c s d bng s d ny thuc dóy D7- Nờn s 71234 cú ch s tn cựng l Tng t: ta chia s m 2009 cho ta c s d bng 1, s d ny thuc dóy D7-1 Nờn s 72009 cú ch s tn cựng l Vỡ 87 = 80 + Do ú vic tỡm ch s tn cựng ca 8755 ta ch vic tỡm ch s tn cựng ca s 755 Cỏch tỡm ta chia s m 55 cho 4, phộp chia ny cú s d l 3, s d ny thuc D7-3 Nờn 755 cú ch s tn cựng l Vy s 8755 cú s tn cựng l Ta cú nhn xột trng hp a = Trong dóy cỏc ly tha 81, 82, 83, 8n luụn tn ti bn dóy ly tha M mi ly tha cựng mt dóy cú ch s tn cựng bng Ta ký hiu: D8-1 l hp cỏc ly tha cú dng 1; 85; 89; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D8-2 l hp cỏc ly tha cú dng 82; 86; 810; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D8-3 l hp cỏc ly tha cú dng 3; 87; 811; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l D8-4 l hp cỏc ly tha cú dng 84; 88; 812; v giỏ tr ca mi ly tha dóy ny cú ch s tn cựng l Vn trỡnh by nh ó nờu trờn cho thy giỏ tr ca cỏc ly tha ca dóy D8 = 81, 82, 83, 8n cú ch s tn cựng c lp li theo th t m s m mi dóy l mt cp s cng cú hiu ( s ln tr s nh ) l Trang: 10 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Ta cú: 34 19 (mod 100) suy 38 192 (mod 100) Suy ra: 310 61.9 49 (mod 100) suy 3100 492 (mod 100) Suy ra: 31000 01 (mod 100) Vy: 31000 cú hai ch s tn cựng l 01 Bi 6: Tỡm hai ch s tn cựng ca 21000 Gii: Ta cú: 210 = 1024 suy ra: (210)2 = 76 Suy ra: 21000 = ( 76)50 = 76 Vy : 21000 cú hai ch s tn cựng l 76 Bi 7: Tỡm hai ch s tn cựng ca 262088 Gii: Ta cú: 264 cú hai ch s tn cựng l 76 Suy ra: 262088 = (244)522 = ( 76 )522 = .76 ( vỡ s cú hai ch s tn cựng l 76 ta ly tha bt k vi s m khỏc no thỡ luụn cú hai ch s tn cựng l 76 ) Vy: 262088 cú hai ch s tn cựng l 76 Bi 8: Tỡm hai ch s tn cựng ca 71991 Gii: Ta cú: 74 = 2401; s cú hai ch s tn cựng l 01, ta nõng lờn ly tha no khỏc cng cú hai ch s tn cựng l 01 Do: 71991 = ( 74 )497 73 = ( 01)497 343 = ( 01).343 = 43 Vy: 71991 cú hai ch s tn cựng l 43 Bi 9: Tỡm hai ch s tn cựng ca 68194 Gii: Ta cú: 684 = 21381376 s cú hai ch s tn cựng l 76 v 682 = 4624 s cú hai ch s tn cựng l 24 Ta li cú: 68194 = ( 684)48 682 = (n76)48 4624 = k76 4624 = t24 Vy: 68194 cú hai ch s tn cựng l 24 Trang: 19 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Phn 3: Mt s dng toỏn v ly tha chng trỡnh toỏn B- NI DUNG: I- Lý thuyt: Da vo mt s kin thc sau: 1) nh ngha v ly tha 2) cỏc phộp tớnh v ly tha 3) Ch s tn cựng ca mt ly tha 4) Khi no thỡ hai ly tha bng 5) Tớnh cht ca ng thc, bt ng thc? 6) Tớnh cht chia ht 7) Tớnh cht ca nhng dóy toỏn cú quy lut 8) H thng ghi s II- Bi tp: Vit biu thc di dng mt ly tha: a) Phân tích số thừa số nguyên tố Bài 1: Vit biu thc di dng mt ly tha ( bng nhiu cỏch nu cú) a) 410 815 b) 82 253 Bi gii: a) 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265 Ta thy: 265 = (25)13 = 3213 265 = (213)5 = 81925 Vy ta cú cỏch vit l: 410 815 = 265 410 815 = 3213 410 815 = 81925 b) 82 253 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106 Ta thy: 106 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002 Vy ta cú cỏch vit l: Trang: 20 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON 82 253 = 106 82 253 = 1003 82 253 = 10002 b) Nhóm thừa số cách thích hợp Bài 2: Vit biu thc di dng mt ly tha ( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3) Bi gii: ( 2a3.x3y ) (8a2x3y4) ( 16a3x3y3) = (2.8.16) (a3 a2 a3) ( x2x3 x3) (y.y4.y3) = 28 a8 x8 y8 = (2axy)8 Bài 3: Chng t rng mi tng ( hiu ) sau õy l mt s chớnh phng a) 32 + 42 b) 132 -52 c) 13 + 23 + 33 + 43 Bài giải: a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52 b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122 c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + + + 4)2 = 102 2- Tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn * Luỹ thừa có số tận đặc biệt ( x, y, N) XO = YO n X1 n (n N *) = Y1 n X = Y5 (n N *) X6 = Y6 (n N *) Bài 1: Tỡm ch s tn cựng ca cỏc ly tha sau: a) 42k ; 42k + b) 92k ; 92k + ( k N ) Bài giải: a) Ta có: 42k = (42)k = ( 6) k = 42k + = (42)k = 6.4 = Trang: 21 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON b) Tơng tự ta có: 92k = 92k + = Bài 2: Tỡm ch s tn cựng ca cỏc ly tha sau a) 22005; 32006 b) 72007 ; 82007 Bài giải: a) Ta có: 22005 = (24)501 = 501 = 32006 = (34)501 32 = ( 1) b) Ta có: 501 = 72007 = (74)501 73 = ( )501.3 = 82007 = (84)501 83 = ( 6) 501 = Tớnh giỏ tr ca biu thc: a) Tính theo quy tắc thực phép tính: Bài 1: Tớnh giỏ tr ca biu thc sau: 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 Bài giải: 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 = b) Sử dụng tính chất phép tính Bài 1: Tớnh giỏ tr ca biu thc sau mt cỏch hp lớ nht A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 B = ! - ! - ! 82 Bài giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 = ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) = + - 26 = 15625 + 729 - 64 = 16290 B = ! -8 ! - 7! 82 = ! ( 9-1) - ! = ! - 8! = c) Biểu thức có tính quy luật Bài 1: Tính tổng A = + + 22+ + 2100 Trang: 22 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON B = - 32 + 33 - - 3100 Bài giải: A = + + 22 + + 100 => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) (1 +2 + 22+ +2100) Vậy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : Bài 2: Tớnh tng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bài giải: a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - Vậy A = ( 5202 -1) : 24 304 + B= +1 b) Tng t: Bài 3: Tớnh A= 1 1 + + + + 100 7 7 B= 4 4 + - + + 200 5 5 Bài giải: A= 1 1 + + + + 100 7 7 7A = + 1 + + + 99 7 => 7A - A = - 100 Trang: 23 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON A = 100 : B= 4 4 + - + + 200 5 5 5B = -4 + 4 + + + 201 5 B+5B = -4 + 200 B = + 200 : Bài 3: Tính 28 24 20 A = 25 30 + 25 28 + 25 26 + + 25 + 25 + 25 + 25 + + 25 + Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) Vậy A = 1 + 25 = 626 d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - số g Bài 1: Tớnh A = 107 + 5.105+ 4.103+2.10 B = 12 108 + 17.107 + 5.104 + Bài giải: A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100 = 60504020 B = 12.108 + 17 107 + 5.104 + = (10+2) 108+ ( 10 +7).107+5.104 + = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + = 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100 = 1370050003 Trang: 24 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Tỡm x a) Đa số ( số mũ) bi 1: Tìm x N biết a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4 Bài giải: a) 4x = 2x + (22)x = x + 22x = 2x+ 2x = x +1 2x- x = x=1 b) 16 = ( x -1)4 24 = (x -1)4 =x-1 X = 2+1 x=3 Bài 2: Tìm x N biết a) x10 = 1x b) x10 = x c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d) x2 < Bài giải: a) x10 = 1x x10 = 110 x =1 10 b) x =x x10 - x = x.( x9 - 1) = Ta có: x = x9 -1 = Mà: x9 -1 = x = 19 x=1 Vậy x = x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 Trang: 25 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Vỡ hai ly tha bng nhau, cú c s bng nhau, s m khỏc ( 0) Suy ra: 2x - 15 = 2x - 15 = + Nu: 2x - 15 = x = 15 : N ( loại) + Nu: 2x - 15 = 2x = 15 + x=8 d) Ta có x2 < x2 => x2 { 0; ; ; ; } Mt khỏc: x2 l mt s chớnh phng nờn: x2 { ; 1; } hay x2 { 02 ; 12 ; 22 } x { 0; ; } Da vo bi SGK lp Bài 4: Tìm x N biết a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2 Bài giải: a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 b) + + + + 99 = ( x -2)2 99 = ( x - 2)2 + 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + x = 52 ( Ta có: + + 5+ + ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm cặp x ; y N thoả mãn Trang: 26 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON 73 = x2 - y2 Ta thấy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 b) Sử dụng chữ số tận luỹ thừa Bài 1: Tìm x ; y N* biết x2 = ! + ! + ! + + y! Bài giải: Ta thấy x2 số phơng Có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Mà: + Nếu y = Ta có x = ! = 12 ( TM) + Nếu y = Ta có: x2 = ! + 2! = ( Loại) + Vi: y = Ta có: x2 = ! + ! + ! = = 32 ( TM) x=3 + Nếu y = Ta có: x2 = ! + ! + ! + ! = 33 ( loại ) + Nếu y Ta có: x2 = ( ! + ! + ! + ! ) + ( 5! + 6! + y! ) = + Vậy x = y = x = y = = ( loại) Bài 2: Tìm x N* biết A = 111 .1 x chữ số - 777 .7 x chữ số số phơng Bài giải: + Nếu x = Trang: 27 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Ta có: A = 11 - = = 22 (TM) + Nếu x > Ta có A = 111 2x chữ số - 777 x chữ số = 34 mà 34 Suy A số phơng ( loại) Vậy x = c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + = 5y *)Nếu x = ta có: 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = ta có: 35x + = 2.50 35x + = ( vô lý) + Nếu y > ta thấy: 35x + ( 35x ; ) Mà 5y ( vô lý 35x + = 2.5y) Vậy x = y = Bài 2: Tìm a; b Z biết ( 2a + 5b + ) (2a + a2 + a + b ) = 105 Bài giải: *) Nếu a = ta có: ( 2.0 + 5b + 1) (2101 + 02 + + b) = 105 (5b + 1) ( b + 1) = 105 Suy 5b + ; b + Ư (105) mà ( 5b + 1) d Ta đợc 5b + = 21 b = ( TM) * Nếu a Ta thấy ( 2a + 5b + 1) ( 2a + a2 + a + b) = 105 Trang: 28 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Là lẻ Suy 2a + 5b + 2a + a2 + a + b lẽ (*) + Nếu a chẵn ( a ) 2a + a2 +a + b lẻ Suy b lẻ.Ta có: 2a + 5b + chẵn ( vô lý) + Nếu a lẻ Tơng tự ta thấy vô lý Vậy a = b = So sánh số 1) Tính: Bài 1: So sánh luỹ thừa sau: 27 72 Bài giải: Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 2) Đa số ( số mũ) Bài 1: So sánh luỹ thừa sau a) 95 273 b) 3200 2300 Bài giải: a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 3) Dùng số trung gian Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714 Bài giải: Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Trang: 29 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Bài 2: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 1031 * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Từ (1) (2) ta có: 231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1032 Số có 31 chữ số nhỏ Số có 32 chữ số nhỏ Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân Bài 3: So sánh A B biết 30 a) A = 19 31 + 19 + 218 b) 20 ; ; c) A = + + + + ; + + + + 31 B = 19 32 + 19 + 20 B = 22 B = + + + + + + + + Bài giải: 30 A = 19 31 + 19 + 90 19.(19 30 + 5) 19 31 + 95 Nên: 19A = = = + 31 31 31 19 + 19 + 19 + 31 B = 19 32 + 19 + Trang: 30 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON 31 32 nên: 19B = 19.(1932 + 5) = 19 32 + 95 = + 19 + Vì: 19 + 90 19 + 32 90 90 > 32 19 + 19 + 31 Suy ra: + 90 90 > + 32 19 + 19 + 31 Hay: 19A > 19B Nên: A > B 18 b) A = 20 3 2 18 20 nên: 22 A = (222 3) = 20 12 = - 3 20 20 B = 22 3 2 20 22 nên: 22.B = (222 3) = 22 12 = 1- Vì : Suy ra: 3 22 9 > 22 3 20 1- 9 < 1- 22 3 20 Hay: 22 A < 22 B Nên: A < B c) Ta có: A = + + + + = + + + + + (5 + + + ) + 5(1 + + + + ) = = + > (1) 8 + + + + + + + + + + + + Tơng tự: B = + + + + + < (2) Từ (1) (2) Ta có: A= 1 + + + + +5>5>4> + =B + + + + nên: A > B Trang: 31 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON 6 Chứng minh: 1) Nhóm số cách thích hợp Bài 1: Cho A = + +32 + +311 Chứng minh: a) A 13 b) A 40 Bài giải: a) A = + + 32 + 33 + + 311 = (1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + + (39+ 310+ 311) = ( 1+ +32) + 33 (1 +3 + 32) + +39 (1 + + 32) = 13 + 33 13 + + 39 13 = 13 ( 1+ 33 + + 39 ) 13 Hay A 13 b) A = + + 32 + 33 + + 311 = ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33) = 40 + 34 40 + 38 40 = 40 ( + 34 + 38) 40 Hay A 40 2) Thêm bớt lợng thích hợp Bài 1: Cho 10k - 19 ( k N) Chứng minh: a) 102k - 19 b) 103k - 19 Bài giải: a) Ta có: 102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1) = 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1) = (10k - 1) ( 10k + 1) 19 10k -1 19 b) 103k - = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) Vì: 10k - 19 102k - 19 ( theo câu a ) 3) Dùng chữ số tận luỹ thừa đặc biệt: Bài 1: Cho n N ; n > Trang: 32 www.huongdanvn.com PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON Chứng minh: 22 n + có tận Bài giải: Vì n > nên 2n Suy ra: 2n = 4k ( k N *) Ta có: 2 + = 24k + = (24)k + = 16 k + = + = n Vì : 16k = ( k N (*)) Sau õy l im kho sỏt cht lng hc sinh lp nm hc: Kho sỏt cht lng hc sinh: Đợt Đợt Điểm dới Điểm Điểm 10 C Kết luận: Bi vit ny c rỳt t quỏ trỡnh ging dy v nghiờn cu toỏn vi cỏch phõn dng ny giỳp hc sinh tip cn v hỡnh thnh k nng gii mt cỏch d hiu, phự hp vi ni dung chng trỡnh mi Qua cỏc dng ú rốn luyn cho hc sinh kh nng t duy, sỏng to, khỏi quỏt húa, tng t húa bit chuyn cỏc dng khỏc v dng ó hc Trang: 33