Đang tải... (xem toàn văn)
rất hay và bổ ích kèm theo nhiều lời giải lôi cuốn người đọc tạo nên một môi trường học bổ ích 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111122222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
DÃY SỐ THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau a 2, 5, 10, 17, 26, b 6, 14, 24, 36, 50, c 4, 28, 70, 130, 208, d 2, 5, 9, 14, 20, e 3, 6, 10, 15, 21, f 2, 8, 20, 40, 70, Đáp số: a + n² b n(n + 5) c (3n – 2)(3n + 1) d n(n + 3)/2 e (n + 1)(n + 2)/2 f n(n + 1)(n + 3)/3 Bài 2: Tính a A = + + + + (n – 1) + n b A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số: a n(n + 1)/2 b A = 333300 Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) A = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99) A = 333300 + 4950 = 338250 Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 97.100 Bài 5: Tính A = + 12 + 24 + 40 + + 19800 Hướng dẫn: (1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 A = 666600 Bài 6: Tính A = + + + 10 + 14 + + 4950 Hướng dẫn: nhân Bài 7: Tính A = + 16 + 30 + 48 + + 19998 Bài 8: Tính A = + + + 14 + + 4949 + 5049 Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100² Hướng dẫn: A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1) A = + 1.2 + + 2.3 + + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99 + 100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100² Hướng dẫn: A = 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – + 99² – 100² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² Hướng dẫn: A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2) A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + + + + 97 + 99) Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102 Hướng dẫn: A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2) A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + + + + 49 + 50) Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + + 99³ + 100³ Hướng dẫn: A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1) A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + + 98³ + 100³ Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + + 97³ + 99³ Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu = ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau a c a b d c d b = , = , = , = b d c d b a c a a c a +c a −c = Tính chất 3: = = b d b+d b−d a c e a +b+c a −b+c = = (với giả thiết tỉ số có nghĩa) Tính chất mở rộng: = = = b d f b+d +f b−d+f a b c Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, Có thể viết a : b : c = : : 5 DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC x y Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết = x + y = 20 Giải: Sử dụng tính chất dãy tỉ số x y x + y 20 = = = =4 2+3 Do đó: x = y = 12 x y y z Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết = ; = 2x – 3y + z = x y z = Theo đề ta suy = (*) 12 20 x y z 2x 3y z 2x − 3y + z = = = = = = =3 → = 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 Do đó: x = 27, y = 36, z = 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết = xy = 40 Hiển nhiên x ≠ x y x xy 40 Nhân hai vế = với x => = = =8 5 Suy x² = 16 nên x = x = –2 + Với x = ta có y = 10 + Với x = –4 ta có y = –10 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm số x, y, z biết x y z = = a 5x + y – 2z = 28 10 21 2x 3y 4z = = c x + y + z = 49 x y e = x² – y² = Bài 2: Tìm số x, y, z biết a 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32 c 2x = 3y = 5z x + y – z = 95 x y y z = ; = 2x + 3y – z = 124 x y d = xy = 54 x y z = = = x+y+z f y + z +1 z + x +1 x + y − b x −1 y − z − = = 2x + 3y – z = 50 x y z d = = xyz = 810 b y + z +1 z + x + x + y − = = = f 10x = 6y 2x² – y² = –28 x y z x + y+z + 2y + 4y + 6y = = Bài 3: Tìm x, y biết 18 24 6x a b c d = = = Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ Tìm giá trị b+c+d a +c+d a +b+d a +b+c a +b b+c c+d d+a A= + + + c+d a +d a +b b+c Bài 5: Tìm số x; y; z biết x x y = a = 5x – 2y = 87 b 2x – y = 34 y 19 21 2x + 3y − 2x + 3y − x y3 z3 = = c x² + y² + z² = 14 d = = 6x 64 216 Bài 6: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 7: Tìm số x, y, z biết a x: y: z = 3: 4: 5z² – 3x² – 2y² = 594 b x + y = x: y = 3(x – y) Đáp số: a x = 9; y = 12; z = 15 x = – 9; y = – 12; z = – 15 b x = 4/3; y = 2/3 Bài Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng? DS: a = –2,25; b = 0,75 a b c = = Bài 9: Cho Biết a + b + c ≠ Tìm giá trị tỉ số b+c c+a a +b Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường Bài 11: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = chúng lập thành tỉ lệ thức DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC a c a +b c+d = Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh b d a −b c−d a c a b Ta có = => = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b a +b a −b = = = c d c+d c−d a +b c+d = Vậy (đpcm) a −b c−d e a c ab a − b = Chứng minh rằng: = b d cd c − d a c a b ab a b a − b Từ giả thiết: = => = => = = = b d c d cb c d c − d ab a − b2 Vậy (đpcm) = cd c − d BÀI TẬP VẬN DỤNG a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau b d 3a + 5b 3c + 5d (a + b) a + b a −b c−d = = = a b c 2 3a − 5b 3c − 5d (c + d) c +d a +b c+d ab (a − b) 2a + 5b 2c + 5d 7a + 5ac 7b + 5bd = = d e g = cd (c − d) 3a − 4b 3c − 4d 7a − 5ac 7b − 5bd a b c a+b+c a ) = Bài 2: Cho = = Chứng minh ( b c d b+c+d d a b c = = Bài 3: Cho Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)² 2003 2004 2005 a a + a + a + + a 2014 2014 a1 a a a = = = = 2014 Chứng minh = ( ) Bài 4: Cho a a3 a a 2015 a 2015 a + a + a + + a 2015 a a a1 a = = = = a1 + a2 + + a9 ≠ Chứng minh a1 = a2 = = a9 Bài 5: Cho a a3 a a1 a c a + b2 a = Bài 6: Chứng minh = b d b + d2 d a +b c+a = Bài 7: Chứng minh a² = bc a −b c−a a c a + b ab Bài 8: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng: = = b d c +d cd u +2 v+3 u v = Bài 9: Chứng minh = u −2 v−3 Bài 10: Chứng minh a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) a, b, c khác khác ta có y−z z−x x−y = = × a(b − c) b(c − a) c(a − b) a c xa + yb xc + yd = Bài 11: Cho = Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ zc + td ≠ Chứng minh b d za + tb zc + td Bài 12: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn b² = ac; c² = bd b³ + c³ + d³ ≠ Chứng minh a + b3 + c3 a = b + c3 + d d a b c ax + bx + c Bài 13: Cho P = Chứng minh = = giá trị P không phụ thuộc vào x d e f dx + ex + f a b' b c' + = Chứng minh abc + a’b’c’ = Bài 14: Cho + = a' b b' c 2a + 13b 2c + 13d a c = Bài 15: Cho tỉ lệ thức Chứng minh = 3a − 7b 3c − 7d b d bz − cy cx − az ay − bx x y z = = Bài 16: Cho dãy tỉ số Chứng minh = = a b c a b c Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nếu a ≥ → |a| = a Nếu a < → |a| = –a Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; x ≤ a => |x – a| = a – x * Tính chất: Giá trị tuyệt đối số không âm |a| = a = |a| ≠ a ≠ |a| = |b| a = b or a = –b –|a| ≤ a ≤ |a| |a| = –a a ≤ 0; |a| = a a ≥ Nếu a < b < → |a| > |b| Nếu < a < b → |a| < |b| |ab| = |a||b| |a/b| = |a|/|b| |A|² = A² |a| + |b| ≥ |a + b| |a| + |b| = |a + b| ab ≥ Nếu k > |A(x)| = k A(x) = k A(x) = –k Bài 1: Tìm x, biết a |2x – 5| – = b 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4 c 1/2 – |x + 4/3| = –1/3 d – 4|2x + 1| = Bài 2: Tìm x, biết a 2|2x – 3| = 1/2 b 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5 c |x + 0,25| – |–3,75| = –2 Bài 3: Tìm x, biết a 2|3x – 1| + = b |x/2 – 1| = 3/2 c |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5 Bài 4: Tìm x, biết −5 5 x+ = a − x − = b + x − = c 4,5 − 4 4 Bài 5: Tìm x, biết 11 + : 4x − = a 6,5 − : x + = b Bài 6: Tìm x, biết a |5x – 4| = |x + 2| b |2x – 3| – |3x + 2| = c |2 + 3x| = |4x – 3| d |7x + 1| – |5x + 6| = Bài 7: Tìm x, biết a |3x + 8| = |4x – 1| b x − − x + = Bài 8: Tìm x, biết a |x + 2| = – 2x b 2|x| – 3x + 15 = c |7 – x| = 5x + Bài 9: Tìm x, biết a |9 + x| – 2x = b |5x| – 3x – = c |x + 6| – = 2x d |2x – 3| + x = 21 Bài 10: Tìm x, biết a |3x – 1| + = x b |x + 15| + = 3x c |2x – 5| + x = Bài 11: Tìm x, biết a |2x – 5| = x + b |3x – 2| – = x c |3x – 7| = 2x + Bài 12: Tìm x, biết a |x – 5| + = x b |x + 7| – x = c |3x – 4| + = 3x Ví dụ: Tìm x biết |x – 1| + |x – 3| = 2x – (1) Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ tìm x x – = x = x – = x = Ta có bảng xét dấu đa thức x – x – x x–1 – + | + x–3 – | – + Xét x < ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – x = 5/4 (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét ≤ x ≤ ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – x = 3/2 (giá trị thuộc khoảng xét) Xét x > ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – –4 = –1 Vậy x = 3/2 Bài 13: Tìm x, biết a |x| + 2|x – 5| = b 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 1 1 c − x + x − + = d x + + x − = − x 5 2 Bài 14: Tìm x, biết a |x + 5| + |x – 3| = b |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = c |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = d 2|x + 2| + |4 – x| = 11 Bài 15: Tìm x, biết a |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = b |x + 1| – |x + 2| – = c |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = d |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = e |x| – |2x + 3| – x + = f |x| + |1 – x| = x + |x – 3| Bài 16: Tìm x, biết a |x – 3| + |x + 5| – = b |2x – 1| + |2x – 5| – = c |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = Bài 17: Tìm x, biết a |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – b |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x c |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – d |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5 Bài 18: Tìm x, biết 100 + x+ + x+ + + x + = 101x a x + 101 101 101 101 1 1 + x+ + x+ + + x + = 100x b x + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 + x+ + x+ + + x + = 50x c x + 1.3 3.5 5.7 97.99 Bài 19: Tìm x, biết a ||2x – 1| + 1/2| = b |4x² + |2x + 1|| = 4x² + c |x²|x + 3/4|| = x² Bài 20: Tìm x, biết a |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = b |2|x + 2| – 3| = 8/5 c |x|x² + 3/4|| = x Bài 21: Tìm x, biết 3 3 a |x(x² – 3/4)| = x b (x + ) 2x − = 2x − c x − 2x − = 2x − 4 4 Bài 22: Tìm x, biết a ||2x – 3| – x + 1| = 4x – b ||x – 1| – 1| = c ||3x + 1| – 5| = Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn a |3x – 4| + |3y + 5| = b |x – 2y| + |y + 1,5| = c |3 – 2x| + |4y + 5| = Bài 24: Tìm x, y thỏa mãn 1 a |15 – x| + (y – 12)² = b − + x + 1,5 − + y = c |2x – 2014| + |5y – 2015| = 3 Bài 25: Tìm x, y thỏa mãn a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ Bài 26: Tìm x, y thỏa mãn a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ c |x – 2| + |xy – 10| ≤ Bài 27: Tìm x, y thỏa mãn a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = b (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = Bài 28: Tìm x, y thỏa mãn a (x – 1)² + (y + 3)4 = b 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = c |x + 3y – 1| + (3y – 2)2016 = Bài 29: Tìm x, y thỏa mãn 2016 12 a 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ b (x − ) + |4y – 6/5| ≤ 13 Bài 30: Tìm x, biết a |x + 5| + |3 – x| – = b |x – 2| + |x – 5| – = c |x – 5| + |x + 1| – = d 2|x + 3| + |2x + 5| = 11 e |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = g |x – 4| + |x – 6| – = h |x + 1| + |x + 5| – = i |3x + 7| + 3|2 – x| = 13 j |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = k |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = ℓ |x – 2| + |x – 7| – = Bài 31: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x – y – 2| + |y + 3| = b (x + y)² + 2|y – 1| = Bài 32: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x – 3y|5 + |y + 4| = b |x – y – 5| + (y – 3)4 = c |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = Bài 33: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x + 4| + |y – 2| – = b |2x + 1| + |y – 1| – = c |3x| + |y + 5| = d |5x| + |2y + 3| = Bài 34: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a 3|x – 5| + |y + 4| – = b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 35: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a y² = – |2x – 3| b y² = – |x – 1| c 2y² = – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1| Bài 36: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x| + |y| ≤ b |x + 5| + |y – 2| ≤ c |2x + 1| + |y – 4| – ≤ d |3x| + |y + 5| ≤ Bài 37: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a 5|x + 1| + |y – 2| – ≤ b 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ c 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ d 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn a |x – 1| + |4 – x| = b |x + 2| + |x – 3| = c |x + 1| + |x – 6| = d |2x + 5| + |2x – 3| = Bài 39: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện sau a x + y = 4; |x + 2| + |y| = b x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = c x – y = 3; |x| + |y| = d x – 2y = |x| + |2y – 1| = Bài 40: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời a x + y = |x + 1| + |y – 2| = b x – y = |x – 6| + |y – 1| = c x – y = |2x + 1| + |2y + 1| – = d 2x + y = |2x + 3| + |y + 2| – = Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn a (x + 2)(x – 3) < b 3(2x – 1)(2x – 3) < c 4(3x + 1)(5 – 2x) > Bài 42: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a (2 – x)(x + 1) = |y + 1| b (x + 3)(1 – x) – 2|y| = c (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – = Bài 43: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a (x + 1)(3 – x) = 2|y| + b (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = c (x – 3)(5 – x) = |y + 2| Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 30 a |x + 2| + |x – 1| = – 2(y + 2)² b |3x + y + 2| + = y+5 +6 10 c |y – 4| + = d |x – 1| + |3 – x| = 2y − + (x + 1) + 16 e |2x + 3| + |2x – 1| = f |x + 3| + |x – 1| = y−2 + y+2 (y − 5) + 20 12 g |3x + 1| + |3x – 5| = h |2x – y| + = y−4 +4 (y + 3) + 14 20 i (x + y – 2)² + = j (x – 2)² + = y −1 + y − 3 y + + 3y + Bài 45: Tính giá trị biểu thức a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25 c C = 3x² – 2x + với |x| = 1/2 Bài 46: Tính giá trị biểu thức a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3 c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = Bài 47: Tìm giá trị lớn biểu thức x +2 a A = 0,5 – |x – 3,5| b B = –|1,4 – x| – c C = x −5 d D = x +3 x −1 e E = – |2x – 1,5| g G = – |5x – 2| – (3y + 12)² h H = 12 x +5 +4 f F = –|10,2 – 3x| + 14 i I = x −2 +3 Bài 48: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = 1,7 + |3,4 – x| b B = |x + 2,8| – 3,5 c C = |3x + 8,4| – 14,2 d D = |4x – 3| + |5y + 7| + e E = 2(3x – 1)² – Bài 49: Tìm giá trị lớn biểu thức 15 20 21 a A = + b B = + c C = + 3x + + 3x + + 4y + + (x + 3y) + x + + 14 Bài 50: Tìm giá trị lớn biểu thức 7x + + 11 2y + + 13 15 x + + 32 a A = b B = c C = 7x + + 2y + + 6 x +1 + Bài 51: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 5| + – x b B = |2x – 1| + 2x + c C = |4x + 3| + 4x – d D = 2|x – 3| + 2x + e E = 5|x – 1| + – 5x f F = 4|x + 5| + 4x Bài 52: Tìm giá trị lớn biểu thức a A = –|x – 5| + x + 12 b B = –|2x + 3| + 2x + c C = –|3x – 1| + – 3x d D = –2|x – 5| + 2x + e E = –3|x – 4| + – 3x f F = –5|5 – x| + 5x + Bài 53: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 1| + |x – 5| + b B = |x – 2| + |x – 6| + c C = |2x – 4| + |2x + 1| d D = |x + 2| + |x – 3| – e E = |2x – 4| + |2x + 5| d F = 3|x – 2| + |3x + 1| Bài 54: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7| b B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + c C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3| d D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + Bài 55: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |x + 1| + |y – 2| Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1| Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y| Bài 58: Cho 2x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12 DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tính tổng S = + – – + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012 Bài 2: Cho biểu thức A = – + – + + 99 – 100 a Tính A b A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? c A có ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên? Bài 3: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A = 181 Hỏi A có số hạng? b Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n? Bài 4: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b Tìm số hạng thứ 2012 A Bài 5: Tìm giá trị x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655 Bài 6: a Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2012) = 2012.2013 b Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2012 2013 Bài 7: Tính tổng S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001 Bài 8: Cho A = + 3² + 3³ + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Bài 9: Cho A = + 3² + 3³ + + 32004 a Tính tổng A b Chứng minh A chia hết cho 130 c A có phải số phương không? Vì sao? Bài 10: a Cho A = – + 3² – 3³ + – 32015 + 32016 Chứng minh 4A – lũy thừa b Chứng minh B + luỹ thừa biết B = + 2² + 2³ + + 22016 Bài 11: a Cho A = + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh A chia hết cho 3, 15 b Chứng minh tổng + 2² + 2³ + … + 22016 chia hết cho 42 Bài 12: Cho A = + 2² + 2³ + + 299 + 2100 Chứng minh A chia hết cho 31 Bài 13: Cho S = + 5² + 5³ + + 596 a Chứng minh S chia hết cho 126 b Tìm chữ số tận tổng S Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 B = 31.32.33 59.60 a Chứng minh B chia hết cho 230 b Chứng minh B – A chia hết cho 61 2015 Bài 15: Cho A = + + 2² + 2³ + + B = 22016 So sánh A B Bài 16: Cho M = + 3² + 3³ + + 3100 a M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao? b Tìm số tự nhiên n biết 2M + = 3ⁿ Bài 17: Cho biểu thức: M = + + 3² + 3³ + + 3119 a Thu gọn biểu thức M b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? 1 2015 = Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: + + + + 10 n(n + 1) 2016 Bài 19: 2 2 + + + + a Tính A = 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 + + + + b Cho S = với n số tự nhiên Chứng minh: S < 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) 2 5 + + + + + + Bài 20: So sánh A = B = 60.63 63.66 117.120 40.44 44.48 76.80 Bài 21: Tính 1 1 1 1 + + + + + + + + a A = b B = 10 40 88 154 238 340 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 Bài 22: So sánh A = + + + + + 100 B = 2 2 Bài 23: Tính 2 2 + + + + a A = 15 35 63 99 143 3 3 + + + + b B = + 1+ 1+ + 1+ + + + + + 100 1 1 + + + + 99 Bài 24: Tính giá trị biểu thức A = 1 1 + + + + 1.99 3.97 5.95 99.1 1 1 + + + + 100 Bài 25: Tính B = 99 98 97 + + + + 99 1 1 99 ) = + + + + Bài 26: Chứng minh rằng: 100 – (1 + + + + 100 100 1 1 198 199 + + + + + Bài 27: Tính B/A biết A = + + + + B = 200 199 198 197 1 1 1 Bài 28: Tìm tích 98 số dãy số ;1 ;1 ;1 ;1 ; 15 24 35 1 1 ; ; Bài 29: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: ; ; 66 176 336 A 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + Bài 30: Tính biết A = B = B 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 11 12 13 19 20 1 1 1 + + + )x = + + + Bài 31: Tìm x, biết ( 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 Bài 32: Tính a S = + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n số nguyên dương b S1 = + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n số nguyên dương c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n số nguyên dương Bài 33: Cho A = + + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh 3A < B Bài 34: Tính giá trị biểu thức: a A = + 99 + 999 + + 999 b B = + 99 + 999 + + 999 (50 chữ số) (200 chữ số) Bài 35: Tính |x| biết 1 1 1 x + + + = + + + = a b 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 4 2x + 1 1 + + + = )+x = c d (1 − )(1 − )(1 − ) (1 − 1.5 5.9 97.101 101 100 f 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 11x – g (1² + 2² + 3² + + 49²)(2 – x) = –11/5 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI Bài 1: Viết số thập phân dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài 2: Tính a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2) 116 Bài 3: Tính tổng chữ số chu kỳ tối thiểu biểu diễn số dạng số thập phân vô hạn tuần 99 hoàn Bài 4: Tính tổng tử mẫu phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau làm tròn đến hàng đơn vị (11,81 + 8,19).2, 25 (4, + : 6, 25).4 a A = b B = 6, 75 4.0,125 + 2,31 0,5 + 0, (3) − 0,1(6) Bài 6: Rút gọn biểu thức M = 2,5 + 1, (6) − 0,8(3) Bài 7: Chứng minh 0,(27) + 0,(72) = Bài 8: Tìm x biết 0,1(6) + 0, (3) 0, (3) + 0, (384615) + x x = 0, (2) a b 13 = 50 0, (3) + 1,1(6) 0, 0(3) 85 c [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d 0,(12): 1,(6) = x: 0,(4) m + 3m + 2m + Bài 9: Cho biểu thức A = (m số tự nhiên) m(m + 1)(m + 2) + a Chứng minh A phân số tối giản b Phân số A có biểu diễn thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? sao? Bài 10: So sánh số 25 + 25 + c Chứng minh với a, b > a + b < a + b Bài 11: Tìm x biết a (x – 3)² = |3 – x| b (x – 1)² + |2 – 2x| = Bài 12: Tìm x biết a x − x = b 16(x – 1)² = x +1 Chứng minh với x = 16/9 x = 25/9 A có giá trị nguyên x −1 Bài 14: Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị số nguyên x −1 a A = b B = + c C = + x x −1 x −3 Bài 13: Cho A = Bài 15: Cho A = x +1 Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên x −3 (x − 2) + (y + 2) + |x + y + z| = 1 ) với n số nguyên dương Bài 17: Tính A = (1 − )(1 − ) (1 − n +1 1 Bài 18: Tính A = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 16) 16 Bài 19: Tìm x biết 3 a (5x + 2)(–2x + 3) = b + : x = 7 14 1 1 Bài 20: Cho A = ( − 1)( − 1)( − 1) ( − 1) Hãy so sánh A − 10 1 1 11 − 1) So sánh B với − Bài 21: Cho B = ( − 1)( − 1)( − 1) ( 16 100 21 1,11 + 0,19 − 13.2 1 23 − ( + ) : B = (5 − − 0,5) : Bài 22: Cho A = 2, 06 + 0,54 26 a Rút gọn A B b Tìm số nguyên x để A < x < B 1 3 3 − − − − − Bài 23: Tính giá trị biểu thức A = 13 ×4 16 64 256 + 2 1 − − 1− − − 13 16 64 Bài 24: Tìm x, biết a (x + 3)² = –|x + 3| b |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = Bài 25 Tìm số nguyên x cho a |2x – 5| < b |10x + 7| < 37 c |4x + 3| + 4|x – 1| < Bài 26 Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện a 2|x| + 3|y| = b 2|x| + 3|y| < c 4x² + 5|y| = 13 Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC Bài Chứng minh tổng góc tam giác 360° Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB Vẽ phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B – góc C Bài Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt O a Tính góc BOC b Vẽ phân giác B C cẳt I Tính góc BIC Bài 4: Tính góc tam giác ABC Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20° Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác góc B C cắt I Vẽ tia phân giác đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh góc BDC = góc ACB Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp lần góc B góc B gấp lần góc C a Tính góc A; B; C b Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc đỉnh C Tính góc AEC? Bài 7: Cho ΔABC có góc A; B; C tỷ lệ với 3; 2; Hỏi ΔABC tam giác nào? Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh số lẻ liên tiếp AB < BC < CA Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Bài 9: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy A, B Oy lấy C, D cho OA = OC; AB = CD Chứng minh a ΔABC = ΔCDA b ΔABD = ΔCDB Bài 10: Cho tam giác ABC Biết AB = cm, BC = cm CA = cm Gọi đường thẳng qua A song song với BC a Đường qua B song song với CA b đường thẳng qua C song song vơi AB c Gọi M, N, P theo thứ tự giao điểm đường thẳng b c; a c; a b Tìm độ dài cạnh tam giác MNP Bài 11: Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM CK vuông góc với AM Chứng minh Bài 16: Tìm ba số x, y, z thỏa mãn a BH // CK b M trung điểm HK c HC // BK Bài 12: Cho tam giác LMN có góc nhọn Người ta vẽ phía tam giác ba tam giác LMA; MNB NLC Chứng minh LB = MC = NA Bài 13: Cho tam giác ABC có góc  = 90°; góc B = 60° Phân giác góc B phân giác góc C cắt I AI cắt BC M a Chứng minh góc BIC góc tù b Tính góc BIC Bài 14: Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20° Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số đo góc ADC góc ADB Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc AB (D C khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AC (E B khác phía AC) Chứng minh a DC = BE b DC vuông góc với BE Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AE = AK Bài 17: Cho tam giác ABC với K trung điểm AB E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A trung điểm MN Bài 18: Cho tam giác ABC Vẽ phía tam giác ABC tam giác vuông A ΔADB; ΔACE Kẻ AH vuông góc BC; DM vuông góc AH EN vuông góc AH Chứng minh a DM = AH b MN qua trung điểm DE Bài 19: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh a DB = CF b ΔDBC = ΔFCD c 2DE = BC Bài 20: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D; E cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC Bài 21: Cho tam giác ABC có góc A = 60° Các tia phân giác góc B, góc C cắt I cắt AC; AB theo thứ tự D; E Chứng minh ID = IE Bài 22: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2 Bài 23: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC lấy AE = AC Chứng minh a AM = ED / b AM vuông góc với DE Bài 24: Miền góc nhọn xÔy vẽ Oz cho góc xOz = (1/2)yÔz Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam giác AOD cân Bài 25: Cho góc xÔz = 120° Oy tia phân giác xÔz; Ot tia phân giác góc xÔy M điểm miền góc yOz Vẽ MA vuông góc Ox, vẽ MB vuông góc Oy, vẽ MC vuông góc Ot Chứng minh OC = MA – MB Bài 26: Cho tam giác cân ABC có  = 100° Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD, CE Trên tia đối BD lấy điểm I Trên tia đối CE lấy điểm K cho BI = AC, CK = AB Chứng minh ΔAIK vuông cân Bài 28: Cho góc xÔy = 90° Lấy điểm A Ox điểm B Oy Lấy điểm E tia đối Ox điểm F tia Oy cho OE = OB OF = OA a Chứng minh AB = EF AB vuông góc với EF b Gọi M, N trung điểm AB, EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Bài 29: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm M N cho AM = CN Gọi O giao điểm CM BN Chứng ninh rằng: a CM = BN b Số đo góc BOC không đổi M N di động AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN Bài 30: Cho tam giác ABC vuông A góc C = 45° Vẽ phân giác AD Trên tia đối AD lấy AE = BC Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh a BE = CF b BE = BF Bài 31: Cho tam giác ABC có BC = 2AB M trung điểm BC; D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Bài 32: Cho tam giác ABC vuông A góc B = 60° Vẽ tia Cx vuông góc với BC lấy CE = CA (CE CA phía với BC) Kéo dài CB lấy F cho BF = BA Chứng minh a ΔACE b Ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B C cắt O Qua O kẻ đường song song BC, cắt AB D cắt AC E Chứng minh a Góc BOC không đổi b DE = DB + EC Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = góc C Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh: FH = FA = FC Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90° Ở miền tam giác vẽ tam giác vuông cân ABD B, ACF C a Chứng minh D, A, F thẳng hàng b Từ D F kẻ đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC Chứng minh DD’ + FF’ = BC Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120° Kẻ AD phân giác góc A Từ D hạ DE vuông góc với AB E; DF vuông góc với AC F a Tam giác DEF tam giác gì? b Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB M, ACM tam giác gì? Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A cắt tia phân giác H cắt AB, AC E F Chứng minh a BE = CF AB + AC AB − AC b AE = BE = 2 c góc BME = (góc ACB – góc ABC) Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60° Đường cao BD Gọi M, N trung điểm AB; AC a Xác định dạng tam giác BMD tam giác AMD b Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AN Chứng minh CE vuông góc AB Bài 39: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M, N cho BM = BA; CN = CA Tính góc MÂN Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tam giác ABM tam giác Gợi ý: a Vẽ MI vuông góc AC Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60° Kéo dài BC đoạn CD cho CD = (1/2)BC Tính góc ADB Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm AC = 32 cm Trên cạnh AC lấy M cho AM = cm Chứng minh a Tam giác ABC vuông b góc AMB = góc ACB Bài 43: Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm Đường cao AH = 24 cm Tính BC hai trường hợp góc B góc nhọn góc B góc tù Bài 44: Độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỷ lệ 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vuông Bài 45: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE = AD Đường vuông góc AH D cắt AC F Chứng minh EB vuông góc EF Bài 46: Một tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn chạm đất cách gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(5; 4); B(2; 3) C(6; 1) Tính góc ΔABC Bài 48: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM phân giác a Chứng minh tam giác ABC cân b Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm Tính độ dài BC Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao a Chứng minh tam giác a b Cho biết đường cao có độ dài Tính độ dài cạnh tam giác Bài 50: Cho tam giác ABC cân A  = 80° Gọi O điểm nằm tam goác cho góc OBC = 30°; góc OCB = 10° Chứng minh tam giác COA cân Gợi ý: Vẽ thêm tam giác BCM cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC Bài 51: Cho tam giác ABC cân A góc Â= 100° Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO = 30° Tính góc CAO Gợi ý: Vẽ tam giác BCM cho M, A nửa mặt phẳng bờ BC Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Kẻ đường vuông góc AB B vuông góc AC C Hai đường cắt D a Chứng minh AD phân giác góc A b Hãy so sánh AD CD Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC D điểm thuộc AB E môt điểm thuộc AC cho AD = AE Từ D E hạ đường vuông góc với BC Chứng minh BM = CN Bài 54: Cho góc xÔy Ox lấy điểm A Trên Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE; BF vuông góc với tia OM Chứng minh AE = BF Bài 55: Cho tam giác ABC tia phân giác góc B, góc C cắt O Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc với AC, AB, BC a Chứng minh OE = OF = OG b Tia AO cắt BC D Chứng minh góc BOD = góc COG BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 4x − 4y + − Bài 1: Cho x – y = 9, tính giá trị biểu thức: B = (x ≠ –3y; y ≠ –3x) 3x + y 3y + x x (x + 2y)(x − 2y)(x + 2y )(x + 2y8 ) Bài 2: Tính giá trị biểu thức A = với x = 4; y = x16 + 2y16 Bài 3: Tìm giá trị biến để a A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị b B = x² – 12x + có giá trị 5x + 3y x y = Bài 4: Tính giá trị biểu thức A = 2 biết 10x − 3y z x y Bài 5: Cho x, y, z ≠ x = y + z Tính giá trị biểu thức B = (1 − )(1 − )(1 + ) x y z 5−x Bài 6: Cho biểu thức E = Tìm giá trị nguyên x để E có x−2 a giá trị nguyên b giá trị nhỏ Bài 7: Cho f(x) = ax + b a, b số nguyên Chứng minh đồng thời có f(17) = 71 f(12) = 35 Bài 8: Cho f(x) = ax² + bx + c Chứng minh số nguyên a, b, c làm cho f(x) = x = 1998 f(x) = x = 2000 Bài 9: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x² – x + nhận giá trị dương với giá trị x Bài 10: Chứng minh biểu thức x² + x + luôn có giá trị dương với giá trị x Bài 11*: Tìm x, y số hữu tỷ biết a x + =1 b x + = c x + = y − x d (x – 2) 25n + + y – = (n số tự nhiên) x x Bài 12: Tìm x, y số nguyên cho x+2 2x − a y = b y = x −1 x +1 Bài 13: Cộng trừ đơn thức a 3a² b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b) b (–7y²) + (–y²) – (–8y²) c (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d 5an + (–2an) + 6an Bài 14: Cho đơn thức A = x²y B = xy² Chứng tỏ x, y nguyên x + y chia hết cho 13 A + B chia hết cho 13 Bài 15: Cho biểu thức P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n số tự nhiên) Với giá trị a P > Bài 16: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k số tự nhiên) Với giá trị x k Q < Bài 17: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = (n số nguyên dương) Bài 18: Rút gọn biểu thức a 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n b 90.10k – 10k+2 + 10k+1 c 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1 Bài 19: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm giá trị nhỏ M Bài 20: Cho A = 8x5y³; B = –2x6y³; C = –6x7y³ Chứng minh rằng: Ax² + Bx + C = Bài 21: Chứng minh với n nguyên dương a 8.2n + 2n+1 có tận b 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 c 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 Bài 22: Cho A = (– 3x5y³)4 B = (2x²z4)5 Tìm x, y, z biết A + B = Bài 23: Rút gọn a M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – b 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b² Bài 24: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6 Bài 25: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) cho: abc + bca + cab = 666 Bài 26: Có số tự nhiên abc mà tổng abc + bca + cab số phương không? −2x x −2 5x x + 3x( − ) − ( − ) Bài 27: Rút gọn biểu thức D = 5 Bài 28: Tìm x, biết 1 1 a x + 2x + 3x + 4x + … + 100x = –213 b x − = x − x − x − x − x − x − 10 x − 11 x + 32 x + 23 x + 38 x + 27 + + = + + + − − =0 c d 10 11 12 11 12 13 14 e 3|x – 2| + |4x – 8| = g (x – 1)³ = (x – 1) h (x + 3)y+1 = (2x – 1)y+1 với y số tự nhiên ... Tính A = 1.3 + 3.5 + 5 .7 + + 97. 99 + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97( 97 + 2) + 99(99 + 2) A = (1² + 3² + 5² + + 97 + 99²) + 2(1 + + + + 97 + 99) Bài 16: Tính A... A = 1.3 3.5 5 .7 99.101 3 3 + + + + b Cho S = với n số tự nhiên Chứng minh: S < 1.4 4 .7 7.10 n(n + 3) 2 5 + + + + + + Bài 20: So sánh A = B = 60.63 63.66 1 17. 120 40.44 44.48 76 .80 Bài 21: Tính... − 5b 3c − 5d (c + d) c +d a +b c+d ab (a − b) 2a + 5b 2c + 5d 7a + 5ac 7b + 5bd = = d e g = cd (c − d) 3a − 4b 3c − 4d 7a − 5ac 7b − 5bd a b c a+b+c a ) = Bài 2: Cho = = Chứng minh ( b c d b+c+d