ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt ii Mở đầu Nội dung Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.2 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn 1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích thực 1.1.6 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích phức 12 1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky 13 1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy 14 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 i 1.2.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm 15 1.2.2 Kĩ thuật tách ghép số 16 1.2.3 Thứ tự lại thứ tự số 24 1.2.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số 26 Bất đẳng thức giá trị trung bình 29 2.1 Các giá trị trung bình 30 2.2 Bất đẳng thức giá trị trung bình 32 2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM 36 2.2.2 Bất đẳng thức HM - GM 43 2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM 44 2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM 44 Một số kĩ thuật vận dụng 45 2.3.1 Độ gần 45 2.3.2 Kĩ thuật tách ghép số 48 2.3.3 Điều chỉnh lựa chọn tham số 53 2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 55 2.3 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt • AM - Arithmetic Mean • GM - Geometric Mean • HM - Harmonic Mean • IMO - International Mathematical Olympiad • JBMO - Junior Balkan Mathematical Olympiad • MO - National Mathematical Olympiad • PM - Power Mean • RMS - Root Mean Square • TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad • a = a + b + c Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề cổ điển xong đầy thách thức giới đại, ta thường thấy góp mặt bất đẳng thức điểm khó đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi đại học, cao đẳng hay đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi olympic toán khu vực quốc tế Bất đẳng thức giữ ví trí đặc biệt hữu ích tất lĩnh vực Toán học Sự khó khăn toán bất đẳng thức điều thú vị hút người yêu Toán Mục tiêu luận văn hệ thống lại số bất đẳng thức sở có nhiều ứng dụng trình giải toán bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị trung bình, ứng dụng chúng Hi vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên chuyên đề bồi dưỡng bất đẳng thức Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương hệ thống dạng bất đẳng thức Cauchy, dạng thực, dạng phức, dạng đảo bất đẳng thức Cauchy với tổng hữu hạn; bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn; bất đẳng thức Cauchy Schwarz với tích thực phức; bất đẳng thức Bunyakovsky với tích phân, sau kĩ thuật vận dụng Chương hai trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trung bình bình phương - trung bình cộng - trung bình nhân - trung bình điều hòa, dạng hệ bất đẳng thức trung bình lũy thừa, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Carleman ứng dụng quan trọng bất đẳng thức AM - GM Cuối chương số tập minh họa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Minh hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, Ban giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, khích lệ, tạo điều kiện suốt trình học tập nghiên cứu để luận văn khóa học hoàn thành Mặc dù cố gắng, xong kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tác giả mong nhận nhiều ý kiến, góp ý quý báu quý Thầy Cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 18 tháng 09 năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Huyền Trang Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức Cauchy Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) công bố bất đẳng thức tiếng ông năm 1821 phần thích lí thuyết bất đẳng thức mà lập thành phần cuối sách Cours d’Analyse Algébrique ông Cauchy không sử dụng bất đẳng thức ông nội dung mà có số tập có tính minh họa Bất đẳng thức Cauchy áp dụng rộng rãi sớm vào năm 1829, Cauchy sử dụng bất đẳng thức ông nghiên cứu phương pháp Newton cho tính toán tìm nghiệm phương trình đại số siêu việt Năm 1859, học trò Cauchy Victor Yacovlevich Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn, thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng quát trường hợp không gian tích chứng minh Hermann Amandus Schwarz vào năm 1885 Ngày nay, tháng có hàng trăm - có lẽ hàng nghìn - công bố khoa học, bất đẳng thức Cauchy áp dụng theo cách hay cách khác Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 1.1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1 Với hai n số (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ), ta có bất đẳng thức sau (a1 b1 +a2 b2 +· · ·+an bn )2 (a21 +a22 +· · ·+a2n )(b21 +b22 +· · ·+b2n ) (1.1) Dấu đẳng thức xảy (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) hai tỉ lệ, tức tồn số thực k để = kbi , ∀i = 1, n Bất đẳng thức (1.1) thường gọi bất đẳng thức Cauchy hay Cauchy - Schwarz (đôi gọi bất đẳng thức Bunyakovsky, Cauchy - Bunyakovsky hay Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz) Chứng minh (Xem [1], [2], [3]) Các hệ sau củng cố thêm các ứng dụng khác bất đẳng thức quan trọng Hệ 1.1 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , bi > 0, ∀i = 1, n , ta có a2 a21 a22 + + ··· + n b1 b2 bn (a1 + a2 + · · · + an )2 b1 + b2 + · · · + bn (1.2) Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số √ bi , bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.2) √ai bi Hệ 1.2 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có a21 + b21 + · · · + a2n + b2n (a1 + · · · + an )2 + (b1 + · · · + bn )2 (1.3) Chứng minh (Xem [2]) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.3 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có (a1 + a2 + · · · + an )2 n(a21 + a22 + · · · + a2n ) (1.4) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số (a1 , a2 , , an ) (1, 1, , 1) ta thu bất đẳng thức (1.4) Ta thu hệ sau cách chia hai vế bất đẳng thức (1.4) cho n2 Hệ 1.4 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có a1 + a2 + · · · + an n a21 + a22 + · · · + a2n n (1.5) Hệ 1.5 Với dãy số thực không âm a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) a1 b1 + a2 b2 +· · ·+ an bn (1.6) √ Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai n số ( ) √ ( bi ), 0, bi 0, ta điều cần chứng minh Hệ 1.6 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , > 0, bi = 0, ta có a1 a2 an + + · · · + b21 b22 b2n a1 a2 an + +···+ a1 + a2 + · · · + an b b bn (1.7) √ a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số bi i √ , > 0, bi = 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.7) Hệ 1.7 Với dãy số thực dương a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có a1 a2 an + + ··· + b1 b2 bn (a1 + a2 + · · · + an )2 a1 b + a2 b + · · · + an b n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Mục tiêu luận văn hệ thống lại số bất đẳng thức sở có nhiều ứng dụng trình giải toán bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị trung bình, ứng dụng chúng Hi vọng luận văn làm... bn (1.2) Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số √ bi , bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.2) √ai bi Hệ 1.2 Với dãy số thực a1... Nội dung Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.2 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy