TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Lấ TH NGN S N NH NGHIM TUN HON CA H PHNG TRèNH VI PHN CP KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni, 2016 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Lấ TH NGN S N NH NGHIM TUN HON CA H PHNG TRèNH VI PHN CP Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Khúa lun tt nghip NGI HNG DN KHOA HC: TS Trn Vn Bng H Ni, 2016 LI CM N Em xin by t lũng bit n sõu sc n TS Trn Vn Bng- Ngi ó tn tỡnh hng dn v giỳp em em hon thnh bi khúa lun ca mỡnh ng thi em cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ t Gii tớch v cỏc thy cụ khoa Toỏn-Trng i hc S phm H Ni 2, ban ch nhim khoa Toỏn ó to iu kin cho em hon thnh tt bi khúa lun ny Nhõn dp ny em cng xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, ng viờn giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti ny Em xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Lờ Th Ngõn LI CAM OAN Khúa lun ny l kt qu ca bn thõn em t c quỏ trỡnh hc v nghiờn cu, di s ch dn ca TS Trn Vn Bng v s giỳp ca cỏc Thy, Cụ khoa Toỏn Trng i hc S phm H Ni v ca cỏc Thy, Cụ trc tip ging dy chỳng em Trong nghiờn cu, hon thnh bn khúa lun ny em ó tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Em xin khng nh kt qu ca ti "S n nh nghim tun hon ca h phng trỡnh vi phõn cp mt" l kt qu ca vic nghiờn cu, hc v n lc ca bn thõn, khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc H Ni, ngy thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Lờ Th Ngõn Mc lc Li m u 1 Kin thc chun b 1.1 H phng trỡnh vi phõn cp mt 1.2 Mt s kt qu v nghim ca h phng trỡnh vi phõn 1.3 cp mt 1.2.1 S tn ti v nht nghim 1.2.2 S thỏc trin nghim Tớnh n nh ca h phng trỡnh vi phõn cp mt 1.3.1 Khỏi nim n nh theo ngha Lyapunov 1.3.2 Tớnh n nh ca h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp mt 1.3.3 Tớnh n nh ca h ta tuyn tớnh 10 1.3.4 Tớnh n nh ca h phi tuyn: Phng phỏp tuyn tớnh húa 11 Tớnh n nh nghim tun hon ca h phng trỡnh vi phõn cp mt 14 2.1 H phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh vi h s tun hon 14 2.2 S tn ti nghim tun hon i 24 Khúa lun tt nghip i hc 2.3 Lờ Th Ngõn Tớnh n nh ca nghim tun hon Ti liu tham kho 26 39 ii Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn Li m u Phng trỡnh vi phõn l mt chuyờn ngnh thit yu ca toỏn hc v cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khoa hc-k thut v cụng ngh, nú c coi nh cu ni gia lớ thuyt v ng dng Do vy, vic nghiờn cu phng trỡnh vi phõn cú ý ngha vụ cựng quan trng Trong ú, nghiờn cu tớnh n nh nghim ca phng trỡnh vi phõn l mt nhng bi toỏn c bn ca lớ thuyt nh tớnh cỏc phng trỡnh vi phõn Vỡ vy di s hng dn ca T.S Trn Vn Bng, em xin chn ti S n nh nghim tun hon ca h phng trỡnh vi phõn cp mt Ni dung khúa lun c trỡnh by hai chng: Chng trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v mt s kt qu v nghim cng nh mt s kt qu v tớnh n nh nghim ca h phng trỡnh vi phõn cp mt Chng trỡnh by v tớnh n nh nghim tun hon ca h phng trỡnh vi phõn cp mt Em xin chõn thnh cm n T.S Trn Vn Bng ó tn tỡnh hng dn em c ti liu v dt nghiờn cu Do ln u thc nghiờn cu, thi gian cú hn v nng lc bn thõn cũn hn ch nờn chc chn bi nghiờn cu ny khú trỏnh nhng thiu sút Em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca quý thy cụ v bn c ti ny hon chnh v t kt qu cao hn Chng Kin thc chun b 1.1 H phng trỡnh vi phõn cp mt nh ngha 1.1 H n phng trỡnh vi phõn cp mt l h dx1 = f1 (t, x1 , x2 , , xn ) dt dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ) dt dx n = fn (t, x1 , x2 , , xn ), dt (1.1) ú, t R l bin s c lp, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), , xn = xn (t) l cỏc hm n cn tỡm Cỏc hm fi vi i = 1, , n xỏc nh I Rn+1 H n hm kh vi x1 = (t), x2 = (t), , xn = n (t) xỏc nh trờn khong (a, b) c gi l nghim ca h (1.1) nu vi mi t (a, b) im (t, (t), (t), , n (t)) I v thay chỳng vo h (1.1) ta c h ng nht thc trờn (a, b) Tp hp im = {(t, (t), (t), , n (t))} vi t (a, b) c Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn gi l ng cong tớch phõn ng vi nghim (t), (t), , n (t) Hin nhiờn Rn+1 Bõy gi ta coi (x1 , x2 , , xn ) nh ta ca mi im khụng gian n chiu Rn m ta gi l khụng gian pha Khi ú hp im = {(1 (t), (t), , n (t)) , t (a, b)} c gi l ng cong pha hay qu o pha Hin nhiờn ng cong pha cha khụng gian pha Khụng gian Rn+1 c gi l khụng gian pha suy rng ng cong tớch phõn cha khụng gian pha suy rng Bi toỏn Cụsi: Cho im (to , xo1 , xo2 , , xon ) I Tỡm nghim x1 (t), x2 (t), , xn (t) ca h (1.1) tha iu kin ban u: x1 (to ) = xo1 , x2 (to ) = xo2 , , xn (to ) = xon Sau ny ta s xột vi nhng iu kin no thỡ bi toỏn Cụsi cú nghim v cú nghim nht Nu ta coi t l bin c lp, x1 , x2 , , xn l ta ca mt im khụng gian pha Rn Khi ú h (1.1) cũn c gi l h phng trỡnh chuyn ng ca mt im khụng gian pha Rn m dx1 dx2 dxn , , , dt dt dt l vect tc ca im ú Ti mi im M khụng gian pha vect tc thay i theo thi gian nờn ta núi h (1.1) xỏc nh mt Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn trng tc khụng dng Nu kớ hiu x l vect (x1 , x2 , , xn ), f l vect (f1 , f2 , , fn ) thỡ h (1.1) vit c di dng vect sau x = f (t, x) Ta xột trng hp c bit ca h (1.1) cỏc v phi khụng ph thuc vo t, tc l dx1 = f1 (x1 , x2 , , xn ) dt dx2 = f2 (x1 , x2 , , xn ) dt dx n = fn (x1 , x2 , , xn ) dt hay c vit di dng vect x = f (t, x) (1.2) i vi h (1.2), vect tc ti mi im M khụng thay i theo thi gian Ta núi rng h (1.2) xỏc nh mt trng tc dng v ta gi l h ụtụnụm hay h dng Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn H qu l tn ti > cho F () + F () , Rn 2) v bi nh lớ Do ú F l ỏnh x liờn tc t hỡnh cu úng B(0, im bt ng Brouwer, F cú mt im bt ng Rừ rng l F () = v ch uT () = , v ú l nghim T tun hon ca (2.9) H qu 2.3 Gi s A Rnìn l ma trn hng tha (A) 2i Z= T v gi s g : R ì Rn Rn l hm liờn tc theo c hai bin, Lipschitz i vi bin th hai, T tun hon v g(t, ) = o( ) + u i vi t [0, T ] Khi ú phng trỡnh x = Ax + g(t, x) cú ớt nht mt nghim T tun hon 2.3 Tớnh n nh ca nghim tun hon Xột phng trỡnh vi phõn x = f (t, x), (2.12) ú f l hm T tun hon theo t Gi s f liờn tc theo c hai bin (t, x) v cú o hm liờn tc theo bin th hai x Gi s (2.12) 26 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn cú mt nghim T tun hon u (t) Ta s nghiờn cu tớnh n nh ca nghim u (t) Gi s y(t) l mt nghim khỏc ca (2.12) Khi ú z(t) = y(t)u (t) tha z = f (t, z(t) + u (t)) f (t, u (t)) = D2 (t, u (t)) z + g (t, z) , (2.13) ú g l hm T tun hon theo t, liờn tc theo c hai bin (t, z) vi mi t v z nh, v lim z0 g(t, z) = 0, z (2.14) hn na ma trn D2 (t, u (t)) l ma trn liờn tc v T tun hon theo t Rừ rng nghim u (t) ca (2.12) n nh hay n nh tim cn v ch nghim z ca (2.3) n nh hay n nh tim cn iu ny gi ý ta nghiờn cu h ta tuyn tớnh dng z = A(t)z + g(t, z), (2.15) ú A(t) l ma trn liờn tc v T tun hon, g l hm liờn tc theo (t, z), T tun hon theo t v nh theo ngha (2.14) Rừ rng (2.3) l mt trng hp c bit ca (2.15) vi A(t) = D2 (t, u (t)) Phn tuyn tớnh ca (2.15) l h tuyn tớnh T tun hon z = A(t)z Nu A(t) l ma trn phc thỡ s dng nh lớ biu din Floquet, tn ti cỏc ma trn Q(t) v ma trn hng B cho u(t, 0) = Q(t)etB 27 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn i bin z = Q(t)y ta a h (2.15) v y = By + Q1 g(t, Q(t)y) = By + h(t, y) Do Q(t) l hm liờn tc v T tun hon, nờn tn ti cỏc hng s dng v cho vi mi y Cn , t Rn y Q(t) y , T õy suy h(t, y) = o ( y ) y u i vi t.T õy ta cú kt qu sau nh lý 2.6 Gi s f : R ì Rn Rn l hm liờn tc theo c hai bin, kh vi liờn tc theo bin th hai v T tun hon theo t R Gi s u l mt nghim T tun hon ca phng trỡnh x = f (t, x) ú a) Nu tt c nhõn t Floquet ca phng trỡnh tuyn tớnh húa y = D2 f (t, u (t)) y tha |à| < thỡ u n nh tim cn b) Nu tn ti mt nhõn t Floquet vi |à| > thỡ u khụng n nh Chỳ ý a) Nu u l mt nghim T tun hon n nh tim cn 28 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn ca (2.12) thỡ u l mt nghim tun hon cụ lp ca (2.12) theo ngha sau: tn ti > cho vi mi nghim tun hon u = u ca (2.12) ta cú u(t) u (t) , vi mi t R Núi cỏch khỏc, khụng cú nghim tun hon no khỏc giao vi lõn cn ca qu o u Rn b) Gi s f : D Rn l nghim liờn tc v u l nghim tun hon khỏc hng s ca phng trỡnh ễtụnụm x = f (x) (2.16) Khi ú t u (t) = f (u (t)), bng cỏch ly o hm, ta cú th thy rng u (t) l mt nghim khụng tm thng ca phng trỡnh tuyn tớnh húa y = Df (u (t)) y (2.17) Do u (t + T ) = u (t), nờn l mt nhõn t Floquet ca phng trỡnh tuyn tớnh húa trờn Suy nh lớ (2.6) khụng ỏp dng c cho phng trỡnh ễtụnụm Hn na nu u l mt nghim T tun hon khỏc hng s, thỡ (0, T ), hm u (t + ) cng l mt nghim T tun hon ca (2.16) Giỏ tr u (0)u ( ) cú th lm nh tựy ý bng cỏch chn gn 0, nhng rừ rng u (t) u (t + ) khụng dn ti t + Nh vy khụng cú nghim T tun hon khỏc hng s ca h phng trỡnh ễtụnụm (2.16) n nh tim cn theo ngha Lyapunov Do khỏi nim Lyapunov khụng phự hp vi nghim tun hon ca h phng 29 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn trỡnh vi phõn ễtụnụm, vỡ vy ngi ta nghiờn cu mt loi n nh khỏc gi l n nh qu o i vi nhng nghim ny n nh qu o Gi s kớ hiu ng cong úng x = u (t) khụng gian x Nghim tun hon u (t) ca h phng trỡnh (2.16) gi l n nh qu o nu vi mi > 0, tn ti > cho mi nghim x(t) ca (2.16) cú khong cỏch ti < ti t = s xỏc nh v cú khong cỏch ti < , t Nghim u (t) c gi l n nh tim cn qu o (v gi l mt chu trỡnh gii hn) nu thờm vo ú khong cỏch t x(t) ti dn n t + Ta chng minh nh lớ sau nh lý 2.7 Gi s u (t) l mt nghim T tun hon khỏc hng s ca h phng trỡnh ễtụnụm (2.16) v gi s f kh vi liờn tc ti mi im ca ng cong x = u (t) Gi s l mt s m Floquet n ca phng trỡnh tuyn tớnh húa (2.17) v mi s m Floquet khỏc cú phn thc nh hn < Khi ú u (t) n nh tim cn qu o Hn na tn ti cỏc s dng , cho nu (t) l mt nghim bt kỡ ca (2.16) xuyờn qua im cú khong cỏch ti ng cong x = u (t) nh hn thỡ (t h) u (t) et , t ú h l hng s thc no ú, ph thuc vo Chng minh t x = z + u (t), phng trỡnh (2.16) tr thnh z = Df (u (t)) z + g(t, z), 30 (2.18) Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn vi g(t, z) = f (z + u ) f (u (t)) Df (u (t)) Bi vy g cng l T tun hon v g(t, 0) = Hn na fx liờn tc u theo x trờn ng cong x = u (t) nờn vi mi > 0, tn ti > cho g(t, z1 ) g(t, z2 ) z1 z2 , (2.19) vi mi t nu z1 , z2 Gi s Y (t) l ma trn c bn ca phng trỡnh (2.17) vi Y (0) = I Do u (t) l mt nghim khụng tm thng ca (2.17), ta cú u (t) = Y (t) vi = no ú T nh lớ Floquet, tn ti biu din Y (t) = P (t)etB , ú P (t) l T tun hon v Y (T ) = eT B =: C T gi thit, tt c cỏc giỏ tr riờng ca B, tr 1, u cú phn thc nh hn , ú mi giỏ tr riờng ca C, tr 1, u cú mụun nh hn Hn na, u (t) l T tun hon, l mt vect riờng ca C ng vi giỏ tr riờng Khụng gian vect Rn cú th biu din nh l tng trc tip ca hai khụng gian X1 , X2 bt bin i ci C, ú X2 l khụng gian vect mt chiu sinh bi T õy suy X1 , X2 bt bin i vi B = T log C, mi nghim c trng ca hn ch ca B lờn X1 cú phn thc nh hn , v (nu B c chun húa phự hp) B = Do ú cỏc phộp chiu P1 , P2 ca Rn lờn X1 , X2 giao hoỏn vi B, v tn ti cỏc hng s K, vi 31 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn > cho etB P1 Ket vi t 0, etB P2 K vi t H qu l tn ti hng s dng L cho Y (t)P1 Y (s) Le(ts) vi t s, Y (t)P1 Y (s) L vi t s Chn (2.19) cho 1 + =L Gi s z(t) l mt hm liờn tc bt kỡ tha sup et z(t) , t0 v gi s Iz(t) l hm xỏc nh bi t Iz(t) = Y (t)1 + + Y (t)P1 Y Y (t)P2 Y (s)g(s, z(s))ds (s)g(s, z(s))ds 0 ú X1 v < L1 (1 ) Khi ú Iz(t) l liờn tc v t Iz(t) = Le t + + Le (ts) z e s L z es ds ds + Let + z et Do ú Iz(t) L + z (1 ) + = 32 (2.20) Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn Tng t vi bt kỡ hai hm z1 (t), z2 (t) no nh vy ta cú Iz1 Iz2 z1 z2 T õy bi nguyờn lớ ỏnh x co Banach, phng trỡnh z = Iz cú nht mt nghim z = z(t)1 D dng kim tra c z(t)1 + u (t) l mt nghim ca (2.16) Vi t = ta cú + P2 Y (s)g(s, z(s, ))ds z(0, ) = Do g(t, z) = o ( z ) u theo t z 0, v bi (2.20), z (1 )1 L , suy z(0, ) = + o ( ) (2.21) Gi s x(t, ) l nghim ca (2.16) vi giỏ tr ban u ti t = Khi ú x(0, u (0)) = u (0) = (2.22) Vi = u (0), phng trỡnh x(t, ) z(0, u (0)) = cú nghim t = 0, = Do ỏnh x tuyn tớnh (t, ) t kh nghch, bi nh lớ hm n, t (2.20) v (2.22) suy nu u (0) nh hn hng s > no ú, phng trỡnh cú mt nghim t = t , = , ú |t | < T v < L1 (1 ) 33 (2.23) Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn Do nghim ca (2.16) ph thuc liờn tc vo giỏ tr ban u, tn ti mt hng s > cho nu (t) l mt nghim ca (2.15) tha (to ) u (to ) < vi to no ú (0 to T ), thỡ (t) xỏc nh vi |t| T v (0) u (0) T õy, (t ) = z(0, ) + u (0) vi t , no ú tha bt ng thc (2.23) Bõy gi gi s (t) l nghim bt kỡ ca (2.16) cho (t1 ) (t0 ) vi to , t1 no ú Ta cú th gi s to T Khi ú (t) = (tto +t1 ) cng l mt nghim ca (2.16) v (to ) u (to ) Nghim (t) = (t + t ) ca (2.16) ly cựng giỏ tr ti t = nh l nghim z(t, ) + u (t) Bi vy t h = to t1 t , ta cú (t h) = (t) = z(t, ) + u (t) Do ú (t h) u (t) = z(t, ) et 34 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn nh lớ c chng minh Mnh di õy ch rng mt s trng hp cú th xỏc nh tớnh n nh ca qu o tun hon m khụng cn xỏc nh tng minh nhõn t Floquet Mnh 2.2 Gi s f C (D, Rn ) v u l nghim T tun hon khỏc hng s ca (2.16) vi qu o t T div f (u (t)) dt = Nu > thỡ khụng n nh Nu n = v thỡ n nh tim cn qu o Chng minh Do div f (u (t)) = trace Df (u (t)) T nh lớ Liouville suy det U (T ) = e ú U (T ) l ma trn monodromy ca phng trỡnh tuyn tớnh húa y = Df (u (t)) y Gi s àj , j = 1, 2, , n l cỏc giỏ tr riờng ca U (T ) tc l cỏc nhõn t Floquet ca , m c bi Do det U (T ) = à1 à2 àn , nờn nu > 0, tc l e < 1, thỡ ớt nht mt nhõn t Floquet ca cú |à| < Bi vỡ luụn l mt nhõn t Floquet ca nờn ta suy 35 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn trng hp n = 2, nhõn t Floquet khỏc nm phn ca a n v T õy kt lun ca mnh suy t nh lớ 2.10 Vớ d 2.3.1 Xột phng trỡnh Liộnard suy rng xă + f (x)x + g(x) = 0, (2.24) ú f (x) l hm liờn tc, g(x) liờn tc Lipschitz trờn mi khong hu hn Phng trỡnh ny tng ng vi h phng trỡnh cp x = F (x) + y (2.25) y = g(x), ú x F (x) = f (s)ds Vi cỏc gi thit trờn, nghim ca (2.25) hay ca (2.24), xỏc nh nht bi giỏ tr ban u Nu nghim x(t) ca (2.24) tha x( t) = xă(t) = thỡ x(t) = tha g() = v x(t) = vi mi t Do ú, ta loi tr trng hp ny t E = x + G(x), ú G(x) = x g(s)ds Khi ú E = xă x + g(x)x = f (x)x 36 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn Bõy gi, ta s ch rng nu khụng im ca f (x) l cụ lp, thỡ x = ti mi im trờn ng cong m E cú cc tr a phng Gi s phn chng rng E = E(t) cú mt cc tr a phng ti t = t nhng x( t) = Khi ú xă(t) = nh ta ó núi trờn, v ú x(t) cú mt cc tr a phng ti t Bi vy x(t) luụn ln hn hoc nh hn x(t) t = t lõn cn ca t, ú f (x(t)) gi nguyờn mt du vi mi t = t gn t T õy E(t) khụng i du, ú E(t) l n iu ngt gn t iu ny dn n mõu thun Gi s l mt nghim tun hon ca (2.25) Khi ú s m Floquet khỏc ca l T T f (x(t))dt Theo iu ta va chng minh trờn, gi s E t cc tiu trờn ti giỏ tr t cho f (x(t)) = v x( t) = Bi vy, nu ta t G(x(t)) = h thỡ E(t) > h vi mi t T ng thc E 2(G h)f + 2f = Eh Eh suy f dt = (G h)f dt Eh T õy, s cú s m Floquet õm nu G(x) ly giỏ tr h ti mi khụng im ca f (x) v tớch [G(x) h)] f (x) dng f (x) = Núi riờng ta ó chng minh kt qu sau v tớnh n nh ca nghim tun hon ca phng trỡnh Liộnard suy rng (2.24) Mnh 2.3 Gi s a) f (x) liờn tc v g(x) liờn tc Lipschitz trờn mi khong hu 37 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Ngõn hn; b) f (x) < vi x1 < x < x2 v f (x)>0 vi x < x1 hoc x > x2 , ú x1 < < x2 ; c) xg(x) > vi x = 0; d) G(x1 ) = G(x2 ), ú G(x) = x g(s)ds Khi ú ng cong úng no ca phng trỡnh (2.24) u cú mt s m Floquet õm v ú nú n inh tim cn qu o Vớ d 2.3.2 Xột phng trỡnh vi phõn sau xă + à(x3 x)x + x = (à > 0) õy f (x) = à(x3 x), g(x) = x H ny tng ng vi h phng trỡnh vi phõn cp mt x = F (x) + y (2.26) y = g(x), ú x F (x) = 1 f (s)ds = à( x4 x2 ) i,Ta d thy f (x) liờn tc, g(x) liờn tc Lischitz trờn mi khong hu hn ii, f (x) < vi < x < v f (x) > vi x < hoc x > iii, xg(x) = x2 > vi x = iv, G(x) = x sds = x2 t ú suy G(1) = G(1) = 21 Phng trỡnh trờn tha cỏc iu kin ca Mnh 2.3, ú nú n nh tim cn qu o 38 Kt lun Lun ó trỡnh by mt s kin thc liờn quan n nghim tun hon v s n nh nghim tun hon ca h phng trỡnh vi phõn cp trờn c s nhng kin thc ó c trỡnh by ch yu da vo cun sỏch [1] Mc dự ó ht sc c gng song hn ch v thi gian, kin thc v kinh nghim nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tụi rt mong nhn c s quan tõm v úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Trc kt thỳc khúa lun ny, mt ln na em xin by t lũng bit n sõu sc i vi cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, c bit l thy giỏo TS Trn Vn Bng ó tn tỡnh hng dn v giỳp em hon thnh khúa lun ny Em xin chõn thnh cm n! 39 Ti liu tham kho [1] Cung Th Anh, C s lớ thuyt phng trỡnh vi phõn, Nh xut bn i hc S phm, 2015 [2] Nguyn Th Hon, Phm Phu, C s phng trỡnh vi phõn v lớ thuyt n nh, Nh xut bn i hc S phm, 2007 [3] Hong Hu ng, Lớ thuyt phng trỡnh vi phõn, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip, 1975 40 ... 1. 2 .1 Sự tồn nghiệm 1. 2.2 Sự thác triển nghiệm Tính ổn định hệ phương trình vi phân cấp 1. 3 .1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 1. 3.2 Tính ổn định hệ phương trình. .. 11 Tính ổn định nghiệm tuần hoàn hệ phương trình vi phân cấp 14 2 .1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 14 2.2 Sự tồn nghiệm tuần hoàn i 24 Khóa luận... Chương trình bày khái niệm số kết nghiệm số kết tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân cấp Chương trình bày tính ổn định nghiệm tuần hoàn hệ phương trình vi phân cấp Em xin chân thành cảm ơn