TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo em suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phương Thúy i Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Một số tính chất định tính hệ phương trình vi phân cấp một" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phương Thúy ii Mục lục Lời mở đầu ii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm mở đầu hệ phương trình vi phân 1.2 Quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp 1.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 12 1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không 15 Một số tính chất định tính hệ phương trình vi phân cấp 18 2.1 Sự tồn nghiệm toán Cauchy 18 2.2 Sự kéo dài nghiệm 33 2.3 Sự phụ thuộc nghiệm vào tham số điều kiện ban đầu 36 Tài liệu tham khảo i 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY Lời mở đầu Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực là: Toán học lí thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân có vai trò quan trọng lí thuyết toán học Phương trình vi phân phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ hàm chưa biết (một nhiều biến) với đạo hàm (có cấp khác nhau) Phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật nhu cầu thực tiễn Trên thực tế, số phương trình vi phân nói chung, số hệ phương trình vi phân cấp nói riêng giải không nhiều Do phải có hướng để nghiên cứu phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân cấp một, hướng nghiên cứu tính chất định tính Nghiên cứu định tính tìm cách suy đặc trưng quan trọng nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân mà không cần giải chúng Xuất phát từ nhận thức lòng ham mê môn học với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số tính chất định tính hệ phương trình vi phân cấp một” để thực khóa luận tốt nghiệp Khóa luận trình bày hai chương: ii • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức hệ phương trình vi phân Bao gồm số khái niệm cách giải hệ phương trình vi cấp • Chương 2: Một số tính chất định tính hệ vi phân cấp Trong chương trình bày số kiến thức tồn tại, tính nghiệm toán Cauchy, kéo dài nghiệm, phụ thuộc nghiệm vào tham số kiện ban đầu Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp, ý kiến thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phương Thúy iii Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hệ phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho việc trình bày mục sau 1.1 Một số khái niệm mở đầu hệ phương trình vi phân Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình sau:  dy1    = f1 (x, y1 , y2 , , yn )   dx      dy2 = f2 (x, y1 , y2 , , yn ) dx           dyn = fn (x, y1 , y2 , , yn ) dx (1.1) đây: x biến độc lập y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), , yn = yn (x) hàm phải tìm fi = fi (x, y1 , y2 , , yn ) hàm liên tục biến x, y1 , y2 , , yn Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY Bằng cách đặt       dy1 y f (x, y1 , , yn )  dx     dY          Y =  , =   , F (x, Y ) =   ,    dx   dy  n fn (x, y1 , , yn ) yn dx hệ (1.1) viết dạng véc tơ: dY = F (x, Y ) dx Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) tập hợp n hàm khả vi y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), , yn = yn (x) khoảng cho chúng thỏa mãn tất phương trình hệ (1.1) hay nói cách khác thay chúng vào hệ (1.1) ta đồng thức 1.2 Quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Ta đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp theo cách sau đây: Giả sử ta có phương trình: y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) Đặt: y = y1 , y = y2 , y = y3 , , y (n−1) = yn Khi ta có hệ phương trình vi phân cấp sau: (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY  dy1    = y2   dx      dy2 = y3 dx           dyn = f (x, y1 , y2 , , yn ) dx (1.3) Nếu y = y(x) nghiệm phương trình (1.2) thì: y1 = y(x), y2 = y (x), , yn = y (n−1) (x) nghiệm (1.3) Ngược lại, y1 (x), y2 (x), , yn (x) nghiệm hệ (1.3) hàm y = y1 (x) cho ta nghiệm phương trình (1.2) Tương tự, ta đưa hệ n phương trình vi phân cấp phương trình cấp n sau Định lý 1.1 Với số điều kiện từ hệ phương trình:  dy1    = f1 (x, y1 , y2 , , yn )   dx      dy2 = f2 (x, y1 , y2 , , yn ) dx           dyn = fn (x, y1 , y2 , , yn ) dx (1.4) đưa phương trình vi phân cấp n dạng: dyj d2 yj dn−1 yj dn yj = Fj x, yj , , , , n−1 dxn dx dx2 dx (1.5) ≤ j ≤ n Và từ nghiệm phương trình vi phân (1.5) cho ta nghiệm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khi đó, dễ thấy hệ có nghiệm NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY   |y(x)| = |y(x0 )|.ex−x0  |z(x)| = |z(x )|.ex−x0 Rõ ràng     lim |y(x)| = ∞ x→∞    lim |z(x)| = ∞ x→∞ nên kéo dài nghiệm Ví dụ 2.5 Cho hệ phương trình   y + 2xy = y ex2 (1a)  z + 2xz = z ex2 (1b) Ta chia hai vế (1a) cho y ta được: y −2 y + 2xy −1 = ex Đặt t = y −1 ⇒ t = −y −2 y , nên (2a) ⇔ t − 2xt = −ex Phương trình tuyến tính có nghiệm t(x) = ex (C − x) ⇒ y(x) = ex2 (C − x) ex2 (C − x)   y(x) → ∞ Rõ ràng x → C (giá trị hữu hạn)  z(x) → ∞ Tương tự, (1b) có nghiệm z(x) = nên kéo dài nghiệm 35 (2a) Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY Sự phụ thuộc nghiệm vào tham số điều kiện ban đầu Xét toán giá trị ban đầu   y = f (x, y) (2.18)  y(x ) = y 0 Ta xét xem nghiệm y(x) toán (2.18) thay đổi vế phải f kiện ban đầu (x0 , y0 ) thay đổi đủ nhỏ a Sự phụ thuộc liên tục nghiệm Định lý 2.2 Giả sử {fn (x, y)} dãy hàm xác định liên tục tập mở D ⊂ R × Rn giả sử giới hạn lim fn = f tồn n→∞ tập compact D Giả sử (xn , yn ) dãy điểm hội tụ tới điểm (x, ξ) D giả sử ϕn (x) nghiệm không kéo dài toán y = fn (x, y), y(xn ) = ξn Nếu ϕ(x) nghiệm phương trình vi phân y = f (x, y), thỏa mãn điều kiện ϕ(x) = ξ, xác định đoạn [a, b] nhất, ϕn (x) xác định đoạn [a, b] với n đủ lớn ϕn (x) → ϕ(x) đoạn n → ∞ Chứng minh Hàm giới hạn f hiển nhiên liên tục D Giả sử E tập 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY compact D chứa đường cong y = ϕ(x) với a ≤ x ≤ b phần giả sử f (x, y) ≤ M E Khi đó, fn (x, y) ≤ M với n ≥ n0 Chọn số dương δ cho hình hộp R |x − x| ≤ δ, x − ξ ≤ 3M δ chứa E Ta tìm số nguyên dương n1 ≥ n0 cho |x−xn | < δ, ξ − ξn ≤ M δ với n ≥ n1 Khi đó, điểm (xn , ξn ) thuộc R n ≥ n1 ϕn (x) liên tục đến tận biên R với giá trị x hai phía xn Hơn nữa, ϕn (x) − ξn ≤ M |x − xn | ϕn (x) − ξ ≤ ξ − ξn + M (|x − x| + |x − xn |) ≤ 3M δ, n ≥ n1 Do đó, ϕn (x) xác định nằm R khoảng |x − x| ≤ δ n ≥ n1 Hơn nữa, dãy {ϕn } đồng liên tục khoảng này, ϕn (x) − ϕn (x1 ) ≤ M |x − x1 | Từ đây, định lí Arzelà-Ascoli, ta trích dãy {ϕnk } hội tụ tới hàm giới hạn liên tục ϕ Ta có 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY xn x fn (s, ϕn (s))ds − ϕn (x) = ξn + x fn (s, ϕn (s))ds x số hạng cuối vế phải dần đến n → ∞, không vượt M |x − xn | giá trị tuyệt đối Khi k → ∞, ta có fnk (x, ϕnk (x)) → f (x, ϕ(x)) khoảng |x − x| ≤ δ Lấy n = nk cho k → ∞, ta nhận x ϕ(x) = ξ + f (s, ϕ(s))ds x Bởi vậy, ϕ(x) nghiệm phương trình y = f (x, y) xuyên qua điểm (x, ξ) Do giả thiết, phải trùng với ϕ(x) Bởi vậy, dãy hội tụ dãy bị chặn đồng liên tục {ϕn } hội tụ tới ϕ, dãy {ϕn } hội tụ tới ϕ Điều thiết lập tồn số x1 > x cho ϕn xác định khoảng [x, x1 ] với n lớn hội tụ đoạn tới hàm ϕ n → ∞ Giả sử x∗ cận bé số x1 mà x1 < b Chọn số dương δ1 cho hình hộp R1 |x − x∗ | ≤ 2δ1 , y − ϕ(x∗ ) ≤ 4M δ1 chứa E Chọn x1 cho x∗ − δ < x1 < x∗ ϕ(x∗ ) − ϕ(x1 ) ≤ M δ1 Khi hình hộp 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY |x − x1 | ≤ δ1 , y − ϕ(x1 ) ≤ 3M δ1 chứa R1 Nếu ta đặt ξ1n = ϕn (x1 ) ξ1 = ϕ(x1 ) dãy điểm {(x1 , ξ1n )} hội tụ tới (x1 , ξ1 ) Do đó, phần đầu chứng minh, hàm ϕn (x) xác định đoạn [x1 , x1 + δ1 ] với n lớn hội tụ tới ϕ(x) với x ≤ b đoạn Khẳng định tương tự đoạn [x, x1 + δ] Do x1 + δ1 > x∗ , điều mâu thuẫn với định nghĩa x∗ , trừ x∗ = b dãy {ϕn } hội tụ đến ϕ đoạn [x, b] Đoạn [a, x] xử lí tương tự Định lí phát biểu chứng minh cho biến rời rạc n → ∞ thỏa mãn biến liên tục λ → λ0 Nói riêng, ta có hệ sau Hệ 2.3 Giả sử f (x, y, λ) hàm liên tục (x, y, λ) với điểm (x, y) nằm tập mở D giá trị λ gần λ0 , giả sử ϕ(x, τ, ξ, λ) nghiệm không kéo dài toán y = f (x, y, λ), y(τ ) = ξ Nếu ϕ(x, x0 , ξ0 , λ0 ) xác định đoạn [a, b] nhất, ϕ(x, τ, ξ, λ) xác định đoạn [a, b] với (τ, ξ, λ) đủ gần (x0 , ξ0 , λ0 ) hàm liên tục theo bốn biến điểm (x, x0 , ξ0 , λ0 ) Chứng minh Bởi định lí 2.2, ta có ϕ(x, τ, ξ, λ) − ϕ(x1 , x0 , ξ0 , λ0 ) ≤ ε+ ϕ(x, x0 , ξ0 , λ0 ) − ϕ(x1 , x0 , ξ0 , λ0 ) , với a ≤ x ≤ b (τ, ξ, λ) − (x0 , ξ0 , λ0 ) < δ Hơn nữa, vế phải bất 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY đẳng thức nhỏ 2ε |x − x1 | < δ1 Tiếp theo, ta đưa chứng minh định lượng, giả thiết chặt hơn, tính liên tục nghiệm toán giá trị ban đầu Nó dựa bổ đề hữu ích sau Gronwall Bổ đề 2.1 (Gronwall) Giả sử λ(x) hàm thực liên tục µ(x) hàm liên tục không âm đoạn [a, b] Nếu hàm liên tục z(x) thỏa mãn x z(x) ≤ λ(x) + µ(s)z(s)ds, a với a ≤ x ≤ b, đoạn  x z(x) ≤ λ(x) + µ(τ )dτ  ds λ(s)µ(s)exp  a  x s Nói riêng, λ(x) ≡ λ số  x z(x) ≤ λexp   µ(s)ds a Chứng minh Đặt x t(x) = µ(s)z(s)ds a Khi t khả vi t (x) − µ(x)t(x) ≤ λ(x)µ(x) 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY Nếu ta đặt   x w(x) = t(x)exp − µ(s)ds a bất đẳng thức cuối tương đương với   x w (x) ≤ λ(x)µ(x)exp − µ(s)ds a Do w(a) = 0, lấy tích phân hai vế từ a đến x, ta  x w(x) ≤  s λ(s)µ(s)exp − a µ(τ )dτ  ds, a hay tương đương  x t(x) ≤ λ(s)µ(s)exp  a  x µ(τ )dτ  ds, s định nghĩa w(x) Do z(x) ≤ λ(x) + t(x) nên định lí chứng minh Định lý 2.3 Giả sử y1 (x), y2 (x) hàm khả vi thỏa mãn y1 (a) − y2 (a) ≤ δ yi (x) − f (x, yi (x)) ≤ εi , i = 1, 2, với a ≤ x ≤ b Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY f (x, y1 ) − f (x, y2 ) ≤ L y1 − y2 , y1 (x) − y2 (x) ≤ δeL(x−a) + (ε1 + ε2 ) [eL(x−a) − 1] , L với a ≤ x ≤ b Chứng minh Đặt ε = ε1 + ε2 , γ(x) = y1 (x) − y2 (x) Ta có γ (x) ≤ f (x, y1 (x)) − f (x, y2 (x)) + ε ≤ L γ(x) + ε Lấy tích phân theo x, a ≤ x ≤ b, ta x γ(x) ≤ δ + ε(x − a) + L γ(s) ds a Do đó, bổ đề 2.1, x L[δ + ε(s − a)]eL(x−s) ds, γ(x) ≤ δ + ε(x − a) + a hay sau tích phân phần vế phải, γ(x) ≤ δeL(x−a) + ε[eL(x−a) − 1]/L Định lí chứng minh Định lí 2.3 rằng, nói riêng (khi ε1 = ε2 = δ = 0) toán giá trị ban đầu (2.18) có nhiều nghiệm vế phải f (x, y) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y b Sự phụ thuộc khả vi nghiệm Chúng ta thấy điều kiện xác định, nghiệm phương trình vi phân hàm liên tục tham số điều kiện ban đầu Bây ta rằng, điều kiện mạnh hơn, chúng hàm khả vi Định lý 2.4 Giả sử f (x, y, λ) hàm liên tục biến (x, y, λ) với điểm (x, y) miền D giá trị vectơ tham số λ gần λ0 Giả sử ϕ(x, λ0 ) nghiệm phương trình vi phân y = f (x, y, λ0 ) xuyên qua điểm (x0 , ξ0 ) D xác định khoảng compact J giả sử f có đạo hàm riêng fy , fλ liên tục điểm (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 ) với x ∈ J Khi với λ đủ gần λ0 , phương trình vi phân y = f (x, y, λ) (2.19) có nghiệm ϕ(x, λ) xuyên qua điểm (x0 , ξ0 ) xác định J Hơn nữa, với x ∈ J, đạo hàm riêng ϕλ (x, λ0 ) tồn trùng với nghiệm phương trình vi phân tuyến tính z = fy (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )z + fλ (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 ), triệt tiêu x = x0 43 (2.20) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY (Ở đây, fy chẳng hạn, kí hiệu ma trận Jacobi ∂fj ) ∂yk Chứng minh Do fy , fλ liên tục theo (x, y, λ) ϕ(x, λ0 ) liên tục theo x, với ε > s ∈ J, tồn δ = δ(s, ε) > cho fy (x, y, λ) − fy (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 ) ≤ ε, (2.21) fλ (x, y, λ) − fλ (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 ) ≤ ε, |x − s| ≤ δ, y − ϕ(x, λ0 ) ≤ δ, λ − λ0 ≤ δ Do hữu hạn đoạn |x − s| ≤ δ phủ J, tồn số δ1 = δ1 (ε) > cho bất đẳng thức (2.21) thỏa mãn với x ∈ J y − ϕ(x, λ0 ) ≤ δ1 , λ − λ0 ≤ δ1 Từ suy ra, fy , fλ bị chặn tập hợp này, chẳng hạn fy ≤ A, fλ ≤ B Do đó, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y λ − λ0 ≤ δ1 , phương trình (2.19) có nghiệm xuyên qua điểm miền y − ϕ(x, λ0 ) ≤ δ1 , x ∈ J Hơn nữa, nghiệm ϕ(x, λ) xuyên qua điểm (x0 , ξ0 ) thỏa mãn ϕ (x, λ) − f (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 ) ≤ B λ − λ0 , mà nằm miền Do đó, định lí 2.3, ϕ(x, λ) − ϕ(x, λ0 ) ≤ C λ − λ0 , 44 (2.22) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY C = B(eAh − 1)/A h độ dài khoảng J Từ suy ϕ(x, λ) xác định J với λ đủ gần λ0 Hơn nữa, từ (2.21), (2.22) định lí giá trị trung gian, λ đủ gần λ0 với x ∈ J, ||f (x, ϕ(x, λ), λ)−f (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )−fy (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )((ϕ(x, λ)−ϕ(x, λ0 )) −fλ (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )(λ − λ0 )|| ≤ ε λ − λ0 (2.23) Do hệ số phương trình tuyến tính (2.20) hàm liên tục x nên (2.20) có nghiệm z(x) thỏa mãn điều kiện ban đầu z(x0 ) = Đặt ψ(x, λ) = ϕ(x, λ) − ϕ(x, λ0 ) − z(x)(λ − λ0 ) Khi ψ(x0 , λ) = bất đẳng thức (2.23) viết dạng ||ψ (x, λ) − fy (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )ψ(x, λ)|| ≤ ε||λ − λ0 || Do phương trình vi phân z = fy (x, ϕ(x, λ0 ), λ0 )z có nghiệm z ≡ 0, từ định lí 2.3 suy eAh − ||ψ(x, λ)|| ≤ ε||λ − λ0 || A Do đó, định nghĩa tính khả vi, ϕλ (x, λ0 ) tồn trùng với z(x) với x ∈ J 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY Nếu f khả vi liên tục k lần (y, λ) ϕ khả vi k lần λ Điều suy cách áp dụng liên tiếp định lí 2.4, bắt đầu với phương trình (2.20) Tính khả vi nghiệm điều kiện ban đầu sau suy từ định lí Định lý 2.5 Giả sử f (x, y) hàm liên tục miền D giả sử ϕ(x, τ, ξ) nghiệm phương trình y = f (x, y) xuyên qua điểm (τ, ξ) D Giả sử ϕ(x, x0 , ξ) tồn khoảng compact J f có đạo hàm riêng fy liên tục điểm (x, ϕ(x, x0 , ξ0 )) với x ∈ J Khi ϕ(x, τ, ξ) tồn xác định J với điểm (τ, ξ) gần (x0 , ξ0 ) Hơn nữa, với x ∈ J, đạo hàm riêng ϕξ (x, x0 , ξ) tồn trùng với nghiệm phương trình ma trận tuyến tính z = fy (x, ϕ(x, x0 , ξ0 ))z, có giá trị x = x0 ma trận đơn vị I, ϕτ (x, x0 , ξ) tồn trùng với −ϕξ (x, x0 , ξ0 )f (x0 , ξ0 ) Chứng minh Đặt y = u + ξ Khi toán giá trị ban đầu y = f (x, y), y(x0 ) = ξ chuyển toán giá trị ban đầu 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY u = f (x, u + ξ), u(x0 ) = 0, với ξ tham số Kết luận định lí liên quan đến ϕξ suy từ định lí 2.4 Do f liên tục, bị chặn thoản mãn điều kiện Lipschitz theo y lân cận (x0 , ξ0 ), nghiệm ϕ(x, τ, ξ) tồn xác định đoạn [x0 , τ ] (τ, ξ) đủ gần (x0 , ξ0 ) Từ suy tồn xác định J Nói riêng, lấy τ = x0 + h, ξ = ξ0 đặt ξ1 = ϕ(x0 , x0 + h, ξ0 ) Khi ξ1 → ξ0 h → Hơn nữa, ξ1 − ξ0 =ϕ(x0 , x0 + h, ξ0 ) − ϕ(x0 + h, x0 + h, ξ0 ) x0 +h =− f (s, ϕ(s, x0 + h, ξ0 ))ds x0 = − f (x0 , ξ0 )h + o(h), h → Do điểm (x0 + h, ξ0 ) (x0 , ξ1 ) nằm nghiệm, ta có ϕ(x, x0 + h, ξ0 ) − ϕ(x, x0 , ξ0 ) =ϕ(x, x0 , ξ1 ) − ϕ(x, x0 , ξ0 ) = [ϕξ (x, x0 , ξ0 ) + o(1)] (ξ1 − ξ0 ) Cho h → ta nhận kết luận định lí liên quan đến ϕτ 47 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Một số tính chất định tính hệ phương trình vi phân cấp một" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng số tính chất định tính hệ phương trình vi phân cấp tồn tại, nghiệm toán Cauchy, kéo dài nghiệm, phụ thuộc nghiệm vào tham số điều kiện ban đầu Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên nội dung mẻ thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo [1 ] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [2 ] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (2000), Phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3 ] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB giáo dục Hà Nội [4 ] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2000), Bài tập phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 49 ... (1. 1) hay nói cách khác thay chúng vào hệ (1. 1) ta đồng thức 1. 2 Quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Ta đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp. .. trình vi phân cấp 1. 3 Phương pháp tổ hợp tích phân 1. 4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 12 1. 5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không 15 Một số tính chất. .. Y1 , Y2 , , Yn hệ nghiệm hệ phương trình (1. 24) nghiệm tổng quát hệ phương trình (1. 24) có dạng n Y = ci Yi i =1 1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không Hệ phương trình vi phân tuyến tính