CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Buổi 1: Phương trình lượng giác bản, Phương trình bậc hàm số lượng giác Mục đích, yêu cầu - HS nắm công thức nghiệm ptlg - Biết chuyển phương trình bậc phương trình - Thành thạo giải phương trình lượng giác Phương trình lượng giác +> sinx = a có nghiệm x = arcsina + k2 π x = π - arcsina + k2 π với -1 ≤ a ≤ sinx = sin α có nghiệm x = α + k2 π x = π - α + k2 π , k ∈ Z +> cosx = a có nghiệm x = ± arccosa + k2 π , k ∈ Z với -1 ≤ a ≤ cosx = cos α có nghiệm x = ± α + k2 π +> tanx = a có nghiệm x = arctana + k π , k ∈ Z với ∀ a tanx = tan α có nghiệm x = α + k π +> cotx = a có nghiệm x = arccota + k π , k ∈ Z với ∀ a tanx = cot α có nghiệm x = α + k π Phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng: a.sinf(x) + b = a.cosf(x) + b = (a ≠ 0) a.tanf(x) + b = a.cotf(x) + b = Cách giải: - Chuyển vế b - Chia vế cho a ⇒ PT Các tập Bài 1: Giải phương trình sau:  π 1> cos  x − ÷ = 3  π ) =0 2>sin( 3x – 20o ) = -1 3>tan( x π + ) =1 2 π 2π     2x + π  7> sin x − 45 = cos2x 8> sin  2x + ÷ = cos  x − ÷ 9> 2 sin  ÷= 3      π 2π    10> tan  3x + ÷.cot ( 5x + 1) = 11> tan 2x − 15 − = 12> sin 2x = cos  x − ÷ 2    π  13> tan  3x + ÷ ( cos2x − 1) = 14> sin( 2x-1 ) = sin( 3x + ) 15> cos 3x = 2  4>sin(x + ( x 5> cot2x = - 6>cos( + 60 ) = − ) ( ) Bài 2: Giải phương trình sau: 1> 2sin ( x − 30 ) = π   4> 6cos  4x + ÷+ 3 =   x 7> - sin − =0 π  2> tan  2x + ÷ = −3 3   3π  5> 3cot  − x ÷+ =   π  8> 3cos  3x + ÷− = 3  Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin π 2π     3> sin  3x + ÷− cos  x + ÷ = 4    6> 4tan( 5x – 1) + = 9> cosx [2sin(x – 300) + ] = -1- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 Bài Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho π  1> sin 2x = − với < x < π 2> cos  x − ÷ = 3  ( ) 3> tan 2x − 15 = với −1800 < x < 900 4> cot 3x = − 4> 5cos x + sin x = π  tan  x − ÷ = − tan x 4  7> 4 9> sin x + cos x = cos x 5> 8> sin x + cos x = sin x cos x = 3> cos x sin x + sin x.tan x = 4 6> cos x = sin x − sin x + cos x sin x 10> cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) cos x cos x cos x = − 16 2 11> sin x + cos x = 12 > cos x sin x = − sin x − cos x 13> 1 + = 17 > cos x sin x sin x 18> 4sin x + 6sin x = với −π < x < π π với − < x < Bài 4*: Giải phương trình sau π π   cos  x + ÷+ cos  x − ÷ = 3 3   1> 2> tan x.tan x = −1 - 15> sin ( π sin x ) = ………………………………………………………………………………………………… Buổi 2: Phương trình bậc hàm số lượng giác Mục đích, yêu cầu: - HS nắm dạng cách giải phương trình bậc hàm số lượng giác - Biết áp dụng số công thức lượng giác, đẳng thức lượng giác biến đổi pt để đưa dạng bậc hai hàm số lượng giác - Yêu cầu học sinh thành thạo giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng phương trình : a.sin2 f(x) + b.sinf(x) + c = a.cos2 f(x) + b.cosf(x) + c = (a ≠ 0) a.tan2 f(x) + b.tanf(x) + c = a.cot2 f(x) + b.tanf(x) + c = Cách giải: Nếu đặt t = sinf(x) cosf(x) đk: -1 ≤ t ≤ Nếu đặt t = tanf(x) cotf(x) t Đưa PT bậc ẩn t Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -2- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x =1 − cos x - Lớp 11 - cos x =1 − sin x cos x =1 − sin x cos x = cos x −1 tan x = Chú ý sử dụng công thức: cot x =1 + tan x cos x =1 + cot x sin x Các tập Bài 1: Giải phương trình sau 1> 2sin x + 3sinx − = 3> 2cos 2x + cos2x = 5> tan x + − tan x − = ( ) 7> tan x + cotx = 9> cos2x + cosx + = 11> ( ) 2 cos x − + cos3 x + = 2> 6cos x − cosx − = 4> cot 2x + 3cot 2x + = 6> 6cos x + 5sinx − = 8> 6sin2(x + 300) + sin(x + 300) – = 10> 3sin 2x + 7cos 2x − = π π   2cos  x + ÷+ 5sin  x + ÷− = 3 3   12> 13> 2tan2x + 7tanx – = 15> 2cos2x + (1 - )cosx + - = 14> cotx – 3cot2x = 16> -3sin2x + 2sinx + = Bài 2: Giải phương trình sau x 1> cos2x − 3cosx = 4cos 2 3> 6sin 3x − cos12x = 2> 6sin x − 2sin 2x = 5> 7cos x = 4cos3 x + 4sin 2x 7> cos 2x + sin x − 2cos x + = Bài 3*: Giải phương trình sau 2> π  ( sin x + cos x ) − cos  − x ÷ = 2  4> cos x + sin x = sin x − 1> sin x + cos x = cos x 3> cos 4 x x + sin + 2sin x = 2 cos x = sin x − 5> cos x − sin x sin x + cos x 6> 17 sin x + cos8 x = cos 2 x 16 8> 5 10> 4sin x cos x − 4cos x sin x = cos x + 4cot x = sin x 7> 9> 4cos x − cos x = + 2cos x tan x + cot x = 2sin x + 4> ( + cos x ) = + sin x − cos x + t anx = 6> cos x x 8> cosx + 3cos + = * Phương trình bậc hàm số lượng giác Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -3- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - Cách giải : Tương tự cách giải phương trình bậc hàm số lượng giác Bài : Giải phương trình sau 1> 4sin3x – 8sin2x + sinx + = 2> 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 3> 2tan3x + 5tan2x – 23tanx + 10 = 4> cot3x + 2cot2x – 3cotx – = 5> cos3x + 3cos2x = 2(1 + cosx) 6> 2sin3x – cos2x + sinx = 7> 2cos2x – 8cosx + = cos x 8> cos3x + 5sin2x + 7cosx – = ……………………………………………………………………………………………… Buổi 3: Phương trình bậc sinx cosx Mục đích, yêu cầu: - Học sinh nắm dạng cách giải pt bậc sinx cosx - Học sinh nắm công thức cộng công thức khác Biết áp dụng vào phương trình trình biến đổi - Yêu cầu học sinh thành thạo giải phương trình dạng Dạng phương trình: a.sinx + b.cosx + c = (1) a, b, c số thực a2 + b2 ≠ Cách giải: - Nếu a = 0, b ≠ a ≠ 0, b = (1) trở phương trình - Nếu a ≠ b ≠ + Chia vế pt cho a + b + Đặt a a +b 2 = cos α , b a + b2 = sin α đặt ngược lại + Sử dụng công thức cộng đưa pt theo sin cos • Lưu ý điều kiện có nghiệm pt: c2 ≤ a2 + b2 π   sin( x + ) • Chú ý trường hợp đặc biệt: sinx + cosx =   cos( x − π )  π   sin( x − ) Và sinx – cosx =  − cos( x + π )  Các tập Bài 1: Giải phương trình sau 1> sin 3x − cos3x = 2> 3sin 5x − 2cos5x = 4> 4sin x + cos x = 5> sin 2x + cos 2x = Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin 3> sin x − cos x = 6> sin 3x − cos3x = -4- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x − cos x + = 7> 8> 3sin x + 2cos x = x 10> 4cos3 x − 3sin x + = ( 9> Lớp 11 - 3cos x + sin x = x 11> sin + cos − = 12> cos(x + 100) – 2sin(x + 100) = Bài 2*: Giải phương trình sau 1> 3sin x − = 4sin x + cos3 x 3> - tan x − 3cot x = sin x + cos x ) 5> cos5 x − sin x = ( cos3 x − sin x ) π  sin x + cos x + 2cos  x − ÷ = 3  7> 9> sin8x − cos6x = ( sin 6x + cos8x ) π  sin x + cos  x + ÷ = 4  10> 2> sin x cos x − sin x = cos x 4> 2sin x + cos7 x + sin x = 2sin x − cos x + cos x = sin x ( ) ( ) 6> 8> sin x ( − sin x ) = cos x ( cos x − 1) 11> ( cos x + sin x ) + sin x = 12> + cos x + sin x = cos3 x − sin x − sin x Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số sau cos x − sin x + cos3 x + sin x + y= y= sin x + 2cos x − cos3 x + 2 − 3sin x + 2cos x y= + sin x + cos x sin x cos x + cos x y= sin x cos x + ……………………………………………………………………………………………… Buổi 4: Phương trình đẳng cấp bậc sinx cosx Mục đích, yêu cầu: HS nắm dạng cách giải pt bậc sinx cosx Biết áp dụng số công thức lg trình biến đổi Yêu cầu học sinh biết giải thành thạo dạng pt Dạng phương trình: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x + d = a, b, c, d số thực a2 + b2 + c2 ≠ Cách giải: - B1: Xét xem cosx = có thỏa mãn pt hay không? (Bằng cách thay cosx = 0, sin2x = vào pt) π + kπ , k ∈ Z họ nghiệm pt, chuyển sang B2 +> Nếu không thỏa mãn ⇒ cos x ≠ 0, chuyển B2 B2: Xét cosx ≠ chia vế pt cho cos2x pt bậc theo tanx +> Nếu thỏa mãn x = - ( Chú ý: Có thể thay việc xét cosx việc xét sinx ) Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -5- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - Chú ý sử dụng công thức sin2a = 2sina.cosa = + tan x cos x = + cot x sin x Các tập Bài 1: Giải phương trình sau 2 1> 2sin x + sin x cos x − 3cos x = 2 3> sin x + sin x − 2cos x = 0,5 2 5> 2sin x + 3sinx.cosx - 3cos x = ( 7> ) 3sin x + 4sin 2x + − cos x = 2 2> 2sin x − 3cos x + 5sin x cos x − = 4> sin x − 2sin x = 2cos x 6> 4c os2 x x + sinx + sin2 = 2 3 8> 2cos x + 3cos x − 8sin x = π  sin  x + ÷ = sin x 4  9> 10> cos x − sin x = cos3 x + sin x sin x 2 11> 3sin x − 2sin x + cos x = 12> 2cos x + 5sin x cos x + 6sin x − = 13> cos x − sin x cos x − 2sin x − = 14> cos x + sin x cos x − = 15> sin x − 3sin x cos x + = 16> 4sin x + 3 sin 2x − 2cos x = 17> 3sin x + 5cos x − 2cos 2x − 4sin 2x = 18> 3sin x − sin x cos x + 2cos x = 19> 2 ( sinx + cos x ) cos x = + 2cos x * Phương trình đẳng cấp bậc sinx cosx Dạng: a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = Cách giải: Tương tự cách giải pt đẳng cấp bậc Bài 2: Giải phương trình sau sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = cos3x – sin3x = sinx – cosx 2cos3x = sin3x sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 2sinx + cos x = + cos x sin x 3 6> 2cos x + 3cos x − 8sin x = 8> cos3 x − 5sin x + 7sin x − 6sin x − 2cos3 x = 4> π  12 sin  x − ÷ = sin x 4  7> cos x = 5sin x cos x 2cos x 5> cos x − sin x = cos3 x + sin x sin x ……………………………………………………………………………………………… Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -6- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - Buổi 5: Phương trình đối xứng nửa đối xứng sinx cosx Mục đích, yêu cầu: - Học sinh nắm dạng cách giải pt đối xứng nửa đối xứng sinx cosx - Sử dụng thành thạo số công thức lg, biết biến đổi pt dạng pt đối xứng - Yêu cầu học sinh thành thạo giải pt dạng Dạng phương trình: * PT đối xứng: a( sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = (1) π Cách giải: Đặt t = sinx + cosx = sin( x + ) Điều kiện: t ∈ [− ; ] ⇒ sinx.cosx = t −1 Thay vào pt (1) pt bậc hai ẩn t * PT nửa đối xứng: a( sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = (2) π Cách giải: Đặt t = sinx - cosx = sin( x − ) Điều kiện: t ∈ [− ; ] ⇒ sinx.cosx = 1− t2 Thay vào pt (2) pt bậc hai ẩn t Các tập Bài 1: Giải phương trình sau 1> ( sin x + cos x ) + 6sin x cos x − = 3> sin x cos x − ( sin x + cos x ) + = 5> sin x − 2sin 2x = − cos x 7> ( sin x + cos x ) + sin x + = Bài 2: Giải phương trình sau 1> 2 ( sin x − cos x ) = 3sin 2x 3> sin x cos x = ( sin x − cos x − 1) Bài 3: Giải phương trình sau π  sin x + sin  x − ÷ = 4  1> 3 3> sin x + cos x = sin x + cos x − 3sin x − = ( ) 5> 2> sin x + cos x − 4sin x cos x − = 4> 2sin 2x + 3 ( sin x + cos x ) + = 6> ( + sin x ) ( + cos x ) = 2> ( sin x − cos x ) − = sin x cos x 4> sin x − cos x = sin x cos x 2> tan x − 2 sin x = sin x − cos x = + sin x cos x ( ) 4> 3 6> cos x − sin x = cos x ………………………………………………………………………………………… Buổi 6: Phương trình đối xứng với tanx cotx Một số phương trình lượng giác khác Mục đích, yêu cầu: - Cung cấp cho HS dạng cách giải pt đối xứng tanx cotx - HS nắm vững dạng, cách giải thành thạo giải pt dạng Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -7- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - - Ngoài pt cách giải tổng quát HS phải linh hoạt sử dụng công thức lượng giác để biến đổi pt pt có cách giải Dạng phương trình đối xứng tanx cotx: a(tan2x + cot2x) + b(tanx ± cotx) + c = Cách giải: Nếu đặt t = tanx – cotx, t ∈ R tan2x + cot2x = t2 + Nếu đặt t = tanx + cotx, t ≥ tan2x + cot2x = t2 – Phương trình cho trở thành pt bậc hai ẩn t Các tập ( tan x + cot x ) − ( tan x + cot x ) − = 1> 3 2> tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = 2 3> ( tan x − cot x ) + tan x + cot x = ( tan x + cot x ) = 48 ( tan x + cot x ) + 96 4> ( tan x + cot x ) − ( tan x + cot x ) = 21 5> Ngoài phương trình có dạng cách giải phương trình lượng giác đa dạng có công thức chung để giải phương trình lượng giác Do trình biến đổi phương trình ta ý số vấn đề sau : - Nếu phương trình chứa nhiều hàm số lượng giác khác biến đổi tương đương pt chứa hàm lượng giác - Nếu pt chứa hàm số lượng giác nhiều cung khác biến đổi tương đương pt chứa hàm số lượng giác cung - Sử dụng nhiều phương pháp khác : + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp hạ bậc + Phương pháp biến thành phương trình tích + Phương pháp tổng số hạng không âm + Phương pháp đánh giá tổng hợp… 5.Một số tập Bài 1: Sử dụng công thức biến tổng thành tích tích thành tổng sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x = sin 3x − sin x + sin 2x = + sin x + cos x + sin x + cos x = cos2x - cos8x+ cos4x = cos11x.cos3x = cos17x cos9x sin18x.cos13x = sin 9x.cos 4x π  π  sin  − x ÷sin  + x ÷ = 3  3  sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 + sinx.sin3x = cos2x 11 cosx cos4x - cos5x = Bài 2: Sử dụng công thức hạ bậc 1> sin2x + sin22x = sin23x + sin24x Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -8- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - 2> sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 2 2 3> sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 4> sin2x = cos22x + cos23x 5> 2cos22x + cos2x = sin22x.cos2x 6> cos x + cos 2x + cos 3x = 7> sin x + sin 2x + sin 3x = 2 2 8> sin x + sin 3x = cos 2x + cos24x 9> cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 10> sin2x + sin23x – 3.cos22x = Bài : Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 1> tan x − tan x + sin x = 2 2> cos x + − cos x + cos x − cos x = sin x + cos x + =3 sin x + cos x + 3> 4> cos x + 2 + cos x = Bài 4: Biến đổi đưa phương tích 1> sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 2> 3sinx + 2cosx = + 3tanx 3> sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 4> cos3x + cos2x + 2sinx – = sin 3x sin x = 5> 6> cos2x - 2cos3x + sinx = 7> cos3x – sin3x = cosx – sinx 8> cos4x + sin6x = cos2x 9> 2cos x + cos x + sin x = 10> cos 3x − cos x + 3cos x − = Bài 5: Một vài toán khác 1> 2> cos x − cos x + ( 3sin x − 4sin x + 1) = sin x − 2sin x − 4cos x + = 5> sin x + cos x = 2010 2010 6> sin x + cos x = 3> 2sin x + cos x + 2 sin x − = 2 7> 3cos x + = sin x 4> cos2 x − 3sin x + 4sin x − 2sin x + = 3cos x 3 8> sin x + cos x = − sin x 10> cos2 x.cos5 x = − 9> sin3 x.cos x = Trường THPT Quang Minh Tổ Toán – Tin -9- ... số lượng giác Mục đích, yêu cầu: - HS nắm dạng cách giải phương trình bậc hàm số lượng giác - Biết áp dụng số công thức lượng giác, đẳng thức lượng giác biến đổi pt để đưa dạng bậc hai hàm số lượng. .. phương trình lượng giác đa dạng có công thức chung để giải phương trình lượng giác Do trình biến đổi phương trình ta ý số vấn đề sau : - Nếu phương trình chứa nhiều hàm số lượng giác khác biến... Quang Minh Tổ Toán – Tin -7- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - Lớp 11 - - Ngoài pt cách giải tổng quát HS phải linh hoạt sử dụng công thức lượng giác để biến đổi pt pt có cách giải Dạng phương