SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án ⎛ ⎝ a) (3,0 điểm) Giải phương trình cos ⎜ x + (6,0đ) π⎞ ⎟ + cos x − sin x − = 3⎠ (1) π⎞ ⎛ ⎟ − + 2cos ⎜ x + ⎟ − = 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x + ⎟ + cos ⎜ x + ⎟ − = 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎡ ⎛ π⎞ ⎢cos ⎜ x + ⎟ = ⎝ ⎠ ⇔⎢ ⎢ ⎛ π⎞ ⎢cos ⎜ x + ⎟ = −2 (VN ) 6⎠ ⎣ ⎝ (1) ⇔ 2cos ⎛⎜ x + π ⇔ x+ ⇔x=− π⎞ Điểm 1.0 0,5 0,5 = k 2π , k ∈ ¢ π 0,5 + k 2π , k ∈ ¢ 0,5 ( b) (3,0 điểm) Giải phương trình x + ( 2) ⇔ ( x2 + 2) ( ⇔ ( x + 2) ( ⇔ ( x + 2) 2 ) x + x + + x3 − 3x − x + = x + x + + ( x + ) ( x − 3) − x + = 0,5 x + x +1 + x − = 7x − 0,5 ) x + x + + x − 3) = ( 2 x2 + x + + x − )( x2 + x + − x + ⎡ x2 + x + = − x ( 2a ) ⇔⎢ ⎢ x2 + = x2 + x + + − x ( 2b ) ⎣ ⎧x ≤ ⇔x= ( 2a ) ⇔ ⎨ 2 ⎩x + x + = − 6x + x ( 2b ) ⇔ ( (2) )( x2 + x + + ) x2 + x + − = ⇔ x = ) 0,5 0,5 0,5 −1 ± 13 0,5 a) (3,0 điểm) Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C15 (5,0đ) 0,5 Gọi A biến cố: Số sách lại thầy X có đủ ba môn Khi A biến cố: Số sách lại thầy X không đủ ba môn 0,5 Xét khả xẩy ra: KN 1: sách lại có Văn Sử Số cách chọn là: C97 1,0 KN 2: sách lại có Văn Địa Số cách chọn là: C107 KN 3: sách lại có Địa Sử Số cách chọn là: C117 Vậy: P ( A) = − P A = − C97 + C107 + C117 5949 = C158 6435 b) (2,0 điểm) : u1 = 1; un = ( n + 1) un+1 2−n + , ∀n ∈ • * Tìm công thức số n ( n2 + n + 1) + ( ) 1,0 hạng tổng quát un theo n Với n ∈ • *, ta có ( n + 1) un+1 2−n 2n − n un = + ⇔ nun = ( n + 1) un+1 + 2 n n + n + + ( ) ( n2 + n + 1) + ⇔ nun = ( n + 1) un +1 + ⇔ ( n + 1) un+1 − (n + − ( n + 1) + 1) ⎡( n + 1) + 1⎤ ⎣ ⎦ 1⎛ ⎞ = nu − n ⎜ ⎟ n2 + ⎠ ( n + 1) + ⎝ A 0,5 1 ⎛ ⇒ vn+1 = ⎜ v1 = n +1 ⎝ 1⎛ 1 ⎞ Vậy un = ⎜ + n⎟ n ⎝ n +1 ⎠ a) (3,0 điểm) Chứng minh PQ // ( ACC1 ) Đặt = nun − ( n + 1) 0,5 1⎞ ⎟ ⇒ = n 2⎠ 0,5 0,5 Gọi E trung điểm BB1 B EB1 PB1 = = nên A1 , P, E theo AA1 PA PE thứ tự thẳng hàng = PA1 Vì D C Q E (5,0đ) Tương tự, C , Q, E theo thứ tự thẳng P hàng B1 A1 D1 1,0 QE = QC 0,5 C1 Xét tam giác EAC có P, Q thuộc cạnh EA1 EC đồng thời 1,0 PE QE = ⇒ PQ // AC PA1 QC Mặt khác AC ⊂ ( ACC1 ) ⇒ PQ // ( ACC1 ) 0,5 b) (2,0 điểm) Chứng minh mặt phẳng ( A1 NI ) chứa đường thẳng cố định B A K M I D N J C Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = DM ∩ AB Vì AB//CD nên: MB BN NK NK CD AB IB IK ; = = ⇒ = = = MJ CJ CD NB CJ CJ IC ID NK IK Mặt khác AB = CD ⇒ = ⇒ IN // BD NB ID Qua A1 kẻ đường thẳng d song song với IN Suy d song song với BD nằm mặt phẳng ( A1 NI ) Vậy mp ( A1 NI ) chứa đường thẳng d cố định 1,0 1,0 Gọi N trung điểm cạnh AB Ta có: A ∑ = NHA ∑ NH = NA ⇒ NAH ∑ = MAC ∑ Vì MN // AC ⇒ NMA Mặt khác theo giả thiết N ∑ = NAH ∑ ⇒ NHA ∑ = NMA ∑ Suy MAC 0,5 A, M, H, N thuộc đường tròn ∑ = 900 ⇒∑ ANM = ∑ AHM = 900 ⇒ BAC (2,0đ) B H Vậy tam giác ABC vuông A C M 10 BC = 2 Ta có: A = AM ∩ AH ⇒ A ( −1;5) Từ ta có AM = 0,5 Vì M ∈ AM : 3x + y − = ⇒ M ( m;2 − 3m ) 10 AM = ⇔ ( m + 1) + (3m + 3) 2 ⎡ m = ⎢ 10 = ⇔ m +1 = ⇔ ⎢ 2 ⎢m = − ⎢⎣ ⎛1 1⎞ ⇒ M ⎜ ; ⎟ ⎝2 2⎠ Khi BC qua M BC ⊥ AH ⇒ BC : x + y − = +) Với m = 0,5 0,5 ⎛ 19 ⎞ ⇒ M ⎜ − ; ⎟ ⎝ 2⎠ Khi BC qua M BC ⊥ AH ⇒ BC : x + y − 26 = +) Với m = − Cho ba số thực a, b, c thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức c − 3a a + b + c − ab − bc − ca P=3 −2 3 (2,0đ) ⎧ 2 ⎪2a + b ≥ 2ab ⎪ ⎪ Ta có: ⎨3a + c ≥ 2ac ⇒ 5a + 2b + c ≥ ( ab + bc + ca ) ⎪ ⎪3 2 ⎪ b + c ≥ 2bc ⎩ ⇒ c − 3a ≤ ( a + b + c − ab − bc − ca ) 0,5 c − 3a a + b + c − ab − bc − ca ⇒ ≤ a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca −2 3 0,5 a + b + c − ab − bc − ca , ( t ≥ ) ⇒ P ≤ 3t − 2t 3 3 Lại có: t + t + ≥ 3t ⇒ P ≤ Dấu xẩy a = 1, b = 2, c = a = −1, b = −2, c = −3 Vậy max P = a = 1, b = 2, c = a = −1, b = −2, c = −3 1,0 P ≤ 33 Đặt t = - Hết Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa ... ⇒ NAH ∑ = MAC ∑ Vì MN // AC ⇒ NMA Mặt khác theo giả thi t N ∑ = NAH ∑ ⇒ NHA ∑ = NMA ∑ Suy MAC 0,5 A, M, H, N thuộc đường tròn ∑ = 900 ⇒∑ ANM = ∑ AHM = 900 ⇒ BAC (2,0đ) B H Vậy tam giác ABC