BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP . CHỦ ĐỀ 1: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ . Bài 1:Tiệm cận của đồ thò hàm số : y= 3 1 2 x x − − . Bài giải . • Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang . • Tiệm cận đứng là : x=2 vì 2 3 1 lim 2 x x x − → − = +∞ − và 2 3 1 lim 2 x x x + → − = −∞ − . • Tiệm cạn ngang là : y=3 và 3 1 lim 3 2 x x x →±∞ − = − . Bài 2: Tiệm cận của đồ thò hàm số : y= 4 1 2 2 x x + − . Bài giải . • Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang . • Tiệm cận đứng là : x=1 vì 1 4 1 lim 2 2 x x x → + = ∞ − • Tiệm cạn ngang là : y=2 và 4 1 lim 2 2 2 x x x →∞ + = − . Bài tập luyện tập : Tòêm cận của đồ thò hàm số : a/ y= 4 2 2x − , b/ y= 4 2 x x − . Bài 3: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y= 2 2 5 4 2 x x x + + + . • Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên . • Ta viết lại hàm số dưới dạng : y= 2 2 1 2 x x + + + . • Tiệm cận đứng là x=-2 vì 2 2 2 5 4 lim 2 x x x x →− + + = ∞ + . • Tiệm cận xiên là y=2x+1 vì 2 lim( (2 1)) lim 0 2 x x y x x →∞ →∞ − + = = + . Bài 4: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y= 2 6 3 3 x x x − + − . Bài giải . • Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên . • Ta viết lại hàm số dưới dạng : y= 6 3 3 x x − − − . • Tiệm cận đứng là x=3 vì 2 3 6 3 lim 3 x x x x → − + = ∞ − . • Tiệm cận xiên là y=x-3 vì 6 lim( ( 3)) lim( ) 0 3 x x y x x →∞ →∞ − − = − = − . Bài 5: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y= 3 2 2 3 3 1 2 x x x x x + + + + − . Bài giải . Cách 1: • Tập xác đònh D= { } \ 1; 2−R • Chia đa thức ta được y= 2 3 4 2 2 x x x x + + + + − . • Do 1 lim x y → = ∞ và 2 lim x y →− = ∞ nên đồ thò hàm số có hai tiệm cận đứng là x=1 và x=-2 . • Vì 2 3 4 lim[ ( 2) lim 0 2 x x x y x x x →∞ →∞ + − + = = + − nên đồ thò hàm số có tiệm cận xiên là y=x+2 . CHỦ ĐỀ 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . Cách 1 : • Bước 1: Tập xác đònh . • Bước 2: Tính đạo hàm y’ . • Bước 3: Lập bảng biến thiên rồi dựa vào bảng biến thiên kết kết luận . Cách 2: • Bước 1: Tập xác đònh . • Bước 2: Tính đạo hàm y’ . Giải pt y’=0 tìm nghiệm 0 x của y’. • Bước 3: Tính đạo hàm y’’ . • Bước 4: Nếu y’’( 0 x )<0 thì hàm số đạt cực đại tại 0 x , giá trò cực đại là y( 0 x )=… Nếu y’’( 0 x )>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x , giá trò cực tiểu là y( 0 x )=… Bài 1: Tìm cực trò của hàm số y= 4 2 2 3x x− + . Bài giải . Cách 1: 1. Tập xác đònh D=R . 2. y’ = 3 4 4x x− . y’=0 3 0 3 4 4 0 1 2 1 2 x y x x x y x y = ⇒ =   ⇔ − = ⇔ = ⇒ =   = − ⇒ =  . Bảng biến thiên : x - ∞ -1 0 1 + ∞ y’ 0 0 0 y Dựa vào bảng biến thiên , ta có : Hàm số đạt cực đại tại x=0 , giá trò cực đại y(0)=3 . Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và x=-1 , giá trò cực tiểu y( ± 1)=2 . Cách hai : • Tập xác đònh D=R . • y’ = 3 4 4x x− . y’=0 3 0 3 4 4 0 1 2 1 2 x y x x x y x y = ⇒ =   ⇔ − = ⇔ = ⇒ =   = − ⇒ =  • y’’= 2 12 4x − . • y’’(0)=-4<0 ,suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0 , giá trò cực đại y(0)=3 . • y’’(1)=8>0 , suy ra Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 , giá trò cực tiểu y(1)=2 • y’’(-1)=8>0 , suy ra Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 , giá trò cực tiểu y( − 1)=2 . Bài 2: Tìm cực trò của hàm số y= 2 x x e . Bài giải • Tập xác đònh D=R . • y’= 2 2 2 2 ( ) '. .( )' 2 . . (2 ) x x x x x x e x e x e x e e x x+ = + = + (Chú ý : e x > 0 vói mọi x ) . • y’=0 2 2 2 2 2 0 0 (2 ) 0 2 0 4 2 ( 2) . x x y e x x x x x x e e − = ⇒ =   ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = − ⇒ = − =  • Bảng biến thiên : x - ∞ -2 0 + ∞ y’ 0 0 y CĐ CT Dựa vào bảng biến thiên , ta có : • Hàm số đạt cực đại tại x=-2 , giá trò cực đại y(-2)= 2 4 e . • Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 , giá trò cực tiểu y(0)=0 . Cách 2: • Tập xác đònh D=R . • y’= 2 2 2 2 ( ) '. .( )' 2 . . (2 ) x x x x x x e x e x e x e e x x+ = + = + (Chú ý : e x > 0 vói mọi x ) . • y’=0 2 2 2 2 2 0 0 (2 ) 0 2 0 4 2 ( 2) . x x y e x x x x x x e e − = ⇒ =   ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = − ⇒ = − =  • y’’= 2 2 2 2 ( ) '(2 ) (2 )' (2 ) (2 2 ) ( 4 2) x x x x x e x x e x x e x x e x e x x+ + + = + + + = + + • y’’= 2 ( 4 2) x e x x+ + . • y’’(0)=e 0 .2=2 > 0 . Hàm số đạt cực đại tại x=-2 , giá trò cực đại y(-2)= 2 4 e . • y’’(-2)= 2 2 2 1 (4 8 2) 2. 2.e e e − − − + = − = − <0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 , giá trò cực tiểu y(0)=0 . B ài 3: Tìm cực trò của hàm số y=xlnx . Bài giải . • Tập xác đònh D= (0; )+∞ . • y’=(x’).(lnx)’+x.(lnx)’=lnx+1 • y’=0 1 1 ln 1 0 ln 1 log 1 x e x x x e e − ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = = • Với x= 1 e ⇒ y=- 1 e . • y’’= 1 x 1 1 ''( ) 1 y e e e ⇒ = = >0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 e , giá trò cực tiểu y( 1 e )=- 1 e . CHỦ ĐỀ 3: TÌM CÁC KHOẢNG LỒI ,LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ . Để tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn ta tính đạo hàm cấp hai , sau đó lập bảng xét dấu rồi dựa vào bảng xét dấu kết luận . Bài 1: Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số : y= 2 1 x x + . Bài giải . • Tập xác đònh : { } \ 1D = −R . • Đạo hàm y’= 2 2 ( 1)x + . • Ta viết lại y’= 2 2.( 1)x − + 2 3 3 4 4 4 4.( 1) 4 4 '' (2.( 1) ) ' 4.( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x y x x x x x − − − − + − − ⇒ = + = − + = = = + + + (Chú ý : Ta nhân tử mẫu cho x+1 , để ta xét dấu nhò thức -4x-4 ) • Do (x+1) 4 >0 với mọi x thuộc D nên dấu của y’’ là dấu của nhò thức -4x-4 . • Bảng xét dấu y’’ : x - ∞ -1 + ∞ y’’ + - Đồ thò Lõm Lồi • Kết luận : Đồ thò hàm số lõm trên khoảng (- ∞ ;-1) và lồi trên khoảng (-1;+ ∞ ) . • Do hàm số khồng xác đònh tại x=-1 nên đồ thò hàm số không có điểm uốn . Bài 2 : Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số : y= 2 3 6 1 x x x − + − . Bài giải : • Tập xác đònh { } \ 1D = R . • Ta viết lại hàm số y= 4 2 1 x x − + − . • y’= 2 3 2 2 3 4 4 4 8 8( 1) 1 '' (1 ) ' ( 4.( 1) ) ' 8( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x y x x x x x x − − − − ⇒ = − = − − = − = = − − − − • Bảng xét dấu y’’ : x - ∞ 1 + ∞ y’’ - + Đồ thò Lồi Lõm • Kết luận : Đồ thò hàm số Lồi trên khoảng (- ∞ ;1) và lõm trên khoảng (1;+ ∞ )