Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 10 Cây Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với khái niệm định nghĩa Các kiến thức cần thiết cho bao gồm phương pháp duyệt giải thuật tìm khung có nhỏ Sinh viên cần ôn lại lý thuyết giải thuật liên quan trình bày chương 10 trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Những đồ thị bên có gọi cây? a) A B C D E F A B C D E F b) c) A B C D E F G Lời giải Đồ thị trường hợp (a) gọi trường hợp (b) (c) ✷ Câu Có đỉnh tứ phân đầy đủ với 100 đỉnh lá? Lời giải Theo tính chất trình bày phần lý thuyết chương 6, biết số đỉnh n m phân đầy đủ n = (m − 1)/(m − 1) với số đỉnh Trong trường hợp tứ phân với 33 đỉnh lá, n = (4.100 − 1)/(4 − 1) = 133 ✷ Câu a) Hãy dùng giải thuật Prim để tìm khung nhỏ đồ thị G1 Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 1/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G1 ) 11 A C E 10 S 10 B D F H 14 G b) Hãy dùng giải thuật Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị G1 Lời giải a) Theo giải thuật Prim, cạnh (E, F ) Cây khung có nhỏ hình thành sau: {E, F } ∪{C} ∪{H} ∪{G} ∪{D} ∪{B} ∪{S} ∪{A} Đồ thị G1a biểu diễn kết thu với tổng trọng số 41 (G1a ) A C E 10 S 2 10 B D F H G b) Theo giải thuật Kruskal, ta xếp cạnh theo trọng số không giảm, nghĩa theo thứ tự sau: (C, F ), (E, F ), (D, G), (E, H), (F, G), (C, E), (C, B), (G, H), (D, F ), (D, B), (S, A), (S, B), (A, C), (S, G) Sau ta thêm cạnh theo thứ tự vào khung cạnh không tạo chu trình dừng khung chứa đủ tất đỉnh Do vậy, ta thu được: (C, F ), (E, F ), (D, G), (E, H), (F, G), (C, B), (S, A), (S, B) Trong trường hợp này, thu kết khung giống với kết giải thuật Prim (được biểu diễn đồ thị G1a với tổng trọng số 41) ✷ Bài tập cần giải Câu Những đồ thị bên có gọi cây? Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 2/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính A B C A B C D E F (G4b ) (G4a ) D E F F A B C D G D (G4c ) G H E (G4d ) E F G H A B C Câu Trong đồ thị bên đây, gọi cây? a) b) c) d) e) f) g) h) Câu a) Có đỉnh ngũ phân đầy đủ với 100 đỉnh trung gian? b) Có cạnh nhị phân đầy đủ với 1000 đỉnh trung gian? c) Có tam phân đầy đủ với 100 đỉnh? Câu Một m phân đầy đủ T có 81 có chiều cao Hãy cho biết giá trị cận cận m (nghĩa xác định giá trị lớn nhỏ có thể) Nếu T cân m phải bao nhiêu? Hãy giải thích rõ Câu Hãy cho biết tiền thứ tự (preorder), trung thứ tự (inorder), hậu thứ tự (postorder) sau Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 3/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính A (G8a ) (G8b ) A B C E B D D E F F (G8d ) (G8c ) B B J E F E C G H N G A A D C O C D F G K L P Q H I M Câu Biểu diễn biểu thức ((x + 2) ↑ 3) ∗ (y − (3 + x)) − thông qua định nghĩa a) nhị phân, b) tiền tố (prefix), c) hậu tố (postfix), d) trung tố (infix) Câu 10 Xác định giá trị thu biểu thức biểu diễn theo dạng tiền tố (prefix) a) - * / b) ↑ - * 3 * c) + - ↑ ↑ / - d) * + + ↑ + 3 Câu 11 Xây dựng nhị phân tìm kiếm cho từ banana, peach, apple, pear, coconut, mango papaya theo thứ tự ABC Cần lần so sánh để tìm thấy thêm từ sau vào tìm kiếm Câu a) pear Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 4/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) banana c) kumquat d) orange Câu 12 a) Hãy dùng giải thuật tìm kiếm ưu tiên chiều sâu để tìm khung đồ thị G12a , G12b G12c Chọn đỉnh a gốc khung b) Hãy dùng giải thuật tìm kiếm ưu tiên chiều rộng để tìm khung đồ thị G12a , G12b G12c Chọn đỉnh a gốc khung a c e h i f g j d (G12a ) b b c d f e a h j i g k (G12b ) m l g n h a q i j e p r b c f o l k (G12c ) d s n t m Câu 13 a) Hãy dùng giải thuật Prim để tìm khung nhỏ đồ thị G13 b) Hãy dùng giải thuật Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị G13 (G13 ) B E A C D G H F Câu 14 Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 5/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Hãy dùng giải thuật Prim để tìm khung nhỏ đồ thị G14 b) Hãy dùng giải thuật Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị G14 (G14 ) A B 11 10 12 C 13 F D E G H Câu 15 a) Hãy dùng giải thuật Prim để tìm khung nhỏ đồ thị G15 b) Hãy dùng giải thuật Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị G15 (G15 ) 11 A C E 10 S 10 B D F H 14 G Câu 16 Theo bạn, giải thuật Prim Kruskal áp dụng để xác định khung nhỏ đồ thị có hướng có trọng số Hãy giải thích chứng minh chho luận điểm Bài tập làm thêm Câu 17 a) Hãy dùng giải thuật Prim để tìm khung nhỏ đồ thị G17 b) Hãy dùng giải thuật Kruskal để tìm khung nhỏ đồ thị G17 Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 6/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G17 ) B E G 15 A C 10 D H J 12 F I Câu 18 Một nguồn nước s cung cấp cho thành phố A, B, C, D, E, E, G H Sự liên thông thành phố nguồn nước thể qua đồ thị G9 bên trọng số cạnh (u, v) thể khả truyền tải nước nguồn (m3 /h) từ thành phố u đến thành phố v Hãy cho biết khả tiêu thụ nước tối đa (trong giờ) thành phố H (G18 ) 11 A C E 10 s 10 8 B D F H G Câu 19 Hãy tìm khung nhỏ đồ thị có trọng số biểu diễn chi phí di chuyển thành Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 7/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 1900 Hải Phòng Cà Mau 1200 400 200 Hồ Chí Minh 1000 Hà Nội 600 500 800 100 Nha Trang Đà Nẵng 200 500 Vũng Tàu phố Câu 20 Đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n xem với m n số nguyên dương? Câu 21 Cho G đơn đồ thị với n đỉnh Chứng minh G G liên thông có n − cạnh Câu 22 Chứng minh đồ thị liên thông G, cạnh có trọng số hoàn toàn khác đôi một, tồn khung có trọng số nhỏ Câu 23 Làm để đếm số khung có đồ thị G cho trước Hãy viết giải thuật đếm Câu 24 Làm để đếm số khung khác có trọng số nhỏ có đồ thị G cho trước Hãy viết giải thuật đếm Câu 25 Làm để đếm số khung khác có trọng số nhỏ có đồ thị G cho trước Hãy viết giải thuật đếm Câu 26 Hãy viết giải thuật để xác định khung có trọng số nhỏ mà có chứa đường ngắn từ đỉnh u đến đỉnh v cho trước Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 8/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 27 Cho đồ thị G, khung có trọng số nhỏ T G Hãy viết giải thuật nhanh để xác định (hoặc cập nhật) khung có trọng số nhỏ ta thêm cạnh vào G Câu 28 Hãy thiết kế giải thuật tìm khung có trọng số nhỏ có chứa tập cạnh cho trước Tổng kết Thông qua tập phần này, làm quen với định nghĩa tính chất cây, bao gồm phương pháp duyệt giải thuật tìm khung có trọng số nhỏ (tham khảo chi tiết lý thuyết chương 10) Giáo trình Cấu trúc Rời Rạc cho KHMT Trang 9/9