SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH _ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 20/3/2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài (3 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa điều kiện a − b = 7, b − c = a + b2 + c2 − ab − bc − ca Tính giá trị biểu thức P = a − c2 − 2ab + 2bc Bài (3 điểm) Giải phương trình: (2x −1) x + = x + Bài (3 điểm) { x(y −1) + y(x +1) = Giải hệ phương trình: (x −1)(y +1) = Bài (4 điểm) 2y x Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện 1+ x + 1+ y =1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy2 Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm.Gọi M, N trung điểm BC AH Đường phân giác góc A cắt MN K Chứng minh AK vuông góc với HK Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi AH, AD đường cao, đường phân giác tam giác ABC (H, D ∈ BC) Tia AD cắt (O) E, tia EH cắt (O) F tia FD cắt (O) K Chứng minh AK đường kính (O) Bài (2 điểm) Trong tuần, ngày Nam chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy hai ngày liên tiếp Vào thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam bơi chơi cầu lông, không Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi.Hỏi ngày tuần Nam bơi? HẾT GỢI Ý Bài • Từ a − b = 7, b − c = ⇒ a − c = 10, ta có: 2(a + b2 + c2 − ab − bc − ca) (a − b) + (b − c)2 + (c − a)2 79 = = = 40 2(a − c2 − 2ab + 2bc) 2[(a − b)2 − (b − c)2 ] Bài • Điều kiên: x ≥ –3 • (2x −1) x + = x + (1) ⇔ 2x x + − x + = x + ⇔ x + − 2x x + + x + = • P= ⇔ (x − 2x x + + x + 3) − (x − x + 3) = ⇔ (x − x + 3) − (x − x + 3) = ⇔ (x − x + 3)(x − x + −1) = 1+ 13 + 17    ⇔ x − x + = ⇔  x + = x ⇔ • Tập nghiệm (1) S =  ;   x − x + −1 =  x + = x −1  { { { { x(y −1) + y(x +1) = ⇔ xy − x + xy + y = ⇔ 3xy = ⇔ 3x(−3y) = −24 nên 3x Bài (x −1)(y +1) = xy + x − y = 3xy + 3x − 3y = 3x + (−3y) = −2 { {   X =  – 3y nghiệm phương trình X + 2X – 24 = ⇔ … ⇔  X = −6 ⇔    x = 3x =  −3y = −6 y = ⇔  x = −2  3x = −6  −4 −3y = y =  2y x Bài • Với x, y > 0, ta có: 1+ x + 1+ y =1 ⇔ x + xy + 2y + 2xy =1+ xy + x + y ⇔ y + 2xy = • Áp dụng bđt Cauchy, ta có = y + 2xy ≥ y.2xy = 2xy2 ⇒1 ≥ 8xy2 ⇒ P = xy2 ≤ y = 2xy • P = ⇔  y + 2xy = ⇔ ⇔ x = y =  x; y > • (x + y)(x + 2y) = x + ⇔ x + 3xy + 2y2 − x − = ⇔ 4x +12xy + 8y2 − 4x − 20 = ⇔ (2x)2 + 2.2x(3y −1) + (3y −1)2 − y2 + 6y − 21 = ⇔ [2x + (3y −1)]2 − (y − 3) =12 ⇔ (2x + 2y + 2)(2x + 4y − 4) =12 ⇔ (x + y +1)(x + 2y − 2) = • Với x, y nguyên ta có bảng sau: x + 2y – –1 –3 –3 –1 x +y+1 –2 2 –2 y–3 5 y –5 –9 –3 x A Bài 1.Chứng minh AK vuông góc với HK • Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm M • Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH · có tâm N Cho đường tròn (N) cắt NM K’ ⇒ AK'H = 900 ⇒ AK’ ⊥ HK • NM đường trung trực dây chung FE mà K'∈ NM B · · · · ⇒ K’F = K’E ⇒ K'FE mà K'FE = K'EF = K'AE · · · · (do tứ giác AFK’E nội tiếp)⇒ K'AE K'EF = K'AF = K'AF ⇒ AK’ phân giác góc A mà AK phân giác góc E N F H D K'≡ K M C A(gt) K'; K ∈ NM ⇒ K' ≡ K ⇒ AK ⊥ HK(đpcm) A Chứng minh AK đường kính (O) · · · · · · · · • BHF = HBE + HEB = CAE + FAB = BAD + FAB = FAD · · · ⇒ tứ giác AFHD nội tiếp ⇒ AFD = AHD = 900 ⇒ AFK = 900 F O · mà AFK góc nội tiếp đường tròn (O) ⇒ AK đường kính (O) (đpcm) B H D C • Xét tiếp trường hợp: H ≡ B , H ≡ C , H cạnh BC Bài Vào thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá E K • Nếu ngày sau chơi bóng đá ngày chơi bóng đá thứ Hai • Nếu ngày sau chơi bóng đá ngày chơi bóng đá thứ Ba • Đề cho hai ngày sau chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá thứ Tư Suy ngày chạy là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy Khi ngày chơi cầu lông thứ Sáu Chủ Nhật(không xảy sau ngày chạy) 2) thứ Ba, thứ Năm, Chủ Nhật Khi ngày chơi cầu lông thứ Sáu(không xảy sau ngày chạy thứ Năm) thứ Bảy (không xảy sau ngày bơi thứ Sáu) Hoặc 3) thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật Khi ngày chơi cầu lông thứ Năm ngày bơi thứ Bảy(thỏa điều kiện đề bài) Vậy thứ Bảy tuần Nam bơi Có sai sót, kính mong Thầy Cô bạn thông cảm  ... –3 –3 –1 x +y+1 –2 2 –2 y–3 5 y –5 9 –3 x A Bài 1.Chứng minh AK vuông góc với HK • Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm M • Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn... ⇒ AK ⊥ HK(đpcm) A Chứng minh AK đường kính (O) · · · · · · · · • BHF = HBE + HEB = CAE + FAB = BAD + FAB = FAD · · · ⇒ tứ giác AFHD nội tiếp ⇒ AFD = AHD = 90 0 ⇒ AFK = 90 0 F O · mà AFK góc nội... • Đề cho hai ngày sau chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá thứ Tư Suy ngày chạy là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy Khi ngày chơi cầu lông thứ Sáu Chủ Nhật(không xảy sau ngày chạy) 2) thứ Ba, thứ Năm,