Đang tải... (xem toàn văn)
Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)Cơ sở Grobner trong hình học nhiệt đới (LV thạc sĩ)
I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HC NHIT I LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn 2016 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HC NHIT I Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS HONG Lấ TRNG Thỏi Nguyờn 2016 Li cam oan Tụi xin cam oan rng ni dung trỡnh by lun ny l trung thc, khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngi vit lun o Th Hoi Thng i Li cm n Lun c hon thnh khúa 22 o to Thc s ca trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn, di s hng dn ca TS Hong Lờ Trng, Vin Toỏn hc Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh ti thy hng dn, ngi ó to cho tụi mt phng phỏp nghiờn cu khoa hc, tinh thn lm vic nghiờm tỳc v ó dnh nhiu thi gian, cụng sc hng dn tụi hon thnh lun Tụi cng xin by t lũng cm n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo ca trng i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc, nhng ngi ó tn tỡnh ging dy, khớch l, ng viờn tụi vt qua nhng khú khn hc Tụi xin chõn thnh cm n Ban lónh o Khoa Sau i hc, Trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn ó to mi iu kin thun li, giỳp tụi sut thi gian tụi hc Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh, ngi thõn v bn bố ó ng viờn, ng h tụi tụi cú th hon thnh tt khúa hc v lun ca mỡnh Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngi vit lun o Th Hoi Thng ii Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Mc lc iii M u 1 Kin thc chun b 1.1 Vnh phõn bc 1.2 Tp li C s Gră obner Hỡnh hc Nhit i 13 2.1 nh giỏ 13 2.2 C s Grăobner 16 2.3 Phc Grăobner 30 Kt lun 45 Ti liu tham kho 46 iii M u Mt lớ cho s thnh cụng gn õy ca hỡnh hc nhit i l nú khỏ d hỡnh dung iu ny phn ln l bi vỡ chỳng ri rc, cỏc i tng cú cu trỳc t hp ca mt phc a din Mc ớch ca lun ny l gii thớch ngun gc cu trỳc phc a din hỡnh hc nhit i bng quan im Grăobner i s giao hoỏn Trong lun ny, chỳng ta lm vic trờn trng K c nh vi nh giỏ khụng õm val : K R, ú K = K {0} Kớ hiu R = {a K : val(a) 0} l vnh nh giỏ ca K Vnh R l vnh a phng vi iờan cc i mval = {a K | val(a) > 0} v trng thng d k = R/m Vi a R ta kớ hiu a l nh ca a k t val R l nh ca nh giỏ val Nu val = {0} thỡ gi s val ; iu ny cú th c m bo bng cỏch thay th val bi mt bi dng Gi s rng K l y v nhiu trng hp K úng i s Khi ú chỳng ta cú nh ngha sau cu xu K[x1 , , xn ], Trop(V (f )) nh ngha 0.0.1 Cho f = uZn l qu tớch phi tuyn ca hm tuyn tớnh tng phn Trop(f ) cho bi Trop(f )(w) = minn (val(cu ) + w ã u), tc l hm Trop(f )(w) t cc tiu ti uZ hai im u khỏc Cho a xuyn X T n = (K )n a nhit i ca X l Trop(X) = Trop(V (f )), f I(X) ú K[x1 , , xn ] I(X) = {f | f (x) = vi mi x X} nh lý c bn ca hỡnh hc nhit i nh sau nh lý 0.0.2 Cho X T n = (K )n , ú K = K , Trop(X) bng bao úng tụpụ Euclid trờn Rn ca val(X) = {(val(x1 ), , val(xn )) Rn | x = (x1 , , xn ) X} Gi s tn ti mt ch ca nh giỏ ú l ng cu nhúm val K t w val n tw K vi val(tw ) = w Nu K l trng ca chui Puiseux C{{t}} vi cỏc h s C thỡ ch w Q n tw C{{t}} Nu K = Qp thỡ ch w Z n pw Nu K l úng i s thỡ s ch luụn tn ti; xem [9, B 2.1.13] Vi trng K cựng vi nh giỏ ch val, qu tớch phi tuyn ca hm Trop(f ), vi f K[x1 , , xn ] l qu tớch ca w t c nh nht ớt nht hai ln, v ú bao úng ca cỏc w m inw (f ) khụng l mt n thc Trong trng hp a X , nu nh giỏ trờn K khụng tm thng thỡ Trop(X) c mụ t l bao úng ca w nval m inw (I(X)) = Hn na, a nhit i cũn cú cu trỳc l phc a din mụ t cu trỳc ca qu tớch phi tuyn Trop(X), chỳng ta cn s dng lớ thuyt c s Grăobner i vi cỏc iờan thun nht vnh a thc Mc ớch ca lun ny l mụ t ng dng ca lớ thuyt c s Grăobner nh ngha a nhit i Lun c chia lm hai chng: Chng trỡnh by mt s kin thc chun b v vnh phõn bc, cỏc nh lý v a din li, phc a din Chng trỡnh by c th v khỏi nim nh giỏ, nhit i húa t ú xõy dng c s Grăobner v phc Grăobner Chng Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by li mt s kin thc c bn v vnh phõn bc; nh ngha v cỏc nh lý v a din li l cn thit cho vic trỡnh by cỏc ni dung chng 1.1 Vnh phõn bc nh ngha 1.1.1 i) Mt vnh phõn bc R l mt vnh giao hoỏn, cú n v tha cỏc tớnh cht 1) R = Rn l tng trc tip cỏc nhúm Abel Rn i vi phộp cng; n=0 2) Rn Rm Rm+n , vi mi m, n ii) Cho R = Rn l vnh phõn bc Mt Rmụun M c gi l mụun n0 phõn bc nu tha cỏc iu kin sau 1) M = Mn l tng trc tip ca cỏc nhúm Abel Mn i vi phộp n0 cng; 2) Rn Mm Mn+m , vi mi m, n Vớ d 1.1.2 i) Cho R l mt vnh Khi ú R l vnh phõn bc vi phõn bc tm thng Rn , R0 = R, Ri = vi mi n R= n=0 Tng t, cho M l Rmụun Khi ú M l Rmụun phõn bc vi cu trỳc phõn bc tm thng Mn , M0 = M, M1 = vi mi n M= n=0 ii) Cho A = R[x1 , , xk ] l vnh a thc k bin, cú h s vnh R Khi ú A l vnh phõn bc vi phõn bc chun tc nh sau A = An , n=0 ú A0 = R, vi mi n 1, An = {f (x1 , , xk ) A | f (x) l a thc thun nht bc n} a x Lu ý a thc thun nht bc d l a thc cú ng f (x) = =d nh ngha 1.1.3 Nu M l mụun phõn bc trờn vnh phõn bc R thỡ gi phn t x ca Ri (hoc Mi ) l phn t thun nht bc i Kớ hiu deg(x) = i nh ngha 1.1.4 Iờan I K[x0 , , xn ] l thun nht nu nú cú sinh l cỏc a thc thun nht Vớ d 1.1.5 Cho trng K v vnh a thc R = K[x, y, z] vi phõn bc chun tc Khi ú i) I1 = xn + y n z n l iờan thun nht ca R ii) I2 = x + y khụng l iờan thun nht ca R Hỡnh 2.2: Phc Grăobner B 2.3.12 Cho I l iờan thun nht S = K[x0 , , xn ] Cú hu hn cỏc iờan n thc u khỏc inw (I) nh w chy trờn n+1 val Chng minh Gi s I cú vụ hn cỏc iờan n thc u Cho l tt c cỏc iờan n thc u ca I T vụ hn, I khụng l iờan khụng vỡ vy ta cú th chn phn t f1 I Vỡ f1 ch cú hu hn cỏc s hng v mi iờan n thc u M cha mt s hng ca f1 , phi cú mt s hng m1 ca f1 m cha vụ hn cỏc iờan Cho = {M | m1 M } Cho J1 = (m1 ) Vỡ vụ hn cỏc iờan n thc u cha J1 , cú mt s iờan u cha thc s J1 Do vy B 2.2.11 suy cỏc n thc ca S ngoi J1 l ph thuc tuyn tớnh mụun I , vỡ vy n thc f2 I khụng cú hng t J1 Lp li, cú s hng m2 ca f2 m cha mt s hu hn cỏc iờan Cho = {M | m2 M } v cho J2 = J1 + (m2 ) Quỏ trỡnh ny cú th c lp li, tng giai on tỡm kim mt n thc fk khụng cú s hng c cha Jk1 v mt s ú l mk nm hu hn cỏc iờan u k1 Iờan mi Jk = Jk1 + (mk ) s cha mt s iờan u vỡ vy fk+1 mi cú th c to thnh Trong cỏch 35 ny, ta nhn c mt dóy tng thớch hp ca iờan J1 J2 J3 Vỡ S l Noether thỡ iu ny khụng th xy Ta kt lun I ch cú hu hn cỏc iờan n thc u B 2.3.13 Cho I l iờan C[x] Khi ú {w Rn | inw (I) = I} l khụng gian vộc t Rn nh ngha 2.3.14 (f ) = {w n+1 val | inw (f ) khụng l n thc} ú Trop(f ) : Rn R l hm tuyn tớnh tng phn cu xu v g = B 2.3.15 Cho f = u(f ) cv xv Khi ú ta cú v(g) Trop(f g)(w) = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) v {a (f ) + (g) | val( cu cv ) + w ã a = Trop(f g)(w)} u+v=a = {u : val(cu ) + w ã u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w ã v = Trop(g)(w)} Hn na, ta cú (1) (f g) = (f ) (g) (2) (f n ) = (f ) (3) inw (f g) = inw (f )inw (g) Chng minh cu cv xu+v = Vỡ f.g = u+v(g)+(f ) ( cu cv )xa v Trop(f )(w) = a(f )+(g) u+v=a min{val(cu ) + w ã u | u (f )}, Trop(g)(w) = min{val(cv ) + w ã v | v (f )}, ta cú Trop(f g)(w) = min{val( cu cv + w ã a | a (f ) + (g)} u+v=a 36 = min{min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w ã a | a (f ) + (g)} = min{min{val(cu ) + val(cv ) + w ã a | u + v = a} | a (f ) + (g)} = min{min{(val(cu ) + w ã u) + (val(cv ) + w ã v) | u + v = a} | a (f ) + (g)} = min{(val(cu ) + w ã u) + (val(cv ) + w ã v) | u + v = a, a (f ) + (g)} = min{(val(cu ) + w ã u) + (val(cv ) + w ã v) | (u, v) (f ) ì (g)} = min{(val(cu ) + w ã u) + min{(val(cv ) + w ã v) | v (g)} | u (f )} = min{(val(cu ) + w ã u) | u (f )} + min{(val(cv ) + w ã v) | v (g)} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) Do ú {a (f ) + (g) | val( cu cv ) + w ã a = Trop(f g)(w)} u+v=a = {a (f ) + (g) | val( cu cv ) + w ã a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} u+v=a = {a (f ) + (g) | min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w ã a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} = {a (f ) + (g) | min{(val(cu ) + w ã u) + (val(cv ) + w ã v) | u + v = a} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} = {a (f )+(g) | u, v : u+v = a; val(cu )+wãu = Trop(f )(w); val(cv )+ w ã v = Trop(g)(w)} = {u : val(cu ) + w ã u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w ã v = Trop(g)(w)} (1) Cho w (f g) Khi ú |{a (f ) + (g) | val( cu cv ) + w ã a = u+v=a Trop(f g)(w)}| = v vỡ vy |{u : val(cu ) + w ã u = Trop(f )(w)}| = hoc |{v : val(cv ) + w ã v = Trop(g)(w)}| = Khi ú w (f ) hoc w (g) Vỡ vy, w (f ) (g) Nu w (f ) (g) thỡ |{u : val(cu ) + w ã u = Trop(f )(w)}| = hoc |{v : val(cv ) + w ã v = Trop(g)(w)}| = Do ú |{a (f ) + (g) | 37 cu cv ) + w ã a = Trop(f g)(w)}| = v ú w (f g) Do ú val( u+v=a (f g) = (f ) (g) (2) Hin nhiờn suy t (1) (3) Ta cú inw (f )inw (g) cu tval(cu ) xu = u:val(cu )+uãw=Trop(f )(w) cv tval(cv ) xv v:val(cv )+vãw=Trop(g)(w) cu cv t = val( cu cv ) u+v xu xv u:val(cu )+uãw=Trop(f )(w) v:val(cv )+vãw=Trop(g)(w) = cu cv t val( cu cv ) u+v xu xv {u:val(cu )+uãw=Trop(f )(w)}+{v:val(cv )+vãw=Trop(g)(w)} val( = cu cv t a=u+v:val( cu cv ) u+v=a xa cu cv )+wãa=Trop(f g)(w) u+v=a cu cv t = a(f )+(g):val( val( cu cv ) u+v=a xa cu cv )+wãa=Trop(f g)(w) u+v=a = inw (f g) Trong cỏc phn tip theo, ta c nh tựy ý cỏc iờan thun nht I SK = K[x0 , , xn ] C nh d N v chn c s {f1 , , fs } ca Id , ú s = dimK (Id ) Cho Md l cỏc n thc bc d Sd v c nh th t tuyn tớnh trờn Md Khi ú [Md ] l mt vộc t theo th t nh trờn Chỳ ý rng Sd l mt Kkhụng gian vộc t vi mt c s {xu | xu Md } v Id l Kkhụng gian vộc t ca Sd Vỡ |Md | = n+d d n+d d , vỡ vy tn ti ì sma trn Bd cho [f1 , , fs ] = [Md ]Bd Ta kớ hiu Ad = BdT Khi ú h s ca xu fi l (Ad )iu Cho J Md vi |J| = s, ta kớ hiu AJd l ma trn c s ì s ca Ad theo cỏc ct c dỏn 38 nhón bi J Vỡ {f1 , , fd } l mt c s ca Kkhụng gian vộc t Id , rank(Ad ) = rank(Bd ) = s v vỡ vy det(AJd ) = i vi J Md , |J| = s J Ta kớ hiu AJ d l ma trn nghch o ca Ad Mnh 2.3.16 C nh J Md vi |J| = s v u J Khi ú tn ti gu I cho cuv xv , gu = xu + xv J ú cuv det(AJduv ) = vi Juv = (J \ {u}) {v} det(AJd ) Chng minh Cho g1 , , gs l cỏc a thc Sd cho [g1 , , gs ] = [f1 , , fs ]BdJ = [Md ]Bd BdJ Khi ú vi mi i, gi I Ma trn Bd BdJ cú dng ma trn n v ti cỏc ct cú ch s ca J Do ú vi mi u J tn ti nht a thc gi cho gi = xu + civ xv Khi ú ta thay i u, gi gu v [g1 , , gs ] [gu | xv J u J] Vỡ [gu | u J] = [Md ]Bd BdJ , ta cú [cuv | u J] = [Bd ]v BdJ T det(AJduv ) ú Juv = (J \ {u}) {v} quy tc Cramer, ta cú cuv = det(AJd ) xu det(AJd ) Bõy gi, t hd = JMd :|J|=s uJ xu thỡ B 2.3.17 Nu inw (hd ) = det(AJd ) uJ inw (gu ) = xu vi mi u J Hn na, inw (I)d = xu | u J xu , ta cú val(det(AJd )) + Chng minh Vỡ inw (hd ) = det(AJd ) uJ val(det(AJduv )) uãw < uJ u0 ã w vi mi u J v v J Do ú vi mi + u0 Juv 39 u J , val(det(AJd )) + u ã w < val(det(AJduv )) + v ã w vi mi v J T Mnh 2.3.16, ta cú inw (gu ) = xu vi mi u J Do ú {inw (gu ) | u J} inw (I)d l c lp tuyn tớnh Sd T H qu 2.2.15, dim inw (I) = s = |J| v vỡ vy inw (I)d = xu | u J nh ngha 2.3.18 Cho mt hm a thc nhit i F : Rn+1 R t F l phc a din thỡ F tuyn tớnh trờn mi thnh phn F Thnh phn cc i ca phc a din F cú dng = {w Rn+1 : F (w) = a + w ã u} ú a + xu chy trờn cỏc n thc ca F Ta cú |F | = Rn+1 Nu h s a nm mt nhúm R thỡ phc F l -hu t Cho D l bc cc i ca tt c cỏc n thc sinh iờan n thc D u inw (I), w n+1 val t g = hd d=1 Xột hm Trop(g) : Rn+1 R l tuyn tớnh tng phn Cho Trop(g) l phc a din i vi Trop(g) tuyn tớnh trờn mi a din Trop(g) Chỳ ý rng Trop(g) l phc a din val - hu t B 2.3.19 Nu w v w nm trong ca thnh phn cc i ca Trop(g) Khi ú w CI [w] Chng minh Vỡ l thnh phn cc i, ú inw (g) = inw (g) l n thc T B 2.3.15, inw (hd ) = inw (hd ) l n thc vi mi d D Do ú ta cú th gi s rng inw (hd ) = inw (hd ) = det(AJdd ) xu T B uJd u 2.3.17, ta cú inw (I)d = x | u Jd = inw (I)d vi mi d < D T nh 40 ngha ca D ta cú inw (I) = inw (I) B 2.3.20 Cho I K[x0 , , xn ] v g, Trop(g) nh trờn Nu w n+1 val nm trong ca thnh phn cc i ca Trop(g) thỡ = CI [w] Chng minh T B 2.3.19, ta cú CI [w] Vỡ l thnh phn cc i, ú inw (g) l n thc T B 2.3.15, inw (hd ) l n thc vi mi d D Vỡ vy ta cú th gi s rng inw (hd ) = inw (hd ) = det(AJdd ) xu uJd u T B 2.3.17, ta cú inw (gu ) = x vi mi u Jd vi mi d < D v inw (I)d = xu | u Jd Cho w0 CI [w] v gi s w0 khụng nm phn ca Khi ú, inw (g) = inw0 (g) v vỡ vy tn ti d < D cho inw (hd ) = inw0 (hd ) xu Khi ú tn ti Ta thay J Jd Khi ú ta cú inw0 (hd ) = det(AJd ) uJ J Md vi J = J cho u ã w0 < val(det(AJd0 )) + val(det(AJd )) + uJ u ã w0 uJ0 vi mi J0 Md v J0 = J Ta cú th chn J cho ch s mt nh ca a din u | val(det(AJd0 )) + conv{ uJ0 uJ0 Do ú tn ti v Qn+1 vi v ã u nh ta cú u ã (w0 + v) < val(det(AJd0 )) + val(det(AJd )) + uJ u ã (w0 + v) uJ0 41 xu Khi ú vi mi J0 Md vi J0 = J Do ú inw0 + v (hd ) = det(AJd ) uJ u t B 2.3.19, ta cú inw0 + v (I)d = x | u J T nh lý 2.2.14, ta c inw0 (I) = inw (I)d = xu | u J Khi ú inv (inw (I))d = xu | u J , mõu thun vi J = J nh ngha 2.3.21 Cho mt iờan c nh I K[x1 , , xn ] Mt c s Grăocbner ph dng i vi iờan thun nht I l mt hu hn U ca I cho vi mi w (val )n , inw (U) = {inw (f ) : f U} sinh bi iờan u inw (I) k[x1 , , xn ] B 2.3.22 C nh trng K vi nh giỏ Mi iờan thun nht I vnh a thc K[x0 , , xn ] cú mt c s Gră obner ph dng hu hn Chng minh Phc Grăobner (I) hu hn i vi nún cú chiu cc i , chn w int() Cho inw (I) = xui | i = 1, , s Bõy gi ta chng minh gui I cho inw (gui ) = xui Tht vy, vỡ l thnh phn cc i, iờan u inw (I) l mt iờan n thc T B 2.2.11, cỏc n thc xa khụng nm inw (I) to thnh mt Kc s cui a xa + gui i vi SK /I Do ú, vi mi xui ca inw (I), xui = xa inw (I) cui a xa Vỡ inw (gui ) inw (I) v vi gui I Do ú gui = xui xa inw (I) inw (I) l n thc, mi hng t ca inw (gui ) nm inw (I) T vic xõy dng gui , inw (gui ) = xui Bõy gi ta s ch rng {gui | l thnh phn cc i ca (I)} l c s Grăobner ph dng Tht vy, t w n+1 val Khi ú nu inw (I) l n thc thỡ CI [w] l thnh phn cc i Vỡ gui I cho inw (gui ) = xui nờn a thc {gui | i = 1, , s } to thnh c s Grăocbner ca I i vi w 42 Do ú ta cú th gi s rng inw (I) khụng l n thc Khi ú t nh lý 2.3.4, tn ti v v > nh cho inv (inw (I)) = inw+ v (I) l mt iờan n thc v CI [w] l mt ca a din CI [w + v] Cho w = w + v Vỡ inw (I) l n thc, ú CI [w ] l thnh phn cc i Vỡ inv (inw (gui ) inv (inw (I)) = inw (I) v inw (I) l n thc, mi hng t ca inv (inw (gui ) nm inw (I) T vic xõy dng gui , inv (inw (gui ) = xui Khi ú {inw (gui ) | i = 1, , s } l c s Grăobner ca inw (I) i vi v Do ú inw (I) = inw (gui ) | i = 1, , s Do ú cỏc a thc {gui | i = 1, , s } to thnh c s Grăobner ca I i vi w nh ngha 2.3.23 C s nhit i ca iờan I K[x0 , , xn ] l S = {f1 , , fr } I cho (I) = (f ) = (f1 ) (fr ) f S Nu J l iờan thun nht K[x0 , , xn ] thỡ mt tõp sinh F ca J l mt c s nhit i nu vi mi w n+1 val , iờan inw (J) cha n thc nu v ch nu inw (F) cha n thc nh lý 2.3.24 Mi iờan I K[x] = SK cú c s nhit i Chng minh Cho F l sinh hu hn ca I m khụng l c s nhit i Chn mt nún Grăobner CI [w] m cú giao phn tng i (f ) f F m khụng tm thng v iờan u inw (I) cha mt n thc x T nh lý 2.2.14, cú mt s v Qn vi iờan n thc inv (inw (I)) v inw+ v (I) = inv (inw (I)) vi > nh C nh v t w = w + v Vỡ inw (I) l n thc, t B 2.2.11, n thc xa khụng nm inw (I) ca xa + f vi mt to thnh Kc s i vi SK /I Do ú xm = xa inw (I) 43 ca xa s f I Do ú f = xm xa inw (I) Cho w0 CI [w] Nu inw0 (f ) = xm thỡ = inw0 (f ) xm inw0 (I) = inw (I) Do ú inv (inw0 (f ) xm ) inv (inw (I)) Vỡ inv (inw (I)) = inw (I) l n thc nờn mi hng t ca inv (inw0 (f ) xm ) nm inv (inw (I)), mõu thun vi vic xõy dng f Do ú inw0 (f ) = xm Do ú w0 (f ) v vỡ vy (f ) CI [w] = Bõy gi ta cú th thờm f c s F hin ti v lp li quỏ trỡnh Vỡ qut Grăobner cú hu hn cỏc nún nờn quỏ trỡnh ny s chm dt sau hu hn bc Nú loi b tt c cỏc nún ca qut Grăocbner m vi phm iu kin F l mt c s nhit i Nhn xột 2.3.25 Hept v Theobald ch [13] rng nu X T n l nd a bt kh quy n-chiu, ú luụn tn ti f0 , , fnd I(X) = fi i=0 nd vi (X) = (fi ) iu ny cú ngha rng nu ta b qua iu kin sinh i=0 iờan thỡ c s nhit i vi phn t n d + luụn tn ti Tuy nhiờn, cỏc bc ca fi cú th rt ln Ta cú giao y theo ngha thụng thng m khụng l giao ca nhit i húa bt k sinh no cú lc lng i chiu Alessandrini v Nesci a [5] l b chn u trờn bc ca a thc fi mt c s nhit i i vi iờan I ch ph thuc vo a thc Hilbert ca mt thun nht ca I ú cú th b chn hoc c, hoc cỏc bc ca cỏc phn t c s nhit i Tuy nhiờn, ti thi im vit, mt hiu qu tht s v hiu qu thut toỏn tớnh c s nhit i khụng tn ti 44 Nhn xột 2.3.26 S xõy dng cỏc iờan u ph thuc vo cỏch chn mt ch w tw ca ỏnh x nh giỏ val : K R iu ny l cn thit cú th so sỏnh cỏc iờan u vi cỏc cỏch chn khỏc ca w, cng nh cỏch chn ny lm cỏc iờan u vo cỏc iờan k[x0 , , xn ] 45 Kt lun Túm li, lun ó trỡnh by li cỏc chng minh chi tit v cỏc kt qu v c s Grăobner v phc Grăobner Hỡnh hc nhit i Kt qu chớnh ca lun gm nhng ni dung sau: Chng minh c: Cho I K[x0 , , xn ] l mt iờan thun nht C nh w Rn Khi ú inw (I) l thun nht v ta cú th chn mt c s Grăobner thun nht i vi I Hn na, nu g inw (I)d thỡ tn ti f Id cho g = inw (f ) Chng minh c: C nh iờan thun nht I K[x0 , , xn ] Khi ú {CI [w] : w n+1 val } to thnh hu hn phc a din val -hu t Chng minh c: Mi iờan thun nht I vnh a thc K[x0 , , xn ] cú mt c s Grăobner ph dng hu hn Chng minh c: Mi iờan I K[x] = SK cú c s nhit i 46 Ti liu tham kho [1] Anders Nedergaard Jensen (2007), "A non-regular Grăobner fan", Discrete Comput Geom, 37 (3), 443453 [2] Anders Nedergaard Jensen Gfan, "A software system for Grăobner fans and tropical varieties", Available at http://home.imf.au.dk/jensen/software/gfan/gfan.html [3] Bernd Sturmfels (1996), "Grăobner Bases And Convex Polytopes", volume of University Lecture Series, American Mathematical Society, Providence, Ri [4] Bernd Sturmfels and Jenia Tevelev (2008), "Elimination theory for tropical varieties", Math Res Lett., 15 (3), 543562 [5] Daniele Alessandrini and Michele Nesci (2009), "On the tropicalization of the Hilbert scheme", Arxiv: 0912.0082 [6] David Bayer and Ian Morrison (1988), "Standard bases and geometric invariant theory", I Initial ideals and state polytopes, Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), 209217 [7] David Cox, John Little and Donal OShea (2007), Ideals, Varieties, And Algorithms, Undergraduate Texts In Mathematics, An Introduc47 tion To Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer, New York, third edition [8] Diane Maclagan (2001), "Antichains of monomial ideals are finite", Proc Amer Math Soc., 129 (6), 16091615 (Electronic) [9] Diane Maclagan and Bernd Sturmfels, Introduction to tropical geometry, Draft Book In Progress Available at http://www.warwick.ac.uk/staff/ D.Maclagan/papers/Tropicalbook.pdf [10] Diane Maclagan and Rekha R Thomas (2007), "Computational algebra and combinatorics of toric ideals", In Commutative Algebra And Combinatorics, volume of Ramanujan Math, Soc Lect Notes Ser., pages Part I: Vi+106 Ramanujan Math Soc., Mysore With the cooperation Of Sara Faridi, Leah Gold, A V Jayanthan, Amit Khetan And Tony Puthenpurakal [11] Israel M Gelfand, Mikhael M Kapranov and Andrei V Zelevinsky (2008),Discriminants, Resultants And Multidimensional Determinants, ă ă Modern BirkhAuser Classics, BirkhAuser Boston Inc., Boston, Ma, Reprint Of The 1994 Edition [12] Jesus A De Loera, Jăorg Rambau and Francisco Santos (2010), Triangulations, volume 25 of Algorithms and Computation in Mathematics, Structures for algorithms and applications, Springer-Verlag, Berlin [13] Kerstin Hept and Thorsten Theobald (2009), "Tropical bases by regular projections", Proc Amer.Math Soc., 137 (7), 22332241 [14] Sam Payne (2009), "Fibers of tropicalization", Math Z., 262 (2), 301311 48 [15] Teo Mora and Lorenzo Robbiano (1988), "The Grăobner fan of an ideal", Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), 183208 49 ...I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HC NHIT I Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi... cho vi mi x1 , x2 S v [0, 1], ta cú x1 + (1 )x2 S Vớ d 1.2.4 i) Trong R2 , cỏc hỡnh a giỏc, hỡnh trũn, hỡnh Elip l cỏc li Trong R3 thỡ hỡnh a din, hỡnh cu l cỏc li ii) Hỡnh cu B = {x Rn :... xn ] l qu tớch ca w t c nh nht ớt nht hai ln, v ú bao úng ca cỏc w m inw (f ) khụng l mt n thc Trong trng hp a X , nu nh giỏ trờn K khụng tm thng thỡ Trop(X) c mụ t l bao úng ca w nval m inw