Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 1 CĂN THỨC BẬC HAI Bài 1: Tính a) 3 2 2 3 5 3 2 1 6 − − − + b) 2 2 2 2 3 2 2 3 + − + c) ( ) 50 2 18 98 .3 2− + d) ( ) 3 2 50 2 18 98− + e) 27 3 48 2 108 7 4 3− + − − f) ( ) 20 2 5 5 45 .3 5− + g) 2 27 5 5 75 3 20− − + h) 2 3 6 216 1 . 3 8 2 6   − −  ÷  ÷ −   i) 8 2 18 3 32+ − j) 1 1 10 3 10 3 − − + k) ( ) 2 12 6 3 3 5+ + − l) 18 128− m) ( ) 28 2 14 7 7 7 8− + + Bài 2: a) So sánh 7 2 6 1A = + + và 9 4 5B = + b) Rút gọn biểu thức 4 8 1 2 : 4 2 x x x P x x x x x     − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 c) Rút gọn biểu thức 1 . 1 1 1 a a a a A a a     − + = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − +     với a > 0, a ≠ 1 d) Rút gọn biểu thức 1 1a a a a B a a a a − + = − − + với a > 0, a ≠ 1 Bài 3: Cho biểu thức 3 4 : 1 1 x x A x x x x −     = − −  ÷  ÷ − −     a) Rút gọn A. b) Tính giá trò của A khi x = 2 Bài 4: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghóa: a) 12 3P x= − b) 2Q x= − c) 3 2 x R x − = − Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 2 d) 2 1 4 S x = − e) 2 1 1 x A x x = + − + f) 2 2 3 5 6 x B x x + = + − Bài 5: Giải phương trình a) 5 2 3x x+ = − b) 2 3x x+ = − c) 5 6x x+ = − d) 2 1 3x + = e) 4 1 2 7x x− = − f) 2 1 1x x− = − Bài 6: Tính a x a x A a x a x + − − = + + − với 2 2 1 ab x b = + trong đó a > 0, b > 0 Bài 7: Cho biểu thức 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − a) Tìm điều kiện của x để A có nghóa. b) Rút gọn A. c) Tìm các giá trò nguyên của x để A là số nguyên. Bài 8: Cho a > 0, b > 0, a ≠ b. Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào a a) 1 1 . 2 a b P a ab a ab b −   = +  ÷ − +   b) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 a a Q a + − + = + Bài 9: Cho biểu thức 2 2 4 3 : 4 2 2 2 x x x x P x x x x x   + − − = + −  ÷  ÷ − − + −   với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trò của x để P > 0, P < 0. Bài 10: Cho biểu thức 2 3 3 1 : 1 1 1 M x x x     = + − +  ÷  ÷ +   −   (-1 < x <1) a) Rút gọn M. b) Tính giá trò của M khi 3 2 3 x = + c) Tìm các giá trò của x để M 2 = M Bài 11: Cho biểu thức 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x P x x x x + − − − + = − + + − − a) Rút gọn P. Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 3 b) Tính giá trò của biểu thức P khi 4 2 3x = + c) Tìm giá trò của x để P = -3 Bài 12: Giải phương trình (dạng đặc biệt) a) 2 2 2 3 12 16 4 16 25 1 4x x x x x x− + + − + = + − b) 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − c) 3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − = d) 1 2 2 7 6 2 6x x x x− + − + + + − = e) 5 4 1 3x x x+ + + = + f) 2 2 3 3 1 0 3 3 x x x x + − − = − + Bài 13: Cho 2 3 2A x x y y= − + a) Phân tích A thành thừa số. b) Tính giá trò của A với 1 , 9 4 5 5 2 x y= = − − Bài 14: Cho biểu thức 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P x x x x − − + = + − + − − + a) Chứng minh P có giá trò là 2 5 3 x x − + b) Chứng minh P ≤ 2 3 Bài 15: Cho 1x x a+ − = với 1 1 2 x< < . Tính giá trò biểu thức 2 1 2 2 1 x x A x − − = − Bài 16: a) Tính 3 12 2 3 5 2 8 .2 6 4   − + −  ÷   b) Chứng minh rằng 4 7 4 7 2+ − − = Bài 17: Cho 2 1 1 : x P x x x x x x + = − + + a) Tìm điều kiện của x để P có nghóa. b) Rút gọn P. c) Tìm các số nguyên x để P có giá trò nguyên. Bài 18: Cho biểu thức 2 1 1 1: 1 1 1 x x x A x x x x x   + − − = + −  ÷  ÷ − + − +   a) Với điều kiện nào của x thì A có nghóa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Chứng minh rằng a > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1. Bài 19: Cho biểu thức 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x P x x x   − + −   = −  ÷  ÷  ÷ − + +     a) Rút gọn P. Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 4 b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm giá trò lớn nhất của P. Bài 20: a) Rút gọn ( ) 12 27 108 .2 3+ − b) Chứng minh rằng 2 6 2 3 5 2 3 5 = + − + + Bài 21: Thu gọn các biểu thức a) 4 2 3 6 2 A − = − b) ( ) 3 2 6 6 3 3B = + − Bài 22: a) Rút gọn ( ) 2 6 8 8 2 2 18 2 A = − + b) Phân tích thành nhân tử 3 5 5 3B x y x y= − + − Bài 23: a) Tính 14 6 5 14 6 5A = + + − b) Chứng minh rằng 3 1 2 3 3 1 + = + − Bài 24: a) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm 2 5 5 2 8x x x x− + + = − + b) Giải phương trình 2 2 2 8 4x x− + + = Bài 25: Cho biểu thức 2 3 2 2 x x A x − − = − và 3 2 2 2 x x x B x − + − = + a) Tìm điều kiện của x để A, B có nghóa. Rút gọn A và B. b) Tìm giá trò của x để A = B. Bài 26: Tìm điều kiện để biểu thức có nghóa: a) 2 6x − b) 1 3x− c) 2 1x + d) 2 2x− e) 2x f) 3 2x − g) 1 1 2 x x + − − h) 2 3 1 2 4 x x x + − − Bài 27: Tính (rút gọn) a) 28 10 3 4 2 3− + − Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 5 b) 7 7 7 7 1 1 1 7 1 7    − + + +  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    c) 14 6 5 14 6 5− + + d) 1 2 a b a b b b a ab ab a ab a ab   + − − + +  ÷  ÷ + − +   với a > 0, b > 0, a ≠ b Bài 28: giải phương trình a) 2 3 6x x+ = − b) 2 3x x− = + c) 3 1 0x + = d) 2 2 4 2x x x− + = − e) 1 2 4x x+ = − Bài 29: Cho biểu thức 3 1 2 x P x − = − − a) Rút gọn và tính giá trò của P nếu 4(2 3)x = − b) Tìm giá trò nhỏ nhất của P. Bài 30: Rút gọn a) 8 2 15 8 2 15A = − + + b) 4 7 4 7B = + − − c) 4 10 2 5 4 10 2 5C = + + + − + d) 4 15 4 15 2 3 5D = + + − − − Bài 31: Chứng minh rằng các số sau đây đều là số nguyên a) 2 3 5 13 48 6 2 A + − + = + b) 5 3 29 12 5B = − − − c) (5 2 6)(49 20 6) 5 2 6 9 3 11 2 C + − − = − d) 4 5 3 5 48 10 7 4 3D = + + − + e) ( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128E = − + − + + − Bài 32: Tìm x biết 5 13 5 13 .x = + + + + . Trong đó các dấu chấm có nghóa là lặp đi pặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần. Bài 33: Cho số 3 3 9 4 5 9 4 5x = + + − a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phương trình : x 3 – 3x – 18 = 0 b) Tính x. Bài 34: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 2 1A x x x x= + − − − − Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 6 a) Tìm điều kiện của x để A có nghóa. b) Tính giá trò của A khi 2x ≥ Bài 35: Chứng minh các đẳng thức sau: a) 3 3 2 5 2 5 1+ + − = b) 3 3 20 14 2 14 2 20 4+ − − = c) 3 3 5 2 7 5 2 7 2+ − − = Bài 36: Cho 3 1 1 1 1 1 x x B x x x x x − = − − + − − − − a) Tìm điều kiện của x để B có nghóa. b) Tìm x để B > 0 Bài 37: Cho ( ) ( ) 1 2 1 2 1 . 1 1 2 1 x x x x x x x x x E x x x x − −   − + + − = − +  ÷  ÷ − + −   a) Tìm điều kiện của x để E có nghóa. b) Rút gọn E. c) Tìm x để E có giá trò lớn nhất. Tìm giá trò lớn nhất đó. Bài 38: Rút gọn a) 13 30 2 9 4 2+ + + b) 2 1 2 1m m m m+ − + − − c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + − + + d) 6 2( 6 3 2) 6 2( 6 3 2) 2 + + + − − − + e) 9 6 2 6 3 − − Bài 39: Tính giá trò của biểu thức 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x A x x + − = + + + − − với 3 4 x = Bài 40: Cho biểu thức 2 2 2 1 ( ) 3 4 1 x x P x x x − − = − + a) Tìm các giá trò của x để P(x) có nghóa. b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0. Bài 41: Chứng minh các đẳng thức sau a) (4 15)( 10 6)( 4 15 2+ − − = b) 4 2 2 6 2 ( 3 1)+ = + c) 3 5 (3 5)( 10 2) 8− + − = Bài 42: Chứng minh rằng giá trò các biểu thức sau là số tự nhiên a) 1 1 3 2 4 3 2 4 − − + Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 7 b) 1 1 5 2 6 5 2 6 + + − Bài 43: Cho 2 1 1 (1 ) : 1 1 1 a a a a A a a a a a      − + = − + − +    ÷ ÷  ÷ ÷ − +        a) Rút gọn A. b) Tính giá trò của A với a = 9. c) Với giá trò nào của a thì A A= Bài 44: Cho biểu thức 1 1 1 4 1 1 a a A a a a a a   + −   = − + −  ÷  ÷  ÷ − +     a) Rút gọn A. b) Tính giá trò của A nếu 6 2 6 a = + Bài 45: Chứng minh giá trò của biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 2 2 1 1 2 1 a a a a a a B a a a a   + − + − − = −  ÷  ÷ − + +   với a > 0, a ≠ 1 Bài 46: Cho biểu thức 1 2 2 1 1 a a a a a A a a a    − + = − −  ÷ ÷  ÷ ÷ + −    a) Rút gọn A. b) Tìm giá trò của a để A = -4 Bài 47: Chứng minh rằng 3 3 5 17 5 17x = − + + là nghiệm của phương trình x 3 – 6x – 10 = 0 Bài 48: Cho biểu thức 1 2 2 : 1 1 1 1 x x P x x x x x x     = − −  ÷  ÷  ÷  ÷ + − + − −     với x ≥ 0, x ≠ 1. a) Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P < 0 Bài 49: Cho 3 3 1 4 15 4 15 x = + − − . Tính giá trò của biểu thức y = x 3 – 3x + 2000 Bài 50: Cho biểu thức 2 2 1 1 x x x x y x x x + + = + − − + a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng 0y y− = c) Tìm giá trò nhỏ nhất của y. Bài 51: Cho 2 1 1 : x A x x x x x x + = − + + a) Tìm điều kiện của x để A có nghóa. b) Rút gọn A. c) Tìm các số nguyên x để A có giá trò nguyên. Bài 52: a) Rút gọn biểu thức 1 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 A − = − + Giáo viên Nguyễn Tấn thành Trang 8 b) Tìm giá trò nhỏ nhất của 1 2 2 7 6 2y x x x x= − − − + + − − Bài 53: Cho biểu thức 2 ( 2) 8 2 x x A x x + − = − a) Tìm tập xác đònh của A. b) Rút gọn A. Bài 54: Giải phương trình a) 2 2 3 3 1 x x x x + − = + − b) 2 1 2 1x x− = − c) 4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + − d) 2 2 3 12 16 4 13 5x x y y− + + − + = e) 2 2 2 1 4 4 3x x x x− + + + + = f) 3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − = g) 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + h) 2 6 2 6 13x x x x− + + = − + Bài 55: Cho phương trình 2 2 25 15 2x x− − − = a) Tính 2 2 25 15x x− + − b) Tìm các giá trò thực của x thỏa mãn 2 2 25 15 2x x− − − = Bài 56: Giải các phương trình a) 2 1 3 4 1 1x x x x− − + + − − = b) 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + + − = Bài 57: So sánh a) 6 20+ và 1 6+ b) 17 12 2+ và 2 1+ Bài 58: Chứng minh a) 2 4 2 2 2 2 a b a b a b a ab b − − + với a > b > 0 b) ( ) 2 a a b b ab a b a b + − = − + với a > 0, b > 0 Bài 59: Chứng minh bất đẳng thức a) 27 6 48+ > b) 5 5 5 5 10 0 5 5 5 5 + − + − < − + Bài 60: Chứng minh bất đẳng thức 2008 2009 2008 2009 2009 2008 + > + . 1 CĂN THỨC BẬC HAI Bài 1: Tính a) 3 2 2 3 5 3 2 1 6 − − − + b) 2 2 2 2 3 2 2 3 + − + c) ( ) 50 2 18 98 .3 2− + d) ( ) 3 2 50 2 18 98− + e) 27 3 48 2 108 . + h) 2 3 6 216 1 . 3 8 2 6   − −  ÷  ÷ −   i) 8 2 18 3 32+ − j) 1 1 10 3 10 3 − − + k) ( ) 2 12 6 3 3 5+ + − l) 18 128− m) ( ) 28 2 14 7 7 7 8− +