Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)Phương pháp kết hợp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ MAI OANH PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ MAI OANH PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Một số kí hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết 1.1.1 Một số khái niệm hàm lồi tập lồi 1.1.2 Đạo hàm vi phân hàm lồi 12 1.2 Bài toán cân 14 1.2.1 Một số khái niệm 14 1.2.2 Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán cân 15 1.2.3 Các trường hợp riêng toán cân 19 1.3 Bài toán cân tương đương 24 1.4 Bài toán cân hai cấp 26 1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 27 1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 27 ii Phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp 29 2.1 Mô tả toán 29 2.2 Phương pháp hàm phạt 30 2.3 Hàm đánh giá hướng giảm 37 2.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 46 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 51 iii Lời cam đoan Luận văn thạc sỹ: "Phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp" thực tác giả Lê Mai Oanh - học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng khóa 2014 - 2016 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, không trùng với nghiên cứu khác Thái Nguyên, năm 2015 Học viên Lê Mai Oanh iv Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với quan tâm thầy giáo, cô giáo bạn học viên, luận văn đến hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn tận tình bảo, hướng dẫn thời gian làm luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo môn Toán Ứng Dụng nói riêng khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung cho kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè dành cho trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, 2015 Lê Mai Oanh Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên v Một số kí hiệu viết tắt Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclid n chiều H không gian Hilbert MT chuyển vị ma trận M x, y = xT y tích vô hướng hai vectơ x y x = chuẩn vectơ x x, x C bao đóng tập C intC phần tập C riC phần tương đối tập C xk → x dãy xk hội tụ đến x PC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến C x ϕ (x) = ∇ϕ (x) đạo hàm hàm ϕ x ϕ (x; d) đạo hàm theo hướng d ϕ x ∂ϕ (x) vi phân ϕ x ∂f (x, x) vi phân hàm f (x, ) x ∇x f (x, y) đạo hàm hàm f (., y) x ∇y f (x, y) đạo hàm hàm f (x, ) y Mở đầu Lí chọn đề tài Thuật ngữ cân sử dụng rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kỹ thuật vật lý, hóa học, sinh học, toán học có nhiều toán liên quan đến cân toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash trò chơi không hợp tác, toán điểm bất động Mô hình chung cho toán cân EP (C, f ) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, với y ∈ C C ⊂ H tập lồi, đóng f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân (f (x, x) = 0, ∀x ∈ C) Công thức lần đưa H Nikaido K Isoda năm 1955 [24] tổng quát hóa toán cân Nash trò chơi không hợp tác, Ky Fan giới thiệu năm 1972 [11] thường gọi bất đẳng thức Ky Fan Cùng với việc nghiên cứu, xây dựng phương pháp giải toán cân bằng, nhà khoa học quan tâm đến toán cân hai cấp Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H f, g : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân xác định C Bài toán cân hai cấp BEP (C, f, g) (bài toán cân tập nghiệm toán cân bằng) toán: Tìm x∗ ∈ Sf cho g (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Sf Sf tập nghiệm toán cân Tìm u ∈ C cho f (u, y) ≥ 0, với y ∈ C Bài toán cân hai cấp BEP (C, f, g) tác giả A Moudafi [21] xét đến Tuy có dạng đơn giản toán BEP (C, f, g) tổng quát chứa nhiều lớp toán quan trọng khác toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Trong phương pháp giải toán cân hai cấp phương pháp hiệu chỉnh đóng vai trò quan trọng Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc phương pháp điểm gần kề Phương pháp đề xuất B Martinet [17] vào năm 1970 cho toán bất đẳng thức biến phân phát triển R T Rockafellar năm 1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đại Năm 1999, A Moudafi [20] áp dụng phương pháp điểm gần kề cho toán cân đơn điệu đến năm 2010 [21] ông áp dụng phương pháp cho lớp toán cân hai cấp đơn điệu Ý tưởng phương pháp kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải toán cân hai cấp việc giải dãy toán cân với song hàm cân f + k g Để chứng minh hội tụ thuật toán đưa ra, tác giả A Moudafi đòi hỏi giả thiết tính đơn điệu, tính liên tục, tính lồi song hàm đặc biệt giả thiết xk+1 − xk = ( k ) với xk nghiệm toán cân EP (C, f + k g), giả thiết khó kiểm chứng chúng không liên quan đến liệu đầu vào toán Do việc tiếp tục nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán cân hai cấp với giả thiết giả thiết yếu cần thiết Chính lý này, với hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn chọn đề tài "Phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp" Mục đích nghiên cứu Trình bày phương pháp giải cho lớp toán cân hai cấp: - Sử dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán cân hai cấp giải dãy toán cân phạt; - Sử dụng phương pháp hàm đánh giá để giải toán cân phạt; - Chỉ song hàm phạt hiệu chỉnh thỏa mãn tính chất giả đơn điệu điểm dừng hàm đánh giá tập lồi nghiệm toán phạt; - Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải cho toán cân hai cấp phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá Phương pháp nghiên cứu Để trình bày phương pháp giải cho toán cân hai cấp 40 Ví dụ 2.2 Xét song hàm sau (a) f (x, y) = (y − x)T M (y − x) xác định C × C với C = Rn M ma trận thực cấp n × n f song hàm ∇- đơn điệu C với ∀x, y ∈ C ta có ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y) , y − x = − M + M T (y − x) + M + M T (y − x) , y − x = Mặt khác f giả ∇- đơn điệu chặt C ∇x f (x, y) , y − x = − M + M T (y − x) , y − x ≤ kéo theo với x = y x, y ∈ C ∇y f (x, y) , y − x = M + M T (y − x) , y − x > Bất đẳng thức xảy M + M T ma trận xác định dương cấp n × n Do M + M T không ma trận xác định dương hàm f (x, y) = (y − x)T M (y − x) song hàm ∇- đơn điệu không giả ∇- đơn điệu chặt C (b) f (x, y) = ex y − x2 xác định R × R Song hàm f giả ∇- đơn điệu chặt R, 2 ∇x f (x, y) = 2xex y − 2xex − 2ex x2 = 2xex y − 2ex − 2ex x2 = 2xex y − x2 − 41 ∇y f (x, y) = 2yex Do xét ∇x f (x, y) , y − x ≤ ⇔ 2xex y − x2 − (y − x) ≤ ⇔ x y − x2 − (y − x) ≤ ∇y f (x, y) , y − x = 2yex (y − x) Rõ ràng x y − x2 − (y − x) ≤ ⇒ y (y − x) > 0, ∀x = y Do ∇y f (x, y) , y − x > 0, ∀x, y ∈ C, x = y Theo định nghĩa (2.2) song hàm f giả ∇- đơn điệu chặt R Nhưng song hàm f không ∇- đơn điệu R, ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y) , y − x = 2ex (x − y)2 x2 + xy + Xét điểm (2; −3) ta có ∇x f (2, −3) + ∇y f (2, −3) , −3 − = −50e4 < Theo định nghĩa (2.2) song hàm f không ∇- đơn điệu R Như song hàm f giả ∇- đơn điệu chặt R không ∇- đơn điệu R Nhận xét 2.4 Khi f (x, y) = F (x), y − x với F ánh xạ khả vi C f đơn điệu C F đơn điệu C (xem [8]) Trong trường hợp tính đơn điệu f C tính ∇- đơn điệu f C trùng Tính đơn điệu không kéo theo tính giả ∇- đơn điệu Để chứng tỏ điều ta xét ví dụ sau 42 Ví dụ 2.3 Xét hàm f (x, y) = −ax (y − x) xác định C × C với C = R+ ,a > Khi dễ thấy f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ R+ Do f giả đơn điệu R+ Nhưng f không giả ∇- đơn điệu Thật vậy, ta có ∇x f (x, y) , y − x = −a (y − 2x) (y − x) < 0, ∀y > 2x > Nhưng ∇y f (x, y) , y − x = −ax (y − x) < 0, ∀y > 2x > Do f không giả ∇- đơn điệu R+ Từ định nghĩa hàm đánh giá ta suy điểm cực tiểu toàn cục hàm đánh giá ϕ C nghiệm toán cân phạt P EP (C, f ) Do ϕ hàm lồi, nên trường hợp tổng quát việc tìm cực tiểu C khó khăn Do đó, để tìm cực tiểu toàn cục nó, người ta cần thêm số tính chất bổ sung cho song hàm cân Trong [8] tác giả song hàm cân ∇- đơn điệu chặt điểm dừng hàm đánh giá nghiệm cực tiểu toàn cục Định lý sau tính chất dừng song hàm giả ∇- đơn điệu chặt Định lý 2.2 Giả sử g giả ∇- đơn điệu chặt C x điểm dừng hàm đánh giá ϕ C, tức ∇ϕ (x) , y − x ≥ 0, ∀y ∈ C x nghiệm toán phạt P EP (C, f ) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử x không nghiệm 43 toán phạt P EP (C, f ) y (x) = x Do x điểm dừng ϕ C, nên từ định nghĩa hàm ϕ ta có ∇ϕ (x) , y (x) − x = − ∇x g (x, y (x)) , y (x) − x Do g giả ∇- đơn điệu chăt C nên ∇y g (x, y (x)) , y − (x) − x > (2.7) Mặt khác, y (x) điểm cực tiểu hàm g (x, ) C ta suy ∇y g (x, y (x)) , y − (x) − x ≤ điều mâu thuẫn với (2.7) Do x nghiệm toán phạt P EP (C, f ) Trong quy hoạch có nhiều phương pháp tìm điểm dừng hàm khả vi tập lồi đóng, số thuật toán hướng giảm (descent direction algorithms) (xem [7]) Nếu y(x) nghiệm toán tối ưu gε (x, y) y(x) − x hướng giảm hàm ϕ C y∈C x Điều thể mệnh đề sau Mệnh đề 2.3 Giả sử g giả ∇- đơn điệu chặt C x nghiệm toán P EP (C, f ) ∇ϕ (x) , y (x) − x < Chứng minh Đặt d (x) = y (x) − x Do x nghiệm toán P EP (C, f ), nên d (x) = Do đó, d (x) hướng giảm hàm ϕ x C, ∇ϕ (x) , y (x) − x ≥ ⇔ − ∇x g (x, y (x)) , y (x) − x ≥ 0, kết hợp với g ∇- đơn điệu chặt C, ta suy ∇y g (x, y (x)) , y (x) − x > (2.8) 44 Mặt khác, y (x) điểm cực tiểu hàm g (x, ) C, nên theo điều kiện tối ưu, ta có ∇y g (x, y (x)) , y (x) − x ≤ 0, điều mâu thuẫn với (2.8) Vậy ta phải có ∇ϕ (x) , y (x) − x < Mệnh đề 2.4 Giả sử C tập compact, f, g song hàm khả vi liên tục C × C cho f (x, ) lồi chặt C với x ∈ C f giả ∇- đơn điệu chặt C Khi x ∈ C không nghiệm toán EP (C, f ) , tồn số > cho y (x) − x hướng giảm hàm ϕ C x với < ≤ Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu khẳng định mệnh đề không tồn dãy { k } cho k → điểm x ∈ C thỏa mãn ∇ϕ k (x) , y k (x) − x ≥ 0, ∀k Hay − ∇x g k (x, y k (x)) , y k (x) − x ≥ 0, ∀k Do g (x, ) hàm lồi chặt khả vi C, mà hàm → y (x) liên tục theo , đặt y0 (x) = arg f (x, y) y∈C y k (x) → y0 (x) k → Vì x không nghiệm toán EP (C, f ) nên y0 (x) = x Hơn g k (x, y) = f (x, y) + hàm khả vi liên tục, nên cho k k (2.9) [g (x, y) + l (x, y)] → ta thu − ∇x f (x, y0 (x)) , y0 (x) − x ≥ 45 Mà f giả ∇- đơn điệu chặt nên ∇y f (x, y0 (x)) , y0 (x) − x > (2.10) Mặt khác, từ y k (x) điểm cực tiểu hàm g k (x, ) C ta suy ∇y g k (x, y k (x)) , y k (x) − x ≤ Chuyển qua giới hạn k → ta ∇y f (x, y0 (x)) , y0 (x) − x ≤ 0, (2.11) (2.11) mâu thuẫn với (2.10) Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.4 Xét hai song hàm f g cho f (x, y) = −3x2 y + xy + 2y g (x, y) = −x2 − xy + 2y xác định R+ × R+ ta có (i) f, g giả đơn điệu, ∇- đơn điệu chặt R+ ; (ii) Với > song hàm f (x, y) + g (x, y) giả đơn điệu, ∇- đơn điệu chặt R+ thỏa mãn điều kiện định lý (2.2) Ví dụ 2.5 Xét hai song hàm f g cho f (x, y) = ex y − x2 g (x, y) = 10x y − x2 xác định R × R Khi ta có 46 (i) f, g đơn điệu, giả ∇- đơn điệu chặt R; (ii) Với > song hàm f (x, y) + g (x, y) đơn điệu, giả ∇- đơn điệu chặt R thỏa mãn điều kiện định lý (2.2) Hai ví dụ giả thiết định lý (2.2) thỏa mãn 2.4 Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Để giải toán đặt không chỉnh người ta thường sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Ý tưởng phương pháp để tìm nghiệm toán gốc người ta thay toán dãy toán phụ mà theo ý nghĩa "tốt" Một phương pháp để thực ý tưởng hiệu chỉnh Tikhonov Ở phương pháp ta phải tìm điều kiện thích hợp cho dãy nghiệm toán hiệu chỉnh hội tụ nghiệm có chuẩn bé toán ban đầu Gần tác giả P G Hưng L D Mưu (xem [13]) mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, C tập lồi đóng Rn f : C × C → R song hàm giả đơn điệu C Theo phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov nghiên cứu tác giả P G Hưng L D Mưu, toán EP (C, f ) hiệu chỉnh họ toán cân EP (C, f ) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) + g (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, g song hàm cân C > 0, đóng vai trò song hàm hiệu chỉnh tham số hiệu chỉnh 47 Định lý 2.3 (xem [13]) Giả sử f (., y) , g (., y) nửa liên tục theo x, cho f (., y) , g (., y) lồi, nửa liên tục C theo y hàm f giả đơn điệu C Giả sử thêm g đơn điệu mạnh C thỏa mãn điều kiện ∃δ > : |g (x, y) | ≤ δ x − xg y − x , ∀x, y ∈ C, (2.12) xg ∈ C điểm cho trước (thường đóng vai trò nghiệm đoán) Khi phát biểu sau tương đương (i) Tập nghiệm toán EP (C, f ) khác rỗng với > tồn lim+ x (ε), x ( ) nghiệm toán EP (C, f ); ε→0 (ii) Tập nghiệm toán EP (C, f ) khác rỗng với > lim sup x (ε) < ∞, với x ( ) điểm tập nghiệm ε→0+ toán EP (C, f ); (iii) Tập nghiệm toán EP (C, f ) khác rỗng Hơn nữa, phát biểu lim+ x (ε) nghiệm ε→0 toán cân đơn điệu mạnh EP (Sf , g), Sf tập nghiệm toán cân EP (C, f ) ban đầu Phần chứng minh định lý xem [13] Chú ý rằng, f đơn điệu C hàm hiệu chỉnh đơn điệu mạnh ta giải phương pháp có Điều giúp cho việc tìm quỹ đạo Tikhonov thực Tuy nhiên, f giả đơn điệu toán hiệu chỉnh, trường hợp tổng quát không đơn điệu mạnh hay đơn điệu chí giả đơn điệu Do đó, việc giải nhiệm vụ khó khăn Mặc dù vậy, từ định lý ta chuyển việc tìm điểm giới hạn dãy nghiệm toán hiệu chỉnh việc giải 48 toán cân hai cấp BEP (C, f, g) Để áp dụng phương pháp hàm phạt hàm đánh giá mục ta chọn song hàm hiệu chỉnh g thỏa mãn giả thiết định lý (2.3), chẳng hạn g (x, y) = x − xg , y − x Rõ ràng, g đơn điệu mạnh ∇− đơn điệu mạnh với hệ số Hơn nữa, g thỏa mãn điều kiện (2.12) Do đó, toán tìm điểm giới hạn toán hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phát biểu dạng toán cân hai cấp sau Tìm x∗ ∈ Sf cho g (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Sf Bây với k > cố định, ta xét toán cân phạt P EP (C, f k ) xác định sau Tìm xk ∈ C cho f (xk , y) + g (xk , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Cũng trước ta kí hiệu Sf k tâp nghiệm toán P EP (C, f k ) Áp dụng định lí (2.1) vào định lí (2.2) ta nhận hệ sau Hệ 2.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện (i) f (x, ) lồi, nửa liên tục ∀x ∈ C; (ii) f giả đơn điệu C Khi với k > toán phạt P EP (C, f k ) có nghiệm dãy {xk } ∈ Sf k với k hội tụ tới nghiệm toán Tìm xk ∈ C cho f (xk , y) + g (xk , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, 49 k → Nếu thêm vào f (x, ) + f + kg k g (x, ) hàm lồi chặt C với x ∈ C giả ∇− đơn điệu chặt C (điều thỏa mãn, chẳng hạn f (x, y) ∇− đơn điệu) Khi với xk điểm dừng toán tối ưu ϕk (x), x∈C ϕk (x) = {f (x, y) + εk g (x, y)} , y∈C {xk } hội tụ tới nghiệm toán Tìm x∗ ∈ Sf cho g (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ Sf , k → 50 Kết luận Như đề tài giải vấn đề đặt Đó trình bày phương pháp hàm phạt giải toán cân hai cấp, với hàm cân cấp hàm giả đơn điệu theo tập nghiệm phương pháp hàm đánh giá để giải toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇- đơn điệu chứng minh tính chất dừng hàm đánh giá giả thiết Ngoài áp dụng phương pháp trình bày vào toán nảy sinh ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu Ngoài vấn đề tìm hiểu luận văn mong bạn tiếp tục nghiên cứu, tìm phương pháp khác để giải toán cân hai cấp đơn giản 51 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [4] Anh P N., Kim J and Muu L D (2012), "An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities", J Glob Optim., 52, pp 527-539 [5] Auslender A (1976), Optimization: Mesthodes Numériqué, Masson, Paris [6] Bauschke H H and Combettes P L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [7] Bertsekas D P (1999), Nonlinear Programming, Second Edition, Athena Scientific 52 [8] Bigi G., Castellani M and Pappalardo M (2009), "A new solution method for equilibrium problems", Optim Methods Softw., 24, pp 895911 [9] Castellani M and Giuli M (2010), "On equivalent equilibrium problems", J Optim Theory Appl., 147, pp 157-168 [10] Dinh B V and Muu L D (2011), "On penalty and gap function methods for bilevel equiplibrium problem", J Appl Math., 2011 Art ID 646452, 14 pp [11] Fan K (1972), "A minimax inequality and applications, in: O Shisha", Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic Press, New York [12] Fukushima M (1992), "Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems", Math Program., 53, pp 99-110 [13] Hung P G and Muu L D (2011), "The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 74, pp 61216129 [14] Kalashnikov V V and Klashnikova N I (1996), "Sloving two-level variational inequality", J Glob Optim., 8, pp 289-294 [15] Karmanov V G (1989), Mathematical programming, Mir Publishers, Moscow [16] Konnov I V (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer 53 [17] Martinet B (1970), "Regularisation d’inequations variationelles par approximations sucessives", RADIO, 4, PP 154-159 [18] Mastroeni G (2003), "On auxiliary principle for equilibrium problems, in: P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri, (eds.)", Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [19] Mastroeni G (2003), "Gap functions for equilibrium problems", J Glob Optim., 27, pp 411-426 [20] Moudafi A (1999), "Proximal point algorithm extended to equilibrium problems", J Nat Geom., 15, pp 91-100 [21] Moudafi A (2010), "Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems", J Glob Optim., 47, pp 287-292 [22] Muu L D and Oettli W (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 18, pp 1159-1166 [23] Muu L D (1986), "An augmented penalty function method for solving a class of variational inequalities", USSR Comput Math Math Phys., 12, pp 1788-1796 [24] Nikaido H and Isoda K (1955), "Note on noncooperative convex games", Pac J Math., 5, pp 807-815 [25] Quoc T D and Muu L D (2012), "Iterative methods for sloving monotone equilibrium problems via dual gap funcitons", Comput Optim Appl., 51, pp 709-728 54 [26] Rockafellar R T (1997), Convex Analysis, Princeton Universty Press Princeon, New Jersey [27] Tuy H (1988), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publisher [28] Van N T T., Strodiot J J and Nguyen V H (2009), "A bundle method for sloving equilibrium problems", Math Program., 116, pp 529-552 ... cứu phương pháp giải cho toán cân hai cấp phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá Phương pháp nghiên cứu Để trình bày phương pháp giải cho toán cân hai cấp sử dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp. .. Trình bày phương pháp giải cho lớp toán cân hai cấp: - Sử dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán cân hai cấp giải dãy toán cân phạt; - Sử dụng phương pháp hàm đánh giá để giải toán cân phạt; -... biến phân hai cấp 27 1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 27 ii Phương pháp kết hợp hàm phạt hàm đánh giá giải toán cân hai cấp 29 2.1 Mô tả toán