Đang tải... (xem toàn văn)
Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương 1.1 Dưới vi phân suy rộng 1.1.1 Dưới vi phân suy rộng quy bán quy 1.1.2 Quy tắc tính vi phân suy rộng 1.1.3 Định lý giá trị trung bình cho vi phân suy rộng 13 1.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto 14 1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto 24 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương 27 2.1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu 27 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu 32 2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu 33 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 36 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, thầy tận tâm nhiệt tình bảo Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể cán giảng dạy lớp cao học toán K7Y nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Lê Thị Mai Mở đầu Khái niệm vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar – Luc đời năm 1999 Đây tổng quát hóa khái niệm vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich, Clarke-Rockafellar, Các điều kiện tối ưu ngôn ngữ vi phân suy rộng mạnh điều kiện tối ưu ngôn ngữ số loại vi phân số trường hợp, chẳng hạn cho toán với hàm Lipschitz địa phương Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu không gian hữu hạn chiều với hàm liên tục D T Luc ([6]) thiết lập Dutta - Chandra ([2]) dẫn điều kiện cần cho cực tiểu yếu ngôn ngữ vi phân suy rộng bán quy cho toán có ràng buộc bất đẳng thức D V Luu ([7,8]) dẫn điều kiện cần cho cựu tiểu yếu cựu tiểu Pareto toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian Banach qua vi phân suy rộng Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: “Dưới vi phân suy rộng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu” Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian Banach ngôn ngữ vi phân suy rộng Đỗ Văn Lưu đăng tạp chí Optimizaton, vol 63 (2014), No3, 321-335 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng bao gồm vi phân suy rộng trên, vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng bán quy vi phân suy rộng quy, quy tắc tính định lí giá trị trung bình cho vi phân suy rộng Chương trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto toán (MP) với nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu Chương trình bày điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương bao gồm điều kiện cần Fritz John Kuhn-Tucker cho cực tiểu yếu địa phương qua vi phân suy rộng bán quy điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương với nhân tử Lagrange dương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy Cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Lê Thị Mai Chương Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng V Jeyakumar D T Luc [5], J Dutta S Chandra [2], điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương D V Luu [7] ngôn ngữ vi phân suy rộng 1.1 Dưới vi phân suy rộng Giả sử X không gian Banach f : X → R hàm giá trị thực mở rộng, R := R ∪ {∞} Không gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ trang bị với tôpô yếu∗ Bao lồi bao lồi đóng tập A X ∗ kí hiệu tương ứng co(A) co(A) Giả sử x ∈ X f hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng f − (x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) , t f + (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (xt) t t↓0 t↓0 Định nghĩa 1.1 Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.2 Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂ x∗ , v ∗ f (x) Định nghĩa 1.3 Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x đồng thời vi phân suy rộng hàm f x Điều có nghĩa với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v , x∗ ∈∂ ∗ f (x) f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂ ∗ f (x) x∗ , v Điều tương ứng với điều kiện: với v ∈ X, max f − (x, v) , −f + (x, −v) ≤ s v | ∂ ∗ f (x) , s (v | C) := sup x∗ , v x∗ ∈C hàm tựa tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗ Chú ý vi phân suy rộng không thiết phải lồi compắc yếu∗ Sự mở rộng cho phép ta áp dụng cho lớp rộng hàm liên tục không trơn Ví dụ 1.1 Hàm f : R → R xác định √x, x ≥ 0, f (x) = −√−x, x < có vi phân suy rộng không compắc có dạng [α, ∞) với α ∈ R Ví dụ 1.2 Hàm f : R → R xác định f (x) = −|x| có vi phân suy rộng không lồi ∂ ∗ f (0) = {1, −1} Giả sử f : X −→ R hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke - Rockafellar f x theo phương v định nghĩa f x + tv − f x , t v →v f ↑ (x, v) = lim sup inf x →f x t↓0 x →f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke - Rockafellar f x với phương v định nghĩa f (x + tv ) − f (x ) t v →v f ↓ (x, v) = lim inf sup x →f x t↓0 Nếu f liên tục x x →f x định nghĩa đạo hàm viết đơn giản x → x Các vi phân suy rộng f x cho công thức: ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X , ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↑ (x, v) = sup x∗ , v x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < ∞ ∂ ↓ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf x∗ ∈∂ ↓ f (x) x∗ , v Nếu f Lipschitz địa phương x f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) , f ◦ (x, v) = lim sup x →x f (x + tv) − f (x ) , t t↓0 f◦ (x, v) = lim inf x →x f (x + tv) − f (x ) , t t↓0 đạo hàm theo phương suy rộng Clarke f x theo v Dưới vi phân suy rộng Clarke xác định ∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X Hơn nữa, f ◦ (x, v) = ∗ max ◦ x∗ , v , f◦ (x, v) = x∗ , v x ∈∂ f (x) x∗ ∈∂ ◦ f (x) Vì vậy, f Lipschitz địa phương x ∂ ◦ f (x) vi phân suy rộng f x, f − (x, v) ≤ f ◦ (x, v) f + (x, v) ≥ f◦ (x, v), với v ∈ X 23 coneDTs (x ) nón lồi sinh DTs (x) Do tính compăc co∂ ∗ fk (x ) ta suy HTs (x) đóng (iii) Trong trường hợp X vô hạn chiều X = C, co∂ ∗ fs (x ) compăc yếu∗ , DTs (x) đóng yếu∗ ∈ / DTs (x) HTs (x) đóng yếu∗ Thật vậy, coneDTs (x ) đóng yếu∗ , HTs (x) đóng yếu∗ Định lí 1.3 minh họa ví dụ sau Trong ví dụ này, thành phần hàm mục tiêu hàm ràng buộc bất đẳng thức tích cực không liên tục Ví dụ 1.3 Cho X = R, Y = R2 C = [0, 1] Kí hiệu Q tập số hữu tỷ f g xác định f (x) = (f1 (x), f2 (x)), f1 (x) = (x + 1)3 , x ∈ Q ∩ [0, +∞), (x − 1)2 , x ∈ Q ∩ (−∞, 0], 1, trường hợp khác f2 (x) = −x, 2x, g (x) = −x3 − 3x, x, x ∈ Q ∩ (−∞, 0], x ∈ Q ∩ [0, +∞), trường hợp khác Khi đó, tập chấp nhận M = [0, 1] ∩ Q x = cực tiểu Pareto toán tối ưu đa mục tiêu sau đây: minf (x ), với điều kiện g(x ) x ∈ C 24 Lưu ý g ràng buộc tích cực toán Ta thấy 3v, v 0, + f1 (0; v) = −2v, v < 0, f1− (0, v) = (∀v ∈ R), f2+ (0, v) = f2− (0, v) = −v (∀v ∈ R), (∀v ∈ R) g + (0, v) = v 2 2v, v 0, − g (0; v) = −3v, v > Các tập ∂ ∗ f1 (0) = {−2, 3} , ∂ ∗ f2 (0) = {−1} , ∂ ∗ g(0) = , tương ứng vi phân suy rộng quy bị chặn f1 , f2 , g x = Có thể thấy Q1 (0) = [0, 1] ∩ Q, Z(C; 0) = R+ , C(Q1 (0); 0) = Z(Q1 (0); 0) = R+ Như (CQ1) với s = Với T = R+ , T = −R+ HT1 (0) = R đóng Vì tất giả thiết định lí 1.3 thỏa mãn, điều kiện cần (1.7) với λ2 = 0, µ = 1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán (MP) với nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu, ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 1.2 25 Với k ∈ J, hàm fk có vi phân suy rộng bán quy bị chặn khác rỗng ∂ ∗ fk (x) x; với i ∈ I(x), hàm gi có vi phân suy rộng ∂ ∗ gi (x) x, hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x, hàm hj (j ∈ L) khả vi Gâteaux x Sau ta phát biểu điều kiện cần Kunh - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto với nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu Định lí 1.4 Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương toán (MP) Giả sử có giả thiết 1.2 thỏa mãn, điều kiện quy (CQ1) với s ∈ J, tập HTs (x) đóng yếu∗ với nón lồi đóng khác rỗng T Z(C, x) với đỉnh gốc với s ∈ J Khi đó, tồn λk > 0(∀k ∈ J), µi 0(∀i ∈ I(x)), γj ∈ R(∀ ∈ J) cho λk co∂ ∗ fk (x) + 0∈ k∈J,k=s µi co∂ ∗ gi (x) + γj G hj (x) + T j∈L i∈I(x) Chứng minh Dễ thấy giả thiết 1.2 kéo theo giả thiết 1.1 với s ∈ J Ta (s) áp dụng định lí 1.3 suy với s ∈ J, tồn λk (s) s), µi 0(∀k ∈ J, k = (s) 0(∀i ∈ I(x)) γj ∈ R(∀j ∈ L) cho (s) ∈ co∂ ∗ fs (x) + (s) λk co∂ ∗ fk (x) + k∈J,k=s i∈I(x) (s) γj + µi co∂ ∗ gi (x) G hj (1.20) (x) + T j∈L Lấy s = 1, , m (1.20) cộng hai vế bao hàm thức nhận được, ta suy λk co∂ ∗ fk (x) + 0∈ k∈J,k=s µi co∂ ∗ gi (x) + i∈I(x) γj ∇G hj (x) + T , j∈L 26 λk = + (∀i ∈ I(x)), γj = (s) s∈J, s=k λk > 0(∀k ∈ J), µi (s) s∈J γj ∈ R (∀j ∈ L) Định lí = (s) s∈J µi chứng minh Nhận xét 1.2 Trong định lí 1.4, ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I (x)) không bị chặn 27 Chương Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương Chương trình bày kết D V Luu [7] điều kiện cần Fritz John Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương qua vi phân suy rộng bán quy 2.1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Để dẫn điều kiện cần mô tả hệ bất đẳng thức không tương thích, ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 2.1 Với k ∈ J i ∈ I(x), hàm fk gi có vi phân suy rộng bán quy ∂ ∗ fk (x) ∂ ∗ gi (x) x, tương ứng; ∂ ∗ fs (x) = ∅ với s ∈ J; hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x; hàm hj (j ∈ L) khả vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet ∇hj (x) Chúng ta bắt đầu mục với điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương Định lí 2.1 Giả sử x cực tiểu yếu địa phương toán (MP) với C = X Giả sử giả thiết 2.1 đạo hàm Fréchet ∇h1 (x), , ∇h (x) độc 28 lập tuyến tính Hơn nữa, ta giả sử tất hàm fk (k ∈ J) gi (i ∈ I(x)) Lipschitz địa phương x Khi đó, hệ sau nghiệm v ∈ X: sup ξk , v < (∀k ∈ J) , (2.1) ζi , v ≤ (∀i ∈ I (x)) , (2.2) (∀j ∈ L) (2.3) ξk ∈co∂ ∗ fk (x) sup ζi ∈co∂ ∗ gi (x) ∇hj (x) , v = Chứng minh Trước hết ta hệ sau nghiệm v ∈ X: fk+ (x; v) < (∀k ∈ J) , (2.4) gi+ (x; v) < (∀i ∈ I (x)) , (2.5) ∇G hj (x) ; v = (2.6) (∀j ∈ L) Giả sử ngược lại hệ (2.4) - (2.6) có nghiệm v0 ∈ X Bởi ∇h1 (x), , ∇hl (x) độc lập tuyến tính, theo kết Halkin [4, định lí F], tồn lân cận U x ánh xạ ξ : U → X liên tục U khả vi Fréchet x cho ξ(x) = 0, ∇ξ(x) = hj (x + ξ(x)) = ∇hj (x) , x − x (∀x ∈ U, ∀j ∈ L) (2.7) Đặt η(t) = x + tv0 + ξ(x + tv0 ) (t ∈ [0, 1]) Từ (2.6), ta suy tồn số tự nhiên N1 cho với p N1 , t ∈ (0, p1 ), hj (η(t)) = t ∇hj (x) , v0 = (∀j ∈ L) Ta thấy ξ(x + tv0 ) ξ(x) + t∇ξ(x)v0 + o(t) o(t) = = , t t t (2.8) 29 o(t) t → t → Vì vậy, v0 + 1t ξ(x + tv0 ) → v0 t → Bởi fs Lipschitz địa phương x, từ (2.4) suy fs (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fs (x) lim sup = fs+ (x; v0 ) < t t↓0 Do đó, với số tự nhiên p, tồn ∈ (0; p1 ) cho lim sup t↓0 fs (x + tv0 + ξ(x + tv0 )) − fs (x) t fs (η(tp )) − fs (x) = lim < p→+∞ Do đó, tồn số tự nhiên N2 ( N1 ) cho với p N2 , (2.9) fs (η(tp )) < fs (x) Bởi với k ∈ J, k = s, fk Lipschitz địa phương x, ta có fk+ (x; v0 ) fk (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fk (x) = lim sup t t↓0 fk (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fk (x) = lim sup < p→+∞ t t∈(0, ) p Vì vậy, tồn số tự nhiên N3 ( N2 ) cho với p N3 , t ∈ (0, p1 ), fk (η(t)) < fk (x), vậy, fk (η(tp )) < fk (x) Tương tự, tồn số tự nhiên N4 ( p (2.10) N3 ) cho với i ∈ I (x) , N4 , gi (η(tp )) < Do tính liên tục gi (i ∈ / I (x)), tồn số tự nhiên N5 ( N4 ) cho với i ∈ I, p N5 , gi (η(tp )) < Từ (2.8) - (2.11), ta suy với p N5 , fk (η(tp )) < fk (x) (∀k ∈ J), (2.11) 30 gi (η(tp )) < (∀i ∈ I), hj (η(tp )) = (∀j ∈ L) Điều mâu thuẫn với x cực tiểu yếu địa phương (MP) Vì vậy, hệ (2.4) - (2.6) nghiệm Điều kéo theo hệ (2.1) - (2.3) nghiệm, định lí chứng minh Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương toán (MP) phát biểu sau Định lí 2.2 Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử tất giả thiết định lí 2.1 Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), µi 0(∀i ∈ I(x)) không đồng thời 0, γj ∈ R(∀j ∈ L) cho λk co∂ ∗ fk (x ) + ∈ cl k ∈J µi co∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.12) γj ∇hj (x), + j∈L cl kí hiệu bao đóng yếu∗ Chứng minh Ta áp dụng định lí 2.1 suy hệ (2.1) - (2.3) nghiệm Đặt λk co∂ ∗ fk (x) + B(x) = k∈J + γj G hj µi co∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (x) : λk ≥ (∀k ∈ J) , µi ≥ (∀i ∈ I (x)) , j∈L (λ, µ) = (0, 0), γj ∈ R (∀j ∈ L) , 31 λ = (λk )k∈J , µ = (µi )i∈I(x) , γ = (γj )j∈L Khi B(x) lồi Ta ∈ clB (x ), (2.13) Giả sử ngược lại 0∈ / clB (x ) Định lí tách cho tập lồi đóng yếu∗ điểm nằm tập [3, định lí 3.4] áp dụng suy tồn = v0 ∈ X cho sup ξ, v0 < (2.14) ξ∈B(x) Khi đó, cách lấy λk = 1, λk = (∀k ∈ J, k = k), µi = (∀i ∈ I (x)) γj = 0(∀j ∈ L), ta có ξk , v0 < (∀k ∈ J) (2.15) ζi , v0 < (∀i ∈ I (x)) (2.16) sup ξk ∈co∂ ∗ fk (x) Tương tự, ta nhận sup ζi ∈co∂ ∗ gi (x) Lấy ξs ∈ ∂ ∗ fs (x) , λs = 1, λk = 0(∀k ∈ J, k = s), µi = 0(∀i ∈ I (x) , γj = 0(∀j ∈ L, j = , ∈ L), từ (2.14) ta suy ξs , v0 + γ ∇h (x) , v0 < Bởi | ξs , v0 | < +∞ | ∇h (x) , v0 | < +∞, lí luận tương tự chứng minh định lí 1.3, ta nhận ∇hj (x) , v0 = (∀j ∈ L) (2.17) 32 Từ (2.15) - (2.17) ta suy v0 nghiệm hệ (2.1) - (2.3) Điều cho ta mâu thuẫn Vì (2.13) Điều kéo theo tồn λk (∀k ∈ (∀i ∈ I (x)), không đồng thời γj ∈ R (∀j ∈ L) J), µi cho λk co∂ ∗ fk (x ) + ∈ cl k ∈J µi co∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ) j ∈L i ∈I (x ) Vì (2.12) Định lí chứng minh Nhận xét 2.1 Định lí 2.2 tổng quát hóa định lí 4.3 [2] 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương toán (MP), ta đưa vào điều kiện quy (CQ2) sau: Với λk 0(∀k ∈ J, k = s, s ∈ J), µi 0(∀i ∈ I (x)) không đồng thời 0, γj ∈ R(∀j ∈ L), λk co∂ ∗ fk (x ) + 0∈ / cl k ∈J ,k =s µi co∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ), j ∈L i ∈I (x ) Với điều kiện quy (CQ2), ta phát biểu điều kiện cần Kuhn Tucker cho cực tiểu yếu địa phương (MP) sau Định lí 2.3 Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử tất giả thiết định lí 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) với s ∈ J Khi đó, tồn λs > 0, λk (∀k ∈ J, k = s), µi (∀i ∈ 33 I (x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) cho λk co∂ ∗ fk (x ) + ∈ cl k ∈J µi co∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.18) γj ∇hj (x) + j∈L Chứng minh Sử dụng định lí 2.2 ta suy tồn λk 0(∀k ∈ J), µi 0(∀i ∈ I(x)) phải không đồng thời γj ∈ R(∀j ∈ L) cho (2.12) Nếu λs = λk 0(∀k ∈ J, k = s), µi 0(∀i ∈ I (x)) phải không đồng thời Do đó, từ (CQ2) ta đến mâu thuẫn với (2.12) Vì λs > 2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu Để dẫn điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương toán (MP) với nhân tử Lagrange dương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu, ta đưa vào giả thiết 2.2 Chú ý điều kiện Kuhn - Tucker mạnh nghiên cứu [10, 11] Giả thiết 2.2 Với k ∈ J i ∈ I(x), hàm fk gi tương ứng có vi phân suy rộng bán quy ∂ ∗ fk (x) ∂ ∗ gi (x) x; ∂ ∗ fk (x) = ∅ với k ∈ J; hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x; hàm hj (j ∈ L) khả vi Fréchet x Một điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương với nhân tử Lagrange dương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu với giả thiết 2.2 phát biểu sau: 34 Định lí 2.4 Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử đạo hàm Fréchet ∇h1 (x), , ∇h (x) độc lập tuyến tính; hàm fk (k ∈ J) gi (i ∈ I(x)) Lipschitz địa phương x Giả sử giả thiết 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) với s ∈ J Khi đó, tồn λk > (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) cho λk co∂ ∗ fk (x ) + ∈ cl k ∈J µi co∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ) j ∈L i ∈I (x ) Chứng minh Có thể thấy tất giả thiết định lí 2.3 thỏa mãn với (s) s ∈ J Vì vậy, ta áp dụng định lí 2.3 suy với s ∈ J, tồn λk (s) (s) (s) (∀i ∈ I(x)) γj (∀k ∈ J, k = s), λs > 0, µi ∈ R (∀j ∈ L) cho (s) (s) λk ∂ ∗ fk (x ) + ∈ cl k ∈J (s) µi ∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ) (2.19) j ∈L i ∈I (x ) Bởi clA + clB ⊂ cl(A + B ), lấy s = 1, , m (2.19) cộng hai vế bao hàm thức lại, ta nhận 0∈ (s) k ∈J s∈J (s) λk ∂ ∗ fk (x ) + cl k ∈J µi ∂ ∗ gi (x ) + i ∈I (x ) (s) λk = λs + (∀i ∈ I(x)) γj = γj ∇hj (x ) s∈J j ∈L i ∈I (x ) λk ∂ ∗ fk (x ) + ⊂ cl (s) µi ∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ), j ∈L (s) s∈J, s=k λk > (∀k ∈ J), µi = (s) s∈J γj ∈ R(∀j ∈ L), ta có điều (s) s∈J µi phải chứng minh 35 Kết luận Luận văn trình bày kết Đỗ Văn Lưu [7] điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian Banach ngôn ngữ vi phân suy rộng Nội dung luận văn gồm: - Các khái niệm vi phân suy rộng, vi phân suy rộng tối thiểu vi phân suy rộng quy Các quy tắc tính vi phân suy rộng Định lí giá trị trung bình vi phân suy rộng - Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương toán (MP) - Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto địa phương toán (MP) - Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương - Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu - Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] Dutta J, Chandra S (2004), "Convexifactors, generalized convexity and vector optimality", Optimization 53, pp 77 - 94 [3] Girsanov I V (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extremum problems, Springer - Verlag, Berlin [4] Halkin H (1974), "Implicit functions and optimization problems without continuous differentiablility of the dat", SIAM J Control 12, pp 229 - 236 [5] Jeyakumar V., Luc D T (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl 101, pp 590 - 621 [6] Luc D T (2002), "A multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data", SIAM J Optim 13, pp 168 - 178 37 [7] Luu D V (2014), "Convexificators and necessary conditions for efficiency", Optimization, vol 63, No3, pp 321 - 335 [8] Luu D V (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency via convexificators", J Optim Theory Appl 160, pp 510 - 526 [9] Luu D V (2012), "Necessary conditions for efficiency in terms of the Michel-Penot subdifferentials", Optimization, 61, pp 1099 - 1117 [10] Maeda T (1994), "Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case", J Optim Theory Appl 80, pp 483 - 500 [11] Ye J J (2001), "Multiplier rules under mixed assumptions of differentiability and Lipschitz continuity", SIAM J Control Optim 39, pp 1441 - 1460 ... KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... Dưới vi phân suy rộng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương cực tiểu yếu địa phương toán tối. .. chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng bao gồm vi phân suy rộng trên, vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng bán quy vi phân suy rộng quy, quy tắc