Header Page of 148 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC o0o NGUYỄN NGỌC LINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ Footer Page of 148 HÀ NỘI – 2015 Header Page of 148 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC o0o NGUYỄN NGỌC LINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Đông Anh TS Lưu Xuân Hùng HÀ NỘI – 2015 Footer Page of 148 Header Page of 148 II LỜI CÁM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn thầy hướng dẫn khoa học, đặc biệt GS.TSKH Nguyễn Đông Anh, tận tâm hướng dẫn khoa học, truyền niềm say mê nghiên cứu giúp đỡ hoàn thành luận án Tôi xin bày tỏ cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Khoa Đào tạo sau đại học bạn bè, đồng nghiệp Viện Cơ học giúp đỡ từ ngày đầu Viện Cơ học Tôi xin bày tỏ cám ơn tới đơn vị công tác Trường Cao đẳng Xây dựng số ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình làm nghiên cứu sinh Tôi xin bày tỏ cám ơn tới TS Lã Đức Việt, chủ nhiệm đề tài “Tối ưu hóa tham số hệ tiêu tán tích trữ lượng điều khiển giám sát kết cấu”, mã số 107.04-2011.14- Nafosted tạo điều kiện cho tham gia đề tài có hỗ trợ tài giúp ích cho trình làm nghiên cứu sinh Cuối xin bày tỏ biết ơn đến gia đình động viên ủng hộ thời gian làm luận án Footer Page of 148 Header Page of 148 III LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Nguyễn Ngọc Linh Footer Page of 148 Header Page of 148 IV MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN II LỜI CAM ĐOAN III MỤC LỤC IV DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT VI DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ VIII DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI IX MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 1.1 Các khái niệm xác suất 1.1.1 Xác suất kiện ngẫu nhiên 1.1.2 Biến ngẫu nhiên đặc trưng xác suất 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Các đặc trưng trình ngẫu nhiên 1.2.2 Các trình ngẫu nhiên đặc biệt 12 1.3 Phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov (FPK) 16 1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss 17 1.4.1 Dao động ngẫu nhiên tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss 19 1.4.2 Dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss 20 1.5 Một số phương pháp xấp xỉ phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến 22 1.5.1 Phương pháp nhiễu 22 1.5.2 Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 22 1.5.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên 23 1.5.4 Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 24 1.5.5 Phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ 24 1.5.6 Phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK 25 1.5.7 Phương pháp mô số Monte Carlo 26 1.5.8 Nhận xét 26 Kết luận chương 28 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 29 2.1 Tiêu chuẩn kinh điển 33 Footer Page of 148 Header Page of 148 V 2.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số 35 2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh 35 2.4 Tuyến tính hóa tương đương dựa phân bố khác Gauss 37 2.5 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa phần 38 Kết luận chương 39 CHƯƠNG TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 40 3.1 Ý tưởng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát 40 3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 42 3.2.1 Khái niệm tiêu chuẩn đối ngẫu 42 3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính tiêu chuẩn đối ngẫu 44 3.2.3 Ý nghĩa hình học tiêu chuẩn đối ngẫu 46 3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai dao động ngẫu nhiên phi tuyến 50 3.3 Các ví dụ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu 52 3.3.1 Dao động Van der pol 52 3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba 54 3.3.3 Dao động Duffing 55 3.3.4 Dao động có cản đàn hồi phi tuyến 58 3.3.5 Dao động Lutes Sarkani 60 CHƯƠNG TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CÓ TRỌNG SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 66 4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66 4.1.1 Khái niệm tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66 4.1.2 Xác định dạng giải tích trọng số 68 4.1.3 Một số tính chất khác tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số đề xuất 74 4.1.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số để phân tích mô men bậc hai dao động ngẫu nhiên phi tuyến 76 4.2 Các ví dụ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 78 4.2.1 Dao động đàn hồi phi tuyến không cản 78 4.2.2 Dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ 80 4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc bậc 83 4.2.4 Dao động có cản phi tuyến phụ thuộc lượng 85 Footer Page of 148 Header Page of 148 VI 4.2.5 Dao động tự 88 Kết luận chương 91 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93 DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 96 PHỤ LỤC 103 Footer Page of 148 VII Header Page of 148 DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT A véc tơ, hàm phi tuyến a  x, t  véc tơ hệ số dịch chuyển  ,  ,c hệ số số B véc tơ, hàm tuyến tính tương đương b, k hệ số tuyến tính hóa tương đương bi , k j hệ số tuyến tính hóa thành phần thứ i, thứ j btt , h hệ số cản tuyến tính C hệ số chuẩn hóa c1 , ktt hệ số độ cứng tuyến tính c3 , c5 hệ số độ cứng phi tuyến Dxx  t1 , t2  , D12 hiệp phương sai dk    tỉ số hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số kinh điển d S _ ts    , d S _ kd    tỉ số không thứ nguyên minS   x hàm Delta Dirac E   ,   kỳ vọng toán e  x, x  sai số phương trình F  x hàm phân phối xác suất FPK phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov f t ,u t  kích động g  x, x  hàm phi tuyến dịch chuyển vận tốc H  x, x  hàm tổng lượng K  x, t  ma trận hệ số khuyếch tán R  t1 , t2  hàm tương quan  m mx hệ số trở khối lượng minS giá trị cực tiểu tiêu chuẩn tuyến tính hóa Footer Page of 148 trung bình xác suất VIII Header Page of 148  mức độ phụ thuộc tuyến tính n mô men trung tâm  nm mô men liên kết trung tâm P   xác suất kiện p, p    trọng số, hàm trọng số p  x  , p  x, x  hàm mật độ xác suất chiều, hai chiều p  x, t x0 , t0  mật độ xác suất chuyển tiếp r r2 S hệ số tương quan hệ số tương quan bình phương biểu thức sai số phương trình S x   hàm mật độ phổ S0 mật độ phổ số T chu kỳ dao động t , t0 , t1 , t2 thời gian  độ trễ U  x hàm u, v véc tơ v  t  , x  t  vận tốc X, Y biến ngẫu nhiên x t  dịch chuyển  x t  gia tốc  góc hai véc tơ  t  trình Wiener   t  trình ồn trắng  cường độ ồn trắng x độ lệch chuẩn  x2 phương sai  tần số kích động 0 tần số dao động tự Footer Page of 148 Header Page 10 of 148 IX DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Hàm mật độ tải trọng tác dụng lên dầm Hình 1.2 Một tổng thể hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu) Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất Hình 1.4 Tương quan dương tương quan âm 11 Hình 1.5 Hàm mật độ phổ hàm tự tương quan trình ồn trắng 14 Hình 1.6 Mô hình hệ học bậc tự 17 Hình 2.1 Các cách tiếp cận chủ yếu phương pháp tuyến tính hóa phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 31 Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ tiêu chuẩn đối ngẫu 49 Hình 3.2 Hàm dạng giếng đơn giếng đôi 56 Hình 3.3 Mô hình hệ bậc tự chuyển động có ma sát 60 Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh yếu 68 Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ) 72 Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính đoạn p(µ) 73 Hình 4.4 Tỉ số d k    75 Hình 4.5 Các tỉ số d S _ ts    , d S _ kd    76 Footer Page 10 of 148 Header Page 114 of 148 102 Fokker equations for nonlinear stochastic systems", Nonlinear Dynamics, 4:357–372 [73] Stratonovich R.L.(1963, 1967), "Topics in the theory of a random noise", New York: Gordon and Breach , vols and [74] Sun J.Q., Hsu C.S.(1990), "The generalized cell mapping method in nonlinear random vibration based upon short-time Gaussian approximation", ASME J Appl Mech., 7:1018–1025 [75] Timoshenko S.P.(1956), Engineering Mechanics, with D.H Young, McGraw-Hill Book Company, [76] Wen Y.K.(1980), "Equivalent linearization for hysteretic systems under random excitation", J.Appl.Mech ASME, 47, 150-154 [77] Wojtkiewicz S.F., Johnson E.A., Bergman L A., Spencer B.F.Jr.(1997), "Finite element and finite difference solutions to the transient Fokker–Planck equation", DESY 161: 290–306 [78] Zhang X.T., Elishakoff I., Zhang R.C.(1991), "A new stochastic linearization technique based on minimum mean square deviation of potential energies", In Stochastic Structural Dynamics-New Theoretical Developments, Lin YK, Elishakoff I (eds) Springer: Berlin, 327–338 [79] Zhao L., Chen Q.(1997), "An equivalent nonlinearization method for analysing response of nonlinear systems to random excitations", Applied Mathematics and Mechanics, June , Volume 18, Issue 6, pp 551-561 [80] Zhu W, Cai G.(2002), "Nonlinear stochastic dynamics: A survey of recent developments", Acta Mechanica Sinica (English Series), Vo1.18, No.6, December [81] Zhu W.Q.(1988), "Stochastic averaging methods in random vibrations", Appl Mech Rev., 41: 189-199 Footer Page 114 of 148 Header Page 115 of 148 103 PHỤ LỤC Tính toán mô men bậc hai dao động Van der pol function Vanderpol clear; %clc; %THONG SO DAU VAO anpha=0.2; omega=1; gamma=2; sigma=[sqrt(0.02) sqrt(0.2) sqrt(1) sqrt(2) sqrt(4)]; Exx_e=[0.2081 0.3638 0.7325 1.0255 1.4525]; %nghiem mo phong %GIAI Nsigma=max(size(sigma)); for i=1:1:Nsigma %nghiem kinh dien x01=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Ex)MyFun_kd(Ex,anpha,omega,sigma(i),gamma),x01); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/x_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn=fsolve(@(Ex)MyFun_dn (Ex,anpha,omega,sigma(i),gamma),x02); e_dn(i)=abs(Exx_dn(i)-x_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[sigma^2' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn ' e_dn'] %VE plot(sigma^2,Exx_e,'ko') hold on plot(sigma^2,Exx_kd,'kx') hold on plot(sigma^2,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel('sigma^2') ylabel('Exx') %HAM CON -%Tieu chuan doi ngau function F_dn=MyFun_dn(Exx,anpha,omega,sigma,gamma) b=3*gamma* Exx/5; F_dn= Exx -sigma^2/(2*(b-anpha)*(omega^2)); %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Exx,anpha,omega,sigma,gamma) b= gamma*Exx; F_kd= Exx -sigma^2/(2*(b-anpha)*(omega^2)); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động có cản phi tuyến bậc ba function Cubic_damping clear; %clc; %THONG SO DAU VAO - Footer Page 115 of 148 Header Page 116 of 148 104 epsilon=0.05; omega=1; sigma=sqrt(4*epsilon); gamma0=[1 10]; Exx_e =[0.4603 0.3584 0.3058 0.2720 0.2479 0.2294 0.2147 0.2025 0.1923 0.1835]; %nghiem phi tuyen hoa tuong duong %GIAI Ngamma=max(size(gamma0)); for i=1:1:Ngamma %nghiem kinh dien x01=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_kd(Exx,epsilon,omega,sigma,gamma0(i)),x01); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/x_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn=fsolve(@(Exx)MyFun_dn(Exx,epsilon,omega,sigma,gamma0(i)),x02); e_dn(i)=abs(Exx_dn (i)-x_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[gamma0' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn ' e_dn'] %VE plot(gamma0,Exx_e,'ko') hold on plot(gamma0,Exx_kd,'kx') hold on plot(gamma0,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel(gamma0') ylabel('Exx') %HAM CON -%Tieu chuan doi ngau function F_dn=MyFun_dn(Exx,epsilon,omega,sigma,gamma0) Eyg=6*epsilon*gamma0*omega^4*Exx^2; Egg=60*epsilon^2*gamma0^2*omega^6*Exx^3; miu=Eyg^2/(Exx*omega^2*Egg); b=1/(2-miu)*Eyg/(Exx*omega^2); F_dn=Exx-sigma^2/(2*(2*epsilon+b)*(omega^2)); %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Exx,epsilon,omega,sigma,gamma0) b= 6*epsilon*gamma0*omega^2*Exx; F_cv=Exx-sigma^2/(2*(2*epsilon+b)*omega^2); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động Duffing function Duffing clear; %clc; %THONG SO DAU VAO h=0.5; c1=1; %c1=-1; (double-well) sigma=sqrt(2); n=3; c3=[0.1 0.5 10 50 100]; %GIAI - Footer Page 116 of 148 Header Page 117 of 148 105 Nc3=max(size(c3)); for i=1:1:Ngamma %nghiem chinh xac TS(i)=quad(@(z)Fun1(z,h,c1,sigma,c3(i),n),0,10); MS(i)=quad(@(z)Fun2(z,h,c1,sigma,c3(i),n),0,10); Exx_e(i)=TS(i)/MS(i); %nghiem kinh dien x01=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_kd(Exx,h,c1,sigma,c3(i),n),x01); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/x_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn=fsolve(@(Exx)MyFun_dn (Exx,h,c1,sigma,c3(i),n),x02); e_dn(i)=abs(Exx_dn (i)-x_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[c3' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn ' e_dn'] %VE plot(c3,Exx_e,'ko') hold on plot(c3,Exx_kd,'kx') hold on plot(c3,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel(c3') ylabel('Exx') %HAM CON -%Tieu chuan doi ngau function F_dn =MyFun_dn(Exx,h,c1,sigma,c3,n) Exg=3*c3*Exx^2; Egg=15*c3^2*Exx^3; miu=Exg^2/(Exx*Egg); k=1/(2-miu)*Exg/(Exx); F_dn=Exx-sigma^2/(2*(2*h*(c1+k)); %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Exx,h,c1,sigma,c3,n) Exg=3*c3*Exx^2; k=Exg/(Exx); F_cv= Exx-sigma^2/(2*(2*h*(c1+k)); %Nghiem chinh xac function FunTS=Fun1(z,h,omega,sigma,gamma0,n) FunTS=(z^2*exp(-4*h*(omega^2*z^2/2 + gamma0*z^(n+1)/(n+1))/(sigma^2))); function FunMS=Fun2(z,h,omega,sigma,gamma0,n) FunMS=(exp(-4*h*(omega^2*z^2/2 + gamma0*z^(n+1)/(n+1))/(sigma^2))); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động có cản đàn hồi phi tuyến function NL_damping_spring clear; %clc; %THONG SO DAU VAO h=0.1; omega=1; sigma=1; gamma=[0.1 10 50 100]; Footer Page 117 of 148 Header Page 118 of 148 106 %GIAI Ngamma=max(size(gamma)); for i=1:1:Ngamma %nghiem chinh xac TS(i)=Fun1(gamma(i),h,omega,sigma); MS(i)=Fun2(gamma(i),h,omega,sigma); Exx_e(i)=TS(i)/MS(i); %nghiem kinh dien x01=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_kd(Exx,h,omega,sigma,gamma(i)),x01); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/x_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn=fsolve(@(Exx)MyFun_dn (Exx,h,omega,sigma,gamma(i)),x02); e_dn(i)=abs(Exx_dn(i)-x_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[gamma' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn ' e_dn'] %VE plot(gamma,Exx_e,'ko') hold on plot(gamma,Exx_kd,'kx') hold on plot(gamma,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel(gamma') ylabel('Exx') %HAM CON -%Tieu chuan doi ngau function F_dn=MyFun_dn(Exx,h,omega,sigma,gamma) Exg4=3*gamma*Exx^2; Egg4=15*gamma^2*Exx^3; miu4=Exg4^2/(Exx*Egg4); k4=1/(2-miu4)*Exg4/Exx; Eyy=Exx*(omega^2+k4); Eyg1=6*h*Eyy^2; Egg1=60*h^2*Eyy^3; Eyg2=2*h*omega^2*Exx*Eyy; Egg2=12*h^2*omega^4*Exx^2*Eyy; Eyg3=3*h*gamma*Exx^2*Eyy; Egg3=105*h^2*gamma^2*Exx^4*Eyy; miu1=Eyg1^2/(Eyy*Egg1); miu2=Eyg2^2/(Eyy*Egg2); miu3=Eyg3^2/(Eyy*Egg3); b1=1/(2-miu1)*Eyg1/Eyy; b2=1/(2-miu2)*Eyg2/Eyy; b3=1/(2-miu3)*Eyg3/Eyy; b=b1+b2+b3; k=k4; F_dn=Exx-sigma^2/(2*b*(omega^2+k)); %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Exx,h,omega,sigma,gamma) k=3*gamma*Exx; b=h*(8*omega^2*Exx+21*gamma*x^2); F_kd =Exx-sigma^2/(2*b*(omega^2+k)); %Nghiem chinh xac Footer Page 118 of 148 Header Page 119 of 148 107 function FunTS=Fun1(h,omega,sigma,gamma) FunTS=dblquad(@(z1,z2)z1.^2.*exp(-(4.*h0./sigma.^2)*((z2.^2)./2+ (omega.^2*z1.^2)./2 +(gamma.*z1.^4)./4).^2),0,5,0,5); function FunMS=Fun2(h,omega,sigma,gamma0,n) FunMS=dblquad(@(z1,z2)exp(-(4.*h0./sigma.^2)*((z2.^2)./2 +(omega.^2*z1.^2)./2+(gamma.*z1.^4)./4).^2),0,5,0,5); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động Lutes Sarkani function Lutes_Sarkani clear; clc; %THONG SO DAU VAO omega=0; gamma0=1; So=1/pi; n=[0.001 0.0390 0.0763 0.2216 0.4244 1.0000 1.7751 2.1999 2.5957 2.7150 2.79524532 3.212891728 3.437 3.676068888 3.9346 4.21878787 4.3415 4.5374 4.9036 5.3395 5.8858 6.6329 7.8662 10.6002 14.6808]; %GIAI Na=max(size(n)); for i=1:1:Na %Nghiem chinh xac Exx_e(i)=fsolve(@(Ex)MyFunexact(Ex,n(i),So,gamma0),1); sigmax_e(i)=sqrt(Exx_e(i)); miu(i)=(n(i).^2.*gamma(n(i)./2).^2)/(2.*pi.^(1./2).*gamma(n(i) + 1./2)); %nghiem kinh dien x01=Exx_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_kd(Exx,n(i),So,gamma0),x01); sigmax_kd(i)=Exx_kd(i).^(1./2); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=Exx_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_dn(Exx,n(i),So,gamma0),x02); sigmax_dn(i)=Exx_dn(i).^(1./2); e_dn(i)=abs(Exx_dn(i)-Exx_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[n' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn' e_dn' miu’] %VE plot(c3,Exx_e,'ko') hold on plot(c3,Exx_kd,'kx') hold on plot(c3,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel('n') ylabel('Exx') %HAM CON -%Tieu chuan doi ngau Footer Page 119 of 148 Header Page 120 of 148 108 function F_dn =MyFun_dn(Ex,n,So,gamma0) sigmax=Ex; Exx=sigmax^2; Exg=gamma0*sigmax^(n+1)*2^(n/2)*n*gamma(n/2)/sqrt(2*pi); Egg=gamma0^2*sigmax^(2*n)*2^(n+1/2)*gamma(n+1/2)/sqrt(2*pi); miu=Exg^2/(Exx*Egg); k=(1/(2-miu))*Exg/Exx; F_dn=sigmax^2-pi*So/k; %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Ex,n,So,gamma0) sigmax=Ex; Exx=sigmax^2; Exg=gamma0*sigmax^(n+1)*2^(n/2)*n*gamma(n/2)/sqrt(2*pi); Egg=gamma0^2*sigmax^(2*n)*2^(n+1/2)*gamma(n+1/2)/sqrt(2*pi); miu=Exg^2/(Exx*Egg); k=Exg/Exx; F_kd= sigmax^2-pi*So/k; %Nghiem chinh xac function F=MyFunexact(Ex,n,So,gamma0) F=Ex-(pi.*So./gamma0).^(2./(n+1)).*(n+1).^(2./(n+1)).*gamma(3./(n+1)) /gamma(1./(n+1)); % END % Tính toán trọng số xác từ dao động Lutes Sarkani function Lutes_Sarkani_WDC_p_miu clear; clc; %THONG SO DAU VAO omega=0; gamma0=1; So=1/pi; n=[0.0390 0.0763 0.2216 0.4244 1.0000 1.7751 2.1999 2.5957 2.7150 4.3415 4.5374 4.9036 5.3395 5.8858 6.6329 7.8662 10.6002 14.6808]; %GIAI Na=max(size(n)); for i=1:1:Na %Nghiem chinh xac EBB_e(i)=fsolve(@(Ex)MyFunexact(Ex,n(i),So,gamma0),1); sigmax_e(i)=sqrt(EBB_e(i)); EAB_e(i)=gamma0*sigmax_e(i).^(n(i)+1)*2.^(n(i)/2)*n(i)*gamma(n(i)/2)/ sqrt(2*pi); EAA_e(i)=gamma0.^2*sigmax_e(i).^(2*n(i))*2.^(n(i)+1/2)*gamma(n(i)+1/)/ sqrt(2*pi); miu(i)=(n(i)^2*gamma(n(i)/2)^2)/(2*pi^(1/2)*gamma(n(i) + 1/2)); k_e(i)=pi*So/(EBB_e(i)); p_e(i)=(k_e(i)- EAB_e(i)/EBB_e(i))/(miu(i)*k_e(i)-EAB_e(i)/EBB_e(i)); %Tinh anpha1, anpha2 anpha11(i)= miu(i)*(1- p_e(i)); anpha12(i)= miu(i).^2; anpha21(i)= miu(i)* p_e(i); anpha22(i)= miu(i)*(1- miu(i)); end %DAU RA anpha1TS=anpha11(1,10:18)'; anpha1MS=anpha12(1,10:18)'; anpha1=-sum(anpha1TS)/sum(anpha1MS); Footer Page 120 of 148 Header Page 121 of 148 109 anpha2TS=anpha11(1,1:9)'; anpha2MS=anpha12(1,1:9)'; anpha2=-sum(anpha2TS)/sum(anpha2MS); %VE plot(miu,p_e,'*-','LineWidth',2) grid on xlabel('miu') ylabel('p(miu)') %title('Lutes-Sarkani oscillator – The exact weighting coefficient') %HAM CON -function F=MyFunexact(Ex,n,So,gamma0) F=Ex-(pi.*So./gamma0).^(2./(n+1)).*(n+1).^(2./(n+1)).*gamma(3./(n+1)) /gamma(1./(n+1)); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động đàn hồi phi tuyến không cản function first_oder_nonlinear_spring clear; %clc; %THONG SO DAU VAO c1=1; sigma=sqrt(2); n=3; gamma=[0.1 0.5 10 50 100]; %GIAI Ngamma=max(size(gamma)); for i=1:1:Ngamma %nghiem chinh xac TS(i)=quad(@(z)Fun1(z,h,c1,sigma,gamma(i),n),0,10); MS(i)=quad(@(z)Fun2(z,h,c1,sigma,gamma(i),n),0,10); Exx_e(i)=TS(i)/MS(i); %nghiem kinh dien x01=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_kd(i)=fsolve(@(Exx)MyFun_kd(Exx,c1,sigma,gamma(i),n),x01); e_kd(i)=abs(Exx_kd(i)- Exx_e(i))*100/x_e(i); %sai so %nghiem doi ngau x02=x_e(i); %gia tri ban dau Exx_dn=fsolve(@(Exx)MyFun_dn (Exx,c1,sigma,gamma(i),n),x02); e_dn(i)=abs(Exx_dn (i)-x_e(i))*100/Exx_e(i); %sai so end %DAU RA result=[gamma' Exx_e' Exx_kd' e_kd' Exx_dn ' e_dn'] %VE plot(gamma,Exx_e,'ko') hold on plot(gamma,Exx_kd,'kx') hold on plot(gamma,Exx_dn,'k-*') hold on grid on xlabel(gamma') ylabel('Exx') %HAM CON Footer Page 121 of 148 Header Page 122 of 148 110 %Tieu chuan doi ngau function F_dn =MyFun_dn(Exx,c1,sigma,gamma,n) Exg=4*gamma*Exx^(3/2)/sqrt(2*pi); Egg=3*gamma^2*Exx^2; miu=Exg^2/(Exx*Egg); k=1/(2-miu)*Exg/Exx; F_dn=Exx-sigma^2/(2*(c1+k)); %Tieu chuan kinh dien function F_kd=MyFun_kd(Exx,c1,sigma,gamma,n) Exg=4*gamma*Exx^(3/2)/sqrt(2*pi); k=Exg/Exx; F_cv= Exx-sigma^2/(2*(c1+k)); %Nghiem chinh xac function FunTS=Fun1(z,c1,sigma,gamma,n) FunTS=z^2*exp(-2/(sigma^2)*(anpha*z^2/2+gamma*abs(z)^3/3)); function FunMS=Fun2(z,c1,sigma,gamma,n) FunMS=exp(-2/(sigma^2)*(anpha*z^2/2+gamma*abs(z)^3/3)); % END % Tính toán mô men bậc hai dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ function Nonlinear_spring clear; %clc; %THONG SO DAU VAO h=0.5; omega=1; sigma=sqrt(2); n=1/5; %1/3; 5; gamma0=[0.1 0.5 10 50 100]; %GIAI Ngamma0=max(size(gamma0)); for i=1:1:Ngamma %nghiem chinh xac TS(i)=quad(@(z)Fun1(z,h,omega,sigma,gamma0(i),n),0,10); MS(i)=quad(@(z)Fun2(z,h,omega,sigma,gamma0(i),n),0,10); Exx_e(i)=TS(i)/MS(i); %muc phu thuoc tuyen tinh miu(i)=(n.^2*gamma(n/2).^2)/(2*pi.^(1/2)*gamma(n + 1/2)); if miu(i)>=0 && miu(i)=0 && miu1(i)=0 && miu2(i)=0 && miu(i)=0 && miu(i)