Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI LỜI NÓI ðẦU Ngày phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, tích phân ñược ứng dụng rộng rãi ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, ñối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng Ngoài phép tính tích phân ñược ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12, ñược phổ biến tất trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học ðại cương Hơn kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân có ñề thi môn Toán khối A, khối B khối D Bên cạnh ñó, phép tính tích phân nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ nghiên cứu sinh Với tầm quan trọng phép tính tích phân, mà viết số kinh nghiệm giảng dạy tính tích phân khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 ñể em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học giúp cho em có tảng năm học ðại cương ðại học Trong phần nội dung chuyên ñề ñây, xin ñược nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập ñề nghị ñề thi Tốt nghiệp THPT ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng năm ñể em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân phần cuối chuyên ñề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ñồng môn Toán Sở Giáo dục ðào tạo tỉnh ðồng Nai Nhân dịp xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho hoàn thành chuyên ñề Tôi xin chân thành cám ơn./ Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI MỤC LỤC Lời nói ñầu Mục lục I Nguyên hàm: I.1 ðịnh nghĩa nguyên hàm I.2 ðịnh lý I.3 Các tính chất nguyên hàm I.4 Bảng công thức nguyên hàm số công thức bổ sung II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại ðịnh lý phương pháp ñổi biến số loại 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 14 Bài tập ñề nghị số 14 Bài tập ñề nghị số 15 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 16 Bài tập ñề nghị số 21 Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22 II.5 Phương pháp tích phân phần Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng III 10 23 28 Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36 Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I NGUYÊN HÀM: I.1 ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) ñược gọi nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) với x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 R b) Hàm số F(x) = lnx nguyên hàm hàm số f(x) = (0;+∞) x I.2 ðỊNH LÝ: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) thì: a) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x) khoảng ñó b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) ñều viết dạng F(x) + C với C số Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) cần tìm nguyên hàm ñó cộng vào số C Tập hợp nguyên hàm hàm số f(x) gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay gọi tích phân bất ñịnh) Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C VD2: a) ∫ 2xdx = x + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x -6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = 3/ ∫ x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) 4/ ∫ e x dx = e x + C 5/ ∫ a x dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C dx π = (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) cos x ∫ dx 9/ ∫ = (1+ cotg x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) sin x ∫ 8/ ∫ du π = (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) cos2u ∫ du 9/ ∫ = (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) sin2u ∫ 8/ ∫ CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) a α +1 α +1 + C (a ≠ 0) 2/ am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m 1 3/ ∫ dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a ax +b ax+b 4/ ∫ e dx = e + C (a ≠ 0) a a kx 5/ ∫ a kx dx = + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: π + kπ ) 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) a = am ; n m an = a m CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG cos ( a - b ) + cos ( a +b )  2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )  3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )  1/ cosa.cosb = Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II TÍCH PHÂN: II.1 ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng K, a b hai phẩn tử K, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi tích phân từ a ñến b f(x) Ký hiệu: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx =0 a a 2/ b ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a với c∈(a;b) c b / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / Nếu f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t biến thiên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx nguyên hàm f (t ) G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + + km fm (x ) a Trong ñó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có bảng nguyên hàm VD4: Tính tích phân sau: Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 2 -1 -1 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) GV: NGUYỄN DUY KHÔI = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/ 2/ bảng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ bảng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = ∫(3x -6x + - + )dx x x x 1 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phân tích phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/ bảng nguyên hàm công thức 3/ bổ sung 2 x -5x +3   ⇒ I= ∫ dx = ∫  x − +  dx x +1 x +1   0  x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx Nhận xét: Câu 4: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ bảng nguyên hàm  5x 1 ⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + -x  = ln5  ln5  0 1 x π -x x -x -x x π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/, 7/ 8/ bảng nguyên hàm Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ , 7/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nhận xét: Câu học sinh sai sử dụng nhầm công thức 2/ bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp) Với câu trước hết phải hạ bậc sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π ⇒ I= π 12 ∫ sin (2x - π )dx = 12 π  π  12 ∫  - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx π  1 1 π π =  x + cos4x  12 =  + cos 2  12 0  1  π 1  - 0 + cos0  = 24 - 16    π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = =  1 ∫0 (cos8x +cos4x )dx =  sin8x + sin4x  π 16  1 1 π π  1 2 1+ =  sin + sin  −  sin + sin  =  + 8 4  8  16  8 ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nhận xét: Câu biểu thức dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối cách xét dấu biểu thức x2 – [-2;2] kết hợp với tính chất 5/ tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUYỄN DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x - ) dx + ∫ ( x -1 )dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x - 4x -5 Nhận xét: Câu 10 ta không thực phép chia ña thức ñược câu 3, mặt khác biểu thức mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức 3x+9 A B = + = dấu tích phân sau: (phương pháp hệ số x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 bất ñịnh) 3 3x +9   ⇒ I= ∫ dx = ∫  dx = 4ln | x -5 |-ln |x +1 | ( )  x - 4x -5 x -5 x +1  2 10) I = ∫ = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln Chú ý 2: ðể tính I = ∫ a'x +b' dx ax +bx + c 27 (b2 - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: Nếu b - 4ac = , ñó ta có phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+b' b' a' dx dx 2a 2a dx = 2a + ∫ ∫ b b a x+ b a a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: Nếu b - 4ac >0 ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñịnh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñồng hai vế ⇒  Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Chú ý 3: TH1: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) P(x) A1 A2 An = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x - an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + m m -1 k r (x - a ) (x - a ) (x - a m ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) P(x) dx với P(x) Q(x) hai ña thức: TH3: ðể tính I = ∫ Q(x) m * Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) lấy P(x) chia cho Q(x) * Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) tìm cách ñưa dạng Nhận xét: Ví dụ gồm tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh áp dụng bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược toán với phép biến ñổi ñơn giản nhân phân phối, chia ña thức, ñồng hai ña thức, biến ñổi tích thành tổng Qua ví dụ nhằm giúp em thuộc công thức nắm vững phép tính tích phân BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính tích phân sau: 1) I = ∫(x x + 2x +1)dx 2x x + x x - 3x + dx x 2) Ι = ∫ 3) I = 5) I = x -3x -5x +3 dx ∫-1 x -2 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 2xdx 8) I = ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x -1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Footer Page of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang Header Page 10 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx phụ thuộc vào hàm số f(x), a cận a b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Tức là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp công thức hay qua bước phân tích ta không giải ñược Ta xét trường hợp sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai, ta không khử phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa bậc hai 2 dạng A , ñó ta liên tưởng ñến công thức: 1-sin x = cos x = cosx , ñó: π π ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2 ðổi cận: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π ⇒ I= ∫ 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( t ∈ 0;  ⇒ cost > ) 2  6 -2sin t 2(1-sin t) 0 Trong VD ta thay ñổi sau: I = ∫ ñược kết I = π Kết bị sai hàm số f (x) = dx Học sinh làm tương tự -x2 không xác ñịnh x= 2-x2 Do ñó ñề dạng Giáo viên cần ý: hàm số f (x) xác ñịnh [a;b] Footer Page 10 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 10 Header Page 26 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π x I = ∫ 4e cos xdx Nhận xét: Dạng tích phân phần tích phân có dạng ∫ e sin(nx)dx x biểu thức dấu tích phân ví dụ chứa cos x ñó hạ bậc ta ñưa tích phân ñúng dạng π π π π 4 4 π I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x.dx = I1 + I2 x x x x 0 Ta có: π π x I1 = ∫ 2e dx = 2e x π = 2e -2 π I2 = ∫ 2excos2x.dx du = -2.sin2xdx u = cos2x  ⇒  ðặt:  x  v = 2ex dv = 2e dx π ⇒ I2 = 2e cos2x x + ∫ 4e x sin2xdx = -2 + Β Β = ∫ 4e x sin2xdx du = 2.cos2xdx u = sin2x  ⇒  ðặt:  x  v = 4ex dv = 4e dx π ⇒ B = 4e sin2x x π − ∫ 8e cos2xdx = 4e − I2 x π ⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e − 4I2 π π 1 ⇔ I2 = -2 + 4e ⇔ I =  -2 + 4e     π π  14 π4 12 1 I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e − 5  Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải tính tích phân phần hai lần, tính lần hai biểu thức xuất tích phân I cần tính ban ñầu nên ta gọi dạng Footer Page 26 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 26 Header Page 27 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI tích phần phần lặp Trong dạng tập làm học sinh cần lưu ý dấu sử dụng công thức tích phân phần π π 4 x dx Từ ñó suy ra: B = ∫ x.tg 2xdx (ðH NN Khối B 2000) A = ∫ cos x 0 π u = x du = dx  ðặt  dx ⇒  v = tgx dv = cos x π = π + ln cosx = ⇒ A = x.tgx π π 4 - ∫ tgxdx = π + d(cosx) ∫0 cosx π - ln2 π π π 4 π π π2 dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.( -1)dx = ∫ x cos x 32 cos 2x 0 0 I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Khối D 2004)  (2x - 1)dx = (2x - 1)dx x ( x -1 ) du = u = ln(x - x) x2 - x ⇒  ðặt:   dv = dx  v = x - (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñể khử mẫu số) 3 2x - ⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + x 2 Nhận xét: Trong dạng tập tích phân phần có chứa ln(u(x)) thường xuất phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x)+C với C số thích hợp ta ñơn giản ñược phân số ñể cho bước tính tích phân ñơn giản Một ví dụ tương tự: I = ∫ 2xln(x - 2)dx 3 π    2  I = ∫ sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải nhận xét ñược bước ñầu phải ñổi biến số ðặt u = x ⇒ u = x ⇒ 3u = dx ðổi cận: x π    2 Footer Page 27 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 27 Header Page 28 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π u GV: NGUYỄN DUY KHÔI π π 2 0 ⇒ I = ∫ 3u 2sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta biến ñổi ñể học sinh dễ nhận dạng tích phân phần dạng Nhận xét: ðến ñây tích phân có dạng tích phân phần Do ña thức bậc hai nên ñể tính I, học sinh phải tính tích phân phần lần: u = 3x du = 6xdx ⇒ ðặt  v = sinx dv = cosx.dx π ⇒ I = 3x sinx 2 π 3π − ∫ 6xsinx dx = − I1 π I1 = ∫ 6xsinx dx u = 6x du = 6dx ⇒ ðặt  dv = sinxdx v = -cosx π π ⇒ I1 = −6x.cosx + ∫ 6cosx dx = 6x.sinx 0 ⇒I=− π 2 = 3π 3π 3π + I1 = − 3π 4 2 Nhận xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi học sinh phải áp dụng hai phương pháp ñổi biến số loại tích phân phần Ví dụ tương tự: (phối hợp hai phương pháp) π2 π2 a) I = ∫ sin e4 x dx b) I = ∫ x.ln(1+ x )dx 0 π π d) I = ∫ ecosx sin2x.dx e) I = ln tgx ∫π cos x dx ∫ c) I = cos lnx dx x f) I = ∫ e x dx BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 6: Tính tích phân sau: Footer Page 28 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 28 Header Page 29 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ln2 π 6 -x ∫ xe dx a) I = GV: NGUYỄN DUY KHÔI π c) I = ∫(2x -4)sin2xdx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx 0 π d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx f) I = xdx ∫ π sin x π g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx π x j) I = ∫(x + sin x)cosxdx (TNTHPT – 2005) Tính tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) π a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997) b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.Học 1997) 0 π    4 π c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998) ∫ d) I = cos xdx (ðH DLNN-T.Học 1998) 0 π lnx e) I = ∫ dx (ðH Huế 1998) x f) I = ∫ x (2cos x -1 )dx (ðH TCKT 1998) ln ( x +1 ) g) I = ∫ dx (ðH Cñoàn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dược 2001) x 1 10 π    2  ∫ i) I = e sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln xdx (ðH KTế HDương 2002) e x +1 lnxdx (ðHCð Dự bị 2-2003); l) I = ∫ x e2x + x +1 dx (ðHCð D.bị 2003) x -1 ( k) I = ∫ ) m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð Dự bị 2-2003); n) I = ∫ ( x + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003) III Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS Trong số trường hợp số tích phân phức tạp ñã giải ñược kết chưa ñánh giá ñược ñộ xác kết ñúng hay sai, ñó ta sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS ñể kiểm tra kết Ví dụ với ñề thi π sin2x +sinx dx ta sử dụng máy tính sau: 1+3cosx Khối A năm 2005 I = ∫ Footer Page 29 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 29 Header Page 30 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 34 + Với kết qủa giải tay ta chuyển sang số thập phân ≈ 1,259259… 27 + ðối với tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế ñộ Rad + Quy trình bấm máy CASIO fx-570MS sau: ( ∫ dx ( sin ( ÷ ALPHA X ) ) , X , ALPHA ( SHIFT π ) X + + cos ÷ ) sin ALPHA = Và kết qủa máy tính 1,2593 So với kết gần ñúng ñồng nghĩa với ñáp số giải tay ñã ñúng BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá trị bằng: A B C -2 D C -1 D e Câu 2: ∫ x -1 dx có giá trị bằng: A B Câu 3: Chọn mệnh ñề ñúng: A π ≤ 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π B ≤ 3π C ≤ ∫ π 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π dx π ≤ - 2sin x D ≤ 4 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π e Câu 4: lnx dx có giá trị bằng: x ∫ A 1 B C -1 D e Câu 5: ∫ ( x + ) dx có giá trị bằng: Footer Page 30 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 30 Header Page 31 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 211 A B 211 C 201 GV: NGUYỄN DUY KHÔI 201 D π Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá trị bằng: A e - B C e D - e C D π Câu 7: ∫ + 3cosx sinx dx có giá trị bằng: A Câu 8: ∫x B dx có giá trị bằng: + x +1 A π B π C π D π 3 (2x -1 )dx có giá trị bằng: ∫ 2 Câu 9: x - x -1 A ln B ln C ln D ln ( 4x + )dx có giá trị bằng: ∫ Câu 10: x + x +1 A 3ln2 Câu 11: dx ∫ x + 2x + -1 A ln (2 + ) Câu 11: dx ∫ -3x +6x +1 A Câu 12: ∫ π 3 B 2ln3 C ln4 D ln6 C ln ( + ) D ln ( - ) có giá trị bằng: B ln ( +5 ) có giá trị bằng: B π C π 12 D π 15 ( 4x +6 )dx có giá trị bằng: x - 2x +3 A 4ln (2 + ) B 6ln (2 + ) C 8ln (2 + ) D 10ln (2 + ) 2 Câu 13: ∫ x x +1 dx có giá trị bằng: Footer Page 31 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 31 Header Page 32 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 26 A Câu 14: ∫x A Câu 15: 28 B dx có giá trị bằng: x -3 π B dx ∫ A ln 2 Câu 16: π C π 12 D π 36 có giá trị bằng: x +1 GV: NGUYỄN DUY KHÔI 34 D 32 C B ln2 dx ∫ cosx +1 C ln ( +1 ) D ln ( + ) C D C D C -ln2 D 1+ln2 có giá trị bằng: A π Câu 17: B dx ∫ sinx +1 có giá trị bằng: A π Câu 18: B dx ∫ sinx - 2cosx - có giá trị bằng: A -ln2 B ln2 π sinx -cosx  Câu 19: ∫   dx có giá trị bằng: sinx +cosx   A 1+ π Câu 20: π B -1+ cosx ∫ 11 -7sinx -cos x dx π C - π D -1- π có giá trị bằng: A - ln B - ln5 C ln D ln π Câu 21: x +cosx ∫π - sin x dx có giá trị bằng: A ln3 B ln3 C ln3 D ln3 π  Câu 22: ∫ ln   dx có giá trị bằng: 1+cosx   1+ sinx Footer Page 32 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 32 Header Page 33 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π 3π A B 2 GV: NGUYỄN DUY KHÔI C D C -ln3 D -ln3 π Câu 23: sin4x ∫ sin x +cos x dx 4 có giá trị bằng: A -ln2 B -ln2 - Câu 24: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f(-x) + f(x) = cos7x π ∫π f(x) dx - có giá trị bằng: 16 35 A B 32 35 C 24 35 D 12 35 - Câu 25: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f(-x) + f(x) = cos x.sin x π ∫π f(x) dx - có giá trị bằng: A - B - C D C D C 14 D Câu 26: ∫ x - x dx có giá trị bằng: A B Câu 27: ∫ x - 2x - x + dx có giá trị bằng: -1 A B 37 12 41 12 Câu 28: ∫x -3x + dx có giá trị bằng: -3 A 59 B π Câu 29: ∫ - 4cos x - 4sinx dx A -2 - - π 59 C - 59 D - 59 π  π2 có giá trị bằng:  ∫ - 4cos x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx 0  B - - π Footer Page 33 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai C + - π      D + + π Trang 33 Header Page 34 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá trị bằng: A - + ∫(2 x A + Câu 32: π C - + π D - - π - dx có giá trị bằng: -1 B - - ) Câu 31: π ln2 dx ∫ 1+ 1- x B + ln2 C 4+ ln2 D + ln2 có giá trị bằng: -1 A ln2 B 2ln2 C 3ln2 D 4ln2 C D C D 11 Câu 33: ∫ ( x - x -1 )dx có giá trị bằng: -1 A B Câu 34: ∫ ( 1- x - 1+ x )dx có giá trị bằng: A B Câu 35: ∫ xlnxdx có giá trị bằng: A e +1 B e +1 C e +1 D e +1 π Câu 36: ∫ xcosxdx có giá trị bằng: A π B +2 π C -2 π +1 D π -1 Câu 37: ∫ xe xdx có giá trị bằng: A B C D π Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá trị bằng: 2 π  A -  e +1    1 π  B -  e +1    Footer Page 34 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai C   π2  e +1  5  D   π2  e +1  5  Trang 34 Header Page 35 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá trị bằng: A π (e + ) B π (e - ) C eπ +1 ) ( D eπ -1 ) ( C 3e -5 D -3e 2 C π (e - 1) D π (-e +1 ) Câu 40: ∫ e 2x (x - ) dx có giá trị bằng: A -3e B 3e -5 ex Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá trị bằng: A π ( e +1 ) B − π ( e +1 ) e Câu 42: ∫ sin (lnx )dx có giá trị bằng: A e Câu 43: ∫ e x (sin1-cos1 )e+1 B (sin1-cos1 )e -1 π e B eπ 1+ x (1+ x ) A e Câu 45: ∫ e x A (cos1- sin1 )e+1 D (cos1-sin1)e+1 1+ sinx dx có giá trị bằng: 1+cosx A e Câu 44: ∫ e x C (1+ x ) e-2 D e2 π C e D dx có giá trị bằng: B x 3π C e dx có giá trị bằng: B e+ 2 Footer Page 35 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai C e -1 D e+1 Trang 35 Header Page 36 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập ñề nghị ñề thi Tốt nghiệp THPT ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng năm trước ñể em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân, bên cạnh ñó hướng dẫn học sinh kiểm tra kết giải có kết ñúng hay sai máy tính cầm tay CASIO fx-570MS phần cuối chuyên ñề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân ðể phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 ñể em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học giúp cho em có tảng năm học ðại cương ðại học Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ñồng môn Toán Sở Giáo dục ðào tạo tỉnh ðồng Nai Một lần xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho hoàn thành chuyên ñề Tôi xin chân thành cám ơn./ Footer Page 36 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 36 Header Page 37 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 Sách giáo viên giải tích 12 Tuyển tập chuyên ñề kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương ðạo hàm tích phân - Võ ðại Mau & Võ ðại Hoài ðức Chuyên ñề tích phân ñại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh Các dạng toán giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa Trắc nghiệm khách quan giải tích tích phân - ðoàn Vương Nguyên Footer Page 37 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 37 Header Page 38 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI NHẬN XÉT Footer Page 38 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 38 Header Page 39 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Footer Page 39 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 39 Header Page 40 of 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Footer Page 40 of 258 Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 40 ... 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1 dx = -2 ∫ (x GV: NGUYỄN DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x - ) dx + ∫ ( x -1 )dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2 ... II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương. .. 258 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI a) Một số dạng thường gặp ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch) Trong số trường hợp tính tích phân phương pháp phân tích hay tính tích