CÁC CHUYÊN đề CHỌN lọc bồi DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN thpt (rất hay)

283 1,588 1
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 01/03/2017, 06:18

HI TON HC S GD & T HNG YấN H NI **************** ******************* NGUYN VN MU, NGUYN VN PHấ (C H BIấN) HI THO KHOA HC C C CHUYấN CHN LC BI DNG HC SINH GII TON HNG YấN 25-26/02/2017 LI M U Nguyn Vn Phờ Tnh y viờn - Giỏm c S GD& T Hng Yờn Thc hin Ngh quyt 29-NQ/TW Hi ngh ln th 8, Ban Chp hnh Trung ng khúa XI v i mi cn bn, ton din giỏo dc v o to; Ngh quyt s 09-NQ/TU ngy 4/10/2016 ca Ban Chp hnh ng b tnh khúa XVIII v Chng trỡnh phỏt trin GD & T tnh Hng Yờn giai on 2016-2020, mt s nh hng n nm 2025; K hoch 321/KH_UBND ngy 29/12/2016 ca UBND tnh Hng Yờn v thc hin Ngh quyt s 09NQ/TU ngy 4/10/2016 ca Ban Chp hnh ng b tnh khúa XVIII, S GD & T Hng Yờn phi hp vi Hi Toỏn hc H Ni t chc Hi tho Cỏc chuyờn chn lc bi dng hc sinh gii Toỏn THPT tnh Hng Yờn ln th Nht nm 2017 Trong nhng nm qua, cụng tỏc phỏt hin v bi dng hc sinh gii ca tnh luụn c quan tõm chỳ trng Hng nm, S GD & DT t chc kỡ thi hc sinh gii cp tnh cỏc mụn húa cho hc sinh lp v hc sinh THPT, lm tt cụng tỏc tuyn chn v bi dng cho hc sinh tham gia kỡ thi Hc sinh gii cp quc gia THPT Kt qu kỡ thi chn hc sinh gii quc gia hng nm c gi n nh, ú cú nhiu em t gii cao Trong nm tr li õy, cú hc sinh c tham gia thi Olympic Quc t Chõu - Thỏi Bỡnh Dng Song song vi vic bi dng hc sinh, cụng tỏc o to, bi dng i ng giỏo viờn c quan tõm, nh mt khõu quan trng to nờn cht lng cụng tỏc bi dng hc sinh gii Nhiu hi tho, cỏc lp hun chuyờn mụn c t chc hng nm theo quy mụ cp tnh vi mc tiờu nõng cao kin thc, k nng, nghip v s phm cho giỏo viờn Hi tho Cỏc chuyờn Toỏn hc bi dng hc sinh gii tnh Hng Yờn ln th Nht nm 2017 c t chc nhm ỏnh giỏ khỏch quan thc trng cụng tỏc o to, bi dng hc sinh gii, t ú nhng gii phỏp hu hiu nhm o to hc sinh gii nhng nm tip theo Hi tho c vinh d ún tip nhiu nh khoa hc, nh giỏo lóo thnh, cỏc chuyờn gia Toỏn hc u ngnh, cỏc chuyờn gia giỏo dc v vi t Hng Yờn ngn nm Vn Hin Ban t chc Hi tho hy vng õy s l c hi cỏc giỏo viờn b mụn Toỏn ca tnh Hng Yờn v cỏc tnh bn c trao i, chia s, rỳt nhng bi hc kinh nghim quý bỏu cụng tỏc bi dng hc sinh gii núi chung, b mụn Toỏn cp THPT núi riờng Hi tho Toỏn hc cng s l tin chỳng ta t chc nhng hi tho tip theo i vi cỏc b mụn khoa hc khỏc Nhõn dp ny, S GD& T Hng Yờn chõn thnh cm n Hi Toỏn hc H Ni, cỏc nh khoa hc, nh giỏo lóo thnh, cỏc chuyờn gia Toỏn hc u ngnh S GD & T tnh ghi nhn s úng gúp ca cỏc chuyờn gia giỏo dc, lónh o, cỏn b ph trỏch chuyờn mụn ca S GD & T, cỏc thy, cụ giỏo b mụn Toỏn ó vit bi v tham gia Hi tho S úng gúp ca cỏc ng gúp phn lm nờn thnh cụng ca Hi tho Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 TRNG THPT C HUYấN HNG YấN NI THP SNG NHNG TI NNG TON HC Nguyn Th Hng Thỳy Hiu trng trng THPT Chuyờn Hng Yờn Trng Trung hc ph thụng Chuyờn Hng Yờn c thnh lp ngy 23 thỏng nm 1997 Ban u, trng cú tờn l trng Ph thụng Nng khiu Hng Yờn T nm 2003 n nay, trng mang tờn trng THPT Chuyờn Hng Yờn Trng ta lc ti s 1, ng Chu Vn An, phng An To, thnh ph Hng Yờn Mc tiờu ca nh trng l xõy dng mt ngụi trng cht lng cao, ú hc sinh c bi dng nng khiu, ng thi c phỏt trin ton din v trớ tu, nng lc t duy, nghiờn cu v th cht Tri qua gn 20 nm k t thnh lp n nay, trng THPT Chuyờn Hng Yờn khụng ngng phỏt trin ln mnh v mi mt Trong ú, cụng tỏc bi dng hc sinh gii, hc sinh nng khiu c coi l nhim v trng tõm hng u Tớnh n nay, trng ó cú tng s 714 hc sinh ot gii hc sinh gii Quc gia, ú cú 12 gii nht, 85 gii nhỡ, 328 gii ba, 290 gii khuyn khớch; cú hc sinh t Huy chng ng quc t, hc sinh c tham gia d thi Olympic Quc t Chõu -Thỏi Bỡnh Dng i vi b mụn Toỏn, nh trng cú 92 gii, ú cú gii nht, gii Nhỡ, 53 gii Ba, 32 gii khuyn khớch; hc sinh c tham gia d thi Olympic Quc t Chõu -Thỏi Bỡnh Dng Trong khụng khớ ca nhng ngy u xuõn mi inh Du 2017, trng THPT Chuyờn Hng Yờn c vinh d chn l n v ng cai t chc Hi tho Cỏc chuyờn chn lc bi dng hc sinh gii Toỏn THPT ca ngnh GD& T Hng Yờn õy l dp sinh hot chuyờn mụn b ớch gúp phn nõng cao cht lng i ng giỏo viờn, nõng cao cht lng bi dng hc sinh gii mụn Toỏn, ng thi cng l hot ng ý ngha hng ti k nim 20 nm thnh lp trng THPT Chuyờn Hng Yờn (1997-2017) Tham gia vit bi cho Hi tho cú 25 tỏc gi, nhúm tỏc gi l cỏc chuyờn gia u ngnh b mụn Toỏn; hi viờn Hi Toỏn hc H Ni; Bỏo Toỏn hc v Tui tr; ging viờn trng i hc Thng Long, hc vin An Ninh nhõn dõn; giỏo viờn b mụn Toỏn thuc cỏc trng THPT ca thnh ph Hi Phũng, tnh Bc Giang, Bỡnh nh; giỏo viờn Toỏn cỏc trng THPT Chuyờn HSP H Ni, Vnh Phỳc, Tuyờn Quang v THPT Chuyờn Hng Yờn Cỏc chuyờn trung vo cỏc lnh vc khỏc ca Toỏn hc nh: S hc, Hỡnh hc, T hp, Dóy s, Bt ng thc, Phng trỡnh, Bt phng trỡnh Nhiu chuyờn cú cht lng chuyờn mụn sõu, th hin s u t ca tỏc gi nghiờn cu, tng hp Nhiu chuyờn cú tớnh ng dng cao v mi, cú th ỏp dng cụng tỏc bi dng hc sinh gii quc gia Hi tho nhn c s quan tõm sõu sc ca Lónh o S GD& T, Hi Toỏn hc H Ni, cỏc trng THPT, THPT Chuyờn v ngoi tnh Nhõn dp ny, trng THPT Chuyờn Hng Yờn xin chõn thnh cm n s quan tõm ch o ca Ban Giỏm c S GD& T, cỏc Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 phũng chuyờn mụn thuc S GD& T; xin by t tỡnh cm bit n sõu sc n GS-TSKH Nguyn Vn Mu v Hi Toỏn hc H Ni ó phi hp giỳp v chuyờn mụn v cụng tỏc t chc Hi tho; xin cm n cỏc cỏn b qun lớ, cỏc thy cụ giỏo ó tham gia v vit bi gúp phn to nờn thnh cụng ca Hi tho C HNG TRèNH HI THO Sỏng ngy 25.02.2017 10h00-11h00 Hp Ban T chc v Ban Chng trỡnh 11h30-12h30 n tra Chiu ngy 25.02.2017 13h30-13h45 Vn ngh cho mng 13h45-14h15 Khai mc Phỏt biu cho mng: Nguyn Th Hng Thỳy, HT trng THPT Chuyờn Hng Yờn Phỏt biu khai mc: Nguyn Vn Phờ, Giỏm c s GD & T Hng Yờn Phỏt biu dn: GS.TSKH Nguyn Vn Mu, Ch tch hi THHN 14h15-15h15 CC BO CO MI PHIấN HP TON TH iu khin: PGS.TS Trn Huy H, PGS.TS Nguyn Thy Thanh PGS.TS m Vn Nh, Mt vi kt qu v ng bc ba TS Nguyn Vn Ngc, Mt s bt ng thc ca cỏc hm hyperbolic TS V Tin Vit, Xung quanh mt bi toỏn thi IMO TS Nguyn Vit Hi, S ly tha ThS Nguyn Bỏ ang, T giỏc iu hũa 15h15-15h45 Ngh gii lao 15h45-17h45 CC BO CO CHUYấN PHIấN HP TON TH iu khin: PGS.TS Nguyn Minh Tun, PGS.TS H Tin Ngon Hong Minh Quõn, Mt s m rng v ỏp dng ca bt ng thc Klamkin ng Th Mn, Mt s phng phỏp gii phng trỡnh hm trờn s nguyờn Trn Th Lan Hng, Phng trỡnh v h phng trỡnh qua cỏc kỡ thi hc sinh gii Hunh Duy Thy, Tip cn cỏc phng phỏp tỡm cc tr ca mt biu thc a bin 10 Lờ Th Mai, Mt s dng toỏn v bt ng thc i vi hm phõn thc 11 V Vn Thng, S dng bt ng thc Karamata kho sỏt bt ng thc tam giỏc 12 Phan Ngc Ton, S dng tớnh cht gii tớch cỏc bi toỏn s hc 13 Phm Vn Dng, Mt s ng dng ca nh lý Lagrange 14 Mụng Thanh Hng, Phng phỏp lng giỏc gii phng trỡnh a thc bc cao 17h45-18h00 Tng kt hi tho iu khin: GS.TSKH Nguyn Vn Mu 18h30-20h30 n ti v giao lu ngh Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 MC LC Chng trỡnh m Vn Nh, Mt vi kt qu v ng bc ba Nguyn Vit Hi S ly tha Nguyn Vn Ngc, Mt s bt ng thc ca cỏc hm hyperbolic Nguyn Bỏ ang, T giỏc iu hũa 6.V Tin Vit, Xung quanh mt bi toỏn thi IMO Nguyn Duy Liờn, nh lý thng d Trung hoa v mt s ng dng Hong Phng Anh, Lý thuyt th v ng dng Phm Vn Dng - Hong Th Nhung, Phng phỏp o hm chng minh bt ng thc 10 Phm Vn Dng - Hong Th Minh Thỳy, Mt s ng dng ca nh lý Lagrange 11 Mụng Thanh Hng, Phng phỏp lng giỏc gii phng trỡnh a thc bc cao 12 Lng Th Hng, Phng phỏp hm sinh xỏc nh dóy s 13 Trn Th Lan Hng, Phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh qua cỏc kỡ thi hc sinh gii 14 Lờ Th Mai, Mt s dng toỏn v bt ng thc i vi hm phõn thc bc hai trờn bc nht 15 ng Th Mn, Mt s phng phỏp gii phng trỡnh hm trờn s nguyờn 16 ng Th Mn, Cp ca mt s nguyờn v ng dng gii mt s bi toỏn s hc 17 Hong Minh Quõn - Ngy Phan Tin, Mt s m rng v ỏp dng ca bt ng thc Klamkin 18 Nguyn Th Tõm - Hong Th Nhung - Trn Thi Hng, nh lớ Helly v ng dng 19 V Th Thun - Nguyn Th an Qu, S chớnh phng theo modul bc tựy ý 20 V Th Thun, S dng i lng bt bin v n bin toỏn t hp 21 Hunh Duy Thy, Tip cn cỏc phng phỏp tỡm cc tr ca mt biu thc a bin 22 Phan Ngc Ton, S dng tớnh cht gii tớch cỏc bi toỏn s hc 23 ng Th Mn, Mt s ng dng ca s phc i s v toỏn t hp 24 V Vn Thng, S dng bt ng thc Karamata kho sỏt bt ng thc tam giỏc 25 Quỏch Th Tuyt Nhung, Mt s bi toỏn v dóy s truy hi tuyn tớnh cp hai 26 Hong Tun Doanh, Mt s tớnh cht ca hm s hc c bn v ỏp dng 12 23 39 49 55 79 90 105 116 130 143 166 172 184 193 205 214 226 241 254 259 270 279 290 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 MT VI KT QU V NG BC BA m Vn Nh Trng THPT Chuyờn HSP H Ni Túm tt ni dung Mc ớch ca bỏo cỏo ny l trỡnh by mt phn ni dung ca cun giỏo trỡnh (xem [2]) nhm lý gii s hỡnh thnh, phỏt trin ca mt s kt qu Hỡnh hc S cp v xõu chui cỏc liờn quan li thnh mt th logic tỏc gi mong mun a n cho ngi c mt cỏi nhỡn ton cc v mụn hc ny v s i ca H tiờn Hilbert, H tiờn Wayne v H tiờn Pogorelov ca Hỡnh hc Euclid, gii thiu Mụ hỡnh Carte kim tra h tiờn Pogorelov a tha ba yờu cu: c lp-Phi mõu thuny Tỏc gi trung trỡnh by nh lý Pascal cho ng cong bc hai v ch nh lý Newton, Pappus, Brianchon v m rng bi toỏn bm Vic s dng phng phỏp a thc v m rng trng cho ta hỡnh dung c s phỏt trin ca mụn Hỡnh hc S cp t a thc bc 0, a thc bc ri n a thc bc v tip tc phi xột a thc bc Bc cao hn na ca hỡnh hc s c tip tc nghiờn cu Hỡnh hc i s Mc tiờu ca chuyờn nhm trang b mt cỏch sõu sc cỏc kin thc, rốn luyn t v k nng gii toỏn hỡnh cho cỏc em hc sinh khỏ, gii; cho cỏc em sinh viờn, cỏc hc viờn cao hc Vi mt vi bi toỏn m cỏc em dt nghiờn cu, xõy dng kt qu mi nh lý Pascal nh lý (Pascal) Gi s im A1 , A2 , , A6 nm trờn ng trũn (C ) Khi ú, im giao A = ( A1 A5 ) ì ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) ì ( A6 A1 ), C = ( A2 A6 ) ì ( A3 A5 ) thng hng Chng minh Gi I = A1 A5 ì A2 A6 , J = A1 A5 ì A3 A4 v K = A3 A4 ì A2 A6 Theo nh lý Menelaus, vi tam giỏc I JK v cỏc b ba im ( A, A2 , A4 ), ( B, A1 , A6 ), (C, A3 , A5 ) thuc ba cnh tng ng thng hng ta nhn c ba h thc sau: A6 K A1 I BJ CK A5 I A3 J AI A4 J A2 K = 1, = 1, = AJ A4 K A2 I A6 I A1 J BK CI A5 J A3 K Nhõn cỏc kt qu ny li v bin i theo phng tớch = = Do AI A4 J A2 K A6 K A1 I BJ CK A5 I A3 J AJ A4 K A2 I A6 I A1 J BK CI A5 J A3 K AI BJ CK A4 J.A3 J A2 K.A6 K A1 I.A5 I AI BJ CK = AJ BK CI A1 J.A5 J A3 K.A4 K A2 I.A6 I AJ BK CI AI BJ CK = nờn A, B, C thng hng theo nh lý Menelaus AJ BK CI Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Vớ d Gi s t giỏc li ABCD ni tip ng trũn ( T ) Gi s giao I = AC ì BD, J = AB ì CD v K l giao hai tip tuyn Bb v Cc ca ng trũn ti B v C Khi ú ba im I, J, K thng hng Bi gii Kt qu ny c suy t nh lý Pascal vi im A, B, B, C, C, D Vớ d Gi s im A1 , A2 , A3 , A4 , A6 nm trờn ng trũn (C ) Khi ú ba im giao A = ( A1 A3 ) ì ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) ì ( A6 A1 ) v C = ( A2 A6 ) ì ( A3 t), ú A3 t l tip tuyn vi ng trũn (C ) ti A3 , thng hng Bi gii Kt qu ny c suy t nh lý Pascal v A5 A3 H qu (Newton) Gi s ng trũn ni tip t giỏc li ABCD tip xỳc vi cỏc cnh AB, BC, CD, DA ti E, F, G, H, tng ng Khi ú, bn ng thng AC, BD, EG, FH ng quy ti mt im Chng minh Gi O = EG ì FH, X = EH ì FG Vỡ D l giao im ca hai tip tuyn GD, HD nờn, theo nh lý Pascal, nh lý 1, cho im E, G, G, F, H, H cú ba im O, D, X thng hng Tng t, vi im E, E, H, F, F, G ta cng cú B, X, O thng hng Ta ó cú : BD, EG, FH ng quy ti O Hon ton tng t, AC, EG, FH cng ng quy ti O Nh vy, AC, BD, EG, FH ng quy ti mt im nh lý Gi s im A1 , A2 , , A6 nm trờn ng cong bc hai khụng suy bin () Khi ú ba im giao A = ( A1 A5 ) ì ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) ì ( A6 A1 ) v C = ( A2 A6 ) ì ( A3 A5 ) thng hng Chng minh Qua phộp bin i tuyn tớnh cú th coi () : x = y2 Ký hiu dij ( x, y) = l phng trỡnh ng thng Ai A j t p( x, y) = d24 ( x, y)d16 ( x, y)d35 ( x, y) d34 ( x, y)d26 ( x, y)d15 ( x, y) õy l mt a thc bc ba i vi x v y Ta im A1 , , A6 tha phng trỡnh p( x, y) = Ly mt im bt k A thuc (), khỏc im trờn Ta chn ta Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 im A tha p( x, y) = Nu th x qua y2 ta c a thc p(y2 , y) bc Phng trỡnh p(y2 , y) = cho tung ca im khỏc nhau, cú ngha: p(y2 , y) = cú nghim y khỏc Vy p(y2 , y) hay mi im thuc () u cú ta tha p( x, y) = Coi p( x, y) nh l mt a thc ca x Vi phộp chia a thc, ta nhn c p( x, y) = ( x y2 )q( x, y) + r(y), ú q( x, y) l thng v r(y) l phn d Vỡ mi im thuc () : x = y2 u tha p( x, y) = nờn r(y) Vy p( x, y) = ( x y2 )q( x, y) Vỡ p( x, y) l a thc bc nờn q( x, y) phi l a thc bc nht hay p( x, y) = ( x y2 )( ax + by + c) Do im A1 , A2 , , A6 v A, B, C u thuc ng cong phng p( x, y) = 0, nhng A, B, C khụng thuc () : x = y2 nờn A, B, C thuc ng thng (d) : ax + by + c = hay A, B, C thng hng H qu (Pappus) Gi s im A1 , A2 , A3 nm trờn ng thng (d1 ) v im A4 , A5 , A6 nm trờn ng thng (d2 ) khỏc (d1 ) Khi ú ba im giao A = ( A1 A5 ) ì ( A2 A4 ), B = ( A1 A6 ) ì ( A3 A4 ) v C = ( A2 A6 ) ì ( A3 A5 ) thng hng Chng minh Kt qu ny c suy t nh lý H qu (Brianchon) Gi s lc giỏc li ABCDEF ngoi tip mt ng trũn Khi ú, ba ng thng AD, BE, CF ng quy ti mt im Chng minh Gi s ng trũn ni tip lc giỏc li ABCDEF tip xỳc vi cỏc cnh AB, BC, CD, DE, EF, FA ti G, H, I, J, K, L, tng ng t M = AB ì CD, N = DE ì FA Theo H qu 1, vi t giỏc AMDN ta cú cỏc ng thng AD, IL, GJ ng quy ti A Tng t, cỏc ng thng BE, HK, GJ ng quy ti B ; cỏc ng thng CF, HK, IL ng quy ti C Chỳ ý rng, hai ng thng IL v A C l mt Theo nh lý Pascal, nh lý 1, vi cỏc im G, G, I, L, L, H cú ba im A, O, P thng hng, ú O = GI ì HL, P = IL ì GH Cng theo nh lý Pascal, vi cỏc im H, H, L, I, I, G cú ba im C, O, P thng hng Vy A, C, P thng hng Xột G = AB ì A B , H = BC ì B C , P = CA ì C A Theo phn o ca nh lý ??, nh lý Desargues, i vi ABC v A B C cú AA = AD, BB = BE, CC = CF ng quy Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 M rng bi toỏn bm Mnh (Bi toỏn bm) Qua trung im I ca dõy cung MN ca mt ng trũn ta k hai dõy cung bt k AB v CD, u khỏc MN Gi giao im gia AC v BD vi MN l P v Q tng ng Ta luụn cú IP = IQ Chng minh Gi O l tõm ng trũn v J, K l trung im on AC, BD, tng ng Vỡ I AC IDB nờn I AJ IDK v suy I J A = IKD Do t giỏc IOJP v IOKQ u ni tip ng trũn tng ng nờn IOP = I JP = IKQ = IOQ T ú suy IP = IQ B Cho t giỏc li ABCD vi giao hai ng chộo I = AC ì BD Ly E, H, F, G thuc cnh AB, BC, CD, DA, tng ng cho EF v GH cựng i qua I Gi s EG, FH ct AC ti M, N, tng ng Chng minh rng 1 1 + = + IA IN IC IM IA AM IN = Bin i Bi gii Trc tiờn ta ch h thc P = I M CN IC S AEG S IFH S S S S P = = IFH CBD ABD AEG S IEG SCFH S IEG SCFH SCBD S ABD IF.IH CB.CD I A AE.AG = IE.IG CF.CH IC AB.AD IA S FAC S HAC SDAC SBAC I A SEAC SGAC = = SEAC SGAC S FAC S HAC IC SBAC SDAC IC t I A = a, IC = c, I M = m, IN = n Ta cú 1 = + IN IC IM am n a = v suy h thc + m cn c IA Mnh Cho dõy cung MN ca mt ng trũn, (ng bc hai), v im I thuc on MN Gi s hai dõy cung bt k AB v CD, u khỏc MN, i qua im I Gi giao im gia AC v BD vi MN l P v Q tng ng Ta cú ng nht thc 1 1 + = + IM IP IN IQ Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Chng minh Gi s MA ct ND ti T v MC ct NB ti H Do im A, M, C, B, N, D cựng thuc mt ng trũn, (ng bc hai), nờn ba im T, I, H thng hng theo nh 1 1 + = + theo B lý Pascal Ta cú ng nht thc IM IP IN IQ th phng 21-im K3 Mc ny dnh trỡnh by Mnh õy l li gii cho Bi 16 trang 56 "Bi v cỏc th phng bc ba" ca Smụgụrdevski v Stụlụva (bn ting Nga) Gi s tam giỏc ABC cú di ba cnh a = BC, b = CA, c = AB Ký hiu a l ng thng ct ng thng AC ti im cỏch u hai im A v B, ct ng thng AB ti im cỏch u hai im A v C Ký hiu b l ng thng ct ng thng BA ti im cỏch u hai im B v C, ct ng thng BC ti im cỏch u hai im B v A Ký hiu c l ng thng ct ng thng CB ti im cỏch u hai im C v A, ct ng thng CA ti im cỏch u hai im C v B Gi A0 , B0 , C0 l nhng im i xng vi A, B, C qua BC, CA, AB, tng ng Gi A1 , B1 , C1 l nhng im i xng vi A, B, C qua a, b, c, tng ng Gi im E l nhng im tha aEA = bEB = cEC, gi im F l nhng im nhỡn cỏc cnh Gi H l trc tõm v O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC di gúc hay 3 ABC Gi A2 , A3 l cỏc nh ca cỏc tam giỏc u BCA2 , BCA3 , gi B2 , B3 l cỏc nh ca cỏc tam giỏc u CAB2, CAB3 v gi C2 , C3 l cỏc nh ca cỏc tam giỏc u ABC2, ABC3 Vớ d Xỏc nh phng trỡnh a bit ta A, B, C Bi gii Dng h ta Oxy cho A(0; 0), B( x2 ; kx2 ), C ( x3 ; hx3 ) im P0 ( p; hp) cỏch u A v B v ch p2 + h2 p2 = ( p x2 )2 + (hp kx2 )2 Vy P0 x2 ( + k2 ) x2 h ( + k2 ) ; 2(1 + hk) 2(1 + hk) im N0 (n; kn) cỏch u A v C Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Vớ d 10 Chng minh rng biu thc Sn = (9 + 5)n + (9 5)n nhn giỏ tr nguyờn v khụng chia ht cho 17 vi mi n N Li gii Ta chng minh c S0 = 2, S1 = 18, Sn+2 = 18Sn+1 Sn Suy Sn Z Li cú Sn+3 + Sn = 18Sn+2 Sn+1 + Sn = 17(Sn+2 + Sn+1 ) chia ht cho 17 Ta cú S0 = khụng chia ht cho 17 nờn S3k cng khụng chia ht cho 17 Ta cú S1 = 18 khụng chia ht cho 17 nờn S3k+1 cng khụng chia ht cho 17 Ta cú S2 = 322 khụng chia ht cho 17 nờn S3k+2 cng khụng chia ht cho 17 Vy Sn khụng chia ht cho 17 vi mi n N Vớ d 11 Tỡm s nguyờn d ln nht cho d|16n + 10n vi mi n N Li gii Vi mi n N , t un = 16n + 10n 1, = un + = 16n + 10n v d l c chung ln nht ca un vi mi n N Ta kim tra c dóy s (vn ) tha h thc truy hi vn+2 (16 + 10)vn+1 + 16.10vn = 0, n N T ú un+2 = 26un+1 160un 135, n N Vỡ d l c ca un , un+1 , un+2 nờn d l c ca 135 Mt khỏc d l c ca u1 = 25, suy d|(135, 25) = Vy d = Cỏc bi toỏn liờn quan n cụng thc s hng tng quỏt ca dóy truy hi tuyn tớnh cp hai cng xut hin nhiu cỏc thi nc v khu vc Ta xột mt s bi toỏn nh vy Vớ d 12 (VMO 2011) Cho dóy s nguyờn ( an ) xỏc nh bi a0 = 1, a1 = 1, an = 6an1 + 5an2 , n Chng minh rng a2012 2010 chia ht cho 2011 Li gii Xột dóy (bn ) c xỏc nh nh sau: b0 = 1, b1 = 1, bn = 6bn1 + 2016bn2 , n Dóy ny cú phng trỡnh c trng x2 6x 2016 = 0, phng trỡnh ny cú hai nghim x = 42, y = 48 T õy suy s hng tng quỏt ca dóy l bn = 41.48n + 49.(42)n , n N 90 285 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Ngoi ra, ta cng d dng chng minh c bng qui np rng a n bn (mod 2011), n N Do ú ta ch cn chng minh b2012 + (mod 2011) Ta cú b2012 + = 41.482012 + 49.(42)2012 + 90 90 Do 2011 l s nguyờn t v 2011, 90 l hai s nguyờn t cựng nờn ta ch cn chng minh 41.482012 + 49.(42)2012 + 90 (mod 2011) Tht vy, theo nh lớ Fecma nh ta cú 41.482012 + 49.(42)2012 + 90 41.482 + 49.4262 + 90 (mod 2011) Li cú: 41.482 + 49.4262 + 90 = 90.b2 + 90 = 90[6.(1) + 2016.1] + 90 = 90.2010 + 90 = 90.2011 (mod 2011) Bi toỏn c chng minh Vớ d 13 (Chn i tuyn Vit Nam thi toỏn Quc t nm 2012) Cho dóy s ( xn ) gm vụ hn cỏc s nguyờn dng c xỏc nh bi x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 = 4022xn+1 xn , n N x2012 + l s chớnh phng 2012 Bi toỏn cú th phỏt biu tng quỏt nh sau Chng minh rng Bi toỏn m rng Cho p l s nguyờn dng l ln hn Xột dóy s ( xn ) gm vụ hn cỏc s nguyờn dng c xỏc nh bi x1 = 1, x2 = p, xn+2 = 2pxn+1 xn , n N Chng minh rng x p +1 + l s chớnh phng p+1 Li gii Phng trỡnh c trng ca dóy s ó cho l t2 2pt + = t1 = p + p2 1, t2 = p Vy s hng tng quỏt ca dóy ( xn ) cú dng xn = A.t1n + B.t2n , n = 1, 2, 286 p2 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Do x1 = 1, x2 = p nờn ta cú t2 t A.t1 + B.t2 = 1, A.t21 + B.t22 = p ( A, B) = ( , ) 2 Nh vy ta cú t1n1 + t2n1 xn = , n = 1, 2, (dot1 t2 = 1) Do ú p p t1 + t2 p p p p +1 2 x p +1 + t + t + ( t + t 2) = = = p+1 p+1 2( p + 1) 2( p + 1) Chỳ ý rng t1 + t2 = 2p, t1 t2 = nờn t1 + t1 + t2 + t1 t2 = t2 = 2p + = 2( p + 1) Nu t Sn = t1n + t2n , ta cú: Sn+2 = 2pSn+1 Sn , n N M S1 = 2p N, S2 = 4p2 N nờn suy Sn N, n = 1, 2, t p p p p (1) a b p a + b = ( a + b) i i p i p = 2( p + 1) Xột bin i sau p a i b p i i =0 p = (1)i b pi1 + (1) p a p b p i =0 p + (1)i b pi1 i= p p +1 p = (1)i ( ab)i b p12i + (1)i ( ab)i b p12i + (1) i =0 i= p12i = (1)i t2 i =0 p +1 p p12i + (1)i t2 i= p12i = (1)i t2 i =0 p p12i + (1) = (1)i S p 2i + (1) i =0 + (1) p p +1 + t1 p (1)i b pi1 i =0 i =0 p t1 = a, t2 = b 2( p + 1), ab = v t1 + t2 = a p + b p Vỡ p l s nguyờn dng l ln hn thỡ a + b = nờn ta cú p p = N N 287 p Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 p p Nh vy, ta cú t12 + t22 = N 2( p + 1) Ta thu c p x p +1 + = p+1 Túm li p t12 + t22 2( p + 1) = N 2( p + 1)) = N2 2( p + 1) x p +1 + = N l s chớnh phng Bi toỏn chng minh xong p+1 Mt s bi tng t Bi Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s c xỏc nh bi u0 = 1, u1 = 1, un+2 = 6un+1 9un , n 3+ n n Bi Cho dóy s (un ) xỏc inh nh sau un = ( ) +( ) 2, n = 1, 2, 2 a Chng minh rng un l s t nhiờn n = 1, 2, b Chng minh rng u2011 l mt s chớnh phng Bi Cho dóy (un ) xỏc nh bi u1 = 0, u2 = 1, un+2 = un + un+1 + Chng minh rng: u p (u p+1 + 1) chia ht cho p vi p l mt s nguyờn t ln hn Ti liu [1] Phan Huy Khi (2000), Cỏc bi toỏn v dóy s, NXB Giỏo dc [2] Nguyn Ti Chung (2006), Bi dng hc sinh gii chuyờn kho dóy s, NXB i Hc Quc Gia [3] Cỏc ti liu khỏc trờn Internet 288 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 MT S TNH CHT CA HM S HC C BN V P DNG Hong Tun Doanh THPT Chuyờn Hng Yờn Tớnh cht ca cỏc hm s hc nh ngha (Hm s hc) Hm s hc l hm s cú xỏc nh l cỏc s nguyờn dng v giỏ tr l cỏc s phc Vớ d a) Hm d(n) m cỏc c khỏc ca mt s t nhiờn n l hm s hc b) Hm phi-Euler (n) l hm s hc c) Hm : Z+ C, (n) = nu n = l hm s hc nu n d) Hm O : Z+ C, O(n) = l hm s hc nh ngha Cho hai hm s hc f v g a) Ta nh ngha tng ca f v g l hm s hc c xỏc nh nh sau ( f + g)(n) = f (n) + g(n), n N b) Ta nh ngha tớch ca f v g l hm s hc c xỏc nh nh sau ( f g)(n) = f (n).g(n), n N c) Tớch chp Dirichle ca f v g l hm s c xỏc nh nh sau ( f g)(n) = f (d).g(n/d) = d|n f ( d ) g ( d ), n N dd =n Tớnh cht Cho f v g l cỏc hm s hc Khi ú ( f g)(n) = vi mi n N v ch hoc f = hoc g = Tớnh cht Hm s hc f l kh nghch A v ch f (1) = 289 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Mt s hm s hc c bn Tip theo, ta xột mt vi hm s hc c bn nh ngha (Giỏ tr trung bỡnh ca hm s hc) Giỏ tr trung bỡnh F ( x ) ca mt hm s hc f (n) c xỏc nh bi cụng thc F(x) = f ( n ), x R n x vi tng tt c cỏc s nguyờn dng n x c bit, F ( x ) = vi x < Hm s F ( x ) cũn c gi l hm tng ca f Phn nguyờn ca s thc x c biu th bi [ x ] v cú nht s nguyờn n tha n x n + Phn thp phõn ca x l s thc { x } = x [ x ] [0, 1) nh ngha Hm g(t) l hm n thc trờn I nu tn ti mt s t0 I cho g(t) l hm tng vi t t0 v gim vi t t0 5 = v { } = 3 Mi s thc x u cú th vit c nht di dng x = [ x ] + { x } Vớ d logk t l n thc trờn na khong [1, ) vi t0 = ek Trong gii tớch t thc ó c chng minh c mi hm l n iu hoc n thc trờn on [ a, b] l kh tớch Vớ d Hm f (t) = Tớnh cht Cho f (n) v g(n) l cỏc hm s hc Xột hm tng F(x) = f ( n ) n x Vi a v b l cỏc s nguyờn khụng õm v a < b, ta luụn cú: b b f ( n ) g ( n ) = F ( b ) g ( b ) F ( a ) g ( a + 1) n = a +1 F ( n ) g ( n + 1) g ( n ) n = a +1 Chng minh Bng cỏch tớnh toỏn trc tip ta cú b b f (n) g(n) = n = a +1 F ( n ) F ( n 1) g ( n ) n = a +1 b b = F (n) g(n) F ( n ) g ( n + 1) n= a n = a +1 = F ( b ) g ( b ) F ( a ) g ( a + 1) b F (n)( g(n + 1) g(n)) n = a +1 290 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 nh ngha (Hm s Mobius) ă Hm s Mobius c nh ngha nh sau: ă nu n = à(n) = (1)k nu n l tớch ca k s nguyờn t phõn bit nu n chia ht cho bỡnh phng ca mt s nguyờn t Mt s nguyờn c gi l s khụng chớnh phng nu nú khụng chia ht cho bỡnh phng ca mt s nguyờn t Nh vy à(n) = nu v ch nu n l s khụng chớnh phng nh ngha Mt hm s hc f c gi l hm nhõn tớnh nu vi mi cp s m, n nguyờn t cựng nhau, ta cú f (n.m) = f (n) f (m) Trong tng trng hp ng thc ỳng vi mi m, n (khụng nht thit nguyờn t cựng nhau) hm f gi l hm nhõn tớnh mnh Vớ d Ta cú à(1) = 1, à(8) = 0, à(2) = 1, à(9) = 0, à(6) = 1, à(4) = 0, à(7) = 1, à(5) = 1, (3) = à(10) = Tớnh cht Hm s Mobius à(n) l hm nhõn tớnh, v ă nu n = nu n > à(d) = d|n Tớnh cht (nh lý Mobius o) Nu f l hm s hc v g l hm s hc c nh ngha ă n g ( d ) bi g(n) = f (d) thỡ f (n) = d d|n d|n Tng t, nu g l hm s hc v f l hm s hc c nh ngha bi f (n) = n d g(d) thỡ g(n) = f (d) d|n d|n Tớnh cht Cho f (n) l hm s hc v F ( x ) = f (n) Khi ú n x F m x x m = x = f ( d ) d n x d|n f (d) d x Chng minh Ta cú F m x x m = f (d) = m x d x/m = f (d) d x = f (d) f (d) dm x m x/d 1= d x f ( d ) n x d|n Vỡ vy m x F x m = f (d) Suy iu phi chng minh dm x 291 x d Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Tớnh cht Nu f l hm nhõn tớnh thỡ f ([m, n]) f ((m, n)) = f (m) f (n) vi mi s nguyờn dng m v n Chng minh Cho p1 , p2 , , pr l cỏc s nguyờn t chia ht m hoc n Khi ú r n= pi i k i =1 v r m= pii l i =1 vi k1 , , kr , l1 , , lr l cỏc s nguyờn khụng õm Suy r [m, n] = pi max(k i ,li ) i =1 v r (m, n) = pi min(k i ,li ) i =1 Do {max(k i , li ), min(k i , li )} = {k i , li } v vỡ f l hm nhõn tớnh ta c r f ([m, n]) f ((m, n)) = f ( pi max(k i ,li ) i =1 r r i =1 i =1 r ) f ( pi min(k i ,li ) i =1 = f ( piki ) f ( pili ) = f (m) f (n) Vy ta c iu phi chng minh Tớnh cht Gi s f l hm nhõn tớnh vi f (1) = thỡ à(d) f (d) = (1 f ( p)) d|n p|n Vớ d Dóy ly tha cỏc s nguyờn t l dóy 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27 pk , vi p l s nguyờn t v k nguyờn dng 292 ) Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Tớnh cht Cho f (n) l hm nhõn tớnh Nu lim f ( pk ) = pk vi mi p P (tp tt c cỏc s nguyờn t) thỡ lim f (n) = n Tớnh cht 10 (Hm tng cỏc ch s) Gi S(n) l hm tng cỏc ch s ca s nguyờn dng n c vit h thp phõn Gi s n cú biu din n = ak ak1 a1 vi ak , ak1 , , a1 l cỏc ch k s, ak = thỡ S(n) = Khi ú i =1 < S(n) n S(n) n S(m + n) S(m) + S(n) v S(m.n) S(m).S(n) S(99 a) = 9k S( a) vi a l s cú khụng quỏ k ch s k S(10k m + n) = S(m) + S(n) vi n l s cú khụng quỏ k ch s Vớ d Cho m, n l cỏc s nguyờn dng v m cú d ch s vi d n Tớnh S((10n 1)m) Li gii Ta cú biu din: (10n 1)m = (m 1).10n + 99 (m 1) n Do ú, S((10n 1)m) = S(m 1) + S(99 (m 1)) n M n d nờn S(99 (m 1)) = 9n S(m 1) n Vy S((10n 1)m) = 9n Vớ d Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho n = 2S3 (n) + Li gii Gi d l s cỏc ch s ca n Ta cú 10d1 < n v S(n) 9n nờn 10d1 2(9n)3 + Suy d Khi ú, ta cú S(n) 63 M S(n) n( mod9) nờn: 2S3 (n) + S (n) ( mod9) 2S3 (n) S (n) ( mod9) (S (n) 1) 2S2 (n) + 2S (n) + ( mod9) S (n) ( mod9) 2S2 (n) + 2S (n) + ( mod9) 293 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Phng trỡnh th hai vụ nghim 2S2 (n) + 2S(n) + = S2 (n) + (S(n) + 1)2 0( mod9) m cú c nguyờn t l nờn c hai s S(n) v S(n) + u chia ht cho vụ lớ Do ú S(n) 1( mod9) Suy S(n) = 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55 Th trc tip cỏc s ta cú cỏc s cn tỡm l: 10, 2008, 13726 Vớ d a) Tỡm s nguyờn dng n nh nht tha món: S(n) = S(2n) = ã ã ã = S(2017n) b) Tỡm giỏ tr nh nht ca S(2017n) vi n nguyờn dng Li gii a) Nu n cú ch s thỡ S(11n) = S(10n + n) = S(10n) + S(n) = 2S(n), khụng tha Nu n cú ch s thỡ S(101n) = S(100n + n) = S(100n) + S(n) = 2S(n), khụng tha Nu n cú ch s thỡ S(1001n) = S(1000n + n) = S(1000n) + S(n) = 2S(n), khụng tha Suy n cú ớt nht ch s Gi s n = a4 a3 a2 a1 Khi ú, 1001n = a4 a3 a2 ( a1 + a4 ) a3 a2 a1 Nu a1 + a4 khụng cú nh thỡ S(1001n) = 2( a4 + a3 + a2 + a1 ) > S(n), khụng tha Nu a2 < thỡ S(1001n) > a4 + a3 + a2 + + a3 + a2 + a1 > S(n), khụng tha Suy a2 = Lp lun tng t, a4 = a3 = nờn n = 999a1 Ta cú a1 = vỡ nu a1 = thỡ 1001n = 9999990 nờn S(1001n) = 54 = 2S(n), khụng tha Li cú n S(n) = S(2n) 2n( mod 9) nờn n chia ht cho 9, suy a1 = hay n = 9999 Vi n = 9999, theo vớ d 1.1 ta cú S(9999i ) = 36 vi mi i 2017 Vy n = 9999 tha bi toỏn b) Nhn xột 2017n khụng th cú dng 10n nờn S(2017n) Do 2017 l s nguyờn t nờn theo nh lý Fecmat ta cú: 102016 chia ht cho 2017 Mt khỏc, 102016 = (1063 1)(1063 + 1)(10126 + 1)(10252 + 1)(10504 + 1)(101008 + 1) Li cú: 104 85( mod2017) 1064 121( mod2017) Do ú 1064 10 131( mod 2017) hay 1063 khụng chia ht cho 2017 Nh vy, tn ti tha s khỏc 1063 tớch trờn chia ht cho 2017 M tng cỏc ch s ca s ú bng Vy giỏ tr nh nht ca S(2017n) = Vớ d Chng minh tn ti 2017 s nguyờn dng phõn bit n1 , n2 , , n2017 tha iu kin n1 + S(n1 ) = n2 + S(n2 ) = ã ã ã = n2017 + S(n2017 ) Li gii Ta chng minh bi toỏn tng quỏt bng quy np: Vi mi m > 1, tn ti cỏc s nguyờn dng n1 < n2 < ã ã ã < nm cho tt c cỏc s ni + S(ni ) u bng v s nm cú dng 10 08 Tht vy, vi m = 2, chn n1 = 99, n2 = 108 ta cú: n1 + S(n1 ) = n2 + S(n2 ) = 117, hay mnh ỳng vi m = Gi s mnh ỳng vi m = k vi nk = 10 08 (gm h ch s 0) Ta cn chng minh mnh ỳng vi m = k + Vi mi i = 1, 2, , k ta xột s Ni = ni + C ú C = 99 900 (gm nk ch s v h + ch s 0) v s Nk+1 = 100 (gm nk + h ch s 0) Khi ú, vi mi i = 1, 2, k ta cú: Ni + S( Ni ) = C + ni + S(ni ) + 9(nk 8) 294 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Cỏc s ny bng theo gi thit quy np Hn na: Nk + S( Nk ) = C + nk + + 9(nk 8) = 100 17 = 100 08 + = Ni + S( Ni ) Bi toỏn c chng minh Bi tng t Bi Tỡm s t nhiờn n cho n + S(n) = 2003 Bi t a = S((29 )2017 ), b = S( a), c = S(b) Tớnh c? Bi ( thi VMO 2004) Xột cỏc s nguyờn dng m l bi ca 2003 Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca S(m) Bi Tỡm s nguyờn dng n nh nht cho n s t nhiờn liờn tip ta luụn chn c s N cho S( N ) chia ht cho 13 Bi Chng minh rng vi hai s m, n luụn tn ti s nguyờn dng c cho cm, cn cú cựng s lng xut hin ch s 0, nh ngha (Hm Euler (-le)) Cho n l s nguyờn dng Hm -le ca s n, kớ hiu (n), l s cỏc s nguyờn dng khụng vt quỏ n v nguyờn t cựng vi n Tớnh cht 11 Cho m, a l cỏc s nguyờn dng, nguyờn t cựng Khi ú, a (m) 1( modm) Nu m, n l cỏc s nguyờn dng nguyờn t cựng thỡ (mn) = (m).(n) Gi s n = p11 p22 pk k l phõn tớch s n tha s nguyờn t Khi ú: ( n ) = n (1 1 )(1 ) (1 ) p1 p2 pk Gi s n l s nguyờn dng Khi ú (d) = n d|n Nu p l s nguyờn t thỡ ( p) = p Ngc li, nu ( p) = p thỡ p l s nguyờn t Vớ d 10 Chng minh rng n = 2015 chia ht cho 20801 Li gii Ta cú, 20801 = 11.31.61 nờn ta ch n chia ht cho 11, 31, 61 Do (20, 11) = v (11) = 10 nờn theo nh lý -le ta cú: 20 (11) 2010 1( mod11) Do ú, 2015 205 (2)5 1( mod11), hay 2015 chia ht cho 11 Chng minh tng t, 2015 chia ht cho 31 v 61 M 11, 31, 61 l cỏc s nguyờn t cựng nờn 2015 chia ht cho 20801 295 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Vớ d 11 Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n tha n chia ht cho (n) Li gii Nu n = 1, n = 2, ta cú (n)|n Xột n > Gi s n = p11 p22 pk k l phõn tớch s n tha s nguyờn t Ta cú: (n) = 1 n(1 )(1 ) (1 ) p1 p2 pk T iu kin (n)|n suy n = x(n) hay p1 p2 pk = x ( p1 1)( p2 1) ( pk 1) Nh vy phi cú mt s pi bng (vỡ v phi l s chn) Gi s p1 = Ta cú: 2p2 pk = xp2 pk Do cỏc s p2 , , pk khỏc nờn t ng thc trờn suy n cú nhiu nht c nguyờn t l Gi s ú l p2 t p2 = 2y + suy 2p2 = x (2y) Do p2 l s nguyờn t nờn x = p2 , y = Khi ú p2 = v n cú dng n = 21 32 vi 1, D dng th li cỏc s n cú dng trờn tha bi toỏn Vớ d 12 Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2, ta cú: (n) + (n) 2n (vi (n) l tng cỏc c dng ca n) Li gii Gi s cỏc c dng ca n l < d1 < d2 < ã ã ã < dk = n n s l bi ca di Mi s khụng vt quỏ n v Trong cỏc s t nhiờn khụng vt quỏ n, cú di khụng nguyờn t cựng vi n phi l bi ca mt c no ú (ln hn 1) ca n Vỡ th ta cú: n n n n (n) + +ããã+ d2 d3 dk n n n Mt khỏc, + +ããã+ = dk1 + dk2 + ã ã ã + d1 = (n) n d2 d3 dk Vy n (n) (n) n Tc l (n) + (n) 2n Khi n l s nguyờn t, ta cú ng thc (n) + (n) = 2n Vớ d 13 Tn ti hay khụng hai s nguyờn dng m, n tha iu kin gcd(m, n) = v (5m 1) = 5n Li gii Ta cú gcd(5m 1; 5n 1) = 5gcd(m,n) = 4, ú khụng tn ti s nguyờn t l p m p2 |5m Tht vy, nu ngc li thỡ p| (5m 1) suy p|5n 1, vụ lớ Vy 5m cú phõn tớch tiờu chun dng: 5m = 2s p1 p2 pk Tong ú, s 2, pi l cỏc s nguyờn t l phõn bit Khi ú, 5n = (5m 1) = 2s1 ( p1 1).( p2 1) ( pk 1) Nu s > thỡ 8|5m v 8|5n 1, vụ lớ Suy s {2, 3} Nu s = 3, khụng l c ca 5n nờn k = Khi ú, 5m = 8, 5n = 4, vụ lớ Nu s = thỡ 5m = 4.p1 p2 pk v 5n = ( p1 1).( p2 1) ( pk 1) 296 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Nu n l thỡ v2 (5n 1) = 3, suy k = 1, tc l 5m = 4p1 v 5n = p1 hay 5m = 2(5n 1), vụ lớ Nu n chn thỡ n v 8|(5n 1) m gcd(m, n) = nờn m l Ta li cú pi |5m+1 nờm l s chớnh phng mod pi vi mi i k, t ú pi 1( mod5) hoc pi 1( mod5) Rừ rng khụng tn ti j p j 1( mod5) vỡ p j 1|5n Vy pi 1( mod5) vi mi i k Nu k chn thỡ 5n 2.(2)k 2k+1 2; 3( mod5), vụ lớ Nu k l thỡ 5m 4.(1)k 1( mod5), vụ lớ Vy khụng tn ti m, n tha bi toỏn Bi tng t Bi Cho p l s nguyờn t, n l s nguyờn dng Chng minh rng n khụng chia ht cho p v ch (np) = ( p 1).( p) Bi Chng minh rng phng trỡnh (n) = k, vi k l s nguyờn dng cho trc, cú hu hn nghim n Bi Chng minh rng vi s nguyờn dng n ta cú: (2n) = (n) n l v (2n) = 2(n) n chn nh ngha (Hm tng cỏc c dng v hm s cỏc c dng) Hm tng cỏc c s dng ca n , kớ hiu l (n), c xỏc nh (n) = d d|n Hm s cỏc c dng ca n, kớ hiu (n) Mt s tớnh cht c bn: Tớnh cht 12 Hm s (n) v (n) cú tớnh cht nhõn tớnh Nu p l mt s nguyờn t, ta cú: ( p ) = p +1 ; ( p ) = + p1 Gi s n = p11 p22 pk k l phõn tớch s n tha s nguyờn t Khi ú: +1 (n) = ( p k p11 +1 p +1 )( ) ( k ) p1 p2 pk (n) = (1 + 1)(2 + 1) (k + 1) Vớ d 14 Chng minh rng n l hp s v ch (n) > n + n Li gii Nu n l hp s Khi ú, ngoi c l v n, n cũn ớt nht mt c d (1 < d < n) n n Khi ú, cng l c ca n v < < n d d 297 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Nu n n = d Khi ú n cú ớt nht c l 1, n, d, Vỡ th d d n (n) + n + d + d n M ta cú d + n > n nờn (n) > n + n d n Nu = d hay d = n Khi ú n cú ớt nht c l 1, n, n Vỡ th d (n) + n + n > n + n Nu (n) > n + n Rừ rng n = vỡ (1) = suy (1) n + n Vớ d 15 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho n = (n) Li gii Kớ hiu cỏc s nguyờn t l p1 = 2; p2 = Gi s, vi s chớnh phng n ta cú 2i phõn tớch: n = pi i =1 v (n) = (2i + 1) i =1 + (n) Suy ra, (n) l nờn n l suy = T iu kin bi toỏn = nờn ta cú: i i = n pi i =1 Ta cú, pi i ( pi 1)i + > 2i + vi mi s nguyờn t pi > 3, l c ca n p dng bt ng thc 32 22 + du bng xy {0; 1} Khi ú, bi toỏn xy n = hoc n = Th li thy tha Vy cỏc s cn tỡm l n = 1; Vớ d 16 S nguyờn n c gi l s hon ho nu (n) = 2n Chng minh rng s 2bt 2b2 nguyờn dng l n l s hon ho n c phõn tớch thnh n = p a q2b q2 qt ú, a v p cựng chia cho d v t a Li gii Gi s phõn tớch n thnh tha s nguyờn t cú dng n = p1a1 p2a2 pkk k a a Do n l s hon ho nờn (n) = 2n (1 + pi + p2i + ã ã ã + pi i = 2p1a1 p2a2 pkk l s chn i =1 a v khụng chia ht cho Suy tn ti ỳng s i cho + pi + p2i + ã ã ã + pi i 2( mod 4) Suy l mt s l t = 2x + vi x l s nguyờn Do p2i 1( mod4) nờn ( x + 1)( pi + 1) 2( mod4) Suy x chn hay 1( mod4) aj Vi i = j, j k ta cú, + p j + p2j + ã ã ã + p j 1( mod2) suy a j chn 2bt 2b2 Vit li n ta cú: n = p a q2b q2 qt Ta chng minh t 298 Hi tho khoa hc, Hng Yờn 25-26/02/2017 Thy vy, Gi s t = 1, ta cú: + p + p2 + ã ã ã + p a )(1 + q + q2 + ã ã ã + q2b ) = 2p a q2b p a+1 q2b+1 = 2p a q2b p1 q1 1 p a q 2b p q 15 p q < = = p1 q1 p1 q1 vụ lớ Suy ra, t Vy bi toỏn c chng minh Bi tng t Bi Cho n l s hon ho l Chng minh rng n cú ớt nht c nguyờn t khỏc Bi 10 Chng minh rng tn ti vụ hn s t nhiờn n tha (n) > 3n Bi 11 Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú: (n) < 4n ( n2 ) = k, vi n l s nguyờn dng Bi 12 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng k cho (n) Bi 13 Cho n l s nguyờn dng tha n + chia ht cho 24 Chng minh rng (n) cng chia ht cho 24 Ti liu [1] Cỏc bi thi Olympic toỏn trung hc ph thụng Vit Nam (1990 - 2006), NXB Giỏo dc, 2007 [2] Nathanson M.B (1999), Elementary methods in number theory, Springer [3] V Dng Thy (ch biờn), Nguyn Vn Nho, 40 nm Olympic toỏn hc quc t, NXB Giỏo dc, 2002 299 ... a b b c c < sinh + sinh + sinh + sinh sinh2 + sinh sinh2 + sinh sinh2 2 2 4 (2.16) Li gii T (2.12) ta cú sinh a+b+c sinh a + sinh b + sinh c a b b c c a sinh cosh + sinh cosh + sinh cosh 2... ỳng sau sinh a+b+c sinh a + sinh b + sinh c (2.12) Li gii Chỳng ta s dựng cỏc bt ng thc sau sinh x = sinh x x x cosh sinh , 2 (2.13) Suy sinh b c a + sinh + sinh 2 sinh a + sinh b + sinh c... ln bt ng thc(2.6) ta cú sinh a sinh b sinh c + + a b c a b c < + + sinh2 + sinh2 + sinh2 3 2 (2.11) Do vy ta cú sinh a sinh b sinh c + + < a b c a b c + sinh2 + sinh2 + sinh2 2 29 Hi tho khoa
- Xem thêm -

Xem thêm: CÁC CHUYÊN đề CHỌN lọc bồi DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN thpt (rất hay), CÁC CHUYÊN đề CHỌN lọc bồi DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN thpt (rất hay), CÁC CHUYÊN đề CHỌN lọc bồi DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN thpt (rất hay)

Từ khóa liên quan