tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án

62 810 2
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/02/2017, 01:24

S GD&T QUNG BèNH THI CHNH THC S BO DANH: K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn - Vũng I (Khúa ngy 11 thỏng 10 nm 2012) Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu (2.5 im): Giai phng trinh: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n Ơ * ) Cõu (2.5 im): Cho day sụ (u n ) xac inh bi cụng thc: u1 = * u = u + n+1 n u ữ; (n Ơ ) n Tinh: lim un ? Cõu (1.5 im): Cho cac sụ thc dng x, y, z Chng minh rng: 1 36 + + 2 x y z + x y + y z + z x2 Cõu (2.0 im): Cho tam giỏc ABC cú M l trung im cnh BC, N l chõn ng ã phõn giỏc gúc BAC ng thng vuụng gúc vi NA ti N ct cỏc ng thng AB, AM ln lt ti P, Q theo th t ú ng thng vuụng gúc vi AB ti P ct AN ti O Chng minh OQ vuụng BC Cõu (1.5 im): Tim nghim nguyờn dng ca phng trinh: x+2 = y + z HT S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn - Vũng I (Khúa ngy 11 thỏng 10 nm 2012) HNG DN CHM (ỏp ỏn, hng dn ny cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi Trong bi lm ca hc sinh yờu cu phi lp lun lụ gic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho im i vi nhng bc gii sau cú liờn quan * im thnh phn ca mi bi núi chung phõn chia n 0,25 im i vi im thnh phn l 0,5 im thỡ tu t giỏm kho thng nht chit thnh tng 0,25 im * Hc sinh cú li gii khỏc ỏp ỏn (nu ỳng) cho im ti a tu theo mc im ca tng bi * im ca ton bi l tng (khụng lm trũn s) ca im tt c cỏc bi Cõu Ni dung im 2,5 im Phng trinh: x + x + 2012 = 2012 (n N*) t t = x2n 0, phng trinh (1) tr thanh: t + t + 2012 = 2012 1 t + t + = t + 2012 t + 2012 + 4 4n 2n (1) 0,25 0,5 t + ữ = t + 2012 0,5 0,25 t + = t + 2012 t + t 2011 = Giai phng trinh (2) ta c: t = Phng trinh co nghim: x1 = 2n (2) + 8045 thoa man iờu kin + 8045 va + 8045 , n Ơ * x = 2n 2 0,25 0,25 0,5 2,5 im Theo cụng thc xac inh day (un ) , ta co un > 0; n Ơ * p dung bõt ng thc Cụsi, ta co: 3 un+1 = 2un + ữ = un + un + ữ un2 = 3 ; n Ơ * un un un Do o: un 3 ; n Ơ * 0,5 0,5 un3 1 Mt khac: un+1 un = un + un = un ữ = un un un Võy (un ) la day sụ giam va bi chn di nờn no co gii han Gia s, lim un = a Ta co: a = a + a = a = 3 a a Võy: lim un = 3 Ta co: ( xyz ) Do o: 0,5 0,5 1.5 im 1 36 + + x y z + x2 y2 + y2 z + z x2 1 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z 0,5 0,25 xy + yz + zx = ( xy ) ( yz ) ( zx ) 0,25 1 xy + yz+zx 27 ( xy + yz+zx ) x + y + zữ = ữ xyz ( xy + yz+zx ) 2 27 = xy + yz+zx 0,25 Mt khac: + x y + y z + z x = + ( x y + 1) + ( y z + 1) + ( z x + 1) ( + xy + yz + zx ) 0,25 1 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ x y z 27 + ( xy + yz+zx ) xy + yz+zx = 108 + + ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx 108 + ( xy + yz + zx ) ữ = 1296 xy + yz + zx A 1 2 2 2 Suy ra: (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z y Dõu = xay va ch khi: x = y = z = B P Q N M O x 0,25 0,25 2.0 im C 0,25 Chn h truc ta Nxy cho A, N nm trờn truc hoanh Vi AB khụng song song vi cac truc ta nờn phng trinh ca no co b dang : y = ax + b (a 0) Khi o : A = ;0 ữ, P = (0; b) a AC i qua A va ụi xng vi AB qua truc hoanh nờn co phng trinh : y = -ax b PO i qua P, vuụng goc vi AB nờn co phng trinh : y = x + b a O la giao im ca PO va truc hoanh nờn O = (ab,0) BC i qua gục ta nờn : +) Nu BC khụng nm trờn truc tung thi phng trinh BC co dang y = cx vi c 0,c a (vi B, C khụng thuc truc hoanh, BC khụng song song vi AB va AC) B la giao im ca BC va AB nờn ta B la nghim ca h : y = ax + b bc b B= ; ữ ca ca y = cx C la giao im ca BC va AC nờn ta C la nghim ca h : y = ax b b bc C = ; c+a c+a y = cx uuuu r bc abc ab AM = c; a ) M = ; Do o : 2 ( 2 ữ, suy : a (c a ) c a c a a2 ab T o ta co phng trinh ca AM la : y = x + c c Q la giao im ca AM vi truc tung nờn ab uuur Q = 0; ữ QO = ab 1; ữ c c uuur Do o QO la mt vect phap tuyn ca BC nờn QO vuụng goc BC +) Nu BC nm trờn truc tung thi tam giac ABC cõn tai A nờn M N, o O thuc AN nờn QO vuụng goc BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gia s ( x, y, z ) la nghim nguyờn dng ca phng trinh Ta co: 1,5 im x+2 = y + z + yz x ( y + z ) = yz [ x ( y + z ) ] = yz yz + 12 0,25 = yz [ x ( y + z ) ] 12 [ x ( y + z ) ] + [ x ( y + z ) ] + 12 = yz [ x ( y + z ) ] + yz + 12 Ô (vụ lý) x ( y + z) y =1 z = x = Nu x = y + z thi yz = y = z = Th lai, ta thõy: (4; 3; 1) va (4; 1; 3) la nghim ca phng trinh Võy: nghim nguyờn dng ca phng trinh a cho la (4; 3; 1) va (4; 1; 3) Nu x ( y + z ) thi = 0,25 0,25 0,5 0,25 S GIO DC V O TO HI DNG THI CHNH THC Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2011 2012 MễN THI : TON - Vũng Thi gian lam bai: 180 phỳt ( thi gm 01 trang) Cõu (2 im) a) Cho ham sụ y = x + 2mx 3m va ham sụ y = x + Tim m thi cac ham sụ o ct tai hai im phõn bit va hoanh ca chỳng ờu dng b) Giai bõt phng trinh: x + x 12 > 10 x Cõu (2 im) a) Giai phng trinh: (4 x3 x + 3)3 x3 = b) Giai phng trinh: x 11x + 23 = x + Cõu (2 im) a) Trong mt phng ta Oxy cho im M (1;4) ng thng d qua M, d ct truc hoanh tai A(hoanh ca A dng), d ct truc tung tai B(tung ca B dng) Tim gia tri nho nhõt ca din tich tam giac OAB b) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C): ( x 2) + ( y + 3) = va im A(1; 2) ng thng qua A, ct (C) tai M va N Tim gia tri nho nhõt ca dai oan thng MN Cõu (3 im) a) Chng minh rng t giac li ABCD la hinh binh hanh va ch AB + BC + CD + DA2 = AC + BD b) Tim tõt ca cac tam giac ABC thoa man: 1 = + (trong o AB=c; AC=b; ng ha2 b c cao qua A la ) Cõu (1 im) Cho a, b, c la cac sụ thc dng Chng minh rng: 2 a b) + ( b c) + ( c a) 2a 2b 2c ( + + 3+ b+c c+a a+b ( a + b + c) Ht H va tờn thi sinh:Sụ bao danh: Ch ký ca giam thi 1:.Ch ký ca giam thi 2: P N V HNG DN CHM MễN TON Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2011 2012 Cõu í Ni dung Tim m: y = x + 2mx 3m va y = x + ct tai hai im a phõn bit va hoanh dng Yờu cu bai toan PT sau co hai nghim dng phõn bit x + 2mx 3m = x + x + 2( m + 1) x 3m = ' > 3(m + 1) > 2(m + 1) > im 1,00 0,25 0,25 m > ' > m < Kt hp nghim, kt luõn m < Giai bõt phng trinh: x + x 12 > 10 x b 0,25 0,25 1,00 TX: x + x 12 x Nu < x thi x + x 12 > 10 x , bõt phng trinh nghim ỳng vi mi x: < x 10 x x Nu bõt pt a cho x + x 12 x + x 12 > x 40 x + 100 x 48 x + 112 < < x < Kt hp nghim, trng hp ta co: < x Tõp nghim ca bpt a cho: (4;6] 3 3 (4 x x + 3) x = Giai phng trinh: (1) a 0,25 0,25 28 0,25 0,25 1,00 y x3 = ( I ) Khi o nghim t y = x x + (1) co dang: x x + = y ca (1) la x ng vi (x;y) la nghim ca (I) 3 3 y x = 3(2) y x = (I) 3 2 x + y ( x + y ) = ( x + y )(2 x xy + y 1) = 0(3) TH1: y = -x kt hp(2), co nghim ca (1): x = TH2: x xy + y = 0; ' x = y Nu co nghim thi y 0,25 0,25 0,25 2 < Tng t cng co x Khi o VT (2) ữ = 3 3 Chng to TH2 vụ nghim KL (1) co nghim x = b 0,25 Giai phng trinh: x 11x + 23 = x + K: x (1) 2( x x + 9) + ( x + x + + 4) = 1,00 0,25 2( x 3) + ( x + 2) = (*) x = Do a 0(a) nờn pt(*) x + = x = Võy pt a cho co nghim x=3 M (1;4) g thng d qua M, d ct truc hoanh tai A; d ct truc tung tai a B Tim gia tri nho nhõt ca din tich tam giac OAB( x A ; yB > ) x y Gia s A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT ng thng AB: + = a b 4 16 Vi AB qua M nờn + = a b ab ab a = ab 8;" = " = = a b b = 2 Din tich tam giac vuụng OAB( vuụng O)la S = OA.OB = ab Võy S nho nhõt bng d qua A(2;0), B(0;8) b (C): ( x 2) + ( y + 3) = ; A(1; 2) qua A, ct (C) tai M va N Tim gia tri nho nhõt ca dai oan thng MN (C) co tõm I(2;-3), ban kinh R=3 Co A nm ng trũn(C) vi IA2 = (1 2) + (2 + 3) = < K IH vuụng goc vi MN tai H ta co IH + HN = IN = MN = 4HN = 4(9 IH ) Ma IH AH IH IA = MN 4(9 2) = 28 MN Võy MN nho nhõt bng H trựng A hay MN vuụng goc vi IA tai A Chng minh rng t giac li ABCD la hinh binh hanh va ch a AB + BC + CD + DA2 = AC + BD uuu r uuur uuu r uuur r T giac li ABCD la hinh binh hanh AB = DC AB DC = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB DC = AB + DC AB.DC = uuu r uuur uuur 2 AB + DC AB.( AC AD ) = AB + DC ( AB + AC BC ) + ( AB + AD BD ) = (*) r r r2 r r r2 r r r2 r2 r r ( vi a b = a 2a.b + b 2a.b = a + b a b ) ( ) ( ) ( ) 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (*) AB + BC + CD + DA2 = AC + BD (pcm) ( Chỳ ý: nu ch lm c chiu thỡ cho 0,75 ) 1 b Tim tõt ca cac tam giac ABC thoa man: = + (1) b c Co a.ha = S = bc sin A 0,25 1,5 0,25 a2 4R = = ha2 b 2c sin A b 2c 0,25 (1) b + c = R sin B + sin C = cos B + cos 2C = cos B + cos 2C = 2cos( B + C )cos( B C ) = 0,25 0,25 0,25 B + C = hay A = ( < B + C < ;0 B C < ) B C = 0,25 2 2 ( a b) + ( b c) + ( c a ) Võy tam giac ABC vuụng A hoc co B C = CMR : 2a 2b 2c + + 3+ b+c c+a a+b ( a + b + c) 2a 2b 2c 1+ + 1= b+c c+a a+b a b+ a c bc +ba c a +c b + + b+c c+a a+b ; a , b, c > 1,00 XộtM= 1 1 1 ) + (b c)( ) + (c a)( ) b+c c+a c+a a+b a+b b+c 1 = ( a b) + (b c) + (c a ) (b + c)(c + a ) (c + a)(a + b) ( a + b)(b + c) 4 > = Vi ; (b + c)(c + a ) (a + b + 2c) (2a + 2b + 2c) ( a + b + c) ( a b) 2 ( a b ) ;" = " a = b ( a b) (b + c)(c + a ) (a + b + c ) Lam hoan toan tng t vi hai biu thc cũn lai 2 a b) + ( b c) + ( c a ) ( Suy M (pcm); = a = b = c ( a + b + c) 0,25 = (a b)( 0,25 0,25 0,25 Hinh v cõu 3b: I A M N H Lu ý: Hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng cho im ti a S GIO DC V O TO LONG AN K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM 2011 (VềNG 1) Mụn: TON ( BNG A ) Thi gian: 180 phỳt (khụng k giao ) Ngay thi: 06/10/2011 CHNH THC Cõu 1: ( 5,0 im ) a Giai phng trinh sau: x + x + = + x + x x x vi x R ( ) b Giai phng trinh: 2sin x + sin x + = cos x + sin x Cõu 2: ( 5,0 im ) a Cho tam giac ABC vuụng cõn tai B , canh AB = Trong mt phng cha tam giac ABC lõy im M thoa MA2 + MB = MC Tim qu tich ca im M b Cho tam giac ABC co hai trung tuyn BM va CN hp vi mt goc bng 600 , BM = 6, CN = Tinh dai trung tuyn cũn lai ca tam giac ABC Cõu 3: ( 4,0 im ) Cho day sụ ( un ) xac inh bi u1 = va un+1 = 3un + vi mi n a Xac inh sụ hang tng quat ca day sụ ( un ) 2 2 b Tinh tng S = u1 + u2 + u3 + + u2011 Cõu 4: ( 3,0 im ) Cho a, b, c la ba sụ thc khụng õm va thoa man iờu kin a + b + c = Tim gia tri ln nhõt ca biu thc: M = ( a + b + c ) ( a + b + c ) + 6abc Cõu 5: ( 3,0 im ) x + ( y + ) x + xy = 2m Tim m h phng trinh sau co nghim: vi x, y la x + x + y = m cac sụ thc Ht S GD&T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2011 - 2012 CHNH THC Mụn thi: TON LP 12 THPT - BNG B Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ờ) Cõu I (6,0 im) Giai phng trinh: x + x = (x Ă ) Giai bõt phng trinh: x 3x + ( x + 2) 6x (x Ă ) Cõu II (3,0 im) Tim tõt ca cac gia tri ca tham sụ m h phng trinh sau co nghim: x 12x y3 + 6y 16 = (x, y Ă ) 2 4x + x 4y y + m = Cõu III (5,5 im) Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh thoi canh 2a; SA = SB = SC = 2a Gi M la trung im ca canh SA; N la giao im ca ng thng SD va mt phng (MBC) Gi V, V1 ln lt la th tich ca cac khụi chop S.ABCD va S.BCNM V1 V b) Chng minh V 2a a) Tinh t sụ Cõu IV (3,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giac ABC co A(2; -1) ng phõn giac ca cac goc B va C ln lt co phng trinh x 2y + = ; x + y + = Vit phng trinh ng thng BC Cõu V (2,5 im) Cho x, y, z la cac sụ thc dng thoa man xyz = Tim gia tri ln nhõt ca biu thc: P= 1 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 - - - Ht - - - H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN thi chớnh thc K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 ( thi gm 01 trang) Mụn thi: TON - THPT BNG A Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu I: (3,0 im) 2x co thi (C) va im P ( 2;5 ) x +1 Tim cac gia tri ca tham sụ m ng thng d : y = x + m ct thi ( C ) tai hai im phõn bit A va B cho tam giac PAB ờu Cho ham sụ y = Cõu II: (6,0 im) x +1 = ( xĂ 2x + x + 1 2 x + y + + =5 2 x y Giai h phng trinh ( xy 1) = x y + Giai phng trinh ) ( x, y Ă ) Cõu III: (6,0 im) Cho lng tru ABC.A 'B'C' co ay la tam giac ờu canh a Hinh chiu vuụng goc ca im A ' lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm tam giac ABC Bit khoang cach gia hai a ng thng AA ' va BC bng Tinh theo a th tich khụi lng tru ABC.A 'B'C' Cho t din ABCD co G la trng tõm tam giac BCD Mt phng ( ) i qua trung im I ca oan thng AG va ct cac canh AB, AC, AD tai cac im (khac A ) Gi h A , h B , h C , h D ln lt la khoang cach t cac im A, B, C, D n mt phng ( ) h 2B + h C2 + h 2D Chng minh rng: h 2A Cõu IV: (2,5 im) Trong mt phng vi h truc ta Oxy , cho im A ( 1; 1) va ng trũn 2 ( T ) : ( x 3) + ( y ) = 25 Gi B, C la hai im phõn bit thuc ng trũn ( T ) ( B, C khac A ) Vit phng trinh ng thng BC , bit I ( 1;1) la tõm ng trũn ni tip tam giac ABC Cõu V: (2,5 im) Cho cac sụ thc dng a, b, c Tim gia tri nho nhõt ca biu thc sau: P= a + ab + abc a+b+c - - Ht - H tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 HNG DN CHM CHNH THC Mụn: TON THPT- BNG A (Hng dn chõm gm 05 trang) Cõu Ni dung I Phng trinh hoanh giao im ca ng thng d va thi (C) la: (3,0) 2x = x + m x (m 3)x m = ( 1) , vi x x +1 ng thng d ct thi (C) tai hai im phõn bit va ch phng trinh ( 1) co hai nghim phõn bit khac m 2m + 13 > (ỳng m ) 0.m x1 + x = m Gi x1 , x la cac nghim ca phng trinh (1), ta co: x1 x = m Gia s A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x ; x + m ) Khi o ta co: AB = ( x1 x ) PA = PB = ( x1 ) ( x 2) 2 im 0,5 0,5 0,5 + ( x1 + m ) = ( x1 ) + ( x + m 5) = ( x 2) 2 + ( x2 2) , + ( x1 ) Suy PAB cõn tai P Do o PAB ờu PA = AB2 2 2 ( x1 ) + ( x ) = ( x1 x ) ( x1 + x ) + ( x1 + x ) 6x1x = m =1 m + 4m = Võy gia tri cn tim la m = 1, m = m = II x KX: 1, x 13 (3,0) Phng trinh a cho tng ng vi ( x + ) x + = 2x + ( 0,5 ) ( x + 1) x + + x + = 2x + + 2x + (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 Xột ham sụ f ( t ) = t + t ; f ' ( t ) = 3t + > 0, t Suy ham sụ f ( t ) liờn tuc va ng bin trờn Ă 0,5 Khi o: Pt(1) f 0,5 ( ) ( x +1 = f ) 2x + x + = 2x + D x x = x x x = x = + ( x + 1) = ( 2x + 1) x3 x2 x = x = ụi chiu KX c nghim ca phng trinh a cho la: 1+ va x = x= II x 2, KX: y (3,0) 2 x + ữ + y ữ = x y Ta co h phng trinh a cho tng ng vi: 2 ( x + 1) ( y 1) = 2xy 2 1 x + ữ + y ữ = u=x+ x y x ( *) , t v = y y ữ = y x + x ữ y u + v = ( u + v ) = H phng trinh ( *) tr uv = uv = u + v = u + v = (I) hoc (II) uv = uv = Ta co: u = u = hoc v = v = u = u = ( II ) hoc v = v = 0,5 0,5 0,5 0,5 ( I) u = u = u nờn ch co va thoa man x v = v = 1 x + = x = u = x ta co (thoa man KX) y = v = y = y x + = x = u = x ta co (thoa man KX) v = y = y = y Võy h phng trinh a cho co nghim ( x; y ) la: 0,5 Vi u = x + 0,5 0,5 0,5 1+ + 1; ữ, 1; ữ, 1; ữ, 1; ữ 2 III a2 Din tich ay la SABC = 1, (3,0) Gi G la trng tõm tam giac ABC 0,5 BC AE BC ( AA'E ) Gi E la trung im BC Ta co BC A 'G Gi D la hinh chiu vuụng goc ca E lờn ng thng AA ' Do o BC DE, AA' DE Suy DE la khoang cach gia hai ng thng AA ' va BC DE ã ã = = DAE = 300 Tam giac ADE vuụng tai D suy sin DAE AE a Xột tam giac A 'AG vuụng tai G ta co A 'G = AG.tan 30 = 3 a Võy VABC.A 'B'C ' = A 'G.SABC = 12 III Gi B', C', D' ln lt giao im ca mp 2, ( ) vi cac canh AB, AC, AD (3,0) Ta co VAGBC = VAGCD = VAGDB = VABCD (*) Vi VAB'C ' D' = VAIB'C' + VAIC 'D' + VAID'B' va (*) nờn VAB'C ' D' VAIB'C ' V V = + AIC ' D' + AID' B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB' = + + AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB AB AC AD AG BB' CC' DD' + + = =6 + + =3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' BB' h B CC' h C DD' h D = , = , = Mt khac ta co AB' h A AC' h A AD' h A hB hC hD + + = h B + h C + h D = 3h A (**) Suy hA hA hA 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ( h B + h C + h D ) ( h B2 + h C2 + h D2 ) 2 ( h B h C ) + ( h C h D ) + ( h D h B ) ( luụn ỳng ) 2 2 Kt hp vi (**) ta c ( 3h A ) ( h B + h C + h D ) Ta co: h 2B + h C2 + h 2D Hay h 2A IV ng trũn ( T ) co tõm K ( 3;2 ) ban kinh la R = (2,5) Ta co AI :x y = , o ng thng AI ct ng trũn ( T ) tai A '( A' khac A ) co ta la nghim ca h ( x 3) + ( y ) = 25 x = (loai) y = x y = x = hoc y = Võy A ' ( 6;6 ) ẳ ' = CA ẳ ') Ta co: A 'B = A 'C (*) (Do BA ã 'BC = BAI ã ã (1) (Vi cựng bng IAC ) A ã ã Mt khac ta co ABI (2) = IBC ã ' = ABI ã ã ã ã 'BC = IBA ã ' T (1) va (2) ta co: BIA + BAI = IBC +A Suy tam giac BA 'I cõn tai A ' o A 'B = A 'I (**) T ( *) , ( **) ta co A 'B = A 'C = A 'I Do o B,I,C thuc ng trũn tõm A ' ban kinh A 'I co phng trinh la ( x 6) + ( y ) = 50 ( x 3) + ( y ) = 25 Suy ta B, C la nghim ca h 2 ( x ) + ( y ) = 50 Nờn ta cac im B,C la : (7; 1),(1;5) Khi o I nm tam giac ABC (TM) Võy phng trinh ng thng BC : 3x + 4y 17 = V p dung bõt ng thc Cụsi ta co (2,5) a + 4b a + 4b + 16c a + ab + abc a + + = ( a + b + c) 2 3 ng thc xay va ch a = 4b = 16c 3 Suy P 2( a + b + c) a+b+c 3 t t = a + b + c, t > Khi o ta co: P 2t t 3 3 Xột ham sụ f ( t ) = vi t > ta co f ' ( t ) = 2t t 2t t 2t 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 f '( t ) = 3 = t =1 2t t 2t Bang bin thiờn t f '( t ) f ( t) + + + 0,5 Do o ta co f ( t ) = t >0 3 va ch t = Võy ta co P , ng thc xay va ch 16 a = 21 a + b + c = b = 21 a = 4b = 16c c = 21 16 Võy gia tri nho nhõt ca P la va ch ( a,b,c ) = , , ữ 21 21 21 - - Ht - Chỳ ý: - Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im phn tng ng - Khi chm giỏm kho khụng lm trũn im 0,5 S GD & T NGH AN thi chớnh thc K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 ( thi gm 01 trang) Mụn thi: TON - BT THPT Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu I (5,0 im) Cho ham sụ y = x mx + m , vi m la tham sụ Tim cac gia tri ca m ham sụ co ba im cc tri Tim gia tri ln nhõt, gia tri nho nhõt ca ham sụ f ( x ) = x x trờn oan [ 0; 1] Cõu II (5,0 im) Giai bõt phng trinh 2x 5x + x x + y 4xy = Giai h phng trinh x + y xy = ( x Ă ) ( x, y Ă ) Cõu III (5,0 im) n Tim h sụ ca x khai trin nhi thc Niutn ca + x ữ , x x 15 Bit C0n + C1n + + C nn + C nn = 1024 (vi n Ơ * , C nk la sụ cac t hp chõp k ca n ) Giai phng trinh : ( 2sin x 1) ( sin x + 2cosx ) = sin 2x cosx Cõu IV (5,0 im) Cho hinh chop S.ABC co ng cao SA , ay la tam giac vuụng tai B Gi B' la hinh chiu vuụng goc ca im A lờn ng thng SB Qua im B' k ng thng song song vi ng thng BC ct SC tai C' Chng minh rng: SB vuụng goc vi mt phng ( AB'C') Tinh theo a th tich khụi chop S.AB'C' , bit SA = AB = a va BC = 2a - - Ht - - H tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 HNG DN CHM CHNH THC Mụn: TON - BT THPT (Hng dn chõm gm 03 trang) Cõu Ni dung I TX: D = Ă 1, Ta co y' = 4x 2mx (2,5) y' = 4x 2mx = x ( 2x m ) = im 0,5 0,5 x = 2x m = ( 1) Ham sụ co ba im cc tri va ch phng trinh ( 1) co hai nghim phõn bit khac m > m > Võy gia tri cn tim la: m > m I Ham sụ f ( x ) = x x liờn tuc trờn oan [ 0; 1] 2, 2x (2,5) Ta co f ' ( x ) = x x = x2 x2 2x f '( x ) = = 2x = x ( 0; 1) x = ( 0; 1) x = Ta co f ( ) = 0, f ( 1) = 0, f ữ= f ( x ) = f ( ) = f ( 1) = , Max f ( x ) = f ữ = Võy Min [ 0;1] [ 0;1] II x 1, 2x 5x + (2,5) Bõt phng trinh a cho tng ngS vi x 1> 2 2xC 5x + x ( ) B C A B 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ( 1) 0,5 ( 2) x x x H BPT ( 1) x x > H BPT ( ) x 3x + 0,5 0,5 x > x x x 0,5 Võy tõp nghim ca bõt phng trinh a cho la: S = ( ;1] [ 2; + ) II ( x + y ) 6xy = 2, H phng trinh a cho tng ng vi x + y xy = (2,5) ( x + y ) 6xy + = xy = x + y ( x + y ) ( x + y ) + = x + y = xy = xy = x + y 0,5 0,5 0,5 0,5 x = y = x = y = 0,5 Võy nghim ( x; y ) ca h phng trinh a cho la: ( 1; ) , ( 2; 1) 0,5 III Ta co ( + 1) n = C0 + C1 + + C n + C n n n n n 1, n n n (2,5) Cn + Cn + + Cn + Cn = T gia thit ta suy 2n = 1024 2n = 210 n = 10 0,5 0,5 10 Ta co sụ hang tng quat khai trin nhi thc Niutn ca + x ữ x 2( 10 k ) k 5k k 7k 20 x = C10 x la C10 x Suy x15 ng vi 7k 20 = 15 k = 5 = 252 Võy h sụ ca x15 la C10 III PT ( 2sin x 1) ( sinx+2cosx ) = 2sin x cos x cosx 2, 2sin x sinx+2cosx cosx 2sin x = ( )( ) ( ) (2,5) 2sin x = (1) ( 2sin x 1) ( sinx+cosx ) = sinx+cosx = (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 IV 1, (2,5) x = + k2 PT ( 1) sinx = ( k Â) x = + k2 PT ( ) sin x + ữ= x + = k x = + k 4 Võy nghim ca phng trinh la x = + k2, x = + k2, x = + k ( k  ) 6 Ta co SA ( ABC ) SA BC (1) Mt khac BC AB (2) 0,5 ( k Â) 0,5 0,5 T ( 1) va ( ) suy BC ( SAB ) Do o BC SB B'C' SB ( ) (vi B'C'// BC ) Theo gia thit ta co SB AB' (4) T ( 3) va ( ) suy SB ( AB'C' ) IV Ta thõy tam giac SAB cõn tai A suy B' la trung im ca SB , o 2, SB' = SB (2,5) a SB = SA + AB2 = a SB' = a Vi SAB vuụng tai A nờn ta co AB' = SB' = Do BC ( SAB ) B'C' ( SAB ) B'C' AB' Ta co B'C' la ng trung binh ca tam giac SBC suy B'C' = BC = a a Th tich ca khụi chop S.AB'C' la V = SB'.AB'.B'C' = 12 Ht -Chỳ ý: - Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im phn tng ng - Khi chm giỏm kho khụng lm trũn im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S GIO DC V O TO H TNH CHNH THC K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2010 2011 MễN TON Thi gian lm bi: 180 phỳt 2y x + y + x = Bi a) Giai h phng trinh: x + y 2x = y b) Trong mt phng, vi h toa Oxy, chng minh thi ham sụ sau ct truc hoanh tai it nhõt x x im: y = log ( 2x + 1) log ( 2x + 1) + Bi Tim tham sụ m ham sụ y = x + 3mx + ( m + 1) x + nghich bin trờn mt oan co dai ln hn Bi Hai sụ thc x, y thoa man: x + 4y2 = Tim gia tri ln nhõt va gia tri nho nhõt ca biu thc: A = x + 4y3 3xy ã ã ã Bi Hinh chop A.BCD co ACB = ADB = 900 AB = 2a ay BCD la tam giac cõn tai B, co CBD = va CD = a Tinh th tich khụi chop A.BCD theo a va Bi Tam giac ABC khụng nhn co cac goc thoa man ng thc: sin B sin A sin C + ữ1 + ữ + ữ= + sin A sin C sin B Hoi tam giac ABC la tam giac gi? _ Ht _ S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 THPT NM HC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn THI CHNH THC (Khúa ngy 30 thỏng nm 2011) S BO DANH: Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu 1:(3.0 im) a) Giai phng trinh: sin x + cos3 x 2cos x + ữ+ = 1 16 x + + = x+ y x y b) Giai h phng trinh: 1 100 2( x + y ) + + = ( x + y )2 ( x y )2 Cõu 2:(2.0 im) Cho day sụ ( xn ) xac inh nh sau: x1 = 30 * xn+1 = 30 xn + 3xn + 2011, n Ơ xn+1 xn Cõu 3:(3.0 im) Cho din ờu ABCD canh a Gi I, J ln lt la trng tõm cac tam giac ABC va tCHNH THC DBC Mt phng ( ) qua IJ ct cac canh AB, AC, DC, DB ln lt tai cac im M, N, P, Q vi AM = x , AN = y ( < x, y < a ) a) Chng minh MN, PQ, BC ng qui hoc song song v MNPQ l hỡnh thang cõn Tim lim b) Chng minh rng: a( x + y ) = 3xy Suy ra: 4a 3a x+y< c) Tớnh din tớch t giỏc MNPQ theo a v s = x + y Cõu 4:(1.0 im) Cho phng trinh: ax + ( 2b + c ) x + ( 2d + e ) = co mt nghim khụng nho hn Chng minh rng phng trinh ax + bx3 + cx + dx + e = co nghim Cõu 5:(1.0 im) Cho x, y, z > Chng minh rng: xy yz 3zx P= + + ( z + x)( z + y ) ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) HT UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2010 2011 MễN THI: TON LP 12 THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngay thi 22 thang nm 2011 ================ Cõu 1:(5 im) 1/ Cho ham sụ y = x 3x + co thi la (T) Gia s A, B, C la ba im thng hang trờn (T), tip tuyn ca (T) tai cac im A, B, C ln lt ct (T) tai cac im A, B, C (tng ng khac A, B, C) Chng minh rng A, B, C thng hang 2/ Cho ham sụ y = x 2n +1 + 2011x + 2012 (1) , chng minh rng vi mi sụ nguyờn dng n thi ham sụ (1) luụn ct truc hoanh tai ỳng mt im Cõu 2:(5 im) 1/ Giai phng trinh: log x + log x + log x = log x + log x + log x ( x Ă ) 2/ Giai phng trinh: ( 5x ) 1 = x2 5x x ( xĂ ) Cõu 3:(3 im) k Ki hiu C n la t hp chõp k ca n phn t ( k n; k, n  ) , tinh tng sau: 2009 2010 S = C02010 + 2C12010 + 3C2010 + + 2010C 2010 + 2011C 2010 Cõu 4:(5 im) 1/ Cho hinh chop t giac S.ABCD, co ay ABCD la hinh binh hanh, AD = 4a ( a > ) , cac canh bờn ca hinh chop bng va bng a Tim cosin ca goc gia hai mt phng (SBC) va (SCD) th tich ca khụi chop S.ABCD la ln nhõt ã ã 2/ Cho t din ABCD co BAC = 600 , CAD = 1200 Gi E la chõn ng phõn giac goc A ca tam giac ABD Chng minh rng tam giac ACE vuụng Cõu 5:(2 im) Cho hai sụ thc x, y thoa man: x + y Chng minh rng: cos x + cos y + cos ( xy ) HT ( thi gm cú 01 trang) S GIO DC & O TO C MAU THI HC SINH GII VềNG TNH LP 12 THPT NM HC 2009-2010 CHNH THC Mụn thi: Toỏn Ngay thi: 20 12 2009 Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (3 im) Giai phng trinh : ln(sin x + 1) = esin x Bi 2: (3 im) Cho t giac ABCD ni tip ng trũn Gi a, b, c, d ln lt la dai cac canh va S la din tich ca t giac ABCD Chng minh rng : S = (p a)(p b)(p c)(p d) , vi p = a +b+c+d Bi 3: (2 im) Tim cac sụ x, y, z thoa man phng trinh : 2x 4x + y y 2xz + z + 13 = Bi 4: (3 im) Chng minh rng vi mi x thuc khoang (0 ; cosx > x2 ln( ) Ta co : ) cosx Bi 5: (3 im) Cho mt bang hinh vuụng chia ụ : x = 16 ụ va tõp hp gm 16 sụ t nhiờn liờn tip : n, n + 1, ., n + 14, n + 15; n > Ngi ta iờn cac sụ o vao cac ụ ca bang, mi ụ iờn mt sụ va tụ o cacco sụ iờn trờn o la bi ca n Gia s co k ụ c tụ mau o Xac inh gia tri n sụ k la nghim phng 3 3 trinh: (A k ) 138Ck 24 = ; o A k , C k ln lt la chnh hp, t hp chõp ca tõp k phn t Bi 6: (3,5 im) Cho hinh chop S.MNPQ, tr canh bờn SP, cac canh cũn lai ờu bng a 1) Tinh th tich ln nhõt ca khụi chop a3 2) Goc NMQ phai bng bao nhiờu th tich ca hinh chop bng Bi : (2,5 im) Xac inh m trờn cựng h toa Oxy, thi hai ham sụ sau õy co it nhõt mt ng tim cõn chung : y = mx x m vi m la tham sụ khac x 4x + ; y = x +1 S GIO DC V O TO C MAU D B Bi : Giai h phng trinh : HT K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT Nm hc 2009 2010 Mụn thi : TON Thi gian : 180 phỳt (khụng k thi gian giao ờ) Ngay thi : x y = y z =1 z x = Bi : Trong tam giac ABC, hay tim mt im M cho : MA2 + MB + MC la nho nhõt Bi : Cho a, b, c la ba canh ca mt tam giac vuụng, c la canh huyờn; x, y la hai sụ thoa man h thc ax + by = c Chng minh rng x2 + y2 Khi nao xay dõu ng thc Bi : Tim mi ham sụ f( x ) thoa : x f ( + x ) f ( x ) = x + x + x Bi : Cho tam giac ABC Ngi ta lõy trờn cac canh AB, BC va CA, mi canh gm n im phõn bit va khac A, B, C ; n > Lõp cac tam giac vi cac nh la cac im 3n im noi trờn Cac tinh toan sau õy khụng k n tam giac ABC 1) Gi s la sụ cac tam giac nh võy Tinh s theo n 2)Gi a la sụ cac tam giac lõp c nh trờn nhng co ba nh nm trờn ba canh khac ca tam giac s ABC Co hay khụng sụ n la sụ nguyờn dng ? sa Bi : Trờn mt phng co h toa Oxy, cho hypebol ( H ) co phng trinh : x y2 = va ng trũn ( T ) co phng trinh : x2 + ( y 1)2 = 1) Tim im trờn ( H ) co tng cac khoang cach t o n hai tim cõn at gia tri nho nhõt ? 2) Chng minh rng ( H ) va ( T ) ct tai im phõn bit va im o cựng nm trờn mt ng parabol dang y = a x2 + b x +c ( a khac ) Tim phng trinh ca parabol o Bi : Tim gia tri a phng trinh : 43 x 3.22 x 2 + a = co mt nghim thuc khoang ( ; ) HT ... 0, phng trinh (1) tr thanh: t + t + 2 012 = 2 012 1 t + t + = t + 2 012 t + 2 012 + 4 4n 2n (1) 0,25 0,5 t + ữ = t + 2 012 ữ 0,5 0,25 t + = t + 2 012 t + t 2011 = Giai phng trinh (2) ta... trinh: x + x 12 > 10 x b 0,25 0,25 1,00 TX: x + x 12 x Nu < x thi x + x 12 > 10 x , bõt phng trinh nghim ỳng vi mi x: < x 10 x x Nu bõt pt a cho x + x 12 x + x 12 > x 40... y + z ) = yz [ x ( y + z ) ] = yz yz + 12 0,25 = yz [ x ( y + z ) ] 12 [ x ( y + z ) ] + [ x ( y + z ) ] + 12 = yz [ x ( y + z ) ] + yz + 12 Ô (vụ lý) x ( y + z) y =1 z = x =
- Xem thêm -

Xem thêm: tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án , tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án , tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án

Từ khóa liên quan