IV Phơng trình IV.1- Phơng trình bậc ẩn Giải biện luận: Giải biện luận: Kiến thức - Phơng trình bậc Èn cã d¹ng: ax + b = (a 0) với a, b số đà cho - Giải biện luận phơng trình bậc ẩn: Xét phơng trình ax + b = ax = - b + NÕu a = 0; b = -> Phơng trình có vô số nghiệm + Nếu a = 0; b -> Phơng trình vô nghiệm + Nếu a 0, Phơng trình có nghiệm x =  b a Bµi tËp vÝ dơ Ví dụ: Giải biện luận phơng trình sau với m tham số m2 (x Giải biện luận: 1) = x Giải biện luận: 2m + (1) Giải: Phơng trình (1) m2x Giải biện luận: m2 = x Giải biện luận: 2m + m2x Giải biện luận: x = m2 Giải biện luận: 2m + (m Giải biện luận: 1) (m + 1) x = (m Giải biện luận: 1)2 - Nếu m phơng trình có nghiệm x = m m - Nếu m = phơng trình 0x = => Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu m = -1 phơng trình 0x = => Phơng trình vô nghiệm IV.2 Phơng trình bậc hai Giải biện luận: Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai Phơng trình bậc hai ẩn: - Là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, (a 0) Trong ®ã x ẩn; a, b, c R - Cách giải: Cách 1: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình tích Cách 2: Dùng công thức nghiệm phơng trình bậc hai Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x2 Giải biện luận: 7x + = (1) Cách 1: Phơng trình (1) 3x2 Giải biện luận: 3x Giải biện luận: 4x + = (3x Giải biện luận: 4) (x Giải vµ biƯn ln: 1) =  x   x  0   x  0     x 1 Vậy phơng trình có nghiệm: x1 = Cách 2: = 49 Giải biện luận: 48 = 1; x1  1  ; x2  ; x2 =  1 1 Vậy phơng trình có nghiệm: x1 = ; x2 = VÝ dô 2: Cho phơng trình: m(x2 Giải biện luận: 4x + 3) + 2(x Giải biện luận: 1) = a) Giải phơng trình với m = - (1) b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với giá trị m c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên Giải: Phơng trình (1) mx2 Giải biện luận: 2x (2m Giải biện luận: 1) + 3m Giải biện luận: = , phơng trình (1) là: x2 Giải biện luận: 8x + = Phơng tr×nh cã nghiƯm a) Víi m = - x1 = 1; x2 = b) Víi m = 0, phơng trình (1) là: 2x Giải biện luËn: = ; PT cã nghiÖm x = Víi m 0,  ’ = 4m2 – Gi¶i biện luận: 4m + Giải biện luận: 3m2 + 2m = m2 Giải biện luận: 2m + = (m Giải biện luận: 1)2 Với m -> Phơng trình có nghiệm Vậy phơng trình (1) có nghiệm với m c) Với m = 0, phơng trình cã nghiƯm lµ x =  Z Víi m 0, phơng trình có nghiệm phân biệt 2m  m  3m   m m 2m   m  x2  m x1 x2 Z => để phơng trình có nghiệm nguyên 3m 2 Z  3  Z  2m  m 1;2 m m Vậy với m = 0; 1;2 phơng trình (1) có nghiệm nguyên Ví dụ 3: Giải phơng trình: x4 + x3 Giải biện luận: 3a2x2 Giải biện luận: 2a2x + 2a4 = (1) Giải: Phơng trình (1) 2a4 Giải vµ biƯn ln: a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = (2) Coi phơng trình (2) phơng trình với ẩn a, tham số x Đặt a2 = t ( t 0) ta đợc phơng trình: 2t2 Giải biện luận: (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = (3) 2  = (3x + 2x) Giải biện luận: (x + x ) x4 + 4x3 + 4x2 = (x2 + 2x)2 => Phơng trình có nghiệm     3x  x  x  x x x   4 2 3x  x  x  x t2  x  x t1  2 * Víi t1  x ta cã: a2 = x x2 = 2a2 2 - NÕu a = => x1 = x2 = - NÕu a 0 => x3, = a * Víi t2 = x2 + x ta cã: a2 = x2 + x x2 + x Giải biện luận: a2 =  = + 4a2 > víi mäi a Phơng trình có nghiệm phân biệt: x5 x6     4a 2  1  4a 2 VËy nÕu a = 0, phơng trình có nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1 Nếu a , phơng trình cã nghiƯm lµ: x1;2 = a ; x3;4 =    4a * Quan hệ nghiệm phơng trình bậc 2: Ví dụ: Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (m Giải biện luận: 8)x + m + = (1) x2 + (m – Giải biện luận: 2)x + m - = (2) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phơng trình, thì: x02 + (m Giải vµ biƯn ln: 8) x0 + m + = (1) x02 + (m Giải biện luận: 2) x0 + m Giải biện luận: = (2’) => - 6x0 + 12 = x0 = Thay vào (1) tìm đợc m = Với m = phơng trình (1) là: x2 Giải biện luận: 5x + = (x Giải biện luận: 2) (x Giải biện luận: 3) = => x1 = 2; x2 = Phơng trình (2) là: x2 +x Giải biện luận: = (x Giải biện luận: 2) (x + 3) = => x1 = 2; x2 = -3 Khi nghiệm chung phơng trình x = Vậy với m = phơng trình có nghiệm chung x = 2 Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai a) Hệ thức Viét: + Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = ( a   S  x1  x  ) th×:     P  x1 x   b a c a + Ngợc lại: Nếu có số x1; x2 cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P th× x1; x2 nghiệm phơng trình: X2 Giải vµ biƯn ln: SX + P = b) Mét số áp dụng: Hệ thức Viét thờng đợc ứng dụng để giải số dạng tập sau: b1) Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: Cho phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = ( a 0 - NÕu a + b + c = phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = - Nếu a Giải biện luận: b + c = th× x1 = -1; x2 = - c a c a VÝ dô: TÝnh nhÈm nghiệm phơng trình sau: a) x2 Giải biện luận: (3 - )x + ( - 1)2 = (1) b) mx2 – Gi¶i biện luận: (1 Giải biện luận: m) x Giải biện luận: = (2) Giải: a) Phơng trình (1) phơng trình bậc hai d¹ng ax2 + bx + c = 0, cã: a + b + c = - (3 - ) + ( - 1)2 = -3+ +3-2 =0 c = a => Phơng trình có nghiÖm: x1 = 1; x2 =  2  2 b) + Víi m = 0, ph¬ng trình là: -x Giải biện luận: = x = -1 + Víi m 0 , phơng trình (2) phơng trình bậc hai có a Giải biện luận: b + c = m + Giải biện luận: m Giải biện luận: = Phơng trình có nghiÖm: x1 = -1; x2 = - c = a m b2) Xét dấu nghiệm phơng trình Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0 ) Gäi S = x1 + x2; S = - b c ; P = x1.x2; P = a a Điều kiện để phơng trình: - Có nghiệm trái dấu: P < (khi hiển nhiên  > 0)  0  - Cã nghiÖm cïng dÊu  P  - Cã nghiÖm dơng: - Có nghiệm âm P S    P S  0   0   VÝ dô: Cho phơng trình: x2 + 2( m Giải biện luận: 2)x Giải biện luận: 2m + = (1)  2 ) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm dơng? nghiệm trái dấu Giải: Phơng trình (1) cã nghiƯm d¬ng:   P S  0   m  2m  0   m   m    m <  m    m   m   1 2  m  2  (  2m  2m     2( m  2)   0  0 2 VËy víi m <  1) TM với m phơng trình có nghiệm dơng b3) Tính giá trị hệ thức nghiệm phơng trình Trớc hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm phơng trình Sau tÝnh S = x1 + x2; P = x1.x2 vµ biến đổi hệ thức cần tính theo S P Ví dụ: Cho phơng trình x2 Giải biện luËn: 5x + = (1) Gäi x1; x2 nghiệm phơng trình Không giải phơng trình, h·y tÝnh: a) x12 + x22 b) x12 – Gi¶i vµ biƯn ln: x22 c) 1  3 x1 x Giải: Phơng trình (1) có: = 25 Giải biện luận: 12 = 13 > -> Phơng trình có nghiệm x 1; x2 Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 5; x1.x2 = a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 Giải biện luận: 2x1x2 = 52 Giải biện luận: 2.3 = 19 b) (x1 Giải biện luận: x2)2 = (x1 + x2)2 Giải biện luận: x1x2 = 52 Giải biện luận: 4.3 = 13 x1 - x2 =  13 Ta cã: x12 – Giải biện luận: x22 = (x1 Giải biÖn luËn: x2)(x1 + x2) = 5 13 1 x23  x13 ( x2  x1 )( x2  x12  x2 x1 ) 5(19  3) 80 80 c)  =     x1 x 27 x23 x13 x23 x13 33 b4) Xác định hệ số phơng trình, biết hệ thức nghiệm Ví dụ: Cho phơng trình: x2 Giải biện luận: 3x + (k Giải biện luận: 1) = (1) Xác định hệ số k để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều kiện sau: a) 2x1 Giải biện luận: 5x2 = - b) x12 Giải biện luận: x22 = 15 c) x12 + x22 = Giải: Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là: = Giải biện luận: (k Giải biện luận: 1) = Giải biện luận: 4k + = 13 Giải biện luËn: 4k 13  0 13 – Gi¶i vµ biƯn ln: 4k 0 k  Gäi nghiệm phơng trình (1) x1; x2 áp dụng hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = x1.x2 = k Giải biện luận: (3) a) Giải hệ phơng trình: x x 6 7 x 14  x 2       2 x1  x   x1  x 3  x1 1  x1  x 3  2 x1  x   (2) Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k Giải biện luận: => k = (TMĐK (2)) b) Giải hệ phơng trình: x1  x2 3 x1  x2 3 x  x 3 x 4    2   x1  x2 15 (x1  x2 )( x1  x2 ) 15 x1  x2 5 x2  Thay vµo (3) ta cã: (-1) = k Giải biện luận: k = -3 (TM§K)  x2 3  x1  2  x2 3  x1 x k  1 x c) Giải hệ phơng trình: Ta cã: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – Gi¶i biện luận: 2x1x2 => = 32 Giải biện luận: (k Giải biện luận: 1) k = 4, không TMĐK (2) Vậy không tồn số k để thoả mÃn x12 + x22 = b5) Tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số Ví dụ: Cho phơng trình bậc 2: ( m Giải biện luận: 2)x2 Giải biện luận: 2(m + 2)x + (m Giải biện luận: 1) = (1) Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: Vì phơng trình đà cho phơng trình bậc hai nên m ' =[-(m+2)]2 Giải biện luận: 2(m Giải biện luận: 2) (m Giải biện luận: 1) = -m2 + 10m Phơng trình đà cho có nghiệm khi: ' m Giải biện luận: 10m m ( m Giải biÖn luËn: 10)  m 10 Gäi x1; x2 nghiệm phơng trình (1) Theo hÖ thøc ViÐt ta cã: 2( m  2)   x1  x   m   2( m  1)  x x   m   Tõ (1) : x1 + x2 = Tõ (2): x1.x2 = (1) ( 2) ( x  x2 )  2m   8 2    (3) m m m xx 2 2m  2m   2  2    ( 4) m m m m 2 x1  x  x1 x   4 x1 x  ( x1  x ) Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 Giải biện luận: (x1 + x2) = b6) Lập phơng trình bậc hai biết nghiệm Ví dụ: Gọi m, n nghiệm phơng trình: Từ (3); (4) => x2 Giải biÖn luËn: (1 + ) x + = (1) (m < n) Lập phơng trình bậc có nghiệm là: x1 m ; x2 n Giải: Phơng trình (1) có: a + b + c = Giải biƯn ln: (1 + )+ =0 => Ph¬ng trình có nghiệm Gọi m, n nghiệm phơng trình (1) với m < n => m = 1; n = x1   ; m  1 1 x2   1 n 1 x1 + x2 = 1 x1.x2 =  1 1 1   => x1; x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 + 2x Giải biện luận: = Bài tập tự luyện Giải biện luận phơng trình bậc ẩn Bài 1: Giải phơng trình sau: a) (2x Giải biện luận:1)2 Giải biện luận: (2x Giải biện luận: 2) (2x + 2) = x (2x Giải biện luận: 1) Giải biện luận: (2x2 + 5x Giải biện luận: 3) b) 3x  3x  3x  3x     2005 2004 2003 2002 c) x  1050 x  1055 x  1060 x  1065 x  1070 x  1075      956 951 946 941 936 931 d) x 3 x 4 x 6    201 100 66 1  148 49      x . x  1  x  97.99  99 99  1.3 3.5 5.7 e)  x g) 3  2x 7  3x 5  4x Bài 2: Giải phơng trình sau (víi x lµ Èn sè): a) 4m2 (x – Giải biện luận: 1) = x Giải biÖn luËn: 4m + b) m( x  1) m  x  2 c) x  a  x  a x  2a   0 a a 1  a d) a b  x a c  x b c  x 4x   1  c b a a b c Phơng trình bậc hai Giải biện luận: Hệ thức Viét ứng dụng: Bài 3: Giải phơng trình sau: a) b) x2 Giải biện luận: ( +1)x - x2 + (2 -3)x + +1=0 -3 = c)  x  1   x  2 x  3  x Bài 4: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm với m (m Giải biện luận: 2) x2 Giải biện luận: (5m2 + 4m Giải biện luận: 1)x Giải biện luận: m + = Bài 5: Tìm số nguyên n để nghiệm phơng trình sau số nguyên x2 Giải vµ biƯn ln: 2(2n + 1)x + (n – Giải biện luận: 2) = Bài 6: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình: x2 Giải biện luận: x Giải biện luận: = a) TÝnh x12 + x22 b) Chøng minh: Q = (x12 + x22 + x14 + x24) Bài 7: Tìm m để phơng trình: x2 Giải biện luận: mx + m2 Giải biện luận: = có nghiệm gấp đôi nghiệm Bài 8: Cho phơng trình: x2 Giải biện luận: mx + m2 Giải biện luận: = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng phân biệt b) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 9: Cho phơng trình: x2 Giải biện luận: 2( m+ 1) x + m2 + 3m + = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mÃn: x12 + x22 = 12 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m? Bài 10: Cho phơng trình: x2 Giải biện luận: 2(m + 1)x + 2m Giải biện luận: 15 = Gọi nghiệm phơng trình x1; x2 a) Tìm m cho x1 + 5x2 = b) Tìm số nguyên m cho F = 1  cịng lµ sè nguyên x1 x Bài 11: Cho phơng trình: (m + 1) x2 Giải biện luận: 2(m Giải biện luận: 1) x + m Giải biện luận: = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có nghiệm tính nghiệm c) Xác định m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn hệ thức 1   x1 x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1x2 Bài 12: Cho phơng trình bậc hai: x2 Giải biện luận: 2( m + 1) x + 2m + 10 = (1) (m tham số) a) Tìm m để (1) có nghiƯm b) Cho biĨu thøc A = 6x1x2 + x12 + x22 (x1; x2 nghiệm (1) Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ HÃy tìm giá trị x Bài 13: Cho biÓu thøc: P =   3 x x 3 x  4x   x 1   :   x     x x  x  BiÕt víi x ≥ 0, x 9, x 1 th× P cã nghÜa a) Rót gän P b) Gäi x0 lµ nghiƯm phơng trình: x2 Giải biện luận: 11x + 18 = Tính giá trị P x0 Bài 14: Cho phơng trình: (m Giải biện luận: 1) x2 Giải biện luận: 2mx+ m + = (víi m lµ tham sè) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x 1; x2 Khi tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mÃn hệ thức: x1 x   0 x x1 Bµi 15: Cho phơng trình: (x + 1)4 Giải biện luận: (m Giải biện luận: 1) (x + 1)2 Giải biện luận: m2 + m Giải biện luận: = (1) a) Giải phơng trình với m = -1 b) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x 1; x2 với giá trị tham số m Bài 16: Cho phơng trình: x Giải biện luËn: m2 = - - mx (1) a) Tìm tham số m để phơng trình có nghiệm nhÊt TÝnh nghiƯm ®ã víi m = 2 + b) Tìm giá trị m để phơng trình (1) nhận x = - nghiƯm c) Gäi m1; m2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình (1) ẩn m tìm x để m1; m2 số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 2 Bài 17: Cho phơng trình bậc hai x: x2 Giải biện luận: 2(m Giải biện luận: 1)x + m Giải biện luận: = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = b) Chứng minh phơng trình (1) cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m c) T×m hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc m d) Xác định giá trị m cho phơng trình có nghiệm GTTĐ trái dấu Bài 18: Giải phơng trình: x4 Giải biện luận: 10x3 Giải biện luận: 2( a Giải biện luận: 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = (a > -6) Bài 19: Giải phơng trình: x4 - 2 x2 Giải biện luận: x + - =0 Hớng dẫn giải tập tự luyện Giải biện luận phơng trình bậc Bài 1: Giải phơng trình sau: a, (2 x 1)2  (2 x  2)(2 x  2)  x (2 x  1)  (2 x  x  3)  x  x   (4 x  4) 2 x  x  x  x    x    x 0  x  0  x   x  Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 3x x  3x  3 x     2005 2004 2003 2002 b, 3x  3x  3x  3x  1  1  1  1 2005 2004 2003 2002 x  2006 x  2006 x  2006 x  2006     2005 2004 2003 2002 1 1  (3 x  2006)(    ) 0 2005 2004 2003 2002  Do 1 1 1 1 vµ    (    )0 2005 2003 2004 2002 2005 2004 2003 2002  3x  2006 0  x  Vậy phơng trình có nghiệm x c, 2006 2006 x  1050 x  1055 x  1060 x  1065 x  1070 x  1075      956 951 946 941 936 931 ( x  1050 x  1055 x  1060  1)  (  1)  (  1)  956 951 946 x  1065 x  1070 x  1075 (  1)  (  1)  (  1) 941 936 931 x  2006 x  2006 x  2006 x  2006 x  2006 x  2006      956 951 946 941 936 931 1 1 1  ( x  2006)(      ) 0 956 951 946 941 936 931  t¬ng tù ta cã: ( d, 1 1 1      )   x  2006 0  x 2006 956 951 946 941 936 931 x 3 x 4 x 6    201 100 66 x 3 x4 x6  1)  (  2)  (  3) 0 201 100 66 x  204 x  204 x  204    0 201 100 66 1  ( x  204)(   ) 0 201 100 66  x 204 x 204 Vậy phơng trình cã nghiÖm x = - 204 ( 1 1 148 x 49 e, (     )( x  1)  x   1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 2 2 148 x  99 x 49 (     )( x  1)   1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 1 1 1 49 x 49  (1         )( x  1)   3 5 97 99 99 99 1 49 1 49  (1  )( x  1)  ( x  1)  ( x  1)(   ) 0 99 99 2.99 99  x  x Vậy phơng trình có nghiệm x =  g, x  3 2x  7 3x 4x   5 7 x (  2) x (  5) x (  2) x(  3)     7 5 7  x              (v« lý) x.0 Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm Bài 2: Giải phơng trình sau (với x lµ Èn sè) a, 4m ( x  1)  x  4m   4m x  4m  x 1  4m  x(4m  1) 4m  4m   x(2m  1)(2m  1) (2m  1)  m1 * NÕu (2m  1)(2m  1) 0    m  ... 3x 2006 x Vậy phơng trình cã nghiÖm x  c, 2006 2006 x  105 0 x  105 5 x  106 0 x  106 5 x  107 0 x  107 5      956 951 946 941 936 931 ( x  105 0 x  105 5 x  106 0  1)  (  1)  (... không phụ thuộc vào tham số m Giải: Vì phơng trình đà cho phơng trình bậc hai nên m '' = [-( m+2)]2 Giải biện luận: 2(m Giải biện luận: 2) (m Giải biện luận: 1) = -m2 + 10m Phơng trình đà cho cã... + ( - 1)2 = -3 + + 3-2 =0 c = a => Phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =  2  2 b) + Với m = 0, phơng trình là: -x Giải biện luận: = x = -1 + Với m , phơng trình (2) phơng trình bậc hai có