50 đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án và thang điểm

319 1,147 2
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/02/2017, 01:47

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 09/03/2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (đề thi gồm 01 trang) Bài (3 điểm) Giải phương trình: x2   ( x  1)(2  x)  x x Bài (4 điểm) Giải hệ phương trình:  y  y2  2 ( x  y )( x  xy  y  2)  2ln  x  x2   ( x  2) log x  y log y  x  Bài (3 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn: x  y   2( x  y ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:  2( x  1)( y  1) P ( x  1)2  ( y  1)2 Bài (3 điểm) Tìm m để phương trình: m(sin x  1)   (m  3)(sin x  cos x) có  hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] Bài (4 điểm) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = ,    900 góc AD BC 300 ABC  BAD Bài (3 điểm) Trong buổi tọa đàm “Tình yêu tuổi học đường” lớp 12A, có tất 21 bạn tham gia có cặp có tình cảm với (không có học sinh thuộc nhiều cặp) Cô giáo chọn bạn để tham gia trò chơi tập thể Hỏi có cách chọn mà đó, có cặp có tình cảm với nhau? HẾT ĐÁP ÁN Bài (3 điểm) ( x  1)(2  x) Giải phương trình: x    x x (*) Lời giải ( x  1)(2  x)   x   1;0   1; 2 (0,5đ) x Vế trái (*) dương nên   x  , đó, ta cần xét x  1;2 ta có: x Điều kiện x3  x  x( x  1)(2  x)   x3  x   x( x  1)(2  x)  (0,5đ)  ( x  x)  2(2  x)  ( x  x)(2  x)  3 Đặt u  x3  x  0, v   x  ta có u  2v  uv   (u  v)(u  2v)  u  v  u  2v  (1đ) Phương trình thứ hai vô nghiệm u, v đồng thời Do u  v  x3  x   x  x3  x   x  x   x  So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm thỏa mãn nên phương trình (*) có nghiệm x  Bài (4 điểm) Giải hệ phương trình:  y  y2  ( x  y )( x  xy  y  2)  2ln  x  x2   ( x  2) log x  y log y  x  Lời giải Điều kiện xác định: x, y  R (1đ) Phương trình đầu  x3  y  2( x  y)  2ln( y  y  1)  2ln( x  x  1)  x3  x  2ln( x  x  1)  y  y  2ln( y  y  1) Xét f (t )  t  2t  2ln(t  t  1) Tập xác định: R f '(t )  3t   t 1 Đặt u  t  1; u  3u  5u   3(u  1)    => 3t   u u t2 1 (u  1)(3u  3u  2)  u  = u 2 (1đ)  f / (t )  t  R hay f (t ) hàm đồng biến R Từ f ( x)  f ( y )  x  y Thay vào phương trình thứ hai, ta được: (2 x  2)log x  x  (1đ) x = không nghiệm  x  (0,25đ) x 1 ( x  0, x  1) 2x  VT hàm đồng biến (0, ) VP nghịch biến khoảng (;1) (1;+) nên phương trình có không nghiệm Nhẩm x  x  nghiệm Suy phương trình có nghiệm x  x  Phương trình  log x  1   Kết luận : Tập nghiệm hệ : (x ;y)  (3;3);( ; )  3   (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn: x  y   2( x  y ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:  2( x  1)( y  1) P ( x  1)2  ( y  1)2 Lời giải x  y   2( x  y )  ( x  1)  ( y  1)  2 Đặt a  x  1, b  y  1 2 2 Do (a  b )  2ab  a  b nên 11  P  13 3 1 GTLN P 13 ( x, y)   ;  2 2 1 1 GTNN P 11 ( x, y)   ;  2 2 Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 = (1đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Tìm m để phương trình: m(sin x  1)   (m  3)(sin x  cos x) (*) có  hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] Lời giải Đặt t  sin x  cos x (1  t  2) , (0,5đ) 2 (*)  mt   (m  3)t  m(t  t )  3t  (**) t = không thỏa phương trình (**) 3t   f (t ) (1  t  2) (**)  m  (0,5đ) t  t2 3t  2t  f / (t )   t  (1; 2] (t  t )2 (0,5đ) Suy f đồng biến (1; 2]  Ứng với t  (1; 2) ptrình t  sin x  cos x có nghiệm x  (0; ) (0,75đ)  Như (*) có hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] 87 (0,75đ) m  f ( 2)   Bài (4 điểm)   900 góc ABC  BAD Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = ,  AD BC 300 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Lời giải D K O E J A C I B Dựng hình chữ nhật ABCE Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) (AD,AE) =300 Gọi I, J trung điểm AC, AE; K tâm đường tròn ngoại tiếp tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABCE Suy OK  (ADE) OI  (ABCD), KJ  AE  OIJK hình chữ nhật  ADE; O (1đ) (1đ) (0,5đ) Ta có DE  DC  CE  2 DE  AK  2 2sin( AD, AE ) (0,5đ)  OA  AK  OK  AK  IJ  Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Trong buổi tọa đàm “Tình yêu tuổi học đường” lớp 12A, có tất 21 bạn tham gia có cặp có tình cảm với (không có học sinh thuộc nhiều cặp) Cô giáo chọn bạn để tham gia trò chơi tập thể Hỏi có cách chọn mà đó, có cặp có tình cảm với nhau? Lời giải Gọi A nhóm học sinh có tình cảm với (gồm học sinh) B nhóm học sinh lại (gồm 13 học sinh) (0,25đ) * Trường hợp 1: Có cặp có tình cảm với  Đầu tiên chọn cặp có tình cảm với nhau: Có cách chọn (0,25đ)  Tiếp theo ta chọn học sinh em có tình cảm với nhau, có trường hợp: + HS thuộc nhóm A: Có 23 cách chọn (0,25đ) 2 + HS thuộc nhóm A HS thuộc nhóm B: Có C3 C13 cách chọn (0,25đ) + HS thuộc nhóm A HS thuộc nhóm B: Có C31.2.C132 cách chọn + HS thuộc nhóm B: Có C cách chọn (0,25đ) (0,25đ) 13 Như số cách chọn trường hợp 4(2  C C  C 2.C  C ) =3672 (0,25đ) * Trường hợp 2: Có cặp có tình cảm với  Đầu tiên chọn cặp có tình cảm với nhau: Có C42  cách chọn (0,25đ) 3  Tiếp theo ta chọn học sinh lại: có C17 cách chọn 13 13 13 (0,25đ) Như số cách chọn trường hợp 6C17 (0,25đ)  102 Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn bạn mà đó, có cặp có tình cảm với (0,5đ) CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với Thầy, Cô chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm đạt nhiều thành tích Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi anh chị tham gia đạt giải cao kì thi HSG Quốc gia năm trước Chương trình xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh kiến thức tối ưu kết học tập - CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online học sinh: Mỗi lớp từ - 10 em để Giáo viên Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Thời gian học linh động, xếp hợp lý giúp em dễ dàng lựa chọn cho khung thời gian tốt để học Mỗi học chia thành nhiều buổi học (mỗi có tối thiểu buổi học): + Buổi huấn luyện viên hướng dẫn em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - ví dụ minh họa điển hình & tập tự luyện giáo viên cung cấp Trong trình học em trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với bạn học huấn luyện viên để nắm rõ hiểu sâu thêm vấn đề học + Buổi học tiếp theo: Sau nhà em làm tập tự luyện buổi học Huấn luyện viên đánh giá làm em sửa Trong trình sửa em thảo luận Online trực tiếp với HLV, bạn lớp để hoàn thiện làm mở rộng thêm dạng toán HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM - - Các em không cần đến lớp, không cần lại thời gian, công sức, tiền Hãy chọn cho góc học tập yên tĩnh, tập trung 01 máy tính có kết nối internet chúng bắt đầu học Online trực tiếp lớp Mỗi tuần học buổi, có nhiều lớp học, ca học ngày giúp em hoàn toàn chủ động thời gian học tập Các chuyên đề mở giúp em học nhanh chương trình, thời gian ngắn Kết nối với thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp vấn đề nhanh - hiệu Được kết giao với bạn học khác học sinh yêu thích, đam mê giỏi toán toàn quốc Học phí phù hợp Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ em suốt trình học www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 - 10 - 2012 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4 điểm)  xy  x  y  Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  x   y  y  Bài (4 điểm)  u1  Cho dãy số (un ) xác định  3u  un 1  n , n  N * u   n Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài (4 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1    Chứng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Bài (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với đường cao AH , BK nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn (O) cho đường thẳng AM BK cắt E ; đường thẳng BM AH cắt F Chứng minh M di động cung nhỏ BC đường tròn (O) trung điểm đoạn EF nằm đường thẳng cố định Bài (4 điểm) Tìm tất đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn : P( x).P( x  3)  P( x ), x  HẾT www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ĐỀ VÒNG Bài (4 điểm)  xy  x  y  Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  x   y  y  Giải  yz  z  Đặt z  x  Hệ phương trình tương đương  3  y  y ( z  2)  z   yz  z   yz  z      y   z  y  2z  y  3y z  4z    17   17 z  z       y   17  y   17   2   17   17 x  x       y   17  y   17   2 Bài (4 điểm)  u1  Cho dãy số (un ) xác định  3u  un 1  n , n  N * 2un   Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Giải Từ giả thiết ta suy un  0, n  N * 3x  5    0, x  Xét f ( x )  , với x  , f '( x )  x  2(2 x  1) (2 x  1)2  u1  Ta có  un 1  f (un ), n  N * f ( x)  5x  0, x  , x  f ( x )   2x   un  4, n   dãy (un ) bị chặn  x  u2 n 1 Đặt  n  yn  u2 n Do f(x) nghịch biến (0; ) nên g(x) = f(f(x)) đồng biến (0; ) f ( xn )  f (u2n1 )  u2 n  yn ; f ( yn )  f (u 2n )  u 2n 1  xn 1 g ( xn )  f ( f ( xn ))  f ( yn )  xn1 11 49 u1  ; u2  ; u3  … Ta thấy u1  u3  x1  x2 26 Giả sử xk  xk 1  g ( xk )  g ( xk 1 )  xk 1  xk 2 Vậy xn  xn1 , n  N * Suy ( xn ) tăng bị chặn  ( xn ) có giới hạn hữu hạn a Do xn  xn1  f ( xn )  f ( xn1 )  yn  yn1  dãy ( yn ) giảm bị chặn  www.VNMATH.com  ( yn ) có giới hạn hữu hạn b    3  3  3   xn , yn   ;4  , n  a, b   ;4  a, b   ;4           Ta có  f ( xn )  yn   f (a )  b   f (a )  b (I )  f (y )  x  f ( b)  a  f (b)  f (a )  a  b (1) n n 1       5 1  (1)  a  b      (a  b) (2a  1)(2b  1)  5   a  b  2b  2a   (do (2a  1)(2b  1)  (3  1)(3  1)  16  )  3  b  a   ;4   ab2 Vậy từ (I)   a  3a   2a  Vậy lim un  Bài (4 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1    Chứng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z (*) Giải (*)  1 1 1 1       1   (**) x yz y zx z xy xy yz zx Ta cần chứng minh: 1 1    x yz x yz 1 1 1 1 1 (đúng)       2   1     x yz x x yz x x y z yz x yz yz yz yz Chứng minh tương tự ta có: 1 1 1 1    ,    y zx y z xy z zx xy Cộng ba bất đẳng thức ta thu (**) Bài (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với đường A cao AH , BK nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn (O) K cho đường thẳng AM BK cắt E ; đường thẳng BM AH cắt F Chứng minh O E M di động cung nhỏ BC đường tròn (O) trung điểm đoạn EF nằm đường thẳng cố định Giải B H M F C www.VNMATH.com Ta chứng minh hai tam giác EHK FHK có diện tích   MBC   Ta có MAC 1 KH KE.sin BKH  KH KA.tan  sin BAH  KH AB.cos A.tan  cos B 2 1  HF HK sin FHK  BH tan  HK sin AHK  AB.cos B.tan  HK cos A 2  SFHK suy E, F cách HK mà E,F nằm hai phía HK S EHK  S FHK SEHK  Trung điểm EF nằm đường thẳng HK Bài (4 điểm) Tìm tất đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn : P( x).P( x  3)  P( x ), x  Giải : Ta tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x –3)=P(x2) xR (1) Trường hợp P(x)  C ( C số thực ) : P(x)  C thỏa (1)  C2= C  C =  C = 1 P(x)  hay P(x)  Trường hợp degP  Gọi  nghiệm phức tùy ý P(x) Từ (1) thay x  ta có P(2)=0  x= 2 nghiệm P(x) Từ có  , 2, 4, 8, 16, …là nghiệm P(x) Mà P(x) có hữu hạn nghiệm (do xét P(x) khác đa thức không)  0      (I) Từ (1) lại thay x  +3 ta có P((+3)2)=0  x=(+3)2 nghiệm P(x) Từ x = (+3)2 nghiệm P(x) tương tự phần ta có (+3)2, (+3)4, (+3)8, (+3)16,…là nghiệm P(x) Mà P(x) có hữu hạn nghiệm 32  3 0     (II)   1    1    (I) (II) Như ,  nghiệm P(x) ta có  thỏa hệ  y I O x (I) (II) Biểu diễn số phức  thỏa (I) thỏa (II) mặt phẳng phức ta có hệ  nghiệm   Không tồn đa thức hệ số thực P(x) bậc lớn thỏa (1) Kết luận Các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x – 3)=P(x2) x gồm P(x)  , P(x)  www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 – NĂM HỌC 2009-2010 Môn : TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể TG giao đề) Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2009 ĐỀ BÀI Câu (3.5 điểm) Giải bất phương... x  0; x = Chú ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Đề thi thức Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG B Thời... cho điểm tối đa 0.25 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Đề thi thức Môn thi: TOÁN HỌC - BỔ TÚC THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu
- Xem thêm -

Xem thêm: 50 đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án và thang điểm, 50 đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án và thang điểm, 50 đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án và thang điểm

Từ khóa liên quan