SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(3.0 điểm) x  x + + = 10  y y a) Giải hệ phương trình:   x + + x = 12  y2 b) Giải phương trình: ( cos x − cos x ) = + 2sin x Câu 2:(2.5 điểm) a) Tính giới hạn dãy số: lim ( n + n + − n6 + ) u1 = 2013  b) Cho dãy số ( un ) xác định sau:  n (n ≥ 1) un +1 = n +1 un + 2013n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát giới hạn dãy số ( un ) ? Câu 3:(2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang cân (AD//BC) BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng ( α ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( α ) Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x + ax + bx + cx + d = a) Với d = −2013 , chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với d = , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a + b2 + c ≥ HẾT SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu Nội dung Điểm 1,5 điểm a) ĐK: y ≠ Đặt a = x + 1; b = y Ta có hệ phương trình trở thành a + b + ab = 11 a + b = a + b = −7 a = a = ⇔ ∨ ( VN ) ⇔ ∨     ab = ab = 18 b = a + b = 13    b =  a =  1 ⇒ ( x; y ) = 1; ÷ TH1:   3 b = a =  1 ⇒ ( x; y ) =  2; ÷ TH2:   2 b = b) ( cos x − cos x ) = + 2sin x 0,25 0,75 0,25 0,25 1,5 điểm ⇔ 4sin x sin x = + 2sin x ⇔ 4(1 − sin x sin x) + 2(1 + sin x) = ⇔ sin x(1 − sin x) + cos x  + 2(1 + sin x) = 0,5 ⇔ 4(sin x cos x + cos x) + 2(1 + sin x) = 0,5 sin x = −1 sin x = −1 π  ⇔ sin x cos x = ⇔  ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) cos x = cos x =  0,5 Trang: - Đáp án Toán 11 a) lim ( ) n + n2 + − n6 + = lim ( n4 + n + − n2 − ( n6 + − n2 ) ) 1,0 điểm 0,25 Ta có:   1 +  ÷   n +1 n2  ÷= lim n + n + − n = lim  = lim ÷ 2 1  ÷ n + n + + n    1+ + +1÷ n n   lim( n6 + − n ) = lim =0 23 (n + 1) + n ( n + 1) + n Do lim n + n + − n + = ) ( ) ( b) un > 0, ∀n ∈ N 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,25 * 1 ⇒ unn++11 − unn = n 2013 2013n Do đó: u22 − u11 = 20131 u33 − u22 = 20132 unn++11 = unn + unn − unn−−11 = 2013n −1 0,5 n −1 Suy ra: unn − u11 = 1 + + + 2013 2013 2013n −1   1−  ÷ 2013  =  2012 n −1   1−  ÷ n 2013  un = 2013 +  2012 0,25 n −1   1−  ÷ n + + + + 2014 2013 (Cô si) 2013   < un = 2013 + < n 2014 < = 1+ 2012 n n  2013  Mặt khác lim 1 + ÷ = Vậy lim un = n   Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 2,5 điểm S K Q B C J 0,25 P O A T M D N a) Dễ thấy đáy ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy CT=AD=a DT vng góc SD Ta có: DT=AC= a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, ∠SCT = 1200 ⇒ ST = a Xét tam giác vng SDT có DT= a , ST = a ⇒ SD = 2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng góc với NP 2 0,25 0,25 0,25 0,25 dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ + MK ) MN + ( MK + PQ) MP ( NJ + MK ).NP (do NJ=PQ) NP MD AC.MD x.a = ⇒ NP = = = 3x a Ta có: AC OD OD  a  2a  − x÷ NJ AN OM SD.OM   = 2(a − x 3) = = ⇒ NJ = = a SD AD OD OD 0,25 KM BM SD.BM 2a a − x = ⇒ KM = = = (a − x) SD BD BD a 3 1  Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a − x 3) + (a − x) ÷3x = 2(3a − x) x 2  0,5 = ( = ) 1   = 3 a2 (3a − 3x )2 x ≤ (3 a − x ) + x  4 3 Diện tích NPQKJ lớn 3 a x = a 4 Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 1.0 điểm a) d= -2013 Đặt f ( x) = x + ax3 + bx + cx − 2013 liên tục R Ta có: f ( ) = −2013 < Mặt khác lim f ( x) = +∞ , nên tồn số α < 0; β > cho x →±∞ f (α ) > 0; f ( β ) > Do f (0) f (α ) < 0; f (0) f ( β ) < Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng (α , 0) (0, β ) b) d=1: Gọi x0 nghiệm phương trình ( x0 ≠ ) −1 x04 + ax03 + bx02 + cx0 + = ⇔ b = − x02 + − ax0 − c x0 x0 0,25 0,5 0,25 1.0 điểm 0,25   −1 1  2 Ta có: ( a + b + c ) ( x + + 1) =  a + c +  − x0 + − ax0 − c ÷  ( x0 + + 1) x0 x0 x0   x0    2 2 2  −1 1   ≥  ax0 + c − x02 + − ax0 − c ÷ =  x02 + ÷ x0 x0 x0   x0   0,25 Suy ra: ( a + b2 + c )    x0 + ÷ x0  t2  với t = x0 + x ≥ ≥ = x02 + + t + x0 t2 ≥ ⇔ 3t − 4t − ≥ ⇔ (t − 2)(3t + 2) ≥ (đúng t ≥ ) Mặt khác: t +1 Vậy a + b + c ≥ Dấu xảy a = b = c = − (ứng với x0 = ) 2 a = c = , b = − (ứng với x0 = −1 ) 3 Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2011 - 2012 MƠN : TỐN HỌC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (4 điểm) Giải phương trình: 2+ = + 2sin x tan x + cot x Bài (4 điểm) u1 =  Cho dãy số ( un ) xác định  u = un + + + 2un n +  Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số ( ) ∀n ∈ N * Bài (4 điểm) · · Cho tam giác nhọn ABC, cạnh BC lấy điểm E, F cho góc BAE = CAF , gọi M, N hình chiếu vng góc F đường thẳng AB AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Chứng minh tứ giác AMDN tam giác ABC có diện tích Bài (4 điểm) Cho tập hợp A = { 1;2;3; ;18} Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Bài (4 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c + a Hết Họ tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2011 - 2012 Bài Bài Giải phương trình: Lời giải 2+ = + 2sin x tan x + cot x cos x ≠  Lời giải : Điều kiện : sin x ≠  tan x + cot x >  ( 1) 2sin x + cos x Ta có : tan x + cot x = = sin x sin x Do phương trình cho tương đương với : + sin x = + sin x ( ⇔( ) )( 1đ ) sin x − sin x − =  sin x = ⇔  sin x =  sin x = ⇔ ( Thỏa điều kiện (1) ) sin x =  Giải phương trình ta : π π 5π x = + kπ ; x = + k π ; x = + kπ ( k ∈ Z ) 12 12 Bài Điểm 1đ 1đ 1đ Cho dãy số ( un ) xác định u1 =   * u = u + + + u ∀ n ∈ N n  n+1 n Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số Lời giải: Đặt xn = + 2un ∀n ∈ N * ( ) * Ta có xn ≥ xn = + 2un , ∀n ∈ N hay un = Thay vào giả thiết, ta được: xn2+1 − 1  xn2 −  =  + + xn ÷ 9  xn2 − ⇔ xn2+1 − = xn2 − + + xn ⇔ ( xn +1 ) = ( xn + ) 1đ * * Suy ra: xn+1 = xn + ∀n ∈ N ( Do xn ≥ , ∀n ∈ N ) n +1 n n * Hay xn+1 = xn + 4.3 , ∀n ∈ N 1đ n * n * Đặt yn = xn , ∀n ∈ N Ta có: yn +1 = yn + 4.3 , ∀n ∈ N n n −1 * Từ yn +1 = y1 + ( + + + 3) , ∀n ∈ N n +1 * Hay yn +1 = y1 − + 2.3 , ∀n ∈ N n Theo cách đặt ta có: x1 = ⇒ y1 = ⇒ yn = + 2.3 * Suy ra: xn = + n −1 , ∀n ∈ N 1  * Do un =  + n−1 + n− ÷ , ∀n ∈ N 2 3  1đ 1đ Bài Cho tam giác nhọn ABC, cạnh BC lấy điểm E, F cho góc · · , gọi M, N hình chiếu vng góc F BAE = CAF đường thẳng AB AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Chứng minh tứ giác AMDN tam giác ABC có diện tích Lời giải: A M B O E N F 0,5đ C · · · Đặt BAE = CAF = α , EAF D= β Tacó S∆ABC = 1 AF AB AF sin ( α + β ) + AC AF sin α = ( AB.CD + AC.BD ) 2 4R (R-là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN S AMDN = 1 AM AD.sin α + AD AN sin(α + β ) 2 = AD  AF cos ( α + β ) sin α + AF cos α sin ( α + β )  = = AF AD AF sin ( 2α + β ) = AD.BC (2) 4R 1,5 đ Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta 1,5 đ có : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh 0,5 đ Bài Cho tập hợp A = { 1;2;3; ;18} Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Lời giải: Ta cần tìm số phần tử tập T sau: { } T = (a1 ,a , ,a ) : a < a < < a ; ≤ a i ≤ 18; a i − a j ≥ 1đ Xét tập hợp H = { (b1 ,b , ,b5 ) : b1 < b < < b5 ; ≤ b i ≤ 14} Xét ánh xạ f cho tương ứng (a1 ,a , ,a ) với (b1 ,b , ,b ) 1,5 đ xác định sau: b1 = a1 ,b = a − 1,b3 = a − 2,b = a − 3,b = a − Dễ thấy f song ánh, suy T = H Mặt khác (b1 ,b , ,b ) H tổ hợp chập 14 phần tử Do H = C14 = 2002 Vậy T = 2002 Bài Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c + a Lời giải: Bất đẳng thức tương đương với: a +1 b +1 c +1 a +1− + b +1− + c +1− ≤ a + b + c + 3−3= 2 1+ b 1+ c + a2 a + 1) b ( b + 1) c ( c + 1) a ( Hay + + ≤ + b2 + c2 + a2 Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức: ( a + 1) b2 + ( b + 1) c + ( c + 1) a ≤ ( a + 1) b + ( b + 1) c + ( c + 1) a + b2 + c2 + a2 2b 2c 2a ( a + 1) b + ( b + 1) c + ( c + 1) a = 2 2 + ab + bc + ca a + b + c) = ≤ Vì ab + bc + ca ≤ ( =3 1,5 đ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 Mơn:Tốn Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0 điểm):  1  cos y    sin x  sin x cos y  Giải hệ phương trình sau:  1  2  sin y  sin y  cos x  cos2 x   20 y x y 20 x x y Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a    a 2 an1   n an ,  n  Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vng góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Mơn:Tốn Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013  x  y   f  f  x   f  f  y      f  x   f  y   f  x   f  y  với x, y  R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vng góc DB, d2 đường thẳng qua N vng góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường trịn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn ab  a ' b '  1 mod 15 1   ac  a ' c '  mod 15  bc  b ' c '  mod 15   Với a, b, c, a′, b′, c′  {0,1 14}    2 3 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm):  1 20 y  cos y    sin x  2 x y sin x cos y  Giải hệ phương trình sau:  1 20 x  2  sin y  sin y  cos x  cos2 x  x  y  Cách 1: Cách 2: Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a    a 2 an1   n an ,  Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn n  Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vng góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Giải: a) b) Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Giải: a) Ta cần quan tâm đến số ≤2013, tức số đầu hàng, cịn số >2013 khơng cần quan tâm: Đầu tiên ta viết 1000 Sau bước đầu 1001 1000 Sau bước 1002 1001 2001 1000 Sau bước 1003 1002 2003 Sau bước 1004 1003 2005 1002 Sau bước 1005 1004 2007 1003 Sau bước 1006 1005 2009 Sau bước 1007 1006 2011 Sau bước 1008 1007 2013 Lúc xuất số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy trở thành: 2013 2012 4023 Sau tồn số hạng xuất tr0ng dãy > 2013 khơng cịn số 2013 xuất thêm ! Vậy có lần xuất b) Xét cặp số n n + Khi thực thao tác ta có số 2n + Số tiếp tục thao tác với n n+1 Do số tạo thao tác có dạng an + b(n + 1) xn n + yn, xn, yn∈N*,xn − ≥ yn Khi đó, số số 2013 xuất đường thẳng tổng số nghiệm (xn,yn) pt xn n + yn = 2013 với n chạy từ đến 999 Vì giá trị xn thoả mãn điều kiện tương ứng với giá trị yn nên ta cần tìm số giá trị nhận xn Xét pt xn n + yn = 2013 Ta có Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013  x  y   f  f  x   f  f  y      f  x   f  y   f  x   f  y  với x, y  R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vng góc DB, d2 đường thẳng qua N vng góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 ln thuộc đường trịn cố định Đề thi thử học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 Đề số 20 Câu ( điểm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2 2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 1) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) a) Giải phơng trình : x  x 1  x  x 1  b)Tính giá trị biểu thức S  x  y  y  x với xy  (1  x )(1  y )  a Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng trịn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm ) Cho F(x) =  x   x a) Tìm giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn Đề số 21 Câu ( điểm ) 1) Vẽ đồ thị hàm số y  x2 2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) 1) Giải phơng trình : x  x 1  x  x 1  2) Giải phơng trình : 2x  4x  5 x 2x  Câu ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC 1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng tròn Câu ( điểm ) Cho x + y = y  Chứng minh x2 + y2  ... (1 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y sin x  cos x Ghi chó: - Häc sinh không sử dụng tài liệu trình thi - Đề thi có 01 trang đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học. .. = −1 ) 3 Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2 011 - 2012 MƠN : TỐN HỌC Thời gian: 150... DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI: TỐN LỚP 11 THPT CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: