PHẦN HÌNH HỌC Chuong ITI TAM GIAC DONG DANG §1 DINH Li TA-LET TRONG TAM GIAC I KIẾN THỨC CƠ BẢN TỈ số hai đoạn thẳng: a) A Định nghĩa: Tỉ số hai đoạn thẳng f số độ dài chúng theo ——>——+—+——+——a đơn vị đo c Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD kí hiệu a b) B “ Chú ý: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ: Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB AK ++ 4B CD gọi tỉ lệ với hai đoạn Cc thẳng A'B' C'D' có tỉ lệ thức: AB_ AB’, ABCD” CD C’D’ AB CD ; Định lí Ta-lét tam giác: Định lí Ta-lét: (Thừa nhận - khơng chứng minh) Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ GT | AABC : B’C’//BC (B’ e AB;Cˆ e AC) AB _AC AB _AC' BB_CC AB AC BB CC 82 - GBT TOÁN (tập hai) AB AC D m II BÀI TẬP A Bài tập mẫu x ‘ MA Goi M điểm nằm đoạn thẳng AB cho MA vàvà MB Tính tỉ số —— AB AB —— MB = — Gjidi Ap dụng tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: MA _1_ MA _ MB _ MA+MB _ AB MA _1 AB AB MB Suy Ẵ = MB 1+2 z B Bài tập giáo khoa Viết tỈ số cặp đoạn thẳng có độ dài sau: a) AB = 5cm CD = 15cm; b) EF = 48cm c) PQ GH = 1,2m MN = 16dm; = 24cm Gidt Hướng dẫn: Chú ý hai đoạn thẳng phải có đơn u‡ đo độ dài a) AB = 15 = Se cD b) Ta cé EF = 48cm; GH = 16dm = 160em Vay 2& = 48 GH ~ 160 ~ 10 c) Ta cé: PQ = 1,2m = 120cm; MN „ AB = 24cm Vay PQ MN Cho biết ——= A ast = a20 24 =6 nốt — CD = 12cm Tính độ dài AB CD Gjidt AB Ta có: GD S4 va SB = = aB = 922-9 (om) Vay AB = em CD=12cm Cho biết độ dài AB gấp lần độ dài CD độ dài A'B' gấp 12 lần độ dài CD Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB A'B' GBT TOÁN (tập hai) - 83 địa: Giả sử chọn CD làm đơn vị đo độ dài AB A'B' Theo dé bai, ta có: n CD AĐ 1a CD = AB=5CD (1) +AB=12D (2) AB 5CD _ 5 yy, AB AB _ 5 CD , AB Từ (1) (2 (1) (2) suy ra: Cho biét ˆ = ` = Tocp C12 12 (hình bên) Chứng minh rằng: a) AB _ AC”, BB TỦ AB " C’C AB A AC a) Theo giả thiết ta có: BB AB =aC AC Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có: AB AC AB AB AC AB-AB _ AC AC-AC' gà » AB - ÁC Quà BB’ CC' p AB „AC _„ AB-AB _ AC-AC, B8 _ CƠ AB AC AB AO CV CẠB ÁC „ Tính x trường hợp sau (hình dưới) a) MN//BC b) PQ // EF Gjidt a) Theo giả thiết MN // BC nên ta có: mm” c5 Hay yx — = —"— = 85-5 35 Vay x = 2,8 (dvdd) 84 - GBT TOÁN (lập hai) >x= 4.3,5 = SS hay mm” TẦN = 2,8 (don vi độ dài) b) Tuong tu cau a) ta co: > 105 -~ = —— 24-9 10,5 =—>x= 15 "—= 6,3 (dvdd) 15 Vay x = 6,3 (dvdd) §2 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUÁ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định li đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh A tam giác định hai cạnh nảy đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng B: c" a song song với cạnh lại tam giác AB’ _ AC’ BB_ŒC GT | AABC;B“ c AB, Cˆ e AC, | KL | B’C’//BC B e Hệ định lí Ta-lét: a) Hé quả: Nếu đưởng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AABC; B’C’// BC; GT B’ « AB; C’ e AC AB’ AC’ BIC KL b) Chú AB AC BC ý: Hệ cho trường hợp đoạn thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh cịn lại AB hình dưới): ——= ( ) AB _AC _BC/ =—— AC BC Cc Ạ an a “aes B B' ⁄ B' a “A Cc ESA Cc a B c GBT TOÁN8 (tập hai) - 85 II BÀI TẬP A Bài tập mẫu Cho hình bình hành ABCD, E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn thẳng Gjidi A E B Goi M va N giao điểm cia DE va BF với đường chéo AC, ta chứng minh: AM = MN AC ae = NC = Thật ta có: AE = EB = x“ D FE va CF = FD = C (theo gt) Ma: AB // CD (Tính chất cạnh hình bình hành) > EB // FD Suy DEBF hình bình hành có DE // BF Áp dụng định lí Ta-lét AABN ACDM, ta có: ME/NB= ÂM_ ÂÈ_1_ AM - MN MN EB NF /MD = CỲ _ CP_1 — GN =NM NM Suy ra: AM = MN = Nc FD = AC B Bai tap gido khoa co ban Tìm cặp đường chúng song song + thẳng song song hình giải thích 15 21 CM Hình nh a)a) : Xét AABC, taaccó: —=— Tin" hay ay —— MA Theo định lí Ta-lét đảo, ta suy ra: MN //AB 86 - GBT TOÁN (lập hai) CN = — “NB AP “Căng Cảng t AABCG, ta có: có ——=—; PR 8’ wa nen AE 15 PB Suy PM =- Hinh Suy “Theo AM ——=—— MC 15 y AM MC BC khơng song song với bì : Xét tương tự câu a) ta có: OR AA' A'B’ // AB 28! BB (vi =¬ã 45 ) (1) ¬ hình vẽ ta có: A= A" _ —† A' so le với A” =TAB//A'B' (2) Từ (1) (2) suy ra: AB / A'B'/A"B” Tính độ dài x, y hình D ‹ sa M N a) MN // EF b) Gidt * Hinh a): Trong ADEF ta có: MN // EF (gt) DM Se DE *- MN ee EF ° 95 37,5 ee x = x= 8x 37,5 9,5 = 31,58 Hình b) : Ta có A'B' // AB (vì vng góc với AA') OB OA' OB ——=—>-©——=-(3) OB OA Vì AOA'B' vng A' nên tá có: OB? = OA” + A'B” = 3? + 4,2? = 26,64 = OB' = 5,16 Thay vào (3), ta có: * Tương tự, ta có: 5,16 _= —3 ——— y 42 x >y = S*#= 5,16 x6 = ——— kiện: =10,32 = 8,4 a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng nhau, nghiệm ta làm hình vẽ GBT TỐN ð (lập hai) - 87 Hãy mô tả cách làm giải thích đoạn thẳng AC, CD, DB nhau? b) Bằng cách làm tương tự, chia thẳng AB cho trước thành đoạn đoạn Hỏi có cách khác với cách làm mà chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn Gjidi a) Kẻ đường thẳng a song song với AB Từ điểm P a, lấy đoạn thẳng liên tiếp PE = EF = FQ = (đơn vị độ dài) Vẽ đoạn thang PB, QA Các đoạn thẳng cắt O Vẽ đoạn thẳng FO, EO cắt AB C va D Ap dụng hệ định lí Ta-lét ta được: FE BD EE DC „ Fa CA (vi déu bang OF hay OB 98 ) OA Theo cach dung PE = EF = FQ Ti dé suy AC = CD = DB b) Chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn *- Cách 1: làm câu a) *- Cách 2: Từ A kẻ thêm đường thang Ax (khơng trùng với AB), ta lấy đoạn thẳng liên tiếp nhau: AC = CD = DE= ~ EF = FQ Kẻ đường thẳng GB Rồi từ điểm C, D, E, F kẻ đường thẳng song song với GB, chúng cắt AB điểm tương ứng M,N,P,Q ta được: AM = MN = NP = PQ = QB Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang ta chứng minh được: AM=MN=NP=PQ=@B Cho tam giác ABC vã điểm D cạnh AM AB N cho bang AD = 13,5cem, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC Gjidi Từ B D cạnh AB AABC hạ đường vng góc BM, DN với AC, ta có: BM // DN (vi vng góc với AC) AD _ DN AB BM Áp dụng định li Talét AABM, ta có: —— 88 - GBT TOÁN (lập hai) DN BM AD DB+AD_ 13,5 ø = 0,75 13,5 + 4,5 ——=————- ——— Vậy tì số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC là: mat 0,75 Luyén tap 10 Tam giác ABC có đường cao AH Đưởng thẳng A d song song với BC cắt cạnh AB, AC đưởng cao AH theo thứ tự điểm B', C’ vả H' (hình bên), a) Chứng minh rằng: ÁN Bo AH BC Bư B b) Áp dụng: Cho biết AH' = aan H NG H € diện tich tam giac ABC la 67,5cm’ Tính diện tích tam giác AB'C' Gjidi a) Vị BC! / BC (gt), Ap dung định lí Ta-lét tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: AH BH HC AH _ BC AH BH Vay AH BH+HC HC BH+HC BC BC’ ` AH b)) Từ giả gi thiết ié AH' = AH, ta c 6: —— Goi S va S’ 1a diện tích AABC 1 a BƠ = g.ều uy r Ro 2AHBC AH Tir dé suy S’ = - S = ==73 AAB'C, ta có: ¬ to|— S BC BC AH =.67,5 = 7,5 (em?) Vậy diện tích AAB'C' 7,5em” 11 Tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường EF // BC, MN // BC (hình bên) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tinh dién tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm N F C GBT TOÁN (lập hai) - 89 Gjidi a ) - Vì1 MN / BC ~ Viì EF // BC nên nên tata c6: c MN —— BC AK = —— AH = —a> MN 1 = —BC = —.15 =5 = (em) ( EF AI 2 — BC =—— AH = —3 > EF = —BC nên nén tata c6: c = —.15=10 b) Gọi 8¡, 8; diện tích tam giác AMN, AEF (cm) ABC Áp dụng kết câu b) 10, ta có: s 2 5S, _{ AK S „l1 \|AH ot Và 2-4) 58> ds -(2) = & =8;= S (AH) |3) s9” Ễ —8 4g 1e 14 33-18 8e 1e - Ì1 270 - (cm ; Ta có: Smee=S-S,= €81g-(4-1›sab: Ưmưz= 8-8 = g8g8=(~g 8= 8= nên feat) Vay Smnre = 90 em’ 12 Có thể chiều rộng sông mà không cần phải sang bờ bên hay không? Người ta tiến hành đo đạc yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng sông mà không cần phải sang bở sông bên (hình bên) Nhìn hình vẽ cho, mơ tả cơng việc cần làm tính khoảng cach AB = x theo BC = a, B“C' = a', BB' = h Gidi - X4c dinh diém A, B, B’ cho ching thẳng hang - Từ B B' vẽ BC L AB; B'C' L A'B' cho ba điểm A, C, C' thẳng hàng — Đo khoảng cách BB' = h; BC = a; B'C' = a' Áp dụng hệ định lí Ta-lét ta có: AB BC hay ——=—— AB BC ha: Ỷ + x+h-x ———= Suy x = 90 - @BT TOÁN8 (tập hai) ah a’-a a a-a x aa x+h a hay x —= wR a a-a 13 Cé thể đo gián tiếp chiều cao tường cao dụng cụ đơn giản không? Hinh bên thể cách đo chiều cao AB tường đơn giản gồm: dung cu Hai cọc thẳng đứng (cọc ® cố định; cọc @ di b Cc động được) sợi dây FC Coc @® có chiều cao DK = h Các khoảng cách BC = a, DC = b đo thước dây thông dụng a) Em cho biết người ta tiến hành đo đạc b) Tính chiều cao AB theo h, a, b Gidi a) Đo chiều cao tường cách xác định điểm C mặt đất - C&m coc ® cố định vng góc với mặt đất Cọc ® có chiều cao h —_ Điều chỉnh cọc Ø lên (xuống) cho hai đầu cọc F K điểm A thẳng hàng - Xác định điểm C mặt đất cho F, K, C thang hang (bằng cách dùng dây căng thẳng theo đường thẳng FK chạm đất) - Từ C đo đoạn thang BC = a, DC = b (D E chân cọc thẳng hàng với BC) by Ấp đựng định H Ta-lét aape, taco: DE DE sh = b AB Suy AB a’ = o Cho ba đoạn thẳng có độ dài m, n, p (cùng đơn vị đo) Dựng đoạn a x a) — dF =2; x b)—=_—; * Hướng dẫn: Câu b): - Vẽ tia Ox, Oy ~ Trên tia Oy đặt đoạn Cc ) " %5 thẳng có độ dài x cho: x