Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017 ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ Các định nghĩa: • • • • • • an = a.a a 123 (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R) n thua so a = a ∀a a = ∀a ≠ a− n = n (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R / { 0} ) a m an a − ( a > 0; m, n ∈ N ) n = am m n = m an = n m a Các tính chất : • • am an = am+ n am n = a m− n • a (am )n = (an )m = am.n • (a.b)n = an b n • a n an ( ) = n b b Hàm số mũ: Dạng : y = ax ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R x • Tập giá trị : T = R + ( a > ∀x ∈ R ) • Tính đơn điệu: *a>1 : y = ax đồng biến R • * < a < : y = ax nghịch biến R Đồ thị hàm số mũ : 20 Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017 y ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 y=ax y y=ax 1 x a>1 0 log N = M a dn a >  a ≠ N >  Điều kiện có nghĩa: log a N có nghĩa Các tính chất : • • • • log a = log a a = log a ( log a aM = M • • aloga N = N • log a (N1 N ) = log a N1 + log a N Công thức đổi số : • log a N = log a b log b N • log b N = * Hệ quả: • log a b = log a N log a b log b a * Công thức đặc biệt: aM = N ⇔ log a ak N= log a N k logb c log a =c b 21 N1 ) = log a N1 − log a N N2 log a N α = α log a N Đặcbiệt log a N = log a N x Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017 ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 Hàm số logarít: Dạng y = log a x ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R + T=R • Tập giá trị • Tính đơn điệu: *a>1 : y = log a x đồng biến R + * < a < : y = log a x nghịch biến R + • Đồ thị hàm số lơgarít: y y O y=logax y=logax x O a>1 x 0 : loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 1: Với < a ≠ : aM = aN ⇔ M = N Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) Định lý 2: Với < a N (nghịch biến) Định lý 3: Với a > : aM < aN ⇔ M < N(đồng biến ) 22 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log a M = log a N Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( ≤, >, ≥ ) Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : loga M < log a N ( ≤, >, ≥ ) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số LUYỆN TẬP PHẦN 1: BÀI TẬP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LUỸ THỪA, MŨ VÀ LOGARIT I Lũy Thừa Bài 1.Rút gọn biểu thức sau: a) b) c) ( )– 10.27 – + (0,2)– 4.25– d) –4 –4 –2 –2 c) (a – b ):(a – b ) d) (x3 + y – 6):(x + ) e) – f) (x.a–1 – a.x –1) – Bài 2.Tính biểu thức sau: a) 2.3 2 : d) a a a : a 3  h)   11 b) 4.3 c) a a a a : a 16 e) x x x f)  + − ( − )  ( + ) +   −   b a a b g) 3+ 2+ 31+ −1 Bài 3.Cho hai số a ,b > 0.Tính biểu thức sau: 3 c) ( a − a + 1)( a + a + 1)(a − a + 1) e) 4 −1 4 a (a d) a + a +a ) f) a −1 3 i)  a + a b + ab + a (a + b) + 3b(a − b )  2 a −1 (a − b)   a + 2ab + b 4 − b +b + (1 − a )(1 − a − ) 1+ a a a+ b 1  a b 3 ( a + b ) :  + +  h) b a  g) ( a + b )(a + b − ab ) 3 a (a + a ) 2 b) (a −5 + a )(a −5 + a )(a − a −5 ) a) (2a − + 3a ) 2 − : (a + b) −1 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ a (1 − ( ) −2 )a b j) GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY k) ( + ).(a + b + c)– 2 (a − b ) + ab Bài Cho biết 4x + 4– x = 23 ,hãy tính 2x + 2– x Bài Rút gọn biểu thức sau:  a −2 + b − 2(a −1 + b −1 )   : (ab) − + a) (a + b – ):() b)  (a + b )   ( a + b)  a 2  a −3  − −1 −1  −2 ( + a ) a   1− a d)  c) (a4 – b)– + ( )– –   22 + −2 e)  −1 a  (1 − a )     a −2  :  −2  1+ a     −1 f)  1 ( b + 1)     1−  + − h)   − b a + a b a − a b   b  1   b b     +  :  a − b  i) 1 − a a    Bài Rút gọn biểu thức sau: 1 (4 a)A = c) C = − 10 + 1 25 )(2 3 4 2 (a − b )(a + b ) a −b + 53 ) b) B =   4a − 9a −1 a − + 3a −1  f) F =  + 1   − − 2 a −a   2a − 3a  32  1 1  a + b a b   2  −1 − − : a b ( a + b )  g) G =  1   a −b    a + b a − b   −1   32   a − b − a − b 1 1     a − a b a + b      (4 a + b ) + (4 a − b )  i) I = a   a a a + ab   j)J = a2 1  32  2 x − a x − a 2 d) D =  + ( ax )  x −a  x − a   − ab  23  (b − a ) − 2a − b   2 (a + 3a b + 3a b + b ) +  2   a + (b − a ) + 2b  x −y 1   1 2 a − b a − b   : (a − b ) − e) E =  1 1   a + a b a + b  1  2a + b a h) H =  3a  x.y − y.x −3     Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ  1 a   b k) K = 2(a + b) ( ab ) 1 +  − ÷ a÷   b    –1 Bài Cho số a = với a.b > b = + 10 + GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY Tính a + b − 10 +  a b + Bài Rút gọn biểu thức A = với x =  ÷ a < ;b < a÷  b  Bài Cho 1≤ x ≤ Chứng minh rằng: x + x −1 + x − x −1 = 2 2 Bài 12 Cho ba số dương thoả a + b = c Chứng minh : a + b > c Bài 13 Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh c cạnh lớn : 4 a +b >c Bài 14 Cho a ,b ≥ m ,n hai số nguyên dương thoả m ≥ n Chứng minh : 1 (a m + b m ) m ≤ (a n + b n ) n Bài 15 Cho f(x) = a)Chứng minh a + b = f(a) + f(b) = b) Tính tổng S = f() + f() + …+ f() + f() Bài 16 Tìm miền xác định hàm số sau: a) y = (x2 – 4x + 3)– b) y = (x3 – 3x2 + 2x)1/4 c) y = (x2 + x – 6)– 1/3 d) y = (x3 – 8)π/3 Bài 17.So sánh cặp số sau: π a)   2 5/2 d)   7 π   2   8 II 10 / π b)   2 π e)   6 π   5 π   5 c)   5 2 f)   5 10 / 4   7   5 5/2 LOGARIT Bài 1.Tính a) log 43 16 d) log a a a Bài 2.Tính a) log8 3 b) log 27 c) log 85 32 e) log3(log28) b) 49 log7 c) 25 log5 10 d) 64 log e) 2+log g)( (0,25) log h) log   Bài Chứng minh    3 Bài 4.Rút gọn biểu thức sau: = 25 log8 + 49 a h)   9 log log a b = b2 log f) 10 log10 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ a) log log 36 b) log d) e) lgtg1o + lgtg2o+ …+ lgtg89o log 81 GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY c) log log 25 f) log − log 400 + log 45 3 Bài 5.Cho log23 = a ; log25 = b Tính số sau : log2 ,log2 135 , log2180 , log337,5 , log3, log1524 , log Bài a)Cho log53 = a,tính log2515 10 30 b) Cho log96 = a , tính log1832 Bài 7.Cho lg2 = a , log27 = b,tính lg56 Bài 8.Cho log615 = a ,log1218 = b , tính log2524 49 Bài 9.Cho log257 = a ,log25 = b tính log Bài 10 Chứng minh log186 + log26 = 2log186.log26 Bài 11.a)Cho lg5 = a ,lg3 = b tính log308 b) Cho log615 = a ,log1218 = b tính biểu thức A = log2524 c) Cho log45147 = a ,log2175 = b , tính biểu thức A = log4975 Bài 12 Cho log275 = a , log87 = b , log23 = c Tính log635 theo a,b,c Bài 13.Cho log23 = a , log35 = b , log72 = c Tính log14063 theo a,b,c Bài 14.Cho a2 + b2 = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh : lg() = ( lga + lgb ) Bài 15.Cho a2 + 4b2 = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: lg(a + 2b) – 2lg2 = ( lga + lgb ) Bài 16.a)Cho x2 + 4y2 = 12xy x > 0,y > 0, chứng minh lg(x + 2y) – 2lg2 = (lgx + lgy) b) Cho a,b > thoả mãn 4a2 + 9b2 = 4ab số c > 0,≠ 1,chứng minh : logc = Bài 17.Cho log1218 = a , log2454 = b ,chứng minh ab + 5(a – b) = Bài 18.Cho logaba = , tính biểu thức A = logab Bài 19 Chứng minh : a) a log c b = b log c a b) = + logab c) logad.logbd + logbd.logcd + logcd.logad = Bài 20.Cho a,b,c,N > 0,≠ thoả mãn: b2 = ac Chứng minh : 1 Bài 21.Cho y = 10 1−lg x , z = 10 1−lg y Chứng minh : x = 10 1−lg z Bài 22.So sánh cặp số sau: log log a) log43 log56 b) c) log54 log45 d) log231 log527 e) log59 log311 f) log710 log512 g) log56 log67 h) logn(n + 1) log(n + 1)(n + 2) Bài 23.Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: a)y = log6 b) y = c) y = Bài 24.a) Cho a > Chứng minh : loga(a + 1) > loga +1(a + 2) Từ suy log1719 > log19 20 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình: a = 10 b 243 = c (x - 2) = (x - 2) Ví dụ 2: Giải phương trình: a.log (3x - 1) + = + log (x + 1) b 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3) c log (x + 2) - = log (4 - x) + log (x + 6) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) 2.5 = 0,01.(10) 2) (0,6) = (0,216) 4) + + = + + 5) = 7) = 16 8) 32 = 128 10) + 6.5 - 3.5 = 52 11) = 13) 2.3.5 = 200 14) 4.9 = 16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1) 18) log (x - 2) - = 6log 19) log (x + x) - + log (2x + 2) = 20) log (x + 4x - 4) = 21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1) 22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = + log3 23) log (x + 2) - = log (4 - x) + log (x + 6) 24) log(x + 1) + = log + log (4 + x) 25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = + log 27) log (2x + 2x - 3x + 1) = 3) 2.3.5 = 12 12) (x - 2x + 2) = 15) = Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ 1: Giải phương trình: a 25 = + 2.5 + 2.3 b + = + c 12.3 + 3.15 - = 20 d + 2(x - 2)3 + 2x - = Ví dụ 2: Giải phương trình: a logx + logx = + logx.logx b (x + 1)[logx] + (2x + 5)log x + = BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) + = 2.2 + 2) x.2 + 6x + 12 = 6x + x.2 + 3) + = + 4) 4+ x.3 + = 2x.3 + 2x + 5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1) 6) 2[log x] + xlog x + 2x - = 7) 3.25 + (3x - 10).5 + - x = 8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 9) - x.2 + - x = 10) x.3 + (12 - 7x) = - x + 8x - 19x + 12 11) 25 - 2(3 - x).5 + 2x - = 12) log x + (x - 1)log x = - 2x 13) x + (2 - 3)x + 2(1 - 2) = 14) lg (x + 1) + (x - 5)lg(x + 1) - 5x = 15) log x log - = log x - log 16) log x + 5log x = + log x.log x DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN Phương trình tồn a , a , a , a , v.v ⇒ ta đặt t = a > Hoặc PT có a b với a.b = ⇒ ta đặt t = a > b = = Ví dụ 1: Giải phương trình: a + = b + = 12 c - 28.3 + = d (3 - ) + (3 + ) = 6.2 e 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = Ví dụ 2: Giải phương trình: a log (4 + 4).log (4 + 1) = b + log (x - 1) = log Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 có nghiệm thuộc khoảng ( 0,1) Bài 2: Giải biện luận phương trình theo m log x − log ( x − 1) − log m = ( ) Bài 3: Tìm m để phương trình lg x + mx − lg ( x − 3) = có nghiệm ( ) ( ) Bài 4: Cho phương trình: log mx − 5mx + − x = log + m − x − ( 1) Tìm giá trị x nghiệm phương trình (1) với m ≥ ( ) Bài 5: Với giá trị a phương trình: log a a + a + x = log x a Có nghiệm CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Kiến thức cần nhớ 1.1 Công thức lũy thừa Cho a > 0, b > m, n ∈ ¡ Khi đó: a m a n = a m + n ( a m ) n = a m.n am = a m− n n a n = a−n n a an = am = a (ab) n = a n b n m am a =  ÷ bm b m n n 1.2 Công thức lôgarit Với điều kiện thích hợp ta có: log a = log a b = α ⇔ aα = b log a a = log a aα = α a loga b = b log a bα = α log a b log aα b = log a b α log a (m.n) = log a m + log a n log a b = log c b log c a −n a b  ÷ = ÷ b a a−n log am b n = n log a b m m = log a m − log a n n log a b = log b a log a Phương trình bất phương trình mũ 2.1 Phương pháp đưa số: Cho a số dương khác Ta có: f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) a) a 60 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 b > =b⇔  f ( x ) = log a b * Lưu ý: Với b < phương trình vơ nghiệm f b) a ( x) c) a f ( x ) > a g ( x ) (*) - Với a > a f > ag (x) ⇔ f ( x) > g ( x ) ( x) f - Với < a < a ( x) > ag (x) ⇔ f ( x) < g ( x ) d) a f ( x ) > b - Với b ≤ 0, bất phương trình nghiệm với x ∈ D, D tập xác định f ( x ) - Với b > : + a > 1: a f ( x) > b ⇔ f ( x ) > log a b + < a < 1: a f ( x) > b ⇔ f ( x ) < log a b Bài (TN) Giải phương trình sau: a )5 x + 3x = 625 b) x −3 x −6 c) x +1.5 x = 200 = 16 Lời giải a )5 x +3 x = 625 ⇔ x +3 x = 54 ⇔ x + x = x = ⇔ x + 3x − = ⇔   x = −4 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -4 b) x −3 x − = 16 ⇔ x −3 x − = 24 ⇔ x − x − = x = ⇔ x − 3x − 10 = ⇔   x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -2 c) x +1.5 x = 200 ⇔ 2.2 x.5 x = 200 ⇔ 10 x = 100 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: a) x2 +3 x−7 − x2 + x+ 3 b)  ÷ 5 ≤ 49 > 25 Lời giải a) 76 x + x −7 ≤ 49 ⇔ x +3 x −7 ≤ 72 ⇔ x + 3x − ≤ ⇔ x + 3x − ≤ 61 Tài liệu Toán – ôn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 x = VT = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Xét dấu VT ta tập nghiệm bất phương trình S = [-3; 1] − x2 + x+ 3 b)  ÷ 5 − x2 +7 x + 2 3 > ⇔ ÷ 25 5 3 >  ÷ ⇔ − x2 + x + < ⇔ − x2 + x < 5 Tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ ) Bài (ĐH) Giải phương trình: 23 x Lời giải Phương trình tương đương: 23 x − x −10 ⇔ (22 x + 22 x − x −12 − x −8 − 2x − 1)(2 x 2 + x+ + x−2 − x −10 + 4x − 16 = ⇔ 23 x + 1) = ⇔ 2 x 2 2 − x−4 − 2x − x −14 + 22 x − x −12 + x+ 2 − 16 = − x −12 − 2x + x−2 −1 = −1 =  x = −2 = 20 ⇔ x − x − 12 = ⇔  x = Vậy phương trình có nghiệm x = −2, x = ⇔ 22 x − x −12 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình, bất phương trình: 1) 42 x + x+2 + x = 42+ x +5 x+2 + x + x −4 ( x ∈ ¡ ) 3) x + x −1 + x −2 = 3x − 3x −1 + 3x − x +17 2) 32 x −7 = 0, 25.128 x −3 5) x 7) 2 x −2 x −5 x + 4) x + 21− x = 2.26−5 x + 2.0,5 + 4x +6 x+5 = 42 x +3x+7 6) ( 10 + 3) x − > ( 10 − 3) x + − 16 ( ) x +1 x− ≥ ( 8) x − x x +1 x+ x x +1 x+2 9) + + < + + 11) −3 x + x−2 ≤ x −1 x +10 10) ( 5+2 12) =0 ) x −1 =3 x+ −2 x x.0,125 − 22 x −1 ) x −1 x +1 x 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: x a Đặt t = a , t > b Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t c Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện d Nếu có nghiệm thỏa thay t = a x để tìm x kết luận Bài (TN) Giải phương trình sau: a ) x − 10.3x + = b) 25 x + 3.5 x − 10 = 62 = 43 +1 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 c ) x − 23 − x − = d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = Lời giải a ) x − 10.3x + = ⇔ 32 x − 10.3x + = x Đặt t = , t > t = (nhan) t = (nhan) Phương trình trở thành: t − 10t + = ⇔  t = ⇔ 3x = ⇔ x = t = ⇔ xx = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b) 25 x + 3.5 x − 10 = ⇔ 52 x + 3.5 x − 10 = x Đặt t = , t > t = 2(nhan) t = −5(loai ) Phương trình trở thành: t + 3t − 10 = ⇔  t = ⇔ x = ⇔ x = log Vậy phương trình cho có nghiệm x = log c ) x − 23 − x − = ⇔ x − − = ⇔ 2 x − 2.2 x − = x x Đặt t = , t > t = (nhan) t = −2 (loai ) Phương trình trở thành: t − 2.t − = ⇔  t = ⇔ 2x = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = x x 2x x 9 6  3 3 d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = 4 4  2 2  x t = (nhan) 3 Đặt t =  ÷ , t > Phương trình trở thành 6t − 13t + = ⇔  2 t = (nhan)  x x x x 3 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x =1 2 2 x 2 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x = −1 3 2 63 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Bài (TN) Giải bất phương trình: x − 3.2 x + < Lời giải Bất phương trình x − 3.2 x + < ⇔ 2 x − 3.2 x + < x Đặt t = , t > Bất phương trình trở thành: t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1) Bài (ĐH) Giải phương trình: ( ) 10 + log3 x − ( ) 10 − log3 x = 2x Lời giải Điều kiện: x > Ta có phương trinhg tương đương với: log3 x  10 +  ⇔ ÷   log3 x  10 −  − ÷   ( ) 10 + log3 x − ( ) 10 − log3 x = 3log3 x log3 x  10 +  = Đặt t =  ÷   (t > 0)  + 10 t = ⇔ 2 Phương trình trỏ thành: t − = ⇔ 3t − 2t − =  − 10 (loại) t t =  Với t = + 10 ta giải x = 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Bài (ĐH) Giải bất phương trình a) 2log 2 x +x x b) (2 + 3) 2log x − x +1 − 20 ≤ + (2 − 3) x − x −1 ≤ 2− Lời giải Điều kiện: x> ; BPT ⇔ 4log 22 x +x 2log x − 20 ≤ Đặt t = log x Khi x = t BPT trở thành 42t + 22 t − 20 ≤ Đặt y = 22t ; y ≥ 2 BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ ⇔ - ≤ y ≤ 64 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 Đối chiếu điều kiện ta có: 22t ≤ ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ ⇔ - ≤ t ≤ ≤ x ≤ 2 Do - ≤ log x ≤ ⇔ ( b) Bpt ⇔ + ( Đặt t = + ) ) x2 −2 x x2 −2 x ( + 2− ) x2 −2 x ≤4 (t > 0) t + ≤ ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ + (tm) t BPTTT: ( 2− ≤ 2+ ) x2 −2 x ≤ + ⇔ −1 ≤ x − x ≤ ⇔ x2 − 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình bất phương trình: 1) x − x −5 − 12.2 x−1− x2 −5 2) ( + ) − ( − ) + = x +8 = x 3) (3 + 5) x + 16.(3 − 5) x = x+3 4) 252 x − x 5) x + 6) 3x +1 − 22 x +1 − 12 < x −1 ( 7) + 9) ( x2 −2 x ) − 5.2 x + x − 1+1 ( x − x2 + 3− ) + 92 x − x +1 = 34.152 x − x 2 − 21+ x − x ≤ 8) 8.3 x+4 x +9 x +1 ≥9 x x− x2 1 − 2 ÷ 3 ≤3 ( x − 21 + + 21 11) ) +1 x + 16 ≥ x− x2 10) ) x ≥ 8.2 x 3x +1 − 1 − 3x ≥ x x 12) (5 + 6) + (5 − 6) ≤ 10 2.3 Phương pháp lơ ga rít hóa: Bài (TN) Giải phương trình: x +1 1) x x2 =1 2 2)  ÷ 5 x+2 1 = ÷ 7 3) x 58 x −1 x = 500 2.4 Phương pháp hàm số: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v 65 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình bất phương trình: x−2 x−2 2) 3.16 + ( x − 10 ) + − x = 1) 32 x + 42 x = 25 x 3) 1− x x2 −2 1− x x2 21− x − x + 4) * Nếu a > log a f ( x) < log a g ( x) ⇔ < f ( x) < g ( x) * Nếu < a < log a f ( x) < log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > Bài 1.(TN) Giải phương trình sau a ) log x + log x + log8 x = 11 b) log x + log 25 x = log 0,2 c) log 22 x − log x − = d ) 4log 22 x + log e) 3log 32 x = 10log x − f ) ln( x − x + 7) = ln( x − 3) Lời giải a ) log x + log x + log8 x = 11 (1) Điều kiện: x > (1) ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 11 1 ⇔ log x + log x + log x = 11 11 ⇔ log x = 11 ⇔ log x = ⇔ x = 26 = 64 (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 66 x=2 Tài liệu Toán – ôn thi đại học, cao đẳng b) log x + log 25 x = log 0,2 ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 (2) Điều kiện: x > ⇔ log x = log ⇔ log x = log ( 3) ⇔ log x + log x = log 2 ⇔ log x = log 3 (2) ⇔ log x + log 52 x = log 5−1 ( 3) −1 ⇔ log x = log 3 ⇔x= 33 Vậy phương trình có nghiệm x = 3 c) log 22 x − log x − = (3) Điều kiện: x > t = t = 2 Đặt t = log x PT (3) trở thành t − t − = ⇔  ⇔ t = ⇔ log x = ⇔ x = = (thỏa mãn) ⇔ t = ⇔ log x = ⇔ x = = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = x = d ) 4log 22 x + log x = (4) Điều kiện x > (4) ⇔ 4log 22 x + log x = ⇔ 4log 22 x + 2log x − = (4’) 2 t = −1 Đặt t = log x PT (4’) trở thành 4t + 2t − = ⇔  t =  −1 ⇔ t = −1 ⇔ log x = −1 ⇔ x = = (t / m) 1 ⇔ t = ⇔ log x = ⇔ x = = (t / m) 2 Vậy phương trình có nghiệm x = x = 2 e) 3log x = 10log x − (5) Điều kiện x > 67 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 t = Đặt t = log x ta 3t = 10t − ⇔ 3t − 10t + = ⇔  t =  2 a t = ⇔ log x = ⇔ x = = 27 ( nhan) 1 b t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 3 ( nhan) 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 x = 3 f ) ln( x − x + 7) = ln( x − 3) (6)  x2 − 6x + > Điều kiện  x − >  x = (loai ) (6) ⇔ x − x + = x − ⇔ x − x + 10 = ⇔   x = (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: a ) log (4 x − 3) < b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) 3 d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) Lời giải a ) log (4 x − 3) < log (4 x − 3) < ⇔ x − < 32 ⇔ x < 12 ⇔ x < Điều kiện x − > ⇔ x > 3 4   Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S =  ;3 ÷ b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 x < x > Điều kiện x − x + > ⇔  log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 ⇔ x − x + ≤ ( 0,5 ) −1 ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm S = [ 1;2 ) ∪ ( 3;4] c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) 3 68 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02  x > −2 2 x + >  ⇔   x < −2 ⇔ x > Điều kiện:  x − x − >  x >  log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) ⇔ x + ≥ x − x − 3 ⇔ x − 3x − 10 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm S = ( 3;5] d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1)  x > −  7 x + >  −1  ⇔  ⇔ x ∈  ; ÷∪ ( 1; +∞ ) Điều kiện:   10  10 x − 11x + >   x < 10   x > lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) ⇔ x + ≥ 10 x − 11x + ⇔ 10 x − 18 x ≤ ⇔ ≤ x ≤    9 Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S = 0; ÷∪  1;   10    Bài (ĐH) Giải phương trình: a) log ( x − 1) + log ( x − 1) = b) log ( x + 1) + = log − x + log8 ( + x ) (2) Lời giải < x ≠1 ⇔ 2log x − + 2log ( x − 1) = ⇔ log x − + log ( x − 1) = Điều kiện:   < x <  ⇔ log x − ( x − 1) = log 3 ⇔ x − ( x − 1) = ⇔  2 x − x + = 0(vn) ⇔ x =   x >  2 x − x − =  69 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 x +1 ≠ −4 < x <  b) Điều kiện:  − x > ⇔   x ≠ −1 4 + x >  (2) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( + x ) ⇔ log x + + = log ( 16 − x ) ⇔ log x + = log ( 16 − x ) ⇔ x + = 16 − x 2 + Với −1 < x < ta có phương trình x + x − 12 = (3) ; x = (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i ) + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x − x − 20 = (4);  x = − 24 ⇔ ( )   x = + 24 ( lo¹i ) ( ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = − Bài (ĐH) Giải bất phương trình: a) log x − x + + log x − > log ( x + 3) 3 b) log log ( ) x + + x > log log ( x2 + − x ) Lời giải Điều kiện: x > Bất phương trình cho tương đương: 1 log ( x − x + ) + log 3−1 ( x − ) > log 3−1 ( x + 3) 2 1 log ( x − x + ) − log3 ( x − ) > − log ( x + 3) 2 ⇔ log ( x − ) ( x − 3)  > log ( x − ) − log ( x + 3) ⇔ x−2  x−2 ⇔ log ( x − ) ( x − 3)  > log  ÷ ⇔ ( x − ) ( x − 3) > x+3  x+3  x < − 10 ⇔ x2 − > ⇔   x > 10 Giao với điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x > 10 70 Tài liệu Toán – ôn thi đại học, cao đẳng b) Đk: x > ( 1) ⇔ log3 log ( ) x + − x + log log 5  ⇔ log  log  ⇔ log 52 ( *) < log ( ) x + − x log ) ( ( ) x2 + + x < )  x2 + + x ÷<  x2 + + x < ⇔ < log *) log ( ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 ( ( ) x2 + + x < ) x2 + + x ⇔ x > ) x + + x < ⇔ x + + x < ⇔ x + < − x ⇔ ⇔ x < 12  12  ÷  5 Vậy BPT có nghiệm x ∈  0; BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình, bất phương trình 2) log x + 2log ( x − 1) + log ≤ 1) log x + log 25 x = log 0,2 3) log (5 − x) + log (5 − x).log x +1 (5 − x) = log (2 x − 5) + log (2 x + 1).log (5 − x ) 2 4) log 2 x + − log (3 − x) − log ( x − 1)3 = 5) log x.log x.log 27 x.log 81 x = 6) log(5 x − 4) + log x + = + log 0,18 ( ( 7) log x log x – 72 ) ) ≤1 8) 9) log ( x − x + 8) + 2log ( x − 4) < log x − x + 10) log 11) 2log 25 ( x − 1) ≥ log log ( x − 1) 2x −1 −1 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: a Đặt t = log a x 71 < x − 3x + 1 log ( x − 3) > log ( x + 1) 12) log x + 2log x = + log x.log x Tài liệu Toán – ôn thi đại học, cao đẳng ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 b Thay t vào phương trình biến đổi phương trình theo t c Giải phương trình tìm t d Thay t = log a x tìm Bài (TN): Giải phương trình: log 32 x + log 32 x + − = Lời giải Điều kiện: x > Đặt t = log 32 x + 1, t ≥ t = ) t = −3 ( loai &  x=3  log x = 2 ⇔ l o g x = ⇔ ⇔   (tmđk) log x + =  x = 3−  log x = − Phương trình trở thành t + t – = ⇔  Với t = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 x = 3− Bài (ĐH) Giải phương trình: a) ( − log x ) log x − =1 − log x b) log x x − 14log16 x x3 + 40.log x x =0 Lời giải Điều kiện x > 0, x ≠ 3, x ≠ / Phương trình ⇔ ( − log x ) Đặt: t = log x , thành − log x − =1⇔ − =1 log x − log x + log x − log x 2−t − = ⇔ t − 3t − = (vì t = -2, t = không nghiệm) + t 1− t ⇔ t = −1 hay t = Do đó, (1) ⇔ log x = −1 hay x = ⇔ x = b) log x x − 14log16 x x3 + 40.log x hay x = 81 x = (1) Đk: x > 0, x ≠ 1/ 4, x ≠ / 16, x ≠ (*) Khi đó, phương trình tương đương với 2.log x x − 42.log16 x x + 20.log x x = (2) Nhận thấy x =1 nghiệm pt 72 Tài liệu Tốn – ơn thi đại học, cao đẳng Với < x ≠ 1, pt (2) ⇔ log x x − ThS Nguyễn Thanh Nhàn Tel: 0982.82.82.02 42 20 + =0 log x 16 x log x x Đặt t = logx2, phương trình trở thành 42 20 − + =0 − t + 4t + 2t (3) (3) ⇔ 2t2 + 3t – = ⇔ t = 1/2 t = -2(tmđk) * Với t = -2 logx2 = -2 ⇔ x = ± * Với t = 1/2 logx2 = 1/2 ⇔ x = Kết hợp đk ta nghiệm phương trình x = 4, x =  32   x  log x − log Bài (ĐH) Giải bất phương trình ÷+ 9log  ÷ < 4log x  8 x   Lời giải Điều kiện x > Bất phương trình ⇔ log 42 ( x) − log x3 − log 8 + log 32 − log x  < 4log 22 ( x) ⇔ log 42 ( x) − [ 3log x − 3] + [ − 2log x ] < 4log 22 ( x) Đặt t = log2(x), bất phương trình tương đương với   1 −3 < log x < −2 −3 < t < −2