Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TÍCH PHÂN  Chuyên đề 4:  Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu tích phân 1/ b b a a  k.f(x)dx  k  f(x)dx b c b a a c 2/ b b b a a a   f(x)  g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx 3/  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (u = u(x))  dx  x  c;  x dx    kdx  kx  c x1  c, (  1)  1 dx  ln x  c x  ex dx  ex  c  ax dx  ax  c (0  a  1) ln a  u u'dx  u1  c ; (  1)  1 u'  u dx  ln u  c  eu u'dx  eu  c  au u'dx  au  c (0  a  1) ln a  u'cos udx  sin u  c  cosxdx  sin x  c  u'sin udx   cos u  c  sin xdx   cosx  c  cos2 udx  tan u  c  sin2 u dx   cot u  c dx  cos2 x  tan x  c dx  sin2 x   cot x  c 10  tan xdx   ln cosx  c 11  cot xdx  ln sin x  c 124 u' u'  u'tan udx   ln cos u  c 10  u'cot udx  ln sin u  c Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Đặc biệt: u(x) = ax + b;  f(x)dx  F(x)  c   (ax  b) dx  dx (ax  b)1 c a  1  ax  b  a ln ax  b  c dx  cos2 (ax  b)  a tan(ax  b)  c 8.  eax  b dx  eax  b a  axdx  ln x    c   cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  c a  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  c a  f(ax  b)dx  a F(ax  b)  c dx   cot(ax  b)  c a sin (ax  b) 1 ln cos(ax  b)  c a 10. cot(ax  b)dx  ln sin(ax  b)  c a dx xa 11   ln c 2a x a x a 9. tan(ax  b)dx  B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân I   2x  dx x(x  1) Giải I= (x  1)  x  x(x  1) dx =  1   x   x dx =  ln x(x  1)1  ln  ln3 Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 2x  dx x 1 Tính tích phân: I   Giải 1 2x    dx =     dx =  2x  3ln x   = – 3ln2 x 1 x 1 0 I Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính tích phân sau: I   x4  x3  3x2  2x  x2  x dx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: 125 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x4  x3  3x2  2x   x2   x x 2  I    x2     dx  x 1 x  1 x2 x x = x2    x 1 x  x3    3x  ln x   ln x   1 16  ln I= Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân: I(x)   x dt , với x > Từ tìm lim I(x) x t(t  1) Giải I(x) = x x x dt  t 1  t  t  1    t  t   dt =  ln t  ln  t  1   ln t  1 1 = ln  x x  ln x 1 x 1  lim I  x   lim ln  ln   ln x x  x  2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005    tan x  e Tính tích phân: sin x  cos x dx Giải      0   ln  e I   tan x  esin x cos x dx   tan xdx    sin x  'esin x dx  =   ln cosx  +  e sin x  2 1 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I   dx x  x3 Giải I 126 dx x  x3  1 x x x(1  x2 ) dx   1  1 2x  x  x  dx  1  x  2 dx  x  1  x  1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN      ln x  ln(x2  1)  ln x  ln x2        1 x  ln 1 x  ln  ln 2  ln Bài 7: Tính tích phân : I = x  x dx Giải 0     Tính I   x2  x dx   x2  x dx   x2  x dx Do : x 1 x x  + 21  22  I    x  x    x  x   0  1  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ a Cho hàm số: f(x) =  x  1  bxex Tìm a b biết f’(0) =  22  f(x)dx  Giải Ta có: f(x)   f (x)    a (x  1)3 3a (x  1)  bx.ex  bex (x  1)  f (0)  3a  b  22 (1) 1  a 3a x x   f(x)dx   a(x  1) dx  b xe   2(x  1)2  b(xe  e )   b  (2)  0 0 3 x 3a  b  22 a   (1) (2) ta có hệ:  3a  b5 b   8 127 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I Sử dụng công thức: b  a   f[u(x)].u(x)dx   f(u)du b Phương pháp: Xét tích phân I   f(x)du a - Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2 Suy ra: I  t2 t2  g(t)dt  g(t) t t1 (g(t)  f[u(x)].u(x)) Thường đặt ẩn phụ t  thức, mũ e, mẫu số, biểu thức ngoặc dx  có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có đặt t = lnx x ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II  b  a /  f((t)) (t)dt   f(x)dx ; x  (t); ()  a, ()  b  Công thức: b  Tính: I   f(x)dx a Đặt x  (t)  dx  (t)dt Đổi cận: x  (t); ()  a, ()  b b  Khi đó: I   f((t)).(t)dt   f(x)dx a  Các dạng thường gặp: b  a2  x2 dx đặ t x  asin t a b  a dx a2  x2 đặ t x  asin t b dx  a2  x2 a B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 128 đặ t x  a tan t Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  Tính tích phân : I   xsin x   x  1 cos x xsin x  cos x dx Giải   xsin x  cos x  x cos x x cos x   dx      dx xsin x  cos x x sin x  cos x   0 Ta có: I     x 04   x cos x  x cos x dx    dx xsin x  cos x xsin x  cos x 0  Đặt t = xsinx + cosx  dt = xcosxdx Khi x = t = 1, x =  Suy ra: I    2  t =   1 4  2    1 4   dt    ln t t 2    1 4    2   ln   1 4  Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tính tích phân: I   4x  2x   dx Giải Đặt: t  2x    2x   t   2x   t  4t  t  4t   dx = (t – 2)dt x =  t = 3, x =  t = x  54 Suy ra: I   = t  4t  1  t   dt = t 5   2t2  8t  5 t   dt t 2t  12t  21t  10 10   dt =   2t  12t  21   dt  t t  3  2t =  6t  21t  10 ln t    34  10 ln  = 3 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 129 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tính tích phân: I = e ln x  x(2  ln x)2 dx Giải Đặt u  ln x  du  dx , x =  u = 0, x = e  u = x 1  2     du   du  ln  u       u   u 2  2 u0    u 0  I u 2  3   ln3     ln  1  ln      2 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 dx 1e x Tính tích phân: I   1 Giải dt Đặt t = ex  dx = ; x =  t = e; x =  t = e3 t I e3  e e3 dt 1 e3      dt  ln t   ln t e t  t  1 e  t  t  e3 e  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008  tan x dx cos2x Tính tích phân: I   Giải Cách 1:  Đặt t = tanx  dt = (1 + tan2x)dx  cos2x   t2  t2  Đổi cận: x =  t = 0; x   Khi đó: I  3 3    t dt    t 130 t  t 1   dt  t2    ln e2  e   dt  t2  dx Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  t3 1 t     t  ln 1 t   3  10    ln 1  Cách 2:    tan x tan x tan x dx   dx   cos2 x(1  tan2 x) dx 2 cos2x 0 cos x  sin x Ta có: I   Đặt: t = tanx  dt  dx cos2 x Đổi cận: x =  t = 0; x  Khi đó: I  3 t4  t   t dt  ln 1 1  10 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008   sin  x   dx 4  Tính tích phân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x)  Giải    sin  x   dx 4  Tính tích phân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x)    Đặt t = sinx + cosx  dt  (cosx  sin x)dx   sin  x   dx 4   Đổi cận: x =  t = 1; x   t  2 Ta có: t = sin x + cos x + 2sinxcosx = + sin2x  sin2x = t2 – Khi đó: I    2  dt t   2(1  t)  2 dt  (t  1)2 2 1 43 2    t 1    Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Tính tích phân: I   x  x 1 dx 131 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải 1  I = dx 1 x    2  Đặt x  3     tan t, t    ;   dx   tan2 t dt 2  2   I=       tan t  dt  3  tan2 t   Bài 6: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Tính tích phân: I = e dx 1 x  ln x Giải Đặt: t   ln x  lnx = t3 – 1, dx  3t dt x Đổi cận: x =  t = 1; x = e  t   I 32 3tdt  3t 33   2 Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007 Tính tích phân: x 1 0 x2  dx Giải 1 xdx dx I   I1  I2 ; I1  ln(x2  1)  ln x  0 x2  2 dt   Đặt x = tant, t   0,  , dx   4 cos2 t  I2   dt    Vậy I  ln  4 Bài 8: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007  sin x dx  cos x cos2x  Tính tích phân: I   132 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt t = cosx  dt = sinxdx   x t I= dt  2t  t  1 2 2   dt      dt 2t  t  0  t  2t    1  I =  ln t   ln 2t   02   ln 3 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính tích phân: I = dx  2x   4x  Giải Đặt t  4x   x  t 1  dx  tdt t 5 dt  t   dt    I 2   dt  t  (t  1)2  t    t (t  1) 3 5    ln t     ln  12 t    Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân: I = 10 dx  x2 x 1 Giải  Đặt t = x   t  x   dx  2tdt x = t2 + x 10  Đổi cận t Khi đó: I = 3 1    t  2t    t    t  12  dt 2  2tdt   =  ln t     ln   t 1  133 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tính tích phân x4 ln x dx; dv = x3dx  v  x Đặt u = ln2x  du  Ta có: I  e x4 dx , dv = x3dx, chọn v  Ta có x Đặt u = lnx  du  e e x4 e e4 ln x   x ln xdx   x ln xdx 21 1 e e x4 e4 x ln xdx ln x x dx     x  4 1 16 Vậy I  e  3e4  16 5e4  32 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Tính tích phân: I   (x  2)e2x dx Giải Tính tích phân  u  x  I   (x  2)e2x dx Đặt   du  dx, chọ n v = e2x 2x  dv  e dx I  (x  2)e2x 1  2x e2 e dx =    e2x  20 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006  Tính tích phân: I =  (x  1)sin 2x dx Giải u  x  1 Đặt   du  dx, chọ n v   cos2x dv  sin 2xdx I  x 1  cos2x 02    cos2xdx   0 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 142   3e2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Tính tích phân: I =  (x  2)ln xdx Giải  x2  u  ln x Đặt   du  dx, chọ n v   2x x  dv   x   dx 2  x2  x  I=   2x  ln x      dx  2 ln    2    1 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005  Tính tích phân: I    2x  1 cos2 xdx Giải   I   (2x  1)cos2 x.dx   (2x  1)    1 (2x  1)dx   (2x  1)cos2x.dx  20 20    cos2x dx  Tính I1   (2x  1)dx   x2  x  02  2     Tính I2   (2x  1)cos2x.dx u  2x  1 Đặt   du  2dx chọ n v  sin2x dv  cos2xdx    1 I2  (2x  1)sin 2x   sin 2xdx  cos2x  1 2 0 1 2  I  I1  I2    2 143 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 9:   Tính tích phân: I   ln x2  x dx Giải   I   ln x2  x dx   3 2 Ta có I =  ln x  x dx   lnx  x  1 dx   lnx  ln  x  1  dx dx   u  lnx  du = Đặt  x  dv dx chọ n v = x   3 3 I1   lnxdx  xlnx   dx   xlnx  x   3ln3    2ln2   2 2  3ln3  2ln2  2 I2   ln  x  1 dx   lnudu   ulnu  u1  2ln2    Vậy I   ln x2  x dx  I1  I2  3ln3  2ln2   2ln2   I  3ln3  2 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ  x dx  cos2x Tính tích phân: I   Giải   u  x du  dx x xdx  I dx   Đặt  du    cos2x cos x  chọ n v  tan x dv  cos2 x     1  I  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x    ln 2 20 Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I ln x Tính tích phân: I   dx (x  1)2 144 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt u = lnx du   dx x dv = (x + 1)-2dx, chọ n v   I x 1 3 ln x 3 (x  1)  x 1   dx   ln3     dx  x x 1 x  1 x(x  1)   x  =  ln3   ln    ln3  ln  x  1 Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Tính tích phân: I   ln 2x  (2x  1)3 dx Giải Đặt u = ln  2x  , dv= (2x  1)  dx  du = (2x 1)1dx, chọn v =  (2x  1) 2 ln 2x    ln3  3 Bài 13: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM   I = (2x  1)  Tính tích phân : I   x sin 2xdx Giải  du  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx, chọn v      x cos2x Vậy: I =    2  s in2x     cos2xdx     20    Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Tính tích phân : I   x2 (1  2ex )  ex  2ex dx 145 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải I x2 (1  2ex )  ex x3 I1   x dx  I2   e x  2e Vậy I = x  dx = 0  2e ex dx   x2 dx    2ex x dx 1   2e  d(1  2ex ) = ln(1  2ex ) = ln     0  2ex 1   2e   ln     Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 e 3  Tính tích phân: I    2x   ln xdx x 1 Giải e e e 3  I    2x   ln xdx 2 x ln xdx 3 ln x dx x x 1 1 e Xét I1   x ln xdx Đặt u  ln x  du  x2 dx ; dv  xdx  v  x e e e  x2  e2  x  e2  Do I1   ln x    xdx        2    1 1 e Xét I2 =  ln x dx x Đặt t = lnx  dt  dx Với x =  t = 0; x = e  t = x 1  t2  e2  Do I2   tdt     Vậy I  2  0 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009    Tính tích phân I   cos3 x  cos2 xdx 146 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải   0 I   cos5 xdx   cos2 xdx Đặt t = sinx  dt = cosxdx; x =  t = 0, x    0  I1   cos5 xdx    sin2 x    cos xdx    t   t 1  1   dt   t  t  t    15    1 2  I2   cos xdx   1  cos2x  dx   x  sin 2x   2  0 0 Vậy I  I1  I2    Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009   Tính tích phân I   e2x  x ex dx Giải 1 0 Ta có I   e x dx   xex dx  I1   e x dx  e x 1 e  I2   xex dx Đặ t u  x  du  dx; đặ t dv  ex dx, chọ n v  ex Suy I2  xex 1   ex dx  Vậy I  I1  I2   e Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007 Tính: I   2x  x  x 1 dx Giải I = 2x  1  x2  x  dx  2 x2  x  dx 0 147 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I1 = 2x   x2  x  dx  ln x  x 1 Đặt x + I2 =    I  ln3 ; I2 =  dx 1 x    2  3  tan t  dx =  tan2 t dt 2        tan2 t dt 2   tan2 t = ln3  2 Bài 6: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính tích phân : J  2  sin xdx Giải Đặt t =  x dx = 2tdt  J   2t sin tdt u  2t du  2dt Chọn :   dv  sin tdt  chọ n v   cost     J =  2t cos t    cos tdt   2t cos t 03  2sin t 03 =    3 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005    Tính tích phân I   esin x  cos x cos xdx Giải    cos2x dx  2esin x I   esin x d  sin x    148   1    x  sin 2x  2  e  1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I  2  x sin xdx Giải I 2 x  t2 = x  2tdt = dx x sin xdx Đặt t = Đổi cận x 2 t   u  t  du  2tdt   I  2 t sin tdt Đặt  dv  sin tdt v   cos t   I  2(t cost)  4 t costdt  22  4I1 0   Tính I1   t costdt u  t du  dt Đặt    dv  cos tdt  chọ n v  sin t I1  t sin t      sin tdt  cost  2 Vậy I = 22 – 0 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính tích phân: I   x3ex dx Giải 2 Tính I   x3ex dx   x2 ex xdx 0 Đặt t = x2  dt = 2xdx  I x dt  xdx Đổi cận: t 1 1  t 1 t1 t t te  et      te dt te e dt    0  0   Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I   x e 1 2x   x  dx 149 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải  x e Tính I  2x  2x  x  dx   x.e dx  1  Tính I1  1 x x  1dx 1 du  dx  u  x  2x Đặ t xe dx    2x  2x dv  e dx  chọ n v  e  1  0 x  vdu  x.e 1 I1  uv 1   Tính I2  x 1 0  1 1  e2x dx   x.e2x  e2x     1 4 2  1 4e x  1dx 1 Đặt t  x   t3  x   3t 2dt  dx Đổi cận: I2    1  t7 t4  t  t.3t dt  3 t  t dt       7 4 28  0  3 Vậy I = I1 + I2 = 4e       28 4e2 Bài 11: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG   Tính tích phân:  sin 2x cos2 x dx Giải I =    sin 2x cos x  tan x  dx =   sin 2x  cos2 x dx   cos2 x dx   d(cos2 x) cos2 x dx   = tan x  ln(cos2 x) = + ln2 0 150 x 1 t Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: y b b a a y = f(x) S   f(x)dx   f(x) dx Từ toán suy f(x) không dương đoạn [a, b] b b a a x=a x=b y x=a S   f(x)dx   f(x) dx x=b S y = f(x) Bài toán 2: (Tổng quát) Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục đoạn [a, b] có đồ thò (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) hai đường x = a, b x = b xác đònh công thức: S   f(x)  g(x) dx (*) a * Phương pháp giải (*):  Giải phương trình: f(x) = g(x) (1) b  Nếu (1) vô nghiệm thì: S   (f(x)  g(x))dx a  Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử , (  ) S   b a    (f(x)  g(x) dx   (f(x)  g(x)dx   (f(x)  g(x)dx Bài toán 3: Cho (C1 ) : x1  f(y), (C2 ) : x2  g(y), f(y), g(y) liên tục đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng S giới hạn (C1); (C2) hai đường thẳng y = a, y = b xác đònh công thức: b S   f(y)  g(y) dy a 151 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ I CÔNG THỨC THỂ TÍCH Giả sử vật thể T xác đònh mặt phẳng () () song song với Ta chọn trục Ox cho vuông góc với mặt phẳng ( () Ta có Ox  () = A, Ox  () = B Giả sử mặt phẳng ( ()  Ox, ()  Ox  C, () cắt vật thể T y S(x) O có thiết diện S(x) a A  x  C b y Khi V   S(x)dx a y II BÀI TOÁN Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b y = quay quanh Ox O b x a y V   y2 dx a Bài toán 2: Thể tích hình phẳng: x = g(y), x = 0, b y = f(x) b x S(x) Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x)  y2 y = a, y = b quay quanh trục Oy: x b B  x = g(y) V   x dy b x a x O a Bài toán 3: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox: y1  f(x), y2  g(x) y f(x) = y1 y2  y1  x  [a, b] g(x) = y2 b V   (y22  y12 )dx O a b x a Bài toán 4: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox y1  f(x),y2  g(x) y1  y2  x  [a,b] b V   a 152 (y12  y22 )dx y O a b x f(x) = y1 g(x) = y2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P): x = x2 + 4x đường thẳng d: y = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm (P) d: x2  4x  x  x  hay x  3  x3 3x2  S   x3  3x dx   (x3  3x)dx       (đvdt)    0 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cho là: (e + 1)x = (1 + ex)x  (ex  e)x =  x = x = 1 1 0 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   xex  ex dx  e xdx   xex dx Ta có: e xdx  Vậy S  ex2 e  , x x  xe dx  xe 1   ex dx  e  ex 1 e  (đvdt) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường: y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường y = xlnx y = là: xlnx =  x = Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành là: e e 1 V   y2 dx   (x ln x)2 dx Đặt u = ln2x, dv = x2dx  du  e e ln x x3 dx, v  Ta có: x e e x3 2 e3 2 (x ln x) dx  ln x  x ln xdx   x ln xdx  3 1 3 1 153 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = lnx, dv = x2dx  du  e e dx x3 , chọ n v  Ta có: x e x3 e3 x3 x ln xdx  ln x  x dx    3 1 Vậy V  e  2e3  (5e  2) (đvtt) 27 Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn paraol y = x2 – x + đường thẳng d: y = 2x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm parabol d: x2 – x + = 2x +  x2 – 3x + =  x =  x = 2 Ta có S   (x2  x  3)  (2x  1)dx   x2  3x  dx 1  x 2 3x2   (x2  3x  2)dx      2x   (đvdt)  1   Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn trục Ox đường y = x sinx (0  x  ) Giải         V =   f  x   dx   x.sin2 xdx   x 1  cos2x  dx =   xdx   x.cos2xdx  20   0  x2 Tính : I1 =  xdx    2  Tính : I2 =  x cos2xdx du  dx u  x  Đặt   dv  cos2xdx chọ n v  sin 2x    154   I2 = x 1 x  sin 2x   sin 2xdx   sin 2x  cos2x   2 0 V=  3   2 (đvtt)   0    Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x2  4x  y = x + Giải    y  S    x  3  x2  4x   dx    x2  4x  dx       S   x  5x dx  2 x2  4x  dx 3  x  x 3 5x  S     2x2  3x       1 0    109 (đvdt) S y=x+3 1 1 O x Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y   x2 x2 y = 4 Giải Ta có y   x2  y2   Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x2 x2 y2   y2     (E) 4 16 4 x2 x2  4   x2 x  32  x4  8x2  128   x2   x2  16 (loại)  x =  2 2 2   x2 x2  x2 x2   Nên S =  4 dx    dx   dx     4 2 4  2     2 Tính I1  2  4 x2 dx y Đặt x = 4sint  dx = 4costdt   x  2 t= Đổi cận     x  t  2 4 y= x y= O 4 x2 x 155 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com      I1   8cos2 tdt   1  cos2t  dt   t  sin 2t      0 0 I2  2  x2 dx  x3 2  12 4  Vậy S   2    đvdt  3  Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (P1): y = x2  2x (P2) : y = x2 + 4x Giải Phương trình hoành độ giao điểm (P1) (P2) là: x2  2x =  x2 + 4x  2x2 + 6x =  2x(x  3) =  x =  x = Diện tích cần tìm: 3 0 S   ((x2  4x)  (x2  2x))dx   (2x  6x)dx  2 3 =  x3  3x2  = (đvdt)  0 Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = – 2x2, y = x2 + Giải Phương trình hoành độ giao điểm – 2x2 = x2 –  3x2 =  x = x = 1 Diện tích S cần tìm 1 1 1 S   (7  2x2  x2  4)dx   (3  3x2 )dx  (đvdt) 156 [...]... www.toanmath.com THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ I CÔNG THỨC THỂ TÍCH Giả sử vật thể T được xác đònh bởi 2 mặt phẳng () và () song song với nhau Ta chọn trục Ox sao cho nó vuông góc với các mặt phẳng ( và () Ta có Ox  () = A, Ox  () = B Giả sử mặt phẳng ( ()  Ox, ()  Ox  C, () cắt vật thể T y S(x) O có thi t diện là S(x) a A  x  C b y Khi đó V   S(x)dx a y II BÀI TOÁN Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới... đường cắt nhau quay quanh Ox y1  f(x),y2  g(x) y1  y2  0 x  [a,b] b V   a 152 (y12  y22 )dx y O a b x f(x) = y1 g(x) = y2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): x = x2 + 4x và đường thẳng d: y = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: x2 ... ln 1  sin 2x  4  ln2 1  sin 2x 2 1  sin 2x 2 2 0 0 0 Ta có I   Bài 24: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân: I  138 ln3 ex dx 0  e  1  x 3 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải I ln 3 ex 0  ex  1  3 4 Khi đó I   dt 3 2 2 t dx Đặt t  ex  1  dt  ex dx ; Đổi cận:  x 0 ln3 t 2 4 4 2 t  2 1 2 Bài 25: ĐỀ DỰ BỊ 1  2 6 Tính tích phân: I  ... www.toanmath.com  Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI b  u(x).v(x)dx  u(x).v(x) Công thức: b a a b b a  udv  uv Viết gọn: a b   v(x).u(x)dx a b   vdu a B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011  3 Tính tích phân: I   1  x sin x cos2 x 0 dx Giải  3 Ta có: I   0 1  xsin x 2 cos x  3 0 Tính J = x sin x 1 dx   2 0 cos x  3   tan x     3  3 0 ... cos x dx cos x  0 0 0 Tính K =  3 1  3 cos x  cos x dx   1  sin2 x dx 0 0 Đặt t = sinx  dt = cosxdx 140 bằng phương pháp đổi biến số Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Suy ra: K  3 2  0 1 1 t  ln 2 2 1 t 1 t  Vậy I = 3 2 dt 0  1 2 3  ln   2  2  3  2  1  2 3   ln   ln 2  3 2  4  3    2 3  ln 2  3 3    ... v   cos2x 2 dv  sin 2xdx I  x 1  cos2x 02 2   2 1  cos2xdx   1 2 0 4 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 142  5  3e2 4 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 Tính tích phân: I =  (x  2)ln xdx 1 Giải  1 x2  u  ln x Đặt   du  dx, chọ n v   2x x 2  dv   x  2  dx 2 2  x2  5 x  I=   2x  ln x     2  dx  2 ln 2...  x tan x  ln cos x  4   ln 2 0 2 20 2 8 4 0 Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I 3 ln x Tính tích phân: I   dx 1 (x  1)2 144 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt u = lnx du   dx x dv = (x + 1)-2dx, chọ n v   I 1 x 1 3 1 ln x 3 3 (x  1)  x 1 1   dx   ln3     dx 1  x x 1 x  1 1 1 x(x  1) 4  3 1  x  1 3 = ...  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx, chọn v     2  2 x cos2x Vậy: I =  2 0   2  1 s in2x  2    cos2xdx     20 4 2  2  0 4  Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 1 Tính tích phân : I   0 x2 (1  2ex )  ex 1  2ex dx 145 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải 1 I x2... e2  2 Do đó I2   tdt     Vậy I  2 2  0 2 0 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009  2   Tính tích phân I   cos3 x  1 cos2 xdx 0 146 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải  2  2 0 0 I   cos5 xdx   cos2 xdx Đặt t = sinx  dt = cosxdx; x = 0  t = 0, x   2  2 0 0  I1   cos5 xdx   1  sin2 x  2  2 1  cos xdx   1  t 2 0   t 1... cos xdx 0 Giải  2  2 1  cos2x dx  2esin x 2 0 I  2  esin x d  sin x   2  0 148  2 0  2 1 1    x  sin 2x  2 2  e 0  1 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân: I  2  x sin xdx 0 Giải I 2 0 x  t2 = x  2tdt = dx x sin xdx Đặt t = Đổi cận x 0 2 t 0   u  t 2  du  2tdt   I  2 t 2 sin tdt