Netschool.edu.vn TĨM TẮT CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x))   U  V   U  V    UV   UV  UV   U   U.V 2U.V V V  {f[U(x)]}/ = f ' u U x  2/ Các công thức tính đạo hàm: Tên hàm số Các hàm số thường gặp Công thức đạo hàm C  =0 (C lµ h»ng sè) x  =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) x  =n.x n Hàm số lượng giác Hàm số mũ Hàm logarít n-1 (n N, n  2)   u  =n.u n u/  1 u/ (u  0)     u2 u  u/ (u  0) u  u  sin x   cos x /  cos x    sin x  sin u   cos u.u / /  cos u    sin u.u /   tan x cos x /  cot x      1  cot x  sin x  tan u    / / /  u / cos u /  cot u    u / sin u /  (xα)/= α x α -1 (ex )’ = ex (ax)’ = axlna (uα)/= α u α -1u/ ( eu)’ = u’ eu ( au)’ = u’ au.lna (x>0) x (ln /x/ )’ = (x≠0) x ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00) ( x ) = x  tanx  Hàm lũy thừa Đạo hàm hàm số hợp x 1 C  1   u du  u 1 C  1 Netschool.edu.vn  1  dx  (ax  b) ( ax  b ) C  a  1 Netschool.edu.vn 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1  dx    C x x  x dx  x  C 1  dx    C u u  u du  u  C  *Nguyên hàm hàm số mũ x x  e dx  e  C e e  x dx  e x  C ax x  a dx  ln a  C,  a  u du  eu  C e e u du  eu  C au u  a du  ln a  C 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C amxn  C, m  m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin u.du   cos u  C  cos2 x dx  tan x  C axbdx  eaxb  C a mxn dx  a *Nguyên hàm hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  sin x.dx   cos x  C 1 du  ax  b  C a ax  b 1 1 Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u  ax  b  cos kx.dx  k sin kx  C  sin kx.dx   k cos kx  C e kx dx  ekx  C k (ax  b) 1   (ax  b) dx  a    C 1 Ví dụ  cos x.dx  sin x  C, (k  2)  sin x.dx   cos x  C e x dx  e2 x  C (2 x  1)21 (2 x  1) dx   C  (2 x  1)3  C  1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  3x 1 dx  ln 3x 1  C 1 du  ax  b  C a ax  b axb axb C  e dx  a e mxn mxn du  a a  C, m   m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C    1 du  3x   C  3x   C 3 3x  e2 x1dx  e2 x1  C 52 x1 x   dx  ln  C  cos(2 x  1)dx  sin(2 x 1)  C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  sin(3x 1)dx   cos(3x 1)  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1  cos2 (2 x  1) dx  tan(2 x  1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C  sin (3x  1) dx   cot(3x  1)  C *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  ?.dx  dx  ?.du Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C , a  a Giải: Đặt u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  du a a a a Suy  cos(ax  b)dx   cos u .du   cos u.du  sin u  C  sin(ax  b)  C a PHẦN BÀI TẬP I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm ngun hàm hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất x10 kq: F ( x)=  x C 3x x kq: F ( x)    xC ln a) f ( x)  x9 b) f ( x)  3x  x  c) f ( x)  +3 x d ) f ( x)  2sin x cos x e) f ( x)  kq: F ( x)  2ln x  3x  C kq: F ( x)  2cos x  C kq: F ( x)  sin x  C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = x2 – 3x + x ĐS F(x) = x3 3x2   ln x  C 2 x4  b f(x) = x2 2x3  C ĐS F(x) = x c f(x) = ĐS F(x) = ln x   C d f(x) = x 1 x2 ( x  1)2 x2 x ĐS F(x) = Netschool.edu.vn x3  2x   C x Netschool.edu.vn e f(x) = f f(x) = g f(x) = x 3 x 4 x  x 3x ( x  1)2 x x 1 h f(x) = 3x i ) f ( x )  x5  x  j ) f ( x)  x3  5x2  x  k ) f ( x )   x  x5  x  l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x  )  3x 3 x 2x 4x  C ĐS F(x) = x  x2  C ĐS F(x) =  3x ĐS F(x) = x  x  ln x  C 3 ĐS F(x) = x  x  C kq : F ( x)  x6  x3  x  C kq : F ( x)  x  x3  x  x  C kq : F ( x)   x7  x6  x3  x  C 21 kq : F ( x)  x  x  C * HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a2  2ab  b2 Bài : Tìm a)  ( x  2)( x  4)dx b)  ( x  3)( x  1)dx c)  3( x  3)2 dx x2  5x g ) dx x x3  x  h)  dx x x3  x  g ) dx x ( x  2)2 h)  dx x ( x  4)2 i)  dx x2 Bài Tìm kq: F ( x)  x3  x  x  C 1 kq: F ( x)  x3  x  x  3x  C 2 kq: F ( x)  x  x  27 x  C kq: F ( x)  x  5x  C kq: F ( x)  x  x  ln x  C kq: F ( x)  x  x   C x kq: F ( x)  x  x  4ln x  C kq: F ( x)  x  8ln x  Netschool.edu.vn 16 C x Netschool.edu.vn 1 a)  ( x  x  5)dx b)  ( x 3  x 2  x  1)dx c)  x ( x  x)( x  1)dx d )  (2 x  1)(1  )dx x 4 kq: F ( x)  x  x  x  C kq: F ( x)     x2  x  C x2 x x3 kq: F ( x )   2x   C x kq: F ( x)  x  ln x  x  C Bài 5: Tìm a)  (2.3x  x )dx b)  (2.a x  x )dx c)  (3e x  5sin x  )dx x  x e d )  e x (2  )dx cos x e)  x.3x dx f )  x.32 x.5 x dx g )  e x (2  e x ) ex h)  x dx 2.3x x kq: F ( x)   C ln ln 2.a x x kq: F ( x)   C ln a ln kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C kq: F ( x)  2.e x  tan x  C 6x C ln 90 x kq: F ( x)  C ln 90 kq: F ( x)  kq: 2e x  x  C ex kq: C (1  ln 2)2 x Bài Tính nguyên hàm hàm số x a)  sin dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x b)  (2 x  sin )dx x c)  cos dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x d )  (2 x  cos )dx  cos2 x  cos2 x HD : sin x  ; cos x  2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn e)  (1  tan x)dx kq: F ( x)  tan x  C d )  (1  cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos2 x sin x g )  (tan x  cot x)2 dx h)  (2 tan x  cot x)2 dx HD : (a  b)2  a  2ab  b2 h)  kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x kq: F ( x)   tan x  cot x  C HD : sin x  cos2 x  1; cos2 x  cos x  sin x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x)  x  1; f (1)  b) f '( x)   x ; f (2)  c) f '( x)  x   2; f (1)  x2 d ) f '( x)  x  x; f (4)  e) f '( x)  x3  x  2; f (1)  f ) f '( x)  x  x3  1; f (1)  g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  h) f '( x)  3( x  2)2 ; f (0)  Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x)  ax  b ; f (1)  2, f (1)  x2 15 x b) f '( x)  ; f (1)  4, f (4)  14 kq: f ( x)  x2  x  x3 kq: f ( x)  x  1 x2 kq: f ( x)    2x  x x x x 40 kq: f ( x)    3 kq: f ( x)  x  x3  x  3 x4 kq: f ( x)  x  x 4 x3 kq: f ( x)  1 kq: f ( x)  ( x  2)3 kq: f ( x)  x2   x x3 23 kq: f ( x)   7 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Tính I =  f [u( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx I=  f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx  (5 x  1)dx  (3  x) 5 13 17 21  (2 x  1) xdx 3x   2x3  sin dx 10 x cos xdx  5) x dx dx  sin x dx x  cos e 3 25 2  x  x dx 26 dx  1 x2 29  cos 30 x x sin xdx 2x 1 x  dx x 5 x  1.xdx 16 19  tan xdx 23  27  x 1 dx tan xdx  cos 20  x dx 24 x  e  x x dx dx  x2 dx 28  x  x 1 x dx 1 x2 dx 31  x e 1 x  1.dx  x.e 12  cot xdx 15 18 x  dx  ln x  x dx 11 x (1  x ) 14  x dx dx  cos x e tgx dx 22  cos x dx  sin x e x dx   (x  x 32 x  1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I  u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm hàm số sau:  x sin xdx  x cos xdx  x sin xdx  x ln xdx 10 13  cos x dx x x 17  e cos xdx 21  x lg xdx 14  ln  xtg 2 x e 15 x2  5) sin xdx  x.e dx ln xdx 11  x xdx xdx  sin 19  x ln(1  x)dx 23  ( x  x  3) cos xdx x dx 18 22  x cos xdx  (x dv = v’(x)dx) x dx 12  ln( x 16  x ln(1  x )dx ln(1  x)  x dx 2 TÍCH PHÂN Tính tích phân định nghóa: Bài 1: Tính tích phân sau: Netschool.edu.vn  ln xdx 20 24 x 2 e x dx  1)dx x xdx cos xdx Netschool.edu.vn e 1 x dx ; b) 16 1 i)  (x  1)dx ; 1   1)dx x x2 l)  (4 x  2 x 1 dx ; x c) K =  1 )dx ; x Bài 3: Tính tích phân sau: e)  1 k)  ( x  ) dx ; x 1 b) J =  (t   )dt ; t t d) L =  (  x  2 h)  ( x  1) dx ; x Bài 2: Tính tích phân sau: a) I =  (2 x   cos x)dx ; x 0,5 a)  (2x  1)3 dx ; 1 g)  dx ; x 1 d)  j)  (e  2)dx ; dx ; x3 2 c)  e)  (2 x  1)dx ;f)  x dx ; 1 dx ; x a)  4x dx ; e) M =  (3s  s ) ds dx ; ( x  ) c)  b)  dx ; 2x  d)  x  3dx ;  dx ; 25  3x 1 x 1 f)  e dx ; h)  sin( x  2)dx ; g)  212 x dx ; 1 2   i)  cos(  x)dx ; 1 j)  dx ; cos (1  x) k)  (5 x  x  e 0,5 x )dx ; 1  l)  (2 cos x  sin x)dx Tính tích hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài 1: 1 3 2 e)  x  dx ; d)  x  x  dx ; 2 g)  x  x  dx ; f)  x  x dx ; 2 c)  x  dx ; b)  x  dx; a)  x  1dx ; h)  x  x  dx 2 4 Bài 2: a) I =  ( x  1) dx ; b) J =  1 x  x  1dx ; c) K =  5 0  2x  x dx 1 x Tính tích phân phương pháp biến đổi: Bài 1: Tính tích phân sau: ln x dx , đặt t = lnx; x a) A =  x(1  x) dx , đặt t = - x; b) B =  e2 dx , đặt t = lnx; x ln x e d) D =  xe x dx , đặt t = -x2; 2 c) C =  x e dx , đặt t = + ex; x  e 1 e) E =  f) E =  đặt t  x  dx , ; 2x  (hoaëc t  x  3) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  đặt t   x ; ( hoaë c t   x ) Bài 2: Tính tích phân sau: g) G =  x3  x dx , a)  x(x  1) 2007 dx ;  b) 1 h) H =  (2 sin x  3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3 x  x dx ; c) 0 d)  x2 x3   x dx x2 1 ; dx ; 2x  1 f)  e)  x  xdx ; x2  x  1 dx Bài 3: Tính tích phân sau:   a)  e cos x sin x dx;  b)   sin 2x dx ;  cos x c)  tan xdx ;  d)  sin x cos xdx ;   e ln x dx ; x Bài 4: Tính tích phân sau: e)  a)  f)  sin xdx ; dx ;  x g)   sin 3x cos x3xdx b))   x dx ; c)   x dx ; d)  dx  x2 dx Tính tích phân phương pháp tích phân phần: Bài 1: Tính tích phân sau: 2 b)  x ln xdx c)  x cos xdx ; a)  xe x dx ;  e)  (x  3)e dx ; h)  x ln( x  1)dx g)  (1  x ) ln xdx ; 1 e f)  4x ln xdx ; x d)  (2 x  1) ln xdx 2 Bài 2: Tính tích phân sau:  ln 2 a) A =  x cos xdx ; b) B = 2 x  xe dx ; c) C =  ln( x  1)dx ;  d) D =  ( x  2)e dx ; e) E =  ( x  1)e x dx ; 2x 0 f) F =  ( x  x  3) sin xdx Bài 3: Tính tích phân sau:  a) I = x e dx  x ; b) J = e x 1 x  1dx ; c) K =  (x  sin x) cos xdx ; 0 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  e) M =  [ln( x  1)  ln( x  1)]dx d) L =  (e cos x  x) sin xdx ; Tính tích phân hàm phân thức: Bài 1: Tính tích phân sau: a)  e)  1 x3  x dx ; x2 x 3 ; 2x  b)  x2  x  x2 dx ; x 4x  dx ; 2x  1 d)  x 1 dx ; x 1 2 g)  f)  x2 dx ; x3 2 c)  h)  2x  dx ; x 1 x  2x  dx ; x 3 x  x 1 x 1 x3  2x  x  x 1 ; j) ; k) ; l) dx dx dx 1 x   x  dx 0 x   x 1 1 2 Bài 2: Tính tích phân sau: 1 dx a)  ( b)  c)  dx ;  )dx ; dx ; ( x  1)( x  2) x 1 x 1 x ( x  1) 2 i) d)  dx ; x  2x  2 dx ; 2x  x  Bài 3: Tính tích phân sau: a) I =  dx ; 1 ( x  1) g)  d) L =  dx ; x  2x  2 xdx e)  ; x  5x  x 1 dx ; x x2 1 h)  x b) J =  dx ; x  2x  1 e) M =  dx ; x  x2 Netschool.edu.vn f)  4 i)  3x  dx ; x  4x  2 dx  3x  x  2 c) K =  f) N =  dx ; x  2x 1 6x  dx x  x 1 Netschool.edu.vn DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x2 - 2x + 4, y - = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = - x; 2 c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x; e) y = x2 - 2x + 4, y - = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; g) y = x - 12x, y = x ; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 2x  10x  12 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = đường x2 thẳng y =  x2  x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = trục hồnh x 1 Bài 4: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành đường thẳng x = -2, x = -1 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + đường thẳng x = -1 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = 2x  x 1 Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ex, y = x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x + sin2 x với x  [0; ] Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cosx đoạn [0; 2], trục hoành, trục tung đường thẳng x = 2 Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = - x; c) y = 2 x , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1 e Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: a) y = x3 - tiếp tuyến điểm (-1; -2) b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến giao điểm với trục tung c) y = x3 - 3x tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = - 2 Thể tích vật thể trịn xoay: Bài 1: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = Bài 2: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = Bài 3: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = vaø x = Bài 4: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C) y = x2 + 1, x = tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox Netschool.edu.vn ...  (1  cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos2 x sin x g )  (tan x  cot x)2... x  cot x)2 dx HD : (a  b)2  a  2ab  b2 h)  kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x... sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C amxn