PHỤ LỤC PHỤ LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU .1 1.Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: .3 PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.Cơ sở lí luận 2.Cơ sở thực tiễn .5 CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT A.NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI B.CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT I.KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định lý Vi-ét: 2.Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: 3.Biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai 4.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: .8 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP .9 1.Dạng 1: Giải phương trình bậc hai cách tính nhẩm nghiệm 2.Dạng 2: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho 10 3.Dạng 3: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm thỏa mãn điều kiện giả thiết 11 4.Dạng 4: Tính giá trị hệ thức nghiệm phương trình bậc hai 12 5.Dạng 5: Xác định dấu nghiệm, xác định hệ số phương trình theo điều kiện dấu nghiệm 14 6.Dạng 6: Xác định tham số để nghiệm phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước 17 Dạng 7: 22 (1) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số m 22 8.Dạng 8: Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương 25 9.Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 28 10.Dạng 10: Chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm 32 11.Dạng 11: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập 33 12.Dạng 12: Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ 36 Chương III Thực nghiệm sư phạm 41 1.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 41 2.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 41 Thực nghiệm qua dạy lớp: 41 Hoạt động Học sinh 42 2.Thực nghiệm qua tiết tự chọn 55 II Chuẩn bị: .56 II ChuÈn bÞ: 59 Kết thực nghiệm sô ý 64 a) Chưa áp dụng giải pháp 64 b) Áp dụng giải pháp 64 PHẦN III : KẾT LUẬN 67 DANH SÁCH CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 .69 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bộ mơn Tốn học coi mơn học quan trọng, vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống hàng ngày Bởi trước hết Tốn học hình thành em học sinh tính xác, hệ thống, khoa học, logic tư cao,…do chất lượng dạy học trường THCS nâng cao có nghĩa em học sinh tiếp cận với tri thức khoa học đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn nhân loại Đổi chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin dạy học, đổi phương pháp dạy học toán trường THCS làm tích cực hoạt động tư học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, tự tìm tịi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kỹ vận dụng kiến thức cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế sống Chúng ta biết dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh có khái niệm, định lí, kiến thức…., mà điều quan trọng người thầy phải dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực hình thành phát triển hoạt động học tập Trong xu nay, việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện cho em khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đòi hỏi giáo viên đứng lớp phải có phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả hệ thống, phân loại chọn lựa dạng tập phong phú, đáp ứng yêu cầu tối thiểu người học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin hứng thú học tập học sinh.Trong chương trình tốn 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phương pháp, tập phong phú, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Trong “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” phần kiến thức quan trọng, Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 chương “ Hàm số y = ax2 ( a khác ) – Phương trình bậc hai ẩn” Nhiều lúc, nhờ hệ thức Viét mà ta giải số yêu cầu khác liên quan tốn Để chứng minh tốn nói chung, địi hỏi học sinh cần có khả phân tích, phán đốn, tư tích cực, lí luận trình bày tốt giải vấn đề Hệ thức Viét nội dung quan trọng chương trình Đại số Là phần khơng thể thiếu q trình ơn thi Trong tài liệu tham khảo viết vắn tắt nên học sinh lúng túng học phần Qua năm dạy lớp 9, kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi thêm tài liệu phân chia ứng dụng Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt gặp dạng toán Hệ thức Vi-ét tiếp tục vận dụng chương trình Tốn THPT nhiên viết tơi đề cập nội dung chương trình Toán THCS Hệ thức Vi-ét ứng dụng rộng vào tập để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng dạy giáo viên nên chia thành nhiều dạng ứng dụng phân chia thời gian dạy nội dung phải thích hợp Với mong muốn hệ thống kiến thức trọng tâm việc ứng dụng Hệ thức viét để giải tốn ơn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp đạt điểm số cao nhất, giúp học sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn tốn nên thân tơi chọn đề tài: Rèn kỹ giải dạng toán “ Ứng dụng hệ thức Vi-et” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014 – 2015 Mục đích nghiên cứu: Phân chia ứng dụng Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng tập để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt để giải tập nhanh đạt chất lượng cao Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tìm hiểu nội dung dạy học Hệ thức Viét trường THCS - Tìm hiểu mạch kiến thức Hệ thức Viét mà em học sinh học - Phân chia ứng dụng hệ thức Viét thành nhiều dạng tập để giảng dạy - Điều tra thực trạng học toán trường THCS Phạm vi đối tượng nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS công tác, năm học 2014 - 2015 - Đề tài nghiên cứu số dạng ứng dụng hệ thức Viét theo nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm kiến thức nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập học sinh muốn đạt điểm cao thi vào trường THPT công lập THPT chuyên toàn quốc Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu có liên quan - Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh - Phương pháp mà sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phương pháp thực nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, giáo dục đào tạo nước ta đứng trước thời thách thức Để hòa nhập với tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng nhà nước đề Là giáo viên muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học Một vấn đề đặt cho người giáo viên phải dạy học để học sinh nắm vững nội dung kiến thức cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả tư lôgic, rèn luyện kỹ làm tập mơn tốn mơn khoa học khác Có thái độ, quan điểm rõ ràng tập để tạo hứng thú, say mê học tập, tiếp thu kiến thức đưa kiến thức áp dụng vào sống đời thường Do trình giảng dạy, giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức cách rõ ràng ngắn gọn đầy đủ nội dung , phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng rút nội dung kiến thức học Đồng thời gợi mở , đặt vấn đề để học sinh phát triển tư kĩ phân tích nội dung làm tập toán học cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho em nhận dạng toán học cách nhanh Để phát triển khả tư sáng tạo việc học toán giải tốn việc tìm kết toán phải coi giai đoạn mở đầu cho công việc, khai thác, phân tích tốn Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình giải tốn nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen “sau tìm lời giải tốn, dù lời giải tốn đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 phương án giải tối ưu được” Hãy ln nghĩ đến việc khai thác tốn đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo toán sở tốn có Đối với việc học tốn việc rèn luyện kỹ giải tốn cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ giải toán nhiều cách, giải nhiều tập thuộc nhiều dạng khác sau tự suy nghĩ rút học kinh nghiệm Trước giải tốn, nên tìm hiểu xem tốn thuộc loại nào? dạng nào? Sau tư chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải khai thác tốn tốt 2.Cơ sở thực tiễn * Về học sinh: Đối với học sinh trường THCS nhiều em học sinh cịn yếu mơn tốn, với nhiều lí khác nhau, điều hạn chế lớn đến việc phát huy tính tích cực độc lập nhận thức giải toán học sinh, dẫn đến em khơng ham học tốn khơng tự tin giải tốn, lúng túng lí luận trình bày Trong ứng dụng hệ thức vào dạng tập lại phần quan trọng thi vào lớp 10 THPT *Về giáo viên: Chưa định hướng, xây dựng cho học sinh thói quen học tập lịng u thích mơn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt kỹ giải toán cho học sinh, dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin *Về phụ huynh: Chưa thật quan tâm đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết học tập em chưa kịp thời chưa hiệu Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT A NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đề giải pháp gồm nội dung sau: - Sắp xếp dạng ứng dụng hệ thức Viét theo mức độ từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải theo dạng - Rèn kỹ làm thành thạo tốn ứng dụng hệ thức Viét - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán * Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức * Đối với học sinh khá: - Phát triển tư duy, kỹ giải dạng toán ứng dụng hệ thức Viét có lồng ghép tập nâng cao - Đưa cách giải hay, sáng tạo, cho dạng B CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định lý Vi-ét: - - Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0): S = x1 +x2 = −b a P = x1.x2 = c a Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S tích x1x2 = P hai số nghiệm phương trình X2 - SX + P = (*) (Định lý Viét đảo) Chú ý: Phương trình (*) có nghiệm S ≥ P Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 (1) Có nghiệm: TH1: a = 0: phương trình bx + c = có nghiệm TH2: a ≠ 0; ∆ (∆’) ≥ phương trình ax2+bx+c = có nghiệm (2) Vơ nghiệm ⇔ ∆ (∆’) < (3) Có nghiệm kép ( hai nghiệm nhau) ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) = (4) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) > (5) Hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < (6) Hai nghiệm dấu ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) ≥ P > (7) Hai nghiệm dấu dương(lớn 0) ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) ≥ 0; S > P > (8) Hai nghiệm dấu âm(nhỏ 0) ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) ≥ 0; S < P > (9) Hai nghiệm đối ⇔ a ≠ 0; ∆ (∆’) > S = (10) Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ a ≠ ; ∆ (∆’) > P = (11) Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < (12) Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > a ≠ ∆( ∆ ') >  (13) Một nghiệm nghiệm dương ( x2 > x1 = 0) ⇔  P =  S > a ≠ ∆(∆ ') >  (14) Một nghiệm 0và nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔  P =  S < (15) Phương trình có nghiệm khơng âm (ít nghiệm khơng âm) - Nếu a = xét phương trình bx + c = có nghiệm x = - Nếu a ≠ −c ≥ b Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 TH1: Phương trình có nghiệm ⇔ P = TH2: Phương trình có nghiệm trái dấu ( có nghiệm dương) ⇔ ac <  ∆(∆ ') ≥  TH3: Phương trình có nghiệm dương ⇔  P > S >  Biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2  − x12 x22 2 1 x1 + x2 + = ; x1 x2 x1 x2 x12 − x22 x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) ( ) x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) x12 + x1 x2 + x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…… )   x14 − x24 2 2 ( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… ) x16 + x26 3 2 2 ( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… ) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (1) Giá trị lớn nhất: Nếu hai số có tổng khơng đổi tích hai số lớn hai số Giả sử x1 + x2 = S khơng đổi, cịn P = x1.x2 thay đổi Do điều kiện S2 – 4P ≥ ⇒ P ≤ S2 S S2 Vậy P đạt GTLN x1 = x2 = (2) Giá trị nhỏ Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng hai số nhỏ hai số Giả sử x1 , x2 > x1.x2 = P khơng đổi, cịn x1 + x2 = S thay đổi Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn I Năm học 2014 - 2015 Mục tiêu: - Củng cố rèn luyện cho học sinh cách vận dụng hệ thức Viét vào tính tổng tích nghiệm phương trình bậc hai ẩn số, giải số toán liên quan - Rèn kỹ tính tốn vận dụng cơng thức linh hoạt xác II Chuẩn bị: GV: Bảng phụ tóm tắt hệ thức Viét tổng quát để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai HS: Học thuộc hệ thức Viét, tổng quát phương trình bậc hai ẩn số III Tiến trình dạy học: I HƯ thøc Vi ét: (10 phút) - Nêu định lí Vi ét tổng Hệ thức Vi ét: quát Nếu x1, x2 hai nghiệm phng trình: - GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung định lí Vi-ét tổng quát để áp dụng nhÈm nghiƯm phương tr×nh bËc hai mét Èn b  x1 + x2 = −   a ax + bx + c = ( a ≠ ) th×   x x = c  a Tổng quát: a) Nếu phng trình ax + bx + c = ( a ≠ ) cã a + b + c = phng trình có nghiệm - GV Khắc sâu cho học sinh nội dung định lí điều kiện áp x1 = nghiệm x2 = c a dụng định lí vi ét tổng b) NÕu phương tr×nh ax + bx + c = ( a ) có quát - GV nêu nội dung tập 37 a-b+c=0 phng trình có nghiệm ( SBT 43) yêu cầu học sinh x1 = -1 nghiệm x2 = c a nêu cách giải tËp nµy ntn ? II Bµi tËp: (35 phót) - TÝnh nhÈm nghiƯm cđa phương Bµi tËp 37: (SBT-43) trình ta cần tính tổng hệ 56 Sỏng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 số phng trình bậc hai để Tính nhẩm nghiệm phơng trình: a) x x + = Ta cã: a = 7; b = -9; c = tõ ®ã tÝnh nhÈm c¸c nghiƯm ⇒ a + b + c = 7+ ( -9 ) +2=0 nên phng trình có phng trình - GV yêu cầu học sinh trình bày nghiệm x1 = nghiệm x2 = tơng tự phần b) b) 23x − x − 32 = Ta cã: a = 23; b = -9; c = -32 ⇒ a - b + c = 23- ( -9 ) + ( -32 ) =0 nên phng trình có nghiệm x1 = -1 - GV nêu nội dung tập 36 nghiệm 32 (SBT 43) không giải phng x2 = 23 trình hÃy tính tổng tích Bài 36: (SBT-43) Tính tổng tích nghiệm phng trình sau: nghiệm phng trình sau: - HÃy nêu cách làm ? a) (1) 2x − 7x + = - TÝnh ®en ta ®Ĩ kiĨm tra ®iỊu Ta cã: ∆ = −7 − 4.2.2 = 49 − 16 = 33 > ( ) kiƯn cã nghiƯm cđa phương trình phng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 từ tính tổng tích nghiệm cđa phương tr×nh theo hƯ thøc Vi – Ðt −7   x1 + x2 = − = Theo hÖ thøc Vi Ðt ta cã:   x x = =  2 - GV hớng dẫn làm phần a Vậy x1 + x2 = ; x1.x2 = yªu cầu học sinh trình bày bảng b) x + x + = (1) phÇn b) Ta cã: ∆ = 92 − 4.2.7 = 81 − 56 = 25 > - GV cho c¸c nhóm cử đại diện phng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 lên bảng trình bày lời giải bạn bên dới bổ sung   x1 + x2 = Theo hÖ thøc Vi Ðt ta cã:   x x =  2 - GV nhËn xÐt vµ chèt lại cách làm Vậy x1 + x2 = − ; x1.x2 = 2 Bµi tập 41: (SBT-44) Tìm hai số u v trờng hợp sau: 41(SBT 43) Tìm hai số biÕt a) u + v = 14 vµ u.v = 40 tỉng vµ tÝch cđa chóng ta lµm nh - GV nêu nội dung tập 57 Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn ? - HÃy nêu cách làm ? Nm hc 2014 - 2015 Vì sè u vµ v cã u + v = 14 u.v = 40 nên u v nghiƯm cđa phương tr×nh: x − 14 x + 40 = (1) - Tìm số u v biÕt tæng Ta cã: ∆ = ( −14 ) − 4.1.40 = 196 − 160 = 36 > u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa ⇒ ∆ = 36 = chóng số nghiệm phng trình (1) cã nghiƯm phương tr×nh bËc hai − ( −14 ) + 20 − ( −14 ) − x1 = = = 10 ; x2 = = =4 x -Sx + P = 2.1 2.1 Vậy hai số cần tìm là: u = 10 th× v = - GV híng dÉn làm phần a u = v = 10 yêu cầu học sinh trình bày bảng b) u + v = u.v = 12 phần b) Vì số u v có u + v = u.v = 12 nên u v nghiệm phng trình: - GV cho nhóm cử đại diện lên bảng trình bày lời giải x ( ) x + 12 = bạn bên dới bổ sung ⇔ x + x + 12 = (1) Ta cã: ∆ = 72 − 4.1.12 = 49 − 48 = > - GV nhËn xét chốt lại cách = =1 làm Phơng trình (1) có nghiệm x1 = Cđng cè: (2 phót) −7 + −6 −7 − −8 = = −3 ; x2 = = = −4 2.1 2.1 VËy hai số cần tìm là: u = -3 v = - u = - v = -3 - GV Khắc sâu lại bớc giải phng tr×nh chøa Èn ë mÉu; phương tr×nh trïng phương, phương tr×nh tÝch cho häc sinh ghi nhí HDHT: (3 phút) - Ôn lại cách giải cách phng trình quy phng trình bậc hai - Giải tập 50 ( e) - SBT - 46 ; BT 68 ( c , d ) SBT - 48 - HD : Làm tơng tự theo bớc nh đà chữa tập 46 ( SBT - 45 ) - Ôn tập tiếp phần " Hệ thức Vi – Ðt vµ øng dơng” 58 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 ỨNG DỤNG CỦA H THC VIẫT I Mục tiêu: - Củng cố rÌn lun cho häc sinh c¸ch vËn dơng hƯ thøc Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phng trình bậc hai ẩn, giải số toán có liên quan - Rèn luyện kĩ tính toán vận dụng công thức thức Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phng trình bậc hai ẩn , linh hoạt xác II Chuẩn bị: GV: Bảng phụ tóm tắt hệ thức Vi ét tổng quát để nhẩm nghiệm cđa phương tr×nh bËc hai HS: Häc thc hƯ thøc Vi ét; tổng quát phng trình bậc hai ẩn số III Tiến trình dạy học: - GV nêu nội dung toán để Bài 1: Cho phương tr×nh x + x + = ( 1) yêu cầu học sinh nêu cách lµm 59 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 a) Giải phng trình ( 1) - H·y gi¶i x2 + x + = phng trình b) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phng trình ( 1) công thức ( 1) nghiệm HÃy tính giá trị biểu thức: B = x13 + x23 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 - GV yêu cầu học sinh lên -2006) Giải: bảng trình bày lời giải a) Xét phng tr×nh x + x + = ( 1) Ta cã: ∆ ' = 42 − 4.1.1 = 16 − = 12 > ⇒ Ph¬ng trình có nghiệm phân biệt - Để tính giá trÞ cđa biĨu thøc B = x13 + x23 ta lµm nh thÕ nµo ? x1 = −4 + −4 − = −2 + vµ x2 = = −2 − 2.1 2.1 - Dùa vào hệ thức Vi ét để tính x1 + x2 = b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có: tổng tích nghiệm cđa  x1.x2 = phương tr×nh bËc hai x13 + x23 = ( x13 + x12 x1 + x1 x22 + x23 ) − ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) - CMR: x13 + x23 (x + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = = ( −4 ) − 3.1 ( −4 ) = −64 + 12 = −52 VËy x13 + x23 = - 52 3 GV hưíng dÉn cho häc sinh c¸ch C¸ch 2: x1 + x2 = ( −2 + ) + ( −2 − ) biÕn đổi biểu thức lu ý = + 12 − 18 + 3 − − 12 − 18 − 3 = - 52 cho học sinh cách lập công thức Bài 2: để vận dụng vào làm tập Cho phơng tr×nh : x − x + = - Ai có cách tính khác giá trị gọi x1 ; x2 hai nghiệm phng trình biểu thức không ? - HS: Ta thay trực tiếp 1) Không giải phng trình hÃy tính giá trị giá trị x1 ; x2 ®Ĩ tÝnh, ta x x c¸c biĨu thøc sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) + 3 tính đợc x1 + x2 = - 52 x2 x1 3 - GV nêu nội dung yêu 2) Xác định phng trình bậc hai nhận x12 cầu học sinh nêu cách giải tập x2 nghiệm ? - Đối với phần a) ta tính tổng Giải: 60 Sỏng kin kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 tÝch nghiệm phng trình 1) Xét phơng trình x − x + = bậc hai để từ tính đợc x13 + x23 Ta cã: ∆ = ( −5) − 4.2.1 = 25 − = 17 > c¸c nghiƯm cđa phương trình - GV yêu cầu học sinh trình bày Phng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2   x1 + x2 =   x x =  2 tư¬ng tù phần a) a) áp dụng đinh lí Vi ét ta có: - GV yêu cầu học sinh Tính tổng x1 x2 x x x +x + c¸c nghiƯm cđa phương b) Ta cã: + = x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 − 5x + = - Gợi ý: Để tính đợc tæng VËy x1 x2 + x2 x1 = 5 : = =5 2 x1 x2 + = x2 x1 2) Đặt u = x12 v = x22 ta qui đồng mẫu thøc cđa biĨu Ta cã: u + v = x + x = x + x x + x − x x ( 1 2) 2 thøc nµy vµ ®a biĨu thøc vỊ d¹ng = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = tỉng vµ tÝch nghiệm phng trình bậc hai thay vào 52 - = 25 − = 24 để tính - GV hớng dẫn làm phần 2) u + v = 24 Đặt u = x12 v = x22 yêu cầu 1 =  ÷ = ⇒ u.v = 4 2 häc sinh tÝnh tỉng u + v vµ tÝch u Mµ: u v = x x = ( x1 x2 ) v - GV híng dÉn cho học sinh cách Vì số u v cã tỉng u + v = 24 vµ tÝch u.v = tÝnh tỉng vµ tÝch cđa u vµ v để Nên u ; v nghiệm phng trình bậc hai đựa vào hệ thức Vi ét đảo để thiết lập phng trình - GV nhận xét chốt lại cách làm dạng tập để học sinh vận dụng làm tập tư¬ng tù 2 X − 24 X + =0 Vậy phng trình cần tìm lµ: X − 24 X + = Bài tập 3: Cho phng trình x x + = - GV nªu néi dung yêu gọi x1 ; x2 hai nghiệm phng trình cầu học sinh nêu cách giải tập 1) Không giải phng trình hÃy tính giá trị ? biểu thức sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x13 + x23 - Đối với phần a) ta tính tổng x2 x tích nghiệm phng trình 2) Xác định phương tr×nh bËc hai nhËn 61 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 bËc hai để từ tính đợc x13 + x23 x22 x1 nghiệm Giải: nghiệm phng trình - GV yêu cầu học sinh trình bày 1) XÐt phương tr×nh x − x + = tơng tự phần a) Ta có: ∆ = ( −7 ) − 4.2.4 = 49 32 = 17 > - GV yêu cầu học sinh làm tơng phng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 tự phần b) tập TÝnh tæng x +x 3   x1 + x2 =   x1.x2 = nghiệm phng a) áp dụng đinh lÝ Vi – Ðt ta cã: tr×nh x − x + = b) Ta cã: - GV hớng dẫn làm phần 2) Đặt x13 + x23 = ( x13 + x12 x1 + x1 x22 + x23 ) − ( x12 x1 + x1 x22 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) u = x12 − x2 vµ v = x22 − x1 yêu cầu học sinh tính tổng u + v u v = 7 ữ − 3.2  ÷ 2 2 = - GV hưíng dÉn cho häc sinh 343 − 42 = 343 − 168 = 175 8 c¸ch tÝnh tỉng vµ tÝch cđa u vµ v 175 VËy x13 + x23 = để đựa vào hệ thức Vi ét đảo để thiết lập phng trình 2) Đặt u = x12 − x2 vµ v = x22 − x1 Ta cã: u + v = ( x12 − x2 ) + ( x22 − x1 ) = x12 + x22 - - GV nhận xét chốt lại cách lµm bµi ( x1 + x2 ) Nếu sè u vµ v biÕt tỉng = ( x1 + x2 ) − x1 x2 vµ tÝch cđa u+v = S u.v = P chóng th× sè nghiệm phng trình bậc hai - ( x1 + x2 ) = 7  ÷ − 2.2 + = 2 49 49 − 16 + 14 47 −4+ = = 4 x -Sx + P = ⇒ u+v = 47 Mµ: u v = ( x12 − x2 ) ( x22 − x1 ) = x12 x22 - ( x13 + x23 ) x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x13 + x23 ) - x1.x2 = 22 62 - 175 - = Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 2− 175 16 − 175 −159 = = 8 ⇒ u.v = −159 +) Vì số u v có tổng u + v = u = −159 47 vµ tÝch Nên u ; v nghiệm phng trình bËc hai X − 47 159 X− =0 Vậy phng trình cần tìm là: X Cđng cè: (2 phót) 47 159 X− =0 - GV Khắc sâu lại bớc giải phơng tr×nh chøa Èn ë mÉu; phương tr×nh trïng phương, phương tr×nh tÝch cho häc sinh ghi nhí HDHT: (3 phút) - Xem lại tập đà chữa kiến thức có liện quan hệ thức Vi ét tổng tích nghiệm phng trình bậc hai - Tiếp tục ôn tập hệ thức Vi ét cách nhẩm nghiƯm cđa phương tr×nh bËc hai 63 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 Kết thực nghiệm sô ý  Kết Kết áp dụng hệ thức viét vào giải dạng tập góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh Kết kiểm tra giải phương trình bất phương trình thống kê, đánh giá qua kết học tập lớp năm học sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kết khảo sát Thời gian học kỳ II TS Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) HS 37 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 23 62.1% - Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích, nhận dạng dạng tập, không nắm phương pháp, chưa biết cách trình bày nên cịn bị điểm nhiều b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kết khảo sát Thời gian học kỳ II TS Kết áp dụng giải pháp HS 37 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 30 81% - Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm dạng bài, kỹ vận dụng hệ thức viét vào tập, biết suy luận logic, làm tập thành thạo 64 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2014 - 2015 Lần 2: Kết khảo sát (kiểm tra tiết) Thời gian học kỳ II TS Kết áp dụng giải pháp (lần 2) HS 37 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 34 92% - Nhận xét: Học sinh nắm vững dạng bài, trình bày cẩn thận, ứng dụng thành thạo hệ thức Viét Viét đảo để làm tập từ đến nâng cao, dạng ôn thi vào lớp 10 THPT làm tốt Chỉ cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ xử lý nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn - Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ dạng bài, đặc điểm cách giải cho dạng Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm kiến thức, vận dụng rèn luyện kỹ thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập xếp theo mức độ nhận thức học sinh 11 dạng toán từ đến nâng cao cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán - Một số ý Để thực tốt kỹ học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Hiểu rõ nội dung 11 dạng toán liên quan đến hệ thức Viét - Cho học sinh học thuộc hệ thức viét, công thức nhẩm nghiệm, quy tắc xét dấu… - Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng tốn có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ giải 65 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác - Lưu ý: giải tập học sinh cần, đọc kỹ đề bài, hiểu yêu cầu đề bài, nhận dạng dạng để sử dụng phương pháp giải cho phù hợp 66 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 PHẦN III : KẾT LUẬN Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu cao cho việc giải tập ứng dụng hệ thức Viét lớp 11 dạng toán đưa cho thấy đa dạng việc ứng dụng hệ thức Viét vào giải tốn Khơng ứng dụng để giải tốn phương trình bậc hai mà cịn để giải bải tốn liên quan đến hệ phương trình bậc cao Việc đưa dạng tập làm cho học sinh khơng cịn có cảm giác việc giải tốn khơng cịn khó khăn Học sinh vận dụng cách làm sáng kiến để vận dụng vào nhiều tập nâng cao Và áp dụng để xây dựng đôi bạn tiến giúp đỡ học tập Có thể áp dụng kinh nghiệm cho khối lớp * Bài học kinh nghiệm hướng phát triển: * Đối với giáo viên - Phải nỗ lực vượt khó, phải nắm vững kiến thức trọng tâm để tìm cách giải khác cho học sinh dễ hiểu - Giáo viên phải nắm bắt kịp thời việc đổi phương pháp giảng dạy - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để nâng cao trình độ - Khuyến khích động viên học sinh, khen chê kịp thời, phân chia đôi bạn tiến giúp đỡ học tập * Đối với học sinh: - Học sinh phải nỗ lực, kiên trì, cần cù chịu khó - Thường xun đọc sách, tìm tịi kiến thức - Lắng nghe hướng dẫn giáo viên Có thể học hỏi bạn học sinh khác 67 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 * Đề xuất – kiến nghị: - Giáo viên cần phát huy khả tư sáng tạo học sinh việc phát tìm cách giải cho tập - Hội đồng khoa học chấm sáng kiến kinh nghiệm nên có thơng tin phản hồi thiếu sót, hạn chế đề tài để người thực khắc phục, nâng cao chất lượng nghiên cứu DANH SÁCH CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 Các đề thi vào THPT, trường chuyên thành phố Hà Nội tỉnh Sách giáo khoa Toán (tập 2)- NXB giáo dục Sách Nâng cao phát triển Toán 9(tập 2)- NXB giáo dục Vũ Hữu Bình Sách Tốn nâng cao chuyên đề Đại số 9- NXB giáo dục - Vũ Dương Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS- Đại số - NXB giáo dục - Nguyễn Vũ Thanh Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên Bài tập nâng cao Đại số lớp – Vũ Hữu Bình Hà Nội, ngày tháng Người viết 69 năm 2015 ... sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn tốn nên thân chọn đề tài: Rèn kỹ giải dạng toán “ Ứng dụng hệ thức Vi-et” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học... hiệu Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học 2014 - 2015 CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT A NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đề giải pháp gồm nội dung sau: - Sắp xếp dạng ứng dụng. .. cố kiến thức * Đối với học sinh khá: - Phát triển tư duy, kỹ giải dạng toán ứng dụng hệ thức Viét có lồng ghép tập nâng cao - Đưa cách giải hay, sáng tạo, cho dạng B CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ