ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Sáng kiến kinh nghiệm xếp loại B cấp tỉnh năm học 2012-2013 Tác giả: Lê Nguyên Huấn (Trường THPT Triệu Sơn 5) PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước, nghị TW4 khoá VII Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Triệu Sơn năm học 2012-2013 - Năm học 2012-2013, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 12 Đây năm học cuối cấp, lượng kiến thức lớn Bên cạnh em phải chuẩn bị cho ôn thi học sinh giỏi tỉnh, ôn thi đại học Đó thách thức không nhỏ cho giáo viên nói chung giáo viên toán nói riêng Giáo viên ôn tập học sinh giỏi ôn thi đại học, phải tìm tòi dạng toán theo cấu trúc thi năm gần nâng cao chương trình SGK nhiều dạng Đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi đơn giản cho học sinh Mà đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, kỹ xảo thuật toán biến đổi Một kỹ biến đổi, giải phương trình, hệ phương trình ứng dụng tính chất đơn điệu hàm số - Trong chương trình toán THPT, cụ thể phân môn Đại số giải tích 10, 11, 12 em học sinh tiếp cận với phương trình, hệ phương trình với nhiều phương pháp giải.Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình, hệ phương trình phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học Cao đẳng trung học chuyên nghiệp, em gặp lớp toán phương trình, hệ phương trình đòi hỏi sử dụng phương pháp hàm số để giải Chỉ có số em biết phương pháp giải trình bày lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa, chí hướng giải Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số Giải tích THPT hành Phương trình, hệ phương trình trình bày khối Tuy nhiên dạng đơn giản, khác xa với đề thi Đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi Bài tập SGK đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình, hệ phương trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục.Ngoài ứng dụng tính đơn điệu hàm số để khảo sát vẽ đồ thị hàm số tính chất vận dụng để giải nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình Những toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay độc đáo Do lượng kiến thức toán giảm tải bậc THPT, tập SGK thông thường học sinh giải phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, Còn số lượng tập ứng dụng tính đơn điệu để giải ít, hạn chế nghèo nàn Nhưng kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nhiều toán giải phương pháp hàm số, việc trang bị cho học sinh giải toán phương pháp hàm số cần thiết Tôi xin trình bày đề tài "Ứng dụng tính chất đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian 10 năm giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại cách giải phương trình, hệ phương trình dựa vào kiến thức hàm số - Học sinh cần nắm định nghĩa tính chất tính đơn điệu hàm số - Chứng minh đuợc tính chất đơn điệu hàm số (dùng định nghĩa định lý để chứng minh) - Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập phương pháp hàm số - Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học cao đẳng - Học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số dạng toán khác có liên quan giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số… - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải số toán giải phương trình, hệ phương trình sử dụng tính chất đơn điệu Cơ sở lí luận: Để giải dạng tập giải phương trình, hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số thường dựa nguyên tắc sau: a Giải phương trình: Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1) • Để chứng minh (1) có nghiệm ta tiến hành sau: B1: Biến đổi phương trình (1) dạng f(x) = (2), với f(x) = h(x) – g(x)  f: đơn điệu B2: CM:  f(xo)=0  : x = xo nghiệm PT • Để biến đổi phương trình (1) có dạng phức tạp thành phương trình : U(x)=V(x) có dạng đơn giản, có phương pháp giải, ta tiến hành sau: Bước 1: Biến đổi phương trình (1) dạng: f u ( x )  = f v ( x )  Bước 2: Chứng minh f đơn điệu Bước 3: kết luận (1) ⇔ u(x) = v(x) b Giải hệ phương trình: Bài toán: Giải hệ F(x,y) = G(x,y)= (I) Nếu hai phương trình hệ đưa dạng: f(x) = f(y) (1) ( f u ( x )  = f v ( y )  f hàm đơn điệu thì: x=y Hệ (I) ⇔ G(x,y)= (II) u(x) = v(y) (I) ⇔ G(x,y)= (III) Cơ sở thực tiễn: Phương pháp “Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình , hệ phương trình ” phương pháp có tính đại, cách giải hay, mang tính nhanh gọn độc đáo Do giảm tải kiến thức bậc THPT mà số lượng tập SGK dùng phương pháp để giải ít, SGK giới thiệu dạng tập mang tính chất tham khảo, phương pháp không phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Đối với học sinh giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cần thiết giúp cho em có kỹ năng, kỹ xảo việc giải tập phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi đại học, cao đẳng Đó lí chọn đề tài III.Phương pháp nghiên cứu: Kiến thức trang bị: * Định nghĩa: cho f(x) xác định K f: đồng biến K ⇔ ∀x1 x2 ∈ K , x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) f: nghịch biến K ⇔ ∀x1 x ∈ K , x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) * Tính chất: Cho f (x) xác định K Với ∀x1 x ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x * Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y = f (x) K ta dựa vào phương pháp sau: - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1 x ∈ K , x1 ≠ x , lập tỉ số A = f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 + Dựa vào dấu A để suy tính đơn điệu A>0: f đồng biến A0: f đồng biến A u = x + x + > ∀x đặt v = x − x + >0 ∀x ⇒ v - u = x − 3x + u v Xét hàm số f(t) = log t + t , t > f’(t) = + >0 với ∀ t > t ln Phương trình (1) ⇔ log3 = v − u = log3u + u = log3v + v (2) ⇒f(t) đồng biến với ∀ t > (2) ⇔ f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ v – u = ⇒ x − 3x + ⇔ x = v x = Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x= Ví dụ (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2012) Giải phương trình: x +1 − = 2x + − x + ( x∈¡ ) Cách giải:  x ≥ −1 ĐKXĐ:   x ≠ 13 Phương trình cho tương đương với ( x + ) ( ) x + − = 2x + − ⇔ ( x + 1) x + + x + = 2x + + 2x + (1) Xét hàm số f ( t ) = t + t ; f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t Suy hàm số f ( t ) liên tục đồng biến ¡ Khi đó: Pt(1) ⇔ f ( ) ( x +1 = f ) 2x + ⇔ x + = 2x + 1  x ≥ −   x =  x ≥ −  x≥−    ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = + ( x + 1) = ( 2x + 1) x3 − x2 − x =     x = ±   Đối chiếu ĐKXĐ nghiệm phương trình cho là: 1+ x = x= Ví dụ 4: (Đề thi GVG THPT Quỳnh Lưu tỉnh Nghệ An năm 2013) ) ( ) ( 2 Giải phương trình: 3x + + x − ( x + 1) + x + x + = Cách giải: ( ) ( ) 2 Phương trình (1) ⇔ 3x + + (3x) = (x + 1) + + (x + 1) (2) Xét hàm số f (t) = t(2 + + t ) , ∀t ∈ ¡ , hàm số liên tục ¡ ( )  t f '(t) = + + t + t   3+ t ( )   t2 = + + t + ÷    3+ t  ÷ > , ∀t ∈ ¡  ⇒ f (t) đồng biến ¡ Do (2) ⇔ 3x = x + ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = 2 Giải hệ phương trình: (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  2 (x, y ∈ R)  x + y + − x = (Đề thi ĐH 2010-KA) ĐK : x ≤ Đặt u = 2x; v = − y Pt (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) ⇔ (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = ⇔ u = v 10  0 ≤ x ≤ Nghĩa : x = − y ⇔   y = − 4x  25 Pt (2) trở thành − x + x + − x = (*) 25  3 Xét hàm số f ( x) = x − x + + − x 0;   4 f '( x ) = x (4 x − 3) − −3 (*)   x − y   x − y  ( 1) ⇔  ÷ +  ÷  − − 2.22 x − y = (3).Xét hàm số 5      t  t  f ( t ) =  ÷ +  ÷  − − 2.2t ¡ ta có       t     t    f ' ( t ) =  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷ − 2.2t ln < ∀t ∈ ¡ Suy f ( t ) nghịch biến          ¡ Do ( 3) ⇔ f ( x − y ) = f ( 1) ⇔ x − y = ⇔ y = x − ( ) Thế (4) vào(2) ta 1− x  x+3   x +  x −1 = ln  = (5) ÷ ⇔ ln  ÷+ 4  2x +   2x +  ( x + 5) ( x − 1) x +  x −1 với x > −1 , ta có g ' ( x ) = x + x + ÷+ ( )( )  2x +   Xét hàm số g ( x ) = ln   x = −5 ∉ ( −1; +∞ ) g '( x) = ⇔   x = 1∈ ( −1; +∞ ) Ta có bảng biến thiên g ( x ) ( −1; +∞ ) là: Từ BBT, suy g ( x ) = ⇔ x = 11 Do y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) Ví dụ 7: (Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2013) 3x − y = y − x (1) Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 12 (2) (I) Hướng dẫn cách giải: Học sinh nhận thấy phương trình (1) có nghiệp x = y Biển đổi phương trình (1) dạng 3x + x = 3y + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + t Chứng minh f(t) hàm đồng biến, (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y 3x + x = y + y (3) Cách giải: (I) ⇔  2  x + xy + y = 12 Xét hàm số: f(t) = 3t + t ⇒ f’(t) = 3tln3 + >0 ∀ t ∈ ¡ ⇒ f(t) hàm đồng biến, (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y x = y Nên (I) ⇔  2  x + xy + y = 12 ⇔x=y=±2 Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2) Ví dụ (Đề thi Ôlimpic 30-4 năm 2012) 2 x + = y + y + y  Giải hệ phương trình: 2 y + = z + z + z 2 z + = x3 + x + x    x = ( y + y + y − 1)  x = f ( y)    Cách giải: Hệ tương đương với  y = ( z + z + z − 1) ⇔  y = f ( z )   z = f ( x)   z = ( x + x + x − 1)   Xét hàm số f(t) = f’(t) = (t + t + t − 1) ( t ∈ R ) 2 (3t + 2t + 1) > 0∀t ∈ R Suy f(t) HS đồng biến R Do đó: + Nếu x < y f(x) < f(y) ⇒ z < x ⇒ f(z) < f(x) ⇒ y < z.Vậy x < y < z Vô lý Tương tự y < x vô lý Do x = y = z Thế vào hệ ta có: 2x + = x3 + x2 + x x = = y = z ⇔ (x + 1)(x2 - 1) = ⇔  Hệ có nghiệm (x,y,z) ∈ { ( 1,1,1) ; ( −1, −1, −1) }  x = −1 = y = z 12 Ví dụ 9: (Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)  x + + − y = (1)  y + + − x = (2) Giải hệ  (I) Hướng dẫn cách giải: - Nhận dạng: Đây hệ phương trình đối xứng loại nên có nghiệm x = y - Lấy (1) – (2) đưa phương trình dạng x + − − x = y + − − y - Thiết lập hàm số: f(t)= 2t + − − t , t ∈ [- ;4] Cách giải: Điều kiện - ≤ x, y ≤ Lấy (1) – (2) đưa phương trình dạng x + − − x = y + − − y (3) Xét hàm số: f(t)= 2t + − − t , t ∈ [- ;4] 1 + > ∀ t ∈ (- ;4) 2t + 4−t ⇒ f(t) đồng biến (- ;4) (3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y ⇒ f’(t) = Suy ra: x + + − x = (pt vô tỉ dạng bản) 11 (thỏa mãn điều kiện)  11 11  Vậy hệ có nghiệm (3; 3),  ;  9 9 Giải pt nghiệm : x=3, x= Ví dụ 10 (Đề thi thử ĐH chuyên Vĩnh Phúc 2013) (  x + − 3x y +  Giải hệ phương trình:   x y − x + = )( ) y + + = 8x y3 (1) Hướng dẫn: +) Với y ≤ VT ( 1) > , VP ( 1) ≤ ⇒ Hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) với y> +) Vì y > nên từ phương trình (2) hệ suy x > 2 Khi đó: ( 1) ⇔ x + − 3x y + = x y ( ) y2 +1 −1 ⇔ x2 + + = x2 y y + + x2 y (3) Thay = x − x y vào phương trình (3) ta được: x2 + + x = 2x2 y y + + x2 y ⇔ 1 1+ + = y y2 +1 + y x x x (2) +) Xét hàm số: f ( t ) = t + t + t với t > 13 f '( t ) = 1+ t2 + t2 1+ t2 + > với t > 1 1 ⇒ f ( t ) hàm đồng biến ( 0; +∞ ) Mà f  ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ xy = x x 1 +) Thay xy = vào phương trình (2) hệ ta có : x = ⇒ y = x =  Thử lại thấy  thỏa mãn hệ phương trình cho  y =  1 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) =  4; ÷  8 Ví dụ 11: (Đề thi ĐH khối A, A1 năm 2012)  x − x − x + 22 = y + y − y  Giải hệ phương trình  2 (x, y ∈ R) x + y − x + y =   x − x − x + 22 = y + y − y  Cách giải: Hệ tương đương với  2 ( x − ) + ( y + ) =  2 1 Đặt u = x − ; v = y + 2 45 45  3 u − u − u = (v + 1) − (v + 1) − (v + 1) 4 Hệ cho thành  u + v =  45 45 Xét hàm f(t) = t − t − t có f’(t) = 3t − 3t − < với t thỏa t≤ 4 v = ⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + ⇒ (v + 1)2 + v2 = ⇒ v = hay v = -1 ⇒ u =   v = −1 u = hay  3   −3  ⇒ Hệ cho có nghiệm  ; − ÷;  ; ÷     Bài tập tham khảo: Bài 1: Giải phương trình, bất phương trình sau: a x2 + 3log2x = xlog25 b ( ) ( ) 3x + + x − ( x + 1) + x + x + = c 2x =1+ 3x/2 d (x+3).log23(x+2) + 4(x+2).log3(x+2) = 16 e 2x+1 - 4x = x-1 Bài 2: Tìm nghiệm dương phương trình: 14 x + xlog23 = xlog25 Bài 3: Giải hệ phương trình sau: x  2 + x = + y a)  y  2 + y = + x x y  2 − = ( y − x )( xy + ) b)  2  x + y = ln x − ln y = y − x c)  2 x + y − 6x − y + = log x + = + log y d)  log y + = + log y CHƯƠNG V: HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Qua nhiều năm giảng dạy bậc THPT luyện thi đại học Tôi sử dụng theo cách nêu để dạy cho học sinh - Đối với học sinh khối 10, khối 11 sử dụng hàm đơn giản ax + b hàm bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng ycx=+ d hàm thức đơn giản, hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu hàm số phương pháp dùng định nghĩa - Đối với học sinh khối 12, em nhận thức cách đầy đủ hàm số phương pháp áp dụng cách phổ biến tập cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng khó Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi đại học, cao đẳng nên phát triển thành chuyên đề rõ ràng với kiến thức thể loại đa dạng phong phú, Giúp học sinh phát có hướg giải xác Kết nhận thấy số lượng học sinh giỏi hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Năm 2010 đề thi đại học khối A có dạng toán này, nhiều học sinh trường khác không làm Học sinh có nhiều em làm câu Nên đạt kết cao Các năm gần thi đại học, học sinh giỏi xem dạng toán cần có đề thi Tôi thấy học sinh làm tốt dạng toán mà không vướng mắc PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUÂT Kết luận: 15 Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Triệu Sơn Phương trình, hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp THPT nói chung Nhưng học sinh ôn thi đại hoc, ôn thi HSG lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm - Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy từ lớp 10 đến lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình, hệ phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt - Giải toán “Ứng dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình” nói riêng ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán phương pháp hay, độc đáo, sử dụng lâu, không phổ biến bậc THPT Qua trình tham khảo, học hỏi bậc thầy trước, sử dụng phương pháp để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh Tôi xin phép mạnh dạn đưa ý tưởng để bạn đồng nghiệp em học sinh tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phần nhỏ ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán giáo viên tổ toán học sinh trường hưởng ứng cao Mong đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ chuyên đề cao Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp, đọc giả để tính khả thi cao Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập - Sở giáo dục cần tiếp tục trì cho đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm để giáo viên nâg cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn Những SKKN đạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa trường để giáo viên học tập , chia sẻ, để giáo dục phát triển tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao Phương pháp giải toán Lê Hồng Đức – Phan Huy Khải Bài tập tham khảo từ Tạp chí “Toán học – Tuổi trẻ” Các đề thi thử đại học đề thi ĐH từ năm 2010 đến Các đề thi HSG tỉnh giới thiệu mạng Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trường trường 16 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Nguyên Huấn 17 ... điệu hàm số thường dựa nguyên tắc sau: a Giải phương trình: Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1) • Để chứng minh (1) có nghiệm ta tiến hành sau: B1: Biến đổi phương trình (1) dạng f(x) = (2), với... THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Nguyên Huấn 17 ... 2013) 3x − y = y − x (1) Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 12 (2) (I) Hướng dẫn cách giải: Học sinh nhận thấy phương trình (1) có nghiệp x = y Biển đổi phương trình (1) dạng 3x + x = 3y