SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ” ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung tốn gần giải Để đáp ứng phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát dãy số “ kết hợp với tiếp cận “ Lý thuyết phƣơng trình sai phân “ qua số chuyên đề mà thân tác giả học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài tác giả sử dung số kết có tính hệ thống „ Lý thuyết phƣơng trình sai phân “ Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trường hợp đặc biệt giới hạn trường số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dãy số , từ có áp dụng vào số tốn cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Đặc biệt thầy tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp tốn dãy số trình bày đề tài A PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1   , a.un1  b.un  f n , n  N * a,b,  số ,a # f n biểu thức n cho trước Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  b un  (1.1) a, b,  cho trước n  N * Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  để tìm  Khi un  q n (q số ) , q xác định biết u1   Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng cơng bội Bài giải Ta có un1  un , u1  (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm   Vậy un  c.2n Từ u1  suy c  un  2n1 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , aun1  bun  f n , n  N * (2 1) f n đa thức theo n Phƣơng pháp giải Do Giải phương trình đặc trưng a.  b  ta tìm  Ta có un  un0  un* Trong un0 nghiệm phương trình (1.1) u n* nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy un0  q. n q số xác định sau Ta xác định u n* sau : 1) Nếu  #1 u n* đa thức bậc với f n 2) Nếu  1 un*  n.g n với g n đa thức bậc với f n Thay u n* vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số u n* Bài tốn 2: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  2; un1  un  2n, n  N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  un* un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay u n* phương trình (2.2) ta  n  1 a  n  1  b  n  an  b   2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau 3a  b  a    5a  b  b  1 Do un  n  n  1 Ta có un  un0  un*  c  n  n  1 Vì u1  nên  c  11  1  c  Vậy un   n  n  1 , hay un  n2  n  Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  v.n , n  N * (3.1) f n đa thức theo n Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  ta tìm  Ta có un  un0  un* Trong un0  c. n , c số chưa xác định , u n* xác định sau : 1) Nếu  #  un*  A. n 2) Nếu    un*  A.n. n Thay u n* vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số u n* Biết u1 , từ hệ thức un  un0  un* , tính c Bài tốn 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; un1  3.un  2n , n  N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  un* un0  c.3n , un*  a.2n Thay un*  a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu a.2n 1  3a.2n  2n  2a  3a   a  1 Suy un  2n Do un  c.3n  2n u1  nên c=1 Vậy un  3n  2n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  f1n  f n , n  N * (4.1) Trong f1n đa thức theo n f n  v. n Phƣơng pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n Trong un0 nghiệm tổng quát phương trình aun1  bun  , u n* nghiệm riêng phương trình khơng * a.un1  b.un  f1n , u2n nghiệm riêng phương trình khơng a.un1  b.un  f n Bài tốn 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; un1  2un  n  3.2n , n  N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0  c.2n , un*  a.n  b.n  c , u2*n  An.2n Thay u n* vào phương trình un1  2.un  n , ta a  n  1  b  n  1  c  2an  2bn  2c  n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  2a  c   a  1    b  2 a  b  c  2a  2b  c  9 c  3   Vậy u1*n  n2  2n  thay u2n* vào phương trình un1  2.un  3.2n Ta A  n  1 2n 1  An.2 n  3.2 n  A  n  1  An   A  Vậy u2*n  n.2 n  3n.2 n 1 Do un  c.2n   n2  2n  3  3n.2n1 Ta có u1  nên  2c    c  Vậy un  3n.2n1  n  2n  B PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N * a,b,c,  ,  số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  0, n  N * (5.1) Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  tìm  Khi 1) Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác un  A.1n  B.2n , A B xác định biết u1 , u2 2) Nếu 1 , 2 hai nghiệm kép 1  2   un   A  Bn . n , A B xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0  1, u1  16, un  8.un1  16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng   8  16  có nghiệm kép   Ta có un   A  B.n .4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình u0   A A 1   u1  1  B   16  B  Vậy un  1  3n .4n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  f n , n  2, (6.1) a # 0, f n đa thức theo n cho trước Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi ta có un  un0  un* , un0 nghiệm tổng quát phương trình a.un1  b.un  c.un1  u n* nghiệm tuỳ ý phương trình a.un1  b.un  c.un1  f n Theo dạng ta tìm un0 , hệ số A, B chưa xác định , u n* xác định sau : 1) Nếu  #1 u n* đa thức bậc với f n 2) Nếu   nghiệm đơn un*  n.g n , g n đa thức bậc với f n 3) Nếu   nghiệm kép un*  n.2 g n , g n đa thức bậc với f n , Thay u n* vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số u n* Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A, B Bài tốn 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; u2  0, un1  2un  un1  n  1, n  (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   Ta có un  un0  un* un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  n2  a.n  b  Thay u n* vào phương trình (6,2) , ta  n  1  a  n  1  b   2n  a.n  b    n  1  a  n  1  b   n  Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  a  4  2a  b    a  b      9  3a  b    2a  b    a  b   b   n 1 un*  n2    6 2 Vậy Do n 1 un  un0  un*  A  Bn  n    6 2 Mặt khác 1  A   A  B       11 1    A  B       B   3 2 Vậy un   11 n 1 n  n2    6 2 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  d  n , n  (7.1) Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi ta có un  un0  un* , un0 xác định dạng hệ số A B chưa xác định, u n* xác định sau 1) Nếu  #  un*  k  n 2) Nếu    nghiệm đơn un*  k n n 3) Nếu    nghiệm kép un*  k n.2  n Thay u n* vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A,B Bài tốn 7: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   Ta có un  un0  u1*n un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  k.2n Thay u n* vào phương trình , ta k 2n 1  2k 2n  k 2n 1  3.2n  k  Vậy un*  6.2n  3.2n1 Do un  un0  un*  A  bn  3.2n1 (1) Thay u1  1, u2  vào phương trình ta thu 1  A  B  12 A    0  A  B  24  B  13 Vậy un   13n  3.2n1 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  g n , n  (8.1) a # , f n đa thức theo n g n  v. n Phƣơng pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0 nghiệm tổng quát phương trình aun1  bun  c.un 1  , u1n* nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng 10 * aun1  bun  c.un1  f n u2n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun1  bun  c.un1  g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  3un1  n  2n , n  (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm 1  1, 2  Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0  A 1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k.2n n Thay u1n* vào phương trình un1  2un  3un1  n , ta a  n  1  b   an  b   a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   Vậy ab Do un*  1  n  1 Thay u2n* vào phương trình un1  2un  3un1  2n , ta k 2n1  2.k 2n  3.k 2n 1  2n  k   Do u2*n   2n   2n1 3 Vậy 11 un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 (8.3) Ta thay u1  1, u2  vào (8.3) ta hệ phương trình 61    A  B    A     48     A  9B     B  25   48 Vậy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n1 48 48 C PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng u1   , u2   , u3   , a.un2  bun1  c.un  d un1  f n , n  (a.1) a,b,c, d,  ,  ,  số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Phƣơng pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un  un0  un* , un0 nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính nhất, u n* nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba 12 a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biết un0  a1 1n  a2 2n  a3 3n b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (1  2 # 3 ) un0  (a1  a2 n)1n  a3 3n c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội (1  2  3 ) un0  (a1  a2 n  a3 n )1n 2) Xác định nghiệm riêng u n* phương trình (a.1)  Xét f n đa thức n ta có a) Nếu  #1 u n* đa thức bậc với f n b) Nếu   (nghiệm đơn ) un*  n.g n g n đa thức bậc với f n c) Nếu   (bội ) un*  n2 g n g n đa thức bậc với f n d) Nếu   (bội 3) un*  n3 g n g n đa thức bậc với f n  Xét f n  v. n ta có a) Nếu  #  un*  k n. n b) Nếu    (nghiệm đơn ) un*  k  n c) Nếu    (nghiệm bội s ) un*  k n s  n Bài tốn 9: Tìm dãy số an biết u1  0, u2  1, u3  3, un  7un1  11.un2  5.un3 , n  (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng   7  11   có nghiệm thực 1  2  1, 3  Vậy an  c1  c2 n  c3 5n 13 Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta c1   , c2  , c3  16 16 Vậy an     n  1  5n1 16 16 D BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số an xác định theo công thức sau a1  0; a2  1, an1  2an  an1  1, n  (10.1) Chứng minh số A  4.an an  số phương Bài giải Ta có an1  2an  an1  (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta an  2an1  an2  (10.3) Trừ vế (10.1) cho (10.2) ta thu an1  3an  3an1  an2  (10.4) Phương trình đặc trưng (10.4)   3  3   có nghiệm   nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4) an  (c1  c2 n  c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta 0  c1 c1     1  c2  c2  c3 3  c  2c  4c c2  c3  2  14 Ta thu an  n  n  1 từ ta có A  4an an    n  3n  1 Điều chứng tỏ A số phương Bài tốn 11: Cho dãy số  xn  xác định theo công thức sau x1  7; x2  50, xn1  xn  5xn1  1975  n   (11.1) Chứng minh x1996 1997 Bài giải Xét dãy số  yn  với y1  7, y2  50 yn1  yn  yn1  22  n   (11.2) Dễ thấy yn  xn  mod1997  Do cần chứng minh y1996   mod 1997  Đặt zn  yn  11 suy z1  39, z2  211 Nhận xét zn1  yn1  11  16 yn  20 yn1  99  zn  20 yn1  55 Ta lại có zn1  yn1  11 suy 20 yn1  zn1  55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta zn1  zn  zn1 Suy zn1  zn  zn1  (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5)   4   có nghiệm 1  1, 2  Nghiệm tổng quát (11.1) zn   1   5n  n 15 (11.3) Ta có     z1    5  39     z2    25  211    25  Do ta nhận 25 n zn   1  5n 3 (11.6) Từ (11.6) ta suy z1996  25.51996  Ta cần chứng minh z1996  11 mod1997  Do 51996  1997  1996 5  Nên 51996  3.1997 Từ , ta có 51996  3n.1997  , 25  3n.1997  1 z1996    25.n.1997  11 3 Vậy z1996  11 mod 1997  E BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số  xn  thoả mãn điều kiện sau 1) x1  11, xn1  10.xn   9n , n  N 2) x0  2, x1  8, xn2  8.xn1  xn 16 3) x0  1, x1  3, xn2  xn1  xn  n  2n  4) x0  0, x1  1, xn1  xn  xn1  n  6n  5) x1  1, x2  2, xn2  xn1  xn  Bài 2: Cho dãy số an  thoả mãn điều kiện an  an1  2.an2  a1  a2  n N  n  3 Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dãy số bn  xác định bn  2.bn 1  bn 2  b1  1, b2  n N  n  3 n 5 Chứng minh bn    , n  N 2 Bài 4: Cho dãy số un  thoả mãn điều kiện un  2.un1  un  n N  u  1, u    n  2 Chứng minh un số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số un  thoả mãn sau un  Z  ,  N  u0  1, u1  u  10.u  u n  N , n  n 1 n2  n Chứng minh : k  N , k  17 1) uk2  uk21  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1 va 3.uk2  ( kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số un  thoả mãn điều kiện un  2un1  2un  un1 , n  N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M  4.an1an số phương Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số ui  ( i=1,2,3,4…)được xác định a1  1, a2  1, an  an1  2an2 , n  3,4, Tính giá trị biểu thức 2 A  2.a2006  a2006 a2007  a2007 Bài 8: Cho dãy số nguyên dương un  thoả mãn điều kiện u0  20, u1  100, un  4.un1  5.un  20, n  N * Tìm số ngun dương h bé có tính chất an h  an 1998 , n  N F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm cơng thức tổng qt lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số 18 Dưới số ví dụ “ xây dựng thêm tốn dãy số có tính quy luật “ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng tốn khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình    1   9     8   (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau un  8.un1  9.un  cho u0  2, u1  8 Ta phát biểu thành tốn sau Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định sau  xn  8.xn 1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Xác định công thức dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn  8.xn 1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Tính giá trị biểu thức A  x2006  5.x2007  Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình    1     2   (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số un xác định theo công thức sau un  2.un1  un  19 cho u0  1, u1  vận dụng thuật tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số xn   n  1 Ta phát biểu thành tốn sau Bài tốn 1: Xác định cơng thức dãy số xn thoả mãn điều kiện sau  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn  xn1  xn  n N   x0  1, x1  Chứng minh xn số phương Bài tốn 3: Cho dãy số xn xác định sau  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Xác định số tự nhiên n cho xn1  xn  22685 20 KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy thu số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng dạng xác định công thức dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm tốn dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội nghành quan tâm Tuy nhiên, số lớp tốn bậc THPT ta sử dụng số kết toán học xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp vấn đề ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có tìm hiểu sâu mối quan hệ “Toán học đại” “Phƣơng pháp tốn sơ cấp ” Qua ta tìm phương pháp giải, xây dựng lớp toán bậc THPT 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Giáo Dục 2003 22 ... trường số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dãy số , từ có áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát. .. cơng thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số nội dung toán gần giải Để đáp ứng phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát dãy số “ kết hợp với tiếp... Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định sau  xn  8.xn 1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Xác định công thức dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định sau  xn 