SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP" A Đặt vấn đề: Trong chương trình phổ thông, toán tổ hợp phần quan trọng để phát triển tư duy, tính sáng tạo em học sinh Những năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Để giải toán có nhiều phương pháp khác nhau, dùng trực tiếp tính chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, có sử dụng đạo hàm, tích phân, số phức thật mẻ Song nội dung viết trình bày số toán tổ hợp hay gặp mà cách giải tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác Mong muốn cho em nhìn tổng thể cách giải toán Tất nhiên, tổ hợp học chương trình lớp 11, cụ thể HKI Còn đạo hàm trình bày cuối HKII lớp 11, tích phân học chương trình lớp 12, chí số phức trình bày cuối chương trình lớp 12 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng đạo hàm, tích phân số phức để giải toán tổ hợp không trình bày nhiều, học sinh không rèn luyện kỹ lớp Do đó, gặp toán đề thi Đại học Cao đẳng, phần lớn em không làm Nhằm mục đích em học sinh chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, thấy tổng thể phương pháp giải toán tổ hợp, từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Tôi chọn đề tài “Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm Đồng thời áp dụng đề tài cho em học sinh dang học lớp 12 năm 2013 B Giải vấn đề: I Cơ sở lý luận vấn đề Rõ dàng tập tổ hợp mà ta giải chuyên đề là: Tính tổng, Chứng minh đẳng thức, hay tìm nN* thoả mãn đẳng thức đó, tất nhiên dạng chứa Cnk toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton, mà việc chọn số hạng nhị thức, số mũ nhị thức có vai trò quan trọng toán ta cần giải Giả sử, ta xét nhị thức: (1 + x)n = C0n  xC1n  x 2C2n   x nCnn (1) (với x với nN*) Từ suy ra: a) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: [(1+x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  ′  n(1+x)n−1= Cn1  2Cn2 x   nCnn x n1 (2) b) Lấy tích phân hai vế (1) ta được: b  1  x  n b   dx   C0n  C1n x  Cn2 x   Cnn x n dx a a b b n 1   1  x n 1   x x n x   Cn x  Cn   Cn   Cn  n  n       a a (3) c) Giả sử toán cần tính tổng C nk (với k = 0,1,2, n) Ta Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Mặt khác khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument   ,   ,   ) Rồi so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Từ tìm mối liên hệ cho tổng cần tính Sau trình bày phương pháp ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho sở lý luận đề tài Ở phần giải vấn đề cố gắng trình bày toán cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005) Tìm số nguyên dương n cho : C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1   (2n  1)22 n C22nn1  2005 (1) Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có : 1  x  n 1  C20n 1  C21n 1 x  C22n 1 x  C23n 1 x   C22nn11 x n 1  (2n  1).(1  x) n  C21n 1  2C22n 1 x  C23n 1 x   C22nn11 x n 1 (2) Chọn x= -2 thay vào (2) ta được: 2n   C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1   (2n  1)22n C22nn1 (3) Từ (1) (3) ta thấy VT (1) = VP (3) suy 2n+1=2005  n  1002 (thoả mãn) Kết luận: n  1002 gái trị cần tìm Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007) Cho n số nguyên dương,chứng minh: 1 1 n 1 2 n  C n  C 23n  C 25n   C2n  2n 2n  Giải: Xét khai triển 2 2n 2n x  C32n x   C2n x 1  x 2n  C02n  C12n x  C2n (1) 2 2n 2n x  C32n x   C2n x 1  x 2n  C0n  C12n x  C2n (2) Trừ vế theo vế (1) (2) ta được: 1 2n 1 1  x 2n  1  x 2n   C12n x  C32n x   C2n  2n x 2n 2n  x   1  x    1 2n 1  C12n x  C32n x   C2n 2n x 2n 2n 1  x   1  x   1 2n 1 Suy  dx    C12n x  C32n x   C2n  dx 2n x 1  1  x 2n 1  1  x 2n 1  1 2n 1 2n      C2n x  C2n x   C2n x     2(2n  1) 2n 0  0  1 2n 1 22n   C2n  C2n  C2n   C2n  (đpcm) 2n 2n  Ví dụ 3: (Bài tập 29 trang 206 SGK Giải tích 12- Nâng cao) Tính: S = C190  C192  C194   C1916  C1918 Giải Ta có: (1  i)19  (C190  C191 i  C194 i   C1916i16  C1918i18 )  (C191 i  C193 i3   C1919i19 ) = C190  C192  C194   C1916  C1918 +( C191  C193  C195   C1917  C1919 )i Từ suy phần thực vế phải C190  C192  C194   C1916  C1918 mặt khác,     (1  i)   2(cos  sin )  4   19 19 = ( 2)19 (cos = ( 2)19 ( 19 19  sin ) 4 2 i ) 2 = -29 + 29i So sánh hai cách tính ta S = C190  C192  C194   C1916  C1918 = -29 = -512 II Thực trạng vấn đề: Thuận lợi: Năm 2013 đặt mục tiêu hoàn thành chuyên đề “ Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp” lại trùng với việc trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông em học sinh tâm thi vào trường Đại học cao đẳng Đó thuận lợi đáng kể để áp dụng đề tài này, tin lớp học sinh truyền đạt chuyên đề đạt kết khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự trực tiếp giảng dạy em năm 2010 Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm loại toán thấp Điều thu hai năm lớp 10, 11 trực tiếp dạy em sang năm 2013 tiến hành khảo sát chất lượng làm loại toán thông qua số kiểm tra học sinh lớp 12C1 12C3 Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 25 60.9% 18 39.1% 12C3 44 30 63.6% 14 36.4% (Khảo sát chất lượng chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy) Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ em học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Hiện nhận thức học sinh thể rõ là: - Các em lúng túng việc tìm hướng giải cho toán tổ hợp - Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại tập Đây chuyên đề đòi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó không học sinh mà khó giáo viên việc truyền tải kiến thức, lẫn phương pháp tới em Cụ thể làm để em hiểu toán tổ hợp sử dụng công cụ III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề : Trong dạy học toán nhiệm vụ thầy trò tìm phương pháp phù hợp để giải tập quan trọng Như nói trên, phần giải vấn đề này, cố gắng trình bày toán cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác Từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Sau xin vào phần cụ thể SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 1.1 Phương pháp Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức khai triển Newton phép lấy đạo hàm đẳng thức Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức số hạng có dạng kCnk kCnk ank bk 1 ta dùng đạo hàm cấp để tính Cụ thể: a) (1+x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  [(1+x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  ′  n(1+x) n−1 = Cn1  2Cn2 x   nCnn x n1 (1−x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n b)  [(1−x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n  ′  −n(1−x) n−1 = Cn1  2Cn2 x   (1)n nCnn xn1 c) (x+1)n= Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2   Cnn1x  Cnn  [(x+1)n]′= Cn0 x n  Cn1 x n1  Cn2 x n2   Cnn1 x   Cnn  n(x+1)n−1= nCn0 xn1  (n 1)Cn1 xn2  (n  2)Cn2 xn3   nCnn1 d) (x−1)n= Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2   (1)n1Cnn1x  (1)n Cnn  [(x−1)n]′= Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n 2   (1) n 1 Cnn 1 x  (1) n Cnn   n(x−1)n−1= nCn0 xn1  (n 1)Cn1 xn2  (n  2)Cn2 xn3   (1)(n 1)Cnn1 Tổng quát: a  x n  Cn0 a n  2Cn1a n 1 x   nCnn ax n  n  a  x n1  Cn1a n1  2Cn2 a n2   nCnn ax n1 1 Đến thay x,a số thích hợp ta tổng cần tìm Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức số hạng có dạng k (k 1)Cnk ank hay tổng quát k  k  1 Cnk a nk bk ta dùng đạo hàm đến cấp để tính Xét đa thức Từ đẳng thức đạo hàm cấp ta có a) n(n−1)(1+x)n-2 = 2.1Cn2  3.2Cn3 x  n(n 1)Cnn xn2 b) n(n−1)(1−x)n-2 = 2.1Cn2 3.2Cn3 x 4.3Cn4 x2  (1)n n(n 1)Cnn xn2 c) n(n−1)(x+1)n-2 = n(n 1)Cn0 xn2  (n 1)(n  2)Cn1 xn3   3.2Cnn3 x  2.1Cnn2 d)(n−1)(x−1)n-2 Tổng quát  a  bx   n = n(n 1)Cn0 xn2  (n 1)(n  2)Cn1 x n3   (1)n3 3.2Cnn3 x  (1)n2 2.1Cnn2  Cn0  Cn1 a n 1bx   Cnnb n x n bn  a  bx  n 1  Cn1 a n 1b  2Cn2 a n 2b x  nCnnb n x n 1  b n  n  1  a  bx n2   2.1Cn2 a n2b   n  n  1 Cnnb n x n1   Đến ta việc thay a,b,x số thích hợp Một số lưu ý: - Tùy thuộc mà số mũ n, giá trị x công thức cho phù hợp - Nếu số hạng đầu ( Cn0 , Cn1 ) ta sử dụng công thức chứa (1+x) cho tổng không đan dấu, tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng sau ( Cnn , Cnn1 ) ta sử dụng công thức chứa (x+1) cho tổng không đan dấu, tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng ta đạo hàm cấp 1, số hạng ta đạo hàm cấp Ta bàn phân tích kỹ cách áp dụng phương pháp toán cụ thể Tóm lại: Với loại tập sau chọn hàm số đạo hàm hàm số chọn theo hai cách: f (x) thích hợp ta tiến hành lấy - Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số cho - Lấy đạo hàm sau sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số f (x) chọn (Dĩ nhiên f (x) có dạng dùng công thức khai triển nhị thức Newton) -Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn giá trị phù hợp cho x, thay vào hai biểu thức tính đạo hàm Như nhấn mạnh cho học sinh thấy gặp toán có chứa hệ số kiểu a.n ta ý đến cách dùng đạo hàm 1.2 Bài tập Bài 1: Chứng minh Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn =n.2n-1 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn0 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có (1+x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  [(1+x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  ′  n(1+x)n−1= Cn1  2Cn2 x   nCnn x n1 Thay x=1, ta có điều phải chứng minh Bài 2: Chứng minh: 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  n(n 1)Cnn = n(n−1).2n-2 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn0 , Cn1 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có (1+x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  [(1+x)n]′′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  ′′  n(n−1)(1+x) n-2 = 2.1Cn2  3.2Cn3 x  n(n 1)Cnn xn2 Thay x=1 vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh n 1 n Bài 3: Chứng minh: 1Cn  2Cn  3Cn   (1) nCn = n Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn tổng đan dấu nên ta sử dụng (1−x) , đạo hàm cấp Giải: Ta có (1−x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n  [(1−x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n  ′  −n(1−x)n−1= Cn1  2Cn2 x   (1)n nCnn xn1 Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh nCn0  (n 1)Cn1  (n  2)Cn2  (n  3)Cn3   (1)n1Cnn1 =0 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cnn tổng đan dấu nên ta sử dụng (x−1)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có: (x−1)n= Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2   (1)n1Cnn1x  (1)n Cnn  [(x−1)n]′= Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n 2   (1) n 1 Cnn 1 x  (1) n Cnn   n(x−1)n−1= nCn0 xn1  (n 1)Cn1 xn2  (n  2)Cn2 xn3   (1)n1Cnn1 Thay x=1 ta có điều phải chứng minh n 2 Bài 5: Chứng minh n(n 1)2  n(n 1)Cn  (n 1)(n  2)Cn   2Cnn2 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cnn1 , Cnn tổng không đan dấu nên ta sử dụng (x+1)n, đạo hàm cấp Giải: (x+1)n= Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2   Cnn1x  Cnn  [(x+1)n]′′= Cn0 x n  Cn1 x n1  Cn2 x n2   Cnn1 x  n(n−1)(x+1) n-2  Cnn  ′′ = n(n 1)Cn0 xn2  (n 1)(n  2)Cn1 xn3   3.2Cnn3 x  2.1Cnn2 Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh: (1)n1 Cn1  (1)n2 2.2Cn2   (1)nk k.(2k 1)Cnk   n(2n 1)Cnn =n Phân tích: −1 kèm với lũy thừa, số hạng dấu + nên ta xem tổng không đan dấu, chứa tổ hợp n, Cn0 Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có:  1  x  n  (1) n Cn0  (1) n 1 Cn1 x  (1) n  Cn2 x   (1)n k Cnk x k   Cnn x n  [(−1+x)n ]′=[ (1)n Cn0  (1)n1Cn1 x  (1)n2 Cn2 x2   (1)nk Cnk xk   Cnn xn ]′  n(−1+x)n−1 = (1)n1 Cn1  (1)n2 2Cn2 x   (1)nk kCnk xk 1   nCnn xn1 Thay x=2 ta có điều phải chứng minh Bài 7: Chứng minh n4n1Cn0  (n 1)4n2 Cn1  (n  2)4n3 Cn2   (1)n1 Cnn1  Cn1  22 Cn2  n2n1Cnn Phân tích: vế trái chứa tổ hợp n, đan dấu, Cnn nên ta sử dụng (x−1)n, đạo hàm cấp Vế phải chứa tổ hợp n không đan dấu, Cn0 nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có: (x−1)n= Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2   (1)n1Cnn1x  (1)n Cnn  [(x−1)n]′= Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n 2   (1) n 1 Cnn 1 x  (1) n Cnn   n(x−1)n−1= nCn0 xn1  (n 1)Cn1 xn2  (n  2)Cn2 xn3   (1)n1Cnn1 Thay x=4 ta n3n−1= n4n1Cn0  (n 1)4n2 Cn1  (n  2)4n3 Cn2   (1)n1Cnn1 (1+x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  [(1+x)n]′= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  ′ (1)  n(1+x)n−1= Cn1  2Cn2 x   nCnn x n1 10 Thay x=2 ta n3n−1 = (2) Cn1  22 Cn2  n2n1Cnn Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh n−1 Bài 8: Chứng minh (n+4)2 =2 Cn  3Cn  4Cn   (n  2)Cnn Phân tích: tương tự độ chênh lệch nên ta nhân thêm x2 trước đạo hàm Giải: Ta có: x2(1+x)n = Đạo hàm vế n n−1 2 2x(1+x) +nx (1+x) = 2Cn x  3Cn x  4Cn x   (n  2)Cnn xn1 Thay x=1 ta 2n+1+n.2n−1=  (n+4)2n−1= 2012 Bài 9:Tính tổng: S = C2012  2C2012  3C2012  4C2012   2013C2012 Cn0 x2  Cn1 x3  Cn2 x4   Cnn xn2 ta được Cn0  3Cn1  4Cn2   (n  2)Cnn Cn0  3Cn1  4Cn2   (n  2)Cnn Giải: 2012 Phân tích: tổng chứa tổ hợp 2012, không đan dấu, hệ số gắn với C2012 lớn nên ta sử dụng (1+x)2012 SHTQ (k+1) Cnk , hệ số đầu chênh lệch đơn vị nên ta nhân thêm vế với x Giải: Ta Đạo xét: hàm 2011 (2012x+x+1)(1+x) = Cho x=1 ta VP = tổng S, VT = 2014.22011 Vậy tổng Các tập làm thêm n x(1+x)2012= C2012 x  C2012 x2  C2012 x3   C2012 x20121 vế ta n C2012  2C2012 x  3C2012 x2   2013C2012 x2012 S = 2014.22011 Bài Chứng minh : C 0n  2.C1n  3.C 2n   (n  1)C nn  (n  2).2 n-1 HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)n  Khai triển đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x  Thay x = Ở toán muốn rèn luyện kỹ lựa chọn hàm số 11 Bài Chứng minh : (C1n )  2.(C 2n )  3.(C 3n )   n.(C nn )  (2n - 1)! [(n - 1)!]2 HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n  Đạo hàm cấp theo x, hai vế suy x.f’(x) (1)  Thay x , x ta (2)  Nhân (1) cho (2), ta thu hệ số số hạng không chứa x đẳng thức chứng minh n 1 Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4    1 nCnn Bài 3: :(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Bài 4:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C201  C201   C2019  219 Bài 5:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh : C 2004 2 C 2004   2004 C 2004 2004 32004   2 2009 Bài 6: Rút gọn tổng: 12 C2009 22008  22 C2009 22007   20092 C2009 2007 Bài 7: Tính tổng: 2008C2007  2007C2007   C2007 HD : Xét  x  12007 SỬ DỤNG CÔNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 n Nếu tổng dãy tổ hợp, số hạng chứa phân số 1; ; ; ; ; ; mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp Bước 2: Lấy tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận 12 Ta tìm hiểu phương pháp (dùng tích phân hàm đa thức) phương pháp bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên phương pháp Truy hồi tích phân Dựa vào tích phân cho trước xin phép không đề cập viết khuôn khổ SKKN) k k Lưu ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng b  a , ta chọn cận từ a đến b, tức b  f  x  dx a Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức tích phân sau: b a)  1  x  n b   dx   C0n  C1n x  C2n x   Cnn x n dx a a b b n 1   1  x n 1   x x n x   Cn x  Cn   Cn   Cn  n    n    a a b b)  1  x  n a b dx   C0n  C1n x  Cn2 x    1 C nn x n dx   n a b b n 1   1  x n 1   n n x x x   Cn x  Cn    Cn    1 Cn  n 1  n     a a  b c)   x  1 n b   dx   C0n x n  C1n x n 1  C2n x n    Cnn dx a a b b n n 1   x  1n 1   x n 1  x x   Cn   Cn  Cn   Cnn  n n 1  n    n   a a b d)   x  1 a n b n dx   C0n x n  C1n x n 1  C2n x n     1 Cnn dx   a b b n n 1   x  1n 1   x n 1  n x x    Cn   Cn  Cn    1 Cnn  n n 1  n    n   a a 13 Tiếp theo ta nghiên cứu toán cụ thể theo cách chia dạng sau: 2.2 Bài tập Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức Bài 1: Tính: Cn0  4Cn1  26 3n 1  n Cn   Cn n 1 Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số 3n 1  , n 1 ta biết cận từ đến Nên ta sử dụng 1 (1  x ) n dx Giải: có 1 (1  x)n dx Ta  = (Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n )dx 3 n 1  (1  x) n 1  x x n x  Cn   Cn  ]  =[ Cn x  Cn n 1  n 1  3  (1  x) n 1     n 1  Cn0 x 13  Cn1 = x2  Cn2 x3 3   Cnn x n 1 n 1 4n 1  2n 1 26 3n 1  n   2Cn  4Cn  Cn  Cn n 1 n 1 Vậy S = 4n 1  2n 1 n 1 Lưu ý: tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng tổ hợp để tính kết nhanh Bài 2: Tính tổng Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, S= 2Cn0  n 1 1 2 Cn  Cn   (1) n 2n 1 Cnn n 1 gắn với Cnn , có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số số hạng cuối ta lấy cận từ đến 2, tức 0 (1  x)n dx Giải:  (1  x) n dx  =  (1  x) n 1    =  n 1    ( 1) n 1 n 1 (Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n )dx 2 n 1   x x n n x C x  C  C   (  1) C n n n  n  n 1  = 2Cn0  1 2 Cn  Cn   (1) n 2n 1 Cnn n 1 14 Vậy S =   (1) n n 1 Bài (ĐH Khối B-2003) Cho n  * Tính tổng: S  C0n 22  1 23  2n 1  n  Cn  Cn   Cn n 1 Phân tích: Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, 2n 1  cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận n 1 từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng  1  x  n dx Giải Ta có : 1  x   C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x   Cnn x n n 2   Suy  1  x  dx   C0n  C1n x  C2n x  C3n x   Cnn x n dx n 1 n 1 1 x   n 1 n 1 3n 1   n 1 Vậy S  C0n 2  1    C0n x  C1n x  C2n x   Cnn x n 1  n 1  1  C0n 2  1 23  2n 1  n  Cn  Cn   Cn n 1 22  1 23  2n 1  n 3n 1  2n 1  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Phương pháp 2: Nhân thêm x,x2, ( Các phương pháp bổ sung) Thông thường sau lấy tích phân hệ số chứa dạng Cnk k 2 Cnk k 1 Nếu cho hệ số ta phải nhân thêm x trước lấy tích phân, dạng Cnk k 3 ta nhân thêm x2 trước lấy tích phân,… Bài 1: 1 1 Cnn Tính S= Cn0  Cn1  Cn2   n2 15 Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng nên ta nhân thêm x trước tích phân Giải:  x(1  x) n dx  1  (C = (Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 )dx = [ Cn0 n x  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 )dx x2 x3 x4 x n2  Cn1  Cn2   Cnn ] n2 = 1 1 Cn  Cn  Cn   Cnn = n2  mặt khác x(1  x) n dx (1  x) n  (1  x) n 1  n2 n 1 [ ] 10 = S = 0 (1  x) n 1  (1  x) n dx = 2n  2n 1 1 n.2n 1      n  n  n  n  (n  1)(n  2) n.2 n 1  ( n  1)( n  2) 1 1 Cnn Tính S= Cn0  Cn1  Cn2   (1)n n2 Vậy S = Bài 2: Phân tích: tương tự chuỗi đan dấu Giải:  x(1  x) n dx Tính 0 x(1  x)n dx  0 u n 1 n 1 =  u n2 n2 1 1  = =In n  n  (n  1)(n  2)  (C x  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 )dx = n Đặt u=1−x  du= −dx, { x=0  u=1 x=1  u=0 = 0 (1  u )u n du = x(1  x) n dx  (C = n x  C x  C x   C x n 2 n n n n 1 n2 x2 x x n n x ) dx =[ C  Cn  Cn   ( 1) Cn ] n2 n 1 1 Cn  Cn  Cn   (1) n Cnn =S n2 Vậy S Bài 3: Chứng minh : = (n  1)(n  2) 1 1 2 n 1  C n  C n  C n   C nn  3n  3n  Giải Áp dụng khai triển nhị thức Newton 16 1  x  n = Cn0  Cn1 x3  Cn2 x6   Cnn x3n  x 1  x3   Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x 3n2 n   n 1 1   x  x dx  C n0  C n1  C n2   C nn 3n  Mặt khác 0 x 1  x  dx  0 1  x  d 1  x   n 1 n (1) n 1  3n  (2) Từ (1) (2) suy đpcm Các tập làm thêm Bài (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Cho n  * Chứng minh rằng: 1 2n 1  C0n  C1n  Cn2   Cnn  n 1 n 1 HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tổng không đan dấu, ta sử dụng  1  x  n dx Bài (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Cho n  * Chứng minh rằng: 1  n n 2C0n  C1n 22  C2n 23    1 Cnn 2n 1    1   n 1 n 1  HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng 2n 1 cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu nên ta sử dụng n 1  1  x  n dx Bài 3: 1/Tính tích phân 0 x1  x n dx 17 2/Chứng minh: C n0  C n1  C n2  C n3    1n 2n  C nn  2n  SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 3.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết dùng số phức để tính tổng C nk Đây vấn đề lớn cần ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng C kn tổng có hai đặc điểm: + Các dấu tổng xen kẽ + k lẻ, chẵn chia k cho số ta số dư (trong chương trình phổ thông ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) Lưu ý + Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument     ,   , ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Điều quan trọng phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm để lựa chọn cách Chủ yếu vào hệ số C nk tổng Để nói chi tiết điều đòi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho vài dạng hay gặp, qua người đọc trả lời câu hỏi cho 3.2 Bài tập: Dạng 1: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Bài 1: Tính tổng sau S = C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 2006 2008 18 P= 2007 2009 C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 Giải : Xét khai triển 1  i  2009 C C 2009 = 2006 2008  C2009  C2009   C2009  C2009  + 2007 2009  C2009  C2009   C2009  C2009 i 2009 Mặt khác ta tính 1  i 2009 theo dạng lượng giác số phức áp dụng công thức Moivre ta : 1  i  2009 =  2 2009 2009 2009   1004  cos  i sin  21004.i  =   1004 Vậy so sánh phần thực phần ảo ta có S = B= 21004 -3C18 +C20 Bài Tính tổng: D =310C020 -39C220 +38C420 -37C620 + +32C16 20 20 20 Giải: Xét khai triển:  i  20  ( 3)20C0  i( 3)19C1  ( 3)18C2   i 3C19  C20 20 20 20 20 20 -39C2 +38C4 -37C6 + +32C16 -3C18 +C20 ) = ( 310C0 20 20 20 20 20 20 20 +  ( 3)19 C1  ( 3)17 C3   ( 3)3C17  3C19 i  20 20 20 20  Mặt khác:  i   20  220  cos   1  220   i  2  20 π π  220  cos  isin  6  20   220  cos  20π 20π   isin 6   4π 4π    isin   220    i   219  219 i 3    So sánh phần thực  i 20 hai cách tính ta có: 19 19 D = 310 C020  39 C220  38 C420  37 C620   32 C16  3C18  C20 = - 20 20 20 n Dạng 2: Khai triển (1 + x) , đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp Bài 1: Tính tổng S= 2.3C220 -4.32C420 +6.33C620 - +18.39C18 -20.310C20 20 20 Giải: Xét khai triển: = C020  ( 3x)C120  ( 3x) C 220  ( 3x) C320   ( 3x)19 C19  ( 3x) 20 C 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x) 20 20 3(1  3x)19 =  20.310 x19C 20 = 3C120  2.3xC 220  3.( 3)3 x 2C320   19.( 3)19 x18C19 20 20 Cho x = i ta có: 20 3(1  3i)19 = =         17 17 19 19    3C1  3 C3  C5   17 C  19 C    20 20 20 20 20     2.3C2  4.32 C4  6.33C6   18.39 C18  20.310 C20 i 20 20 20 20 20   19 19 1  π π  19 19 19   Mặt khác: 20 3(1  3i) = 20 3.2   i   20 3.2  cos  isin    3  2 1 19π 19π     20 3.219  cos  isin i   10 3.219  30.219 i   20 3.219    3    2 So sánh phần ảo 20 3(1  3i)19 hai cách tính ta có:  20.310 C20 = 30.219 S = 2.3C220  4.32 C420  6.33C620   18.39 C18 20 20 Bài Tính tổng sau: -3C2 +5C4 -7C6 + +13C12 -15C14 M = C15 15 15 15 15 15 +6C5 -8C7 + +14C13 -16C15 N = 2C115 -4C15 15 15 15 15 20 Giải: Xét khai triển:  xC1  x 2C  x 3C3   x13C13  x14C14  x15C15 (1 + x)15 = C15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có:  x 2C1  x 3C  x 4C3   x14C13  x15C14  x16C15 x(1 + x)15 = xC15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =  C0  2xC1  3x 2C  4x 3C3   14x13C13  15x14C14  16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = =  C0  3C2  5C4  7C6   13C12 15C14  +  15 15 15 15 15 15   6C5  8C7   14C13  16C15  i +  2C115  4C15 15 15 15 15   Mặt khác: 15 14 (1 + i) + 15i(1 + i) =   2   2  2 15 14 14  π π π π  cos  isin  15i  cos  isin  4 4   15    15π 15π  14π 14π  7  cos  isin   15.2 i  cos  isin      15  15  2   i   15.27  27  27 i  15.27  14.27  27 i  7.28  27 i     So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta được:  3C2  5C4  7C6   13C12 15C14 = 7.28 M = C15 15 15 15 15 15  6C5  8C7   14C13 16C15 = -27 N = 2C115  4C15 15 15 15 15 Các tập làm thêm 1) Tính tổng sau: 21 B  C0  2C2  3.4C4  5.6C6  7.8C8   21.22C22  23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B  C1  2.3C3  4.5C5  6.7C7  8.9C9   22.23C23  24.25C25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 2) Tính tổng sau: D  12 C1  32 C3  52 C5  72 C7   952 C95  972 C97  992 C99 100 100 100 100 100 100 100 2 98 100 D 2 C 4 C 6 C 8 C   98 C  100 C 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 2n 2n 3) Chứng minh C2 n  3C2 n  9C2 n  27C2 n    3 C2 n  cos n 2n 4) Tính tổng sau S = C20  3C20  C20  C20   C20 2 10 20 IV Hiệu SKKN Như nói trên, việc áp dụng đề tài học sinh lớp 12C1 12C3, thu kết sau (kết thúc học kì năm học 2012-2013) Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 19.5% 35 80.5% 12C3 44 12 34.1% 32 65.9% Như vậy, qua việc áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, điều không nằm dự đoán kết em học sinh nâng lên đáng kể Quan trọng học sinh cảm thấy tự tin với loại toán này, tạo niềm tin hứng thú cho em học tập 22 C Kết luận: Qua thời gian viết SKKN vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn xác Đồng thời em có nhìn tổng thể cách giải toán Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kỳ thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, nhận thấy chuyên đề tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ trình áp dụng SKKN là: Phải thường xuyên học hỏi trau chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho em thấy tinh thần nghiêm túc hăng say nghiên cứu khoa học mình, có học sinh noi gương Thầy tâm ham mê học tập, từ để em không cảm thấy áp lực học tập Triếp theo là, thường xuyên tạo tình có vấn đề, kích thích tìm tòi học tập học sinh Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhiều dạng, tài liệu trình bày phần nhỏ Trong trình thực đề tài, nhận góp ý quý báu đồng nghiệp, Song thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài, nên đề tài không tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài 23 [...]... 2007 Bài 7: Tính tổng: 2008C2007  2007C2007   C2007 HD : Xét  x  12007 2 SỬ DỤNG CÔNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 1 2 3 4 1 n Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; ; ; ; ; ; và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Khi...  HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng 2n 1 cuối cùng có hệ số nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng n 1 2  1  x  n dx 0 Bài 3: 1/Tính tích phân 0 x1  x n dx 1 17 2/Chứng minh: 1 C n0  1 C n1  1 C n2  1 C n3   2 4 6 8  1n 2n  2 C nn  1 2n  2 3 SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 3.1 Phương pháp Các dấu... thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi nhận thấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn và chính xác Đồng thời các em đã có được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này Điều này phần nào tạo cho các em học sinh có được tâm thế tốt khi sắp bước vào các kỳ thi... Tiếp theo ta nghiên cứu các bài toán cụ thể theo cách chia dạng sau: 2.2 Bài tập Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức Bài 1: Tính: 2 Cn0  4Cn1  26 2 3n 1  1 n Cn   Cn 3 n 1 Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân) , quan sát số hạng cuối có hệ số 3n 1  1 , n 1 3 ta biết cận từ 1 đến 3 Nên ta sử dụng 1 (1  x ) n dx Giải: 3 có 1 (1  x)n dx Ta... n 1 Bài 3 (ĐH Khối B-2003) Cho n  * Tính tổng: S  C0n 22  1 1 23  1 2 2n 1  1 n  Cn  Cn   Cn 2 3 n 1 Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, các 2n 1  1 cận và số được thay vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ số nên ta biết cận n 1 2 từ 1 đến 2 và tổng... thần nghiêm túc và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học sinh mới noi gương Thầy quyết tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áp lực trong học tập Triếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòi học tập ở học sinh Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức còn rất nhiều dạng, nhưng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ Trong... Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như trên để tính thì kết quả nhanh hơn Bài 2: Tính tổng Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, S= 2Cn0  1 n 1 1 2 1 1 3 2 1 2 Cn  2 Cn   (1) n 2n 1 Cnn 2 3 n 1 gắn với Cnn , có dấu hiệu dùng tích phân, 2 quan sát hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là 0 (1  x)n dx Giải:  2 0 (1  x) n dx... là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính + Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là   3   6 ,   4 , ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính + Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường... việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là một chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn nữa Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là: Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp Người... thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các C nk trong tổng Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho một vài dạng ... giải toán tổ hợp, từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Tôi chọn đề tài Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp làm sáng kiến kinh nghiệm Đồng... “ Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp lại trùng với việc trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông em học sinh tâm thi vào trường Đại học. .. chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, có sử dụng đạo hàm, tích phân, số phức thật mẻ Song nội dung viết trình bày số toán tổ hợp hay gặp mà cách giải tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân