SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC” I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng tốn quan tâm đến nhiều kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hướng đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen Trong q trình tr c tiếp giảng dạy nghiên cứu t i thấy dạng tốn kh ng khó mà c n hay, l i em học sinh giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu tốn c c trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, t i viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp Đứng trước th c trạng trên, với tinh thần u th ch m n, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u th ch m n tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học, t nghiên cứu Được s động viên, giúp đ thầy hội đồng m n Tốn sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Tốn – Tin học trường T T hàm Rồng T i đ mạnh dạn viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức” II THỰC TRẠNG TRƢỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức đ học, tập đ luyện tập - ọc sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, t u th ch m n học học - Có s kh ch lệ từ kết học tập học sinh th c chun đề - Được s động viên BG , nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đa số học sinh yếu bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp tốn liên quan đến bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Khơng nhận biết Nhận biết, Nhận biết kh ng biết vận dụng biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh Số lượng 60 20 Tỉ lệ % 66,7 22,2 9,9 1.1 III NỘI DUNG CHUN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh kh ng kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn d t hoc sinh có kiến thức nâng cao cách t nhiên kh ng áp đặt kiến thức nâng cao N i dung 2.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU  a, b  Bài tốn Cho  , tìm GTNN a  b  P 1 a  b  2ab Giải Lời giải Ta có: P  1 a  b  4    2 2 2ab a  2ab  b  (a  b)  1  a  b2  2ab  Dấu “=” xảy   a  b  MinP ? ? (a  b)    (vô nghiệm) Vậy kh ng tồn a  b  Lời giải Ta có: P  1 a  b  1 4      2 6ab 3ab a  6ab  b  3ab (a  b)   4ab 3ab ab Mặt khác ab     Vậy P     ab 2      ab 6     1  a  b2  3ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1 Lời giải sai?   a b ab 1 ? ? Làm nhận biết điều đó…?   2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị 2.1 PHƢƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng r i Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, c ng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số th c kh ng âm a1, a2 , , an (n  2) ta ln có: xảy a1  a2  a1  a2  n  an * Một vài hệ quan trọng:  (a1  a2  1  an )     a1 a2  1   a1 a2 n2   an a1  a2   Cho 2n số dương n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có:  1   n với ai  0, i  1, n an   an với ai  0, i  1, n  an  n a1a2 an Dấu “=” n (a1  b1 )(a2  b2 ) (an  bn )  n a1a2 an  n b1b2 bn Trong chứng minh bất đẳng thức, đ i việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở kh ng thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện lu n thỏa m n suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số v dụ sau: Ví dụ 1: Cho a  3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ a Phân tích tìm tòi lời giải Xét bảng biến thiên a, a S để d đốn Min S a 10 11 12 … 30 a 10 11 12 … S 31 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 30 … 30 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc d đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo s ấn tượng ta nói Min S= 10 đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức c si xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta kh ng thể sử dụng bất đẳng thức c si tr c tiếp cho số a a  Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức c si cho cặp số  a ,  cho “điểm rơi:a=3”thì  a  a   a tức ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a    a=3      9  1   a Từ ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu Lời giải: S=a+ =  a   + a 9 a a 8a   a Vậy với a=3 Min S= +  10 = 10 Ví dụ 2: Cho a  6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + 18 a Sơ đồ điểm rơi : a=6  18 36        a  18  a Lời giải: S=a +  18 36    18 18      a a 36      18 a  a2 = 2  =6 a a + 1    18     a   + 1  a  6 a2  18  6   a   1  .6 =36 6  6 Vậy với a=6 Min S=2a+3 a  + 1  +3    a 6 6  a, b  1 , tìm GTNN biểu thức P  2   4ab ab a b a  b  Ví dụ 3: Cho  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : P 1 4      4ab    4ab    4ab  2 2ab 2ab a b a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab  Mặt khác Sai lầm 2: 1  4ab  4ab  2 Vậy P   2 nên MinP  2(2  2) 2ab 2ab 1   1 1 Dấu xảy   ab    ab         4ab  4ab (a  b)2 2ab 4ab 4ab 4ab a2  b2 ab  a  b2  2ab  1 1   a  b  Thay a  b  vào ta P   MinP  a  b   a 2b2  16 2  a  b   P Ngun nhân sai lầm: 1 thói   ab 2ab 2ab a  b    ab  VN Dấu “=” quen để làm xuất a2  b2  2ab  (a  b)2 MinP   2   ab   a  b  Sai lầm 1: ọc sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách bất đẳng thức kh ng xảy  kh ng kết luận MinP   2 Sai lầm 2: ọc sinh đ có khái niệm điểm rơi, d đốn dấu a  b  đ tách số hạng MinP  a  b  đúng, bước cuối học sinh làm sai V dụ (1  x)2  x  x , dấu xảy x   Min ( x  1)2  x   1?? Lời giải đúng: Do P nên 2 biểu thức đối xứng với a, b , ta d đốn MinP đạt a  b  , ta có: 1   1   ab     ab  7   4ab  4ab (a  b)2 2ab a  b2 2ab   ab 4    a  b2  2ab  1  ab Dấu xảy  a 2b2  16  a  b    a, b  1 , tìm GTNN biểu thức S  3   a b a b ab a  b  Ví dụ 4: Cho  Sai lầm thường gặp: Ta có: S  1 2 2 1       3    2 2 2  a b ab  a  b 3a b 3ab 3a b 3ab a  b  3a b  3ab 1 1      9 (a  b) ab  a b  MinS   ab     59  ab 59 a  b3  3a 2b  59 (vn) Ngun nhân sai lầm: MinS   a  b a  b   Lời giải đúng: Ta d đốn dấu xảy a  b  , ta thấy: a3  b3  3a2b  3ab2  (a  b)3 ta muốn xuất (a  b)3 , ta áp dụng bất đẳng thức 1   vậy: a  b3 2a 2b 2ab 1    3 a  b 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) Ta kh ng đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: S 1 1 25       a3  b3 2a 2b 2ab2 2a 2b 2ab2 (a  b)3  ab(a  b) 25  20 Dấu xảy 3 ( a  b) (a  b)  a  b  Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia Cho 2n số dương n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22  Dấu “=’ xảy  a1 a2   b1 b2   an2 )(b12  b22   bn2 ) an (quy ước bi    0) bn * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: a1  a 22   a n2 b12  b22  bn2   a1 b1  a b2   a n bn  Dạng 2: a12  a22   an2  b12  b22  bn2   a1b1  a2 b2 .an bn Dạng 3: a12  a22   an2  b12  b22   bn2   a1 b1  a2 b2   an bn Dấu bằng: Dạng 1, dạng  Ví dụ 1:Cho S= a2   a , b, c   a  b  c  a a1 a    n b1 b2 bn ;dạng  a a1 a    n  b1 b2 bn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  b2   c2 2 b c a hân t ch tìm t i lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:   [a12  a 22 ] b12  b22  a1b1  a b2 Dấu xẩy  a1 a  0 b1 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác ngồi Xét đánh giá giả định với số α, β   2    a    a         b  b   2 2    1 a   b 2 2 2 c2   S (2)      c    c   a       a    2 2  (3)  1  a 2 2 (1)   2     b   b         2 a  c        1 b   c  2 +      1   (a  b  c)    a  b  c   S    2 2 Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên d đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức , , đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: a  b b Sơ đồ: a=b=c=2  b  c     4  a b c       c  1 1 b c a  1 a Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2  1   a  2 b b 17   1  2 (  )   4a   b 17   b2  1   b  2 c c 17   1  2 (  )   4b   c 17   c2  1   c  2 a a 17   1  2 (  )   4c   a 17    S   1 1 15  a b c 1  (a  b  c)          4a  4b  4c       a b c 17  17   4 a b c   15 a b c 1 1    66        4 a b c  17  Với a=b=c=2 Min S= 3 17   45  17      17 a,b,c > Ví dụ 2: Cho Tìm Min S= a2  1  b2  c2  bc ca ab abc  Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số  ,    2         a  a   bc  b  c    (1)   2         b  b   ca  c  a    (2)   2         c  c   ab  a  b    (3)  +           S   (a  b  c)     ab  S  bc    ca   1   a  b  c         S o  bc c  a   ab 2 2  Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức , , đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a  a=b=c=2  b  c     b  4  a b c       b  1 1 b c a  1 a Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   (4  )  4a  a   bc  b  c      2  2   (4  )  4b  b   ca  c  a    +   2  2   (4  )  4b  c   ab  a  b      1   17 S  4(a  b  c)     a  b b  c c  a    4(a  b  c)  a  b b  c c  a  4(a  b  c)   4(a  b  c)  (12  12  12 )a  b  b  c   c  a  ab  bc  ca  4(a  b  c)   31 abc 9 ( a  b  c)    8 6(a  b  c) 6(a  b  c)  31 abc 9 93 51   33     8 4 2 6(a  b  c) 6(a  b  c) S 51 17  3.17 3.17  2.17 Với a=b=c=2 S= 17 6(a  b  c) Ví dụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ 2abc  10 Chứng minh 2 2 2 2 S= 82  9b  c a  82  9c  a b  82  9a  b c  6 a b c *Lời giải: D đốn điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiac pski có: +  18  9b c a     9b  ca a a2  18  9c a b     9c  ab b b2  18  9a b c     9a  bc c c2 _  1 1  24 S  4    +9(a+b+c)+ab+bc+ca a b c 4  4  4     a     b     c   (2a  bc)  (2bb  ca )  (2c  ab)  6(a  b  c) a  b  c  2 4 a  b   c  abc  abc  abc  6(a  b  c) a b c  12  6(a  b  c  2abc)  12  6.10  72  S  72 / 24  6 * Bài tập tƣơng tự (trích dẫn đề thi đại học)  x, y , z  , chứng minh rằng: xyz   Bài1: Cho  m  x3  y m  y3  z3 m  z  x3    3 , với xy yz zx m  N  : Nếu m  đề thi Đại học khối D năm 2005 Bài 2: Cho x, y, z số thỏa x  y  z  , chứng minh rằng:  x   y   z  (đề tham khảo 2005) Bài 3: Cho a  2, b  3, c  , tìm GTLN: P  ab c   bc a   ca b  abc Bài 4: Cho a, b, c số dương thỏa m n a  b  c  Chứng minh rằng: a  3b  b  2c  c  3a  (ĐTK 2005)  a , b, c  , tìm GTNN biểu thức sau: a  b  c   Bài 5: Cho  1 1    a  b2  c ab bc ca 1 1 1 S      a  b2 b2  c c  a ab bc ca 1 1 1 Q      a  bc b  ca c  ab ab bc ca P Chú ý: Cần ý hai bất đẳng thức C si Bunhiac pxki, biết dấu hiệu dùng bất đẳng thức hát dấu hiệu có bình phương thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện số dương khả nghĩ tới C si Cách giải phải ngược qui trình th ng thường Đầu tiên phải d đốn điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi đ d đốn… IV KẾT QỦA Chun đề đ th c giảng dạy t i tham gia dạy 10NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong q trình học chun đề này, học sinh th c s thấy t tin, biết vận dụng gặp tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u th ch m n tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học, t nghiên cứu Kết sau th c chun đề: Khơng nhận biết Nhận biết, Nhận biết kh ng biết vận dụng biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh Số lượng 50 37 Tỉ lệ % 0.0 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc l a chọn sử dụng linh hoạt kiến thức đ học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chun đề mang t nh chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy s sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Q trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, t i đ hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm t ch lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo t giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chun đề học sinh thấy t tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u th ch m n tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học t nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ th c tế giảng dạy chun đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải n m ch c kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chun đề mở rộng, nâng cao, kh c sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dư ng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chun đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh VII KẾT LUẬN Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ng n gọn thú vị độc đáo việc kh ng dễ Do chun đề nhiều chun đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, s sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh n m ch c kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân t ch tìm hướng giải, b t đầu từ đâu b t đầu quan trọng để học sinh kh ng sợ đứng trước tốn khó mà tạo s t tin, gây hứng thú say mê m n tốn, từ tạo cho học sinh tác phong t học, t nghiên cứu Tuy nội dung chun đề rộng, song khu n khổ thời gian có hạn người viết v dụ, tốn điển hình Rất mong s đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chun đề đầy đủ hồn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 200 Tạp ch Tốn học tuổi tr năm 2010 Các dạng Tốn LT Đ han uy Khải- NXB Nội năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn ạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013 Người th c Lê Thị Thuỷ [...]... linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đ học, tạo nền tảng cho học sinh t học, t nghiên cứu Kết quả sau khi th c hiện chun đề: Khơng nhận biết được Nhận biết, Nhận biết và nhưng kh ng biết vận dụng biết vận dụng ,chưa giải được hồn chỉnh Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hồn chỉnh Số lượng 0 3 50 37 Tỉ lệ % 0.0 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức nói... cho học sinh t học và t nghiên cứu 3 Bài học kinh nghiệm Từ th c tế giảng dạy chun đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải n m ch c các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chun đề mở rộng, nâng cao, kh c sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dư ng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chun đề này chủ yếu đưa... tới C si Cách giải phải đi ngược qui trình th ng thường Đầu tiên phải d đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đ d đốn… IV KẾT QỦA Chun đề này đ được th c hiện giảng dạy khi t i tham gia dạy 10NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây Trong q trình học chun đề này, học sinh th c s thấy t tin, biết vận dụng khi gặp...  S  1 bc    ca 1   1 1 1   a  b  c         S o  bc c  a   ab 2 2  1 Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức 1 , 2 , 3 đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a  a=b=c=2  b  c     1 b  4 1  a b c 4       b  1 1 1 1 b c a  1 1 a Từ đó ta có lời giải... nhau, việc l a chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đ học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chun đề này chỉ mang t nh chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy s sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1 Q trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng... (ĐTK 2005)  a , b, c  0 , tìm GTNN của các biểu thức sau: a  b  c  1  Bài 5: Cho  1 1 1 1    a 2  b2  c 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 S 2      a  b2 b2  c 2 c 2  a 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Q 2  2  2    a  bc b  ca c  ab ab bc ca P Chú ý: Cần chú ý hai bất đẳng thức C si và Bunhiac pxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào hát hiện các dấu hiệu như có các bình phương... năm, t i đ hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và t ch lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo t giải 2 Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chun đề này học sinh thấy t tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u th ch m n tốn, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đ học, tạo nền tảng cho... b  c) Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ 2abc  10 Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S= 82  9b  c a  82  9c  a b  82  9a  b c  6 6 a 2 4 b 2 4 c 2 4 *Lời giải: D đốn điểm rơi: a = b = c = 2 Sử dụng bất đẳng thức bunhiac pski có: + 2  18  4 8 9b 2 c 2 a 2 4     9b  ca 2 4 a a2 2  18  4 8 9c 2 a 2 b 2 4     9c  ab 2 4 b b2 2  18  4 8 9a 2 b 2 c 2 4     9a  bc 2 4 c... song trong khu n khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các v dụ, bài tốn điển hình Rất mong s đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chun đề này được đầy đủ hồn thiện hơn VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 200 2 Tạp ch Tốn học và tuổi tr năm 2010 3 Các dạng Tốn LT Đ của han uy Khải- NXB à Nội năm 2002 4 263 bài bất đẳng thức. .. thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh VII KẾT LUẬN Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ng n gọn thú vị và độc đáo là một việc kh ng dễ Do đó đây chỉ là một chun đề trong rất nhiều chun đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, s sáng tạo ... điểm rơi việc giải tốn cực trị 2.1 PHƢƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng r i Đây bất đẳng thức. .. b)  a  b  Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia... dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1 Lời giải sai?   a b ab 1 ? ? Làm nhận biết điều đó…?   2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật chọn điểm