SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGƢỢC TỪ CUỐI" I.PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài: Giáo dục Tiểu học giáo dục toàn diện cho học sinh Trong năm gần đây, bậc Tiểu học có tổ chức nhiều sân chơi trí tuệ cho học sinh như: Cuộc thi Trạng nguyên nhỏ tuổi ; Giao lưu Toán Tuổi thơ Báo Nhi đồng tổ chức; Giải Toán online mạng internet; Giao lưu Học sinh giỏi bậc Tiểu học; môn Toán môn học quan trọng góp phần tạo nên thành công em Đặc biệt với thi giải Toán online giao lưu Toán tuổi thơ, em cần phải có kiến thức toán học chắn, hệ thống kiến thức rộng sâu Để có kết cao kì thi vậy, em cần hỗ trợ, trợ giúp giáo viên Chính mà công tác bồi dưỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết Trong chương trình toán tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không nhằm giúp em giải toán khó, mà qua bồi dưỡng khả tư duy, suy luận để áp dụng vào sống đòi hỏi người Có nhiều dạng toán, toán có nhiều cách giải khác Trong có cách giải dùng đến kiến thức lớp trên, chưa phù hợp với tư học sinh tiểu học Một vấn đề cần quan tâm với nội dung toán cần giải theo lôgic khả suy nghĩ em Đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp – gặp không khó khăn học sinh lớp 4, lớp 5, bước đầu có tư toán học Một số em khá, giỏi thích tìm tòi, khám phá Đặc biệt, toán khó thường hấp dẫn với em Các em dễ nhàm chán không hứng thú với toán dễ đơn giản Mặt khác, học sinh giỏi đạt giải cao kì thi nhiều yếu tố: Tố chất học sinh, quan tâm gia đình, việc bồi dưỡng giáo viên, …và không ngoại trừ yếu tố may mắn Tuy nhiên không chờ đợi cầu mong may mắn Phương ngôn có câu: Trở thành nhân tài phần tài chín mươi chín phần luyện Theo quan điểm tôi, điều quan trọng phải trang bị cho em kiến thức vững vàng trước thi Do việc bồi dưỡng quan trọng Song bồi dưỡng học sinh giỏi nội dung gì, bồi dưỡng để đạt hiệu quả? Điều vấn đề nan giải Trong viết muốn đề cập đến phương pháp giải toán quen thuộc gần gũi với học sinh tiểu học dạng toán mà khiến em hay có nhầm lẫn giải khó tim lời giải Đó Giải toán phương pháp tính ngược từ cuối ( suy luận từ cuối - suy luận từ lên ) Với loại toán cần giúp học sinh phân loại nào?, có cách giải nào?, bước giải thực trình tự nào? Qua muốn trao đổi đồng nghiệp quan tâm đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán số vấn đề xung quanh cách suy nghĩ, dẫn dắt học sinh nhận dạng toán tìm tòi lời giải cho toán 2/ Mục đích nghiên cứu Thời gian gần đây, công tác bồi dưỡng HS giỏi trường gặp nhiều khó khăn, hiệu chưa cao, số lượng HS giỏi thấp ( số lượng giải chất lượng giải ) Được phân công bồi dưỡng HS giỏi lớp từ năm học 2007 – 2008, nhận thấy học sinh nhiều hạn chế việc nhận dạng toán, trình bày lời giải gặp nhiều khó khăn nên mạnh dạn tìm tòi nghiên cứu để nâng cao chất lượng HS giỏi trường tiến kịp với trường bạn huyện, tỉnh Phƣơng pháp nghiên cứu: 3.1 Phương pháp quan sát: Phương pháp quan sát sử dụng trình bồi dưỡng em học sinh hàng ngày, hàng giờ, quan sát em qua nhận thức tiếp thu kiến thức truyền tải giáo viên nhằm tìm hiểu rõ thông tin phản hồi học sinh tìm hiểu khả tiềm ẩn bên em Việc sử dụng phương pháp nhằm thu thập thông tin sơ cấp thực trạng học sinh thông qua trực giác, ghi chép, nhằm xoay quanh vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi 3.2 Phương pháp phân tích tài liệu: Trong trình thực báo cáo, sử dụng phương pháp để tổng hợp phân tích tài liệu có sẵn kết nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến vấn đề nghiên cứu 3.3 Phương pháp xử lý thông tin: Phương pháp xử lý thông tin thực bước chuyển chất từ thông tin cá biệt thu thập từ học sinh đơn vị nghiên cứu riêng biệt thành thông tin tổng hợp đặc trưng cho tổng thể nghiên cứu Kết việc xử lý thông tin thông tin thể tính tổng thể đối tượng nghiên cứu Thông tin nói lên kiểm định chứng minh thực tế Từ thực tế, thực nghiệm đến lý luận tiến hành khái quát kết sở báo cáo 4/ Đối tƣợng nghiên cứu: Học sinh lớp - lớp 5, trường Tiểu học Kim Ngọc, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc 5/ Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2012 – 2013 đến năm học 2013 – 2014 II PHẦN NỘI DUNG A CƠ SỞ NGHIÊN CỨU 1/ sở lý luận Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng, khó khăn đỗi vinh dự Học sinh giỏi học sinh có tố chất đặc biệt khác với học sinh khác kiến thức, khả tư Như vậy, tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải có chuẩn bị đầu tư nhiều tiết dạy bình thường lớp, chí phải có trình tích lũy kinh nghiệm qua thời gian đạt hiệu thuyết phục học sinh, làm cho em thực hứng thú tin tưởng Đó yêu cầu Ban giám hiệu trường mục tiêu người bồi dưỡng Giáo viên tham gia bồi dưỡng phải có học tập trao đổi nhiều với lòng tâm cao đạt yêu cầu công việc Bởi học sinh giỏi có nhiều điểm khác so với học sinh bình thường từ kiến thức tư duy…Vì vậy, với chuyên đề đưa suy nghĩ với mong muốn góp phần trao đổi kinh nghiệm, chia học tập lẫn để tiến Đó nội dung, mục đích hướng tới sáng kiến kinh nghiệm 2.Cơ sở thực tiễn Trên thực tế thời gian thi môn Toán 90 phút song nội dung chương trình thi lại rộng.Vì đòi hỏi em cần lĩnh hội kiến thức cách chắn đầy đủ,điều yêu cầu khó khăn cho người dạy lẫn người học.Đồng thời thời gian bồi dưỡng giáo viên chưa nhiều,chỉ bồi dưỡng qua tiết theo thời khóa biểu.Vì giáo viên nhiều băn khoăn cần nghiên cứu tìm giải pháp khắc phục mục đích đề tài B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: 1.Thuận lợi : - Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực tới đề tài: + Là giáo viên đứng lớp qua nhiều năm kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy dành nhiều thời gian tâm huyết để nghiên cứu suy ngẫm chuyên môn tính hiệu lên lớp, đặc biệt dạy bồi dưỡng học sinh giỏi + Bản thân chịu khó tìm tòi, nghiên cứu, tham khảo nhiều tài liệu, tập nâng cao, đề thi học sinh giỏi thành phố, tỉnh, quốc gia…Sau đó, ghi chép tích lũy thường xuyên + Bản thân thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp dạy để học hỏi đúc rút kinh nghiệm cần thiết để áp dụng trình bồi dưỡng - Yếu tố khách quan ảnh hưởng tích cực đến vấn đề liên quan đến đề tài: + Ban giám hiệu có động viên sâu sắc mức đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi + Một số học sinh giỏi siêng ham học + Những năm gần nhiều kì thi HSG tiếng tổ chức giải Toán qua mạng Internet,cứ hai tuần mở vòng thi giúp học sinh dễ dàng vào thi thực gây hứng thú hút em; thi Trạng nguyên nhỏ tuổi, Giao lưu học sinh giỏi, Giao lưu Toán tuổi thơ thực sân chơi bổ ích thu hút em b.Khó khăn: - Trường trường vùng nông thôn, tài liệu sách tham khảo thư viện hạn chế Vì thế, chưa có đủ tư liệu để học sinh giáo viên tham khảo, nghiên cứu cách thoải mái, dễ dàng Đa số học sinh em nông dân, gia đình nghèo nên cha, mẹ lo kinh tế thời gian quan tâm đôn đốc việc học em nên nguồn học sinh giỏi hạn chế - Hầu hết gia đình em chưa co máy vi tính nối mang Internet C GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: I Thế giải toán phương pháp tính ngược từ cuối ? Một số toán mà ta tìm đại lượng chưa biết phải thực liên tiếp phép tính (hoặc trình biến đổi) ngược với phép tính cho đầu toán, với hỗ trợ sơ đồ, Như từ kết cuối cùng, ta tính ngược lại để tìm giá trị trước cuối tiếp tục giá trị số phải tìm Giải toán phương pháp gọi phương pháp tính ngược từ cuối suy luận từ cuối suy luận từ lên II Một số dạng Loại toán giải phương pháp tính ngược từ cuối có nhiều dạng Trong viết này, xin đưa số dạng bản, gần gũi với học sinh Tiểu học hướng giải cho dạng toán 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi phép tính đơn giản, trình tìm tòi cách giải dùng lược đồ đưa toán tìm x quen thuộc 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( phép chia phức tạp ) trình tìm tòi cách giải giải nên sử dụng sơ đồ đoạn thẳng , phương pháp đặc biệt phù hợp với học sinh Tiểu học 3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi việc thêm bớt từ phần qua phần số đơn vị số lần số phần địa cần đến Phương pháp suy luận để tìm tòi cách giải chuẩn xác gần gũi, phù hợp với nhận thức em cách lập bảng biến đổi 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối phần chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" mối quan hệ giá trị " áp chót" gía trị cuối để suy kết toán III Các ví dụ hướng dẫn Dạng thứ nhất: Ví dụ 1.1: Tìm số biết lấy số cộng với 32, đem chia cho 3, nhân với 120 Hướng dẫn giải: Với toán dạng này, ta sử dụng cách: + Dùng lược đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đưa toán " tìm x" ( Lập phương trình ) Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt em mức trung bình vươn lên giỏi ), ta nên hướng dẫn em sử dụng lược đồ sau: A? +32 - 32 :3 B x3 C X4 :4 120 Nếu ta quay lược đồ theo chiều ngược lại ta có cách nói suy luận từ lên A? - 32 +32 B x3 : C A :4 120 Bằng dấu mũi tên ngược với trình biến đổi đề ta dễ dàng giúp em tìm kết toán  C x = 120 Vậy, muốn tìm C ta làm ? ( 120 : = 30 Vậy C = 30 ) x4  B : = 30 Vậy, muốn tìm B ta làm ? ( 30 x = 90 Vậy B = 90 )  A + 32 = 90 Vậy, muốn tìm A ta làm ? ( 90 - 32 = 58 Vậy A = 58 - Đây số phải tìm toán ) Lưu ý: Lược đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tòi cách giải Nếu vẽ vào làm rườm rà thời gian Bài giải cụ thể: Số trước nhân với là: 120 : = 30 Số trước chia cho là: 30 x = 90 Số phải tìm ( hay trước cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58 Bài toán ta hướng dẫn học sinh giải phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng sau: Số cần tìm : 32 Số sau cộng với 32: Số sau chia cho 3: Cuối : 120 Lưu ý: Số sau cộng với 32 hay trước chia cho * Giải cách đưa toán tìm X ( tìm thành phần chưa biết phép tính - lập phương trình ) Gọi số cần tìm X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Giải: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lưu ý: toán tìm X dạng bản: X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b, X:a=b; a:X=b Trong a, b số biết X số cần tìm Hầu hết toán tìm X tiểu học ( giải phương trình bậc có ẩn số ) không dạng bản, qua số biến đổi tương đương đưa dạng Ví dụ 1.2: Tìm số biết số nhân với cộng với 45, nhân với chia cho cuối trừ 17 kết 2073 Hướng dẫn giải:  Dùng lược đồ: x5 X? X? :5 + 45 A - 45 B x4 :4 C :2 x2 D - 17 2073 +17 Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu đây) Số trước trừ 17 : 2073 + 17 = 2090 Số trước chia cho : 2090 x = 4180 Số trước nhân với : 4180 : = 1045 Số trước cộng với 45 : 1045 - 45 = 1000 Số phải tìm : 1000 : = 200 Đáp số: 200  Dùng sơ đồ đoạn thẳng Dạng tìm tòi cách giải phương pháp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng phải vẽ phiền phức Cách vẽ cách trình bày tương tự ví dụ 1.1, nên không trình bày  Sử dụng cách đưa toán tìm X Việc sử dụng cách đưa toán tìm X đơn giản, tương tự ví dụ 1.1, việc đưa giải phương trình chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý Cụ thể: Gọi số phải tìm X ta có: (X x + 45 ) x : - 17 = 2073 Giải toán ta tìm X = 200 Cách giải tương tự ví dụ 1.1 trình bày - Dạng thứ hai: Ví dụ 2.1: Một người đem bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam lại, lần thứ ba bán 20 56 Hỏi lúc đầu người có tất cam ? Hướng dẫn giải:  Dùng lược đồ: Dạng dùng lược đồ khó khăn việc biểu diễn phần lại sau lần bớt Cụ thể: Bớt 1/3 X X? A Bớt 1/3 A - 20 B 56 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải toán ) + Bán 20 quả, 56 Vậy, muốn tìm số cam trước bán 20 ta làm nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Như B = 76 ) + Bớt 1/3 A B, tức 76 Vậy, muốn tìm A ta làm ? Hướng dẫn cách nghĩ: A bớt 1/3 A, mà A 76 , A = 76: 2/3 = 114 ( trình bày A = 76 : x = 114) Vậy A = 114 + Bớt 1/3 X A, tức 114 Vậy, muốn tìm X ta làm ?Tương tự cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) 171 Cách giải cụ thể: Trước bán 20 , người số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam lại trước bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam người đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( ) Đáp số 171  Dùng sơ đồ đoạn thẳng ( Phương pháp chủ công loại ) Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh chưa học phép tính phân số ) Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT Ta có SĐĐT sau: Số cam cần tìm: Số cam lại sau bán lần I: Số cam lại sau bán lần II : 20 Cuối 56 Hướng dẫn giải: Tìm số cam lại sau bán lần thứ hai ( hay trước bán lần thứ ba ) Số cam lại sau bán lần thứ hai biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối 56 đoạn biểu diễn 20 Như vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ hai ta làm nào? ( 56 + 20 = 76 ) Tìm tiếp số cam lại sau bán lần thứ Số cam biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần 76 Vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ ta làm nào? ( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phần cụ thể 76 : x = 114) Tìm số cam người đem bán Toàn số cam biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam người đem bán ta làm ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171) Bài giải cụ thể: Số cam lại sau bán lần thứ hai : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (quả) Số cam lúc đầu : 114 : x = 171 ( quả) Đáp số: 171 cam  Sử dụng cách đưa toán tìm X: Với dạng này, ta hướng dẫn học sinh giải cách đưa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh chưa học phép tính phân số Ta đưa toán tìm X không thuộc dạng sau: Gọi số cam cần tìm X ( X số tự nhiên lớn - đơn vị : ) 3 X - x X - x ( X - x X ) - 20 = 56 Ví dụ 2.2: Một người đem bán số trứng sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng lại lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng lại sau hai lần trước lại biếu khách Cuối người 10 trứng Hỏi lúc đầu người có trứng đem bán ? Hướng dẫn giải:  Dùng sơ đồ đoạn thẳng Như loại này, sử dụng phương pháp dùng SĐĐT để giải tối ưu Vẽ sơ đồ: Một nửa Số trứng ?: Số trứng lại sau lần bán thứ nhất: Một nửa Số trứng lại sau lần bán thứ hai : Một nửa Cuối : 10 Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ lên ): + Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng Muốn tính nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 11 x = 22 ) + Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ gồm 22 Từ dễ thấy cách tính số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 Từ dễ thấy cách tính số trứng người đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Bài giải cụ thể: Số trứng lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( ) Số trứng người đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Đáp số: 94 trứng Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 ; 22 : - = 10  Dùng lược đồ: X- X -1 A- A A X? -1 B- B B -1 10 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt ) + Tìm B: B - B - = 10 B - = 10 B + Tìm A: A - A - = 22 A - = 22 A = 23 A = 23 x = 46 + Tìm X: X - X - = 46 X = 47 X = 47 x = 94 X - = 46 = 11 B = 11 x = 22 Nhận xét: Với cách rõ ràng học sinh phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với tư học sinh tiểu học  Đưa toán "tìm X ": Trong trường hợp này, đưa toán " tìm X " phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh nắm nên chuyển thành bước nhỏ sau: Gọi số trứng người đem bán X ( X số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng lại sau lần bán thứ là: X- X -1= X –1 Số trứng lại sau lần bán thứ hai là: X -1- 1 ( X 2 - 1) - = X - Số trứng lại sau lần bán thứ ba là: X - 1 - ( X 2 - Theo toán ta có: X - ) = -1= X- 10 X= 94 ( tự giải ) Qua cách giải ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT hợp lý Ví dụ 2.3: An có số bi đựng hộp Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi lại hộp bỏ lại bi Lần thứ tư An lấy 2/3 số bi lại lần lấy bỏ lại bi hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hướng dẫn giải:  Dùng SĐĐT (Phương pháp chủ công loại này) phần ba Số bi ? bi Số bi lại sau lần lấy T1: bi Số bi lại sau lần lấy thứ hai: bi Số bi lai sau lần lấy thứ ba: bi Cuối cùng: 15 bi Theo SĐĐT ta thấy: + Số bi lại sau lần lấy thứ ba có phần ? (3 phần) Ta tìm phần không ? Muốn tìm phần ta làm nào? (15 - = 10) Vậy số bi lại sau lần lấy thứ ba ? (10 x = 30 bi ) + Số bi lại sau lần lấy thứ hai chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm ? ( 30 - = 26 ) Vậy số bi lại sau lần lấy thứ hai ? ( 26 x = 52 ) + Số bi lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm ? - Trước hết phải tìm giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta làm ? ? ( 52 - = 51 ) - Để tìm giá trị phần ta làm ? ( 51 : = 17 ) Vậy, muốn tìm số bi lại sau lần lấy thứ ta làm ? ( 17 x = 68 ) + Số bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta tính giá trị phần trước ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần ta làm ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta làm ? ( 66 : x = 99 ) Bài giải cụ thể ( Lưu ý có số bước cần làm gộp để giải không dài dòng ) Số bi lại sau lần lấy thứ ba : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ hai là: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Số bi lúc đầu hộp An : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi Dạng vận dụng lược đồ đưa toán "tìm X " để giải có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh giỏi thật nên khuyến khích em giải theo nhiều cách khác Nhưng rõ ràng cách giải SĐĐT hợp lý Dạng thứ ba Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hộp B 20 bi từ hộp C sang hộp B 15 bi Lần thứ hai chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi từ hộp C sang hộp B bi Cuối hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hướng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng có nhiều cách, cách phù hợp với học sinh tiểu học lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào giải mà cần thực nháp để có cách trình bày xác Ta lập bảng sau: Nội dung chuyển Lần 1: - Từ A - Từ C Lần 2: - Từ B - Từ C Số bi hộp B 20 bi A B 15 bi 20 C 40 bi A 18 bi - Từ C B bi C 15 * 40 A bi Lần 3: - Từ B Cuối * B Hàng * * * 18 140 bi 160 bi * 180 bi Lưu ý: + Các dấu * ô 2A, 2B, 2C số bi lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * ô 3A, 3B, 3C số bi lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi hộp Dựa vào bảng trên, phương pháp suy luận từ lên ta tìm * hàng hàng cuối hàng - số bi hộp phải tìm  Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần thứ ba hay sau chuyển lần thứ hai ) - Số bi hộp C ( ô 3C ) Bớt bi 180 bi Vậy, muốn tính số bi hộp C trước chuyển lần thứ ba ta làm ? ? ( 180 + = 184) - Số bi hộp B ( ô 3B ) Bớt 18 bi thêm vào bi 160 bi Vậy, muốn tính số bi hộp B trước chuyển lần thứ ba ta làm ? bao nhiêu? ( 160 + 18 - = 174 ) - Số bi hộp A ( ô 3A) Thêm vào 18 bi 140 bi Vậy, muốn tính số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba ta làm ? bao nhiêu? (140 - 18 = 122) Ta tính số bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp nên tổng số bi ba hộp không đổi Đã tính hai hộp dễ dàng tính hộp lại Cụ thể: Tổng số bi ba hộp là: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi)  Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần hay sau chuyển lần thứ ) Bằng phương pháp suy luận ta tính số bi hộp hàng cách đơn giản sau: - Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Số bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi )  Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi ô hàng ) Bằng phương pháp suy luận tìm hàng 3, hàng ta dễ dàng tính số bi lúc đầu hộp - Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Như vậy, với toán phức tạp ( với HS tiểu học ) phương pháp dẫn dắt hợp lý, ta đưa giải nhiều toán " " mà toán " " việc tìm thành phần chưa biết phép tính, học sinh giải không khó khăn Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu " hàng ngang", ta hướng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu " cột dọc " Cách hữu hiệu Đây thực chất ta lại sử dụng lược đồ xếp theo kiểu cột Cụ thể sau: A C B - 20 A2 +20, + 15 -15 C2 B2 A3 +5 B3 - 40 140 + 18 160 -18, +4 180 C3 + 40, - -4 Nhìn vào lược đồ cột, thực theo chiều mũi tên "dài", ta dễ dàng tính số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bước giải toán làm gộp ngắn gọn sau: Số bi hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi ) Số bi hộp B lúc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Số bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi ) Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A B Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A số lít dầu gấp lần số lít dầu có thùng A Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B số lít dầu số lít dầu có thùng B cuối thùng A có 48 l, thùng B có 60 l Hỏi lúc đầu thùng có lít dầu ? Đây toán thuộc dạng thứ ba Trong cần lưu ý, chuyển từ địa sang địa khác có cách: - Chuyển số đơn vị cụ thể ( tương tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa chuyển đến Hướng dẫn giải:  Lập bảng Nội dung chuyển Số bi hộp Hàng A B Lần 2: Chuyển từ B A số lít dầu 2A gấp lần số dầu có A 2B Lần 3: Chuyển từ A B số lít dầu 3A số dầu có B 3B Cuối 60 lít Lần 1: Chuyển 26 bi từ A B 26 48 lít + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ ba ( ô 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B) Sau chuyển lần thứ ba ( cuối ), thùng B có 60 l Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu số dầu thùng B có để 60 l Vậy trước chuyển lần thứ ba thùng B có lít dầu ? Muốn tính ta phải làm ? ( 60 : = 30 - minh hoạ SĐĐT để em dễ hiểu ) - Số lít dầu thùng A ( ô 3A ) Bớt 30 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba ta làm ? ( 30 + 48 = 78 - 48 + 60 - 30 = 78 ) + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ hai - Số lít dầu thùng A ( ô 2A ) Được thêm lần 78 Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai ta làm ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu 78 có thêm - Số lít dầu thùng B ( ô 2B ) Muốn tính số lít dầu ô 2B ta làm ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước chuyển lần thứ - Số lít dầu thùng B lúc đầu: Được thêm 26 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta làm ? ( 82 - 26 = 56 ) - Từ tìm số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )  Sử dụng lược đồ cột  B A + 26 - 26 + 26 2B 2A + thêm lần :3 3A 48 ( gấp lần ) Bớt lần ( 2A ) 3B 60 + 30 Trừ lần ( 3B ) + thêm lần Bài giải cụ thể: Tổng số lít dầu hai thùng là: 60 + 48 = 108 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lược đồ cột tính liên tục thùng ví dụ 3.1 Dạng thứ tƣ Đây dạng tương đối phức tạp toán giải phương pháp suy luận từ cuối Những khó là: - Kết cuối thường số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích tìm giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ tính đáp số toán Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thưởng số tiền Người tổ trưởng đem chia số tiền sau: - Tổ trưởng 100000 đồng 1/10 số tiền lại - Tổ phó 200000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ 300000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ hai 400000 đồng 1/10 số tiền lại Cứ tiếp tục chia người cuối số tiền thưởng chia cho tất người Hỏi số tiền thưởng cho tổ người thưởng tiền ? Ví dụ toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cụ thể, mà biết cách biến đổi cuối số tiền chia cho người Bằng cách giải với ví dụ trước với loại thực Để giúp HS giải loại ta cần phân tích, xét phần " áp chót" phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " Áp chót " " Cuối cùng" 1/10 " Cuối "  Trước hết phải thấy người cuối nhận số tiền số nguyên trăm nghìn đồng vừa hết ( tức 1/10 phần lại 0) Nếu không người chưa phải người cuối  Theo sơ đồ ta thấy: Người " Áp chót " nhận số nguyên trăm nghìn đồng 1/10 số tiền lại Như vậy, 9/10 số tiền lại người cuối  Người cuối nhận số nguyên trăm nghìn người "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ 1/9 số tiền người cuối nhận Từ ta có: + Số tiền người cuối nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số người tổ là: người + Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận ta có cách trình bày thứ hai sau:  Gọi số nguyên trăm nghìn đồng người " áp chót" nhận A, phần lại B đồng  Từ ta có: Số tiền người "áp chót" nhận biểu diễn theo A B ? ( A + B 10 ) Số tiền người cuối nhận biểu diễn ? ( B 10 ) Theo toán, số tiền chia cho người, có nghĩa số tiền người " áp chót" nhận số tiền người cuối nhận, nên ta biểu diễn quan hệ số tiền hai người ? ( A + B 10 A= B 10 = B 10 ) Mặt khác, người cuối nhận B 10 vừa hết, nên số tiền người cuối nhận số nguyên trăm nghìn người " áp chót" nhận thêm 100000 đ Tức là: B 10 = A + 100000 10 B= B 10 + 100000 10 B = 100000 B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ tính số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có người Vậy : Tổng số tiền thưởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ người thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền lại = 900000 đ 1/10 số tiền lại 8000000 đ Vậy, tổng số tiền thưởng : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ ) Lưu ý: Về cách tính số người tổ thực theo cách sau: Số người tổ là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( người ) Ví dụ 4.2: Một người đem bán số cam sau: Người thứ mua 1/6 số cam lại Người thứ hai mua 18 1/6 số cam lại Người thứ ba mua 27 1/6 số cam lại Cuối số cam vừa hết số cam người mua Hỏi người bán cam ? Hướng dẫn giải: Tương tự ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định số điều sau: + Người thứ mua quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, … Vậy, quy luật người mua sau người mua liền trước + Người cuối mua số nguyên cam vừa hết, có nghĩa phần dư lại + Người " áp chót" mua số nguyên cam 1/6 số cam lại 5/6 số cam lại số cam người cuối mua + Số cam người mua Ta sử dụng SĐĐT: Cuối "Áp chót" (A) (B) Cuối Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối mua phần nguyên số cam người " áp chót" mua thêm Vậy, 1/6 số cam lại sau người " áp chót" mua số nguyên cam Vậy, số cam người cuối mua là: x = 45 ( ) Số người mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( người ) Số cam người đem bán là: 45 x = 225 ( ) Ta hướng dẫn em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua A, phần lại B ( xem hình vẽ ) Số cam người " áp chót" mua biểu diễn theo A B : A + Số cam người " cuối " mua biểu diễn theo B là: có: A + B= B A= B Từ đó: B- B = 6 B B Theo toán ta B=9 B = 54 Mỗi người mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam người đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phương pháp suy luận từ cuối là: cần tìm + Một số + Nhiều số Kết sau biến đổi lần thứ Kết sau biến đổi lần thứ hai Kết sau biến đổi lần thứ ba (chưa biết ) (chưa biết) (chưa biết) … cuối ( biết) Các bước thực ngược để giải Quy trình giải chủ yếu thực bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào trình biến đổi Có việc biến đổi đơn giản, có biến đổi phức tạp Có số toán kết cuối số cụ thể mà lại toán, giải toán ta sễ tìm kết cuối ( thông thường toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ ) III kết thực Chọn ngẫu nhiên 20 học sinh để khảo sát trước sau nghiên cứu áp dụng đề tài vào thực tế giảng day, thu kết cụ thể sau: Đề bài: Bài 1: Tìm số, biết số cộng với nhân với trừ 74 số tự nhiên nhỏ có chữ số Bài 2: Lớp 4A có tổ Nếu chuyển học sinh từ tổ sang tổ hai, chuyển học sinh từ tổ hai sang tổ ba, lại tiếp tục chuyển học sinh từ tổ ba sang tổ bốn lúc số học sinh bốn tổ Tính số học sinh tổ, biết lớp có 40 học sinh Năm học Tổng Học sinh Khối số T T T HS ỷ G lệ K ỷ TB ỷ Y lệ lệ khảo % % % sát Học sinh khối T T ỷ G lệ % T ỷ K lệ % T ỷ T lệ B % T ỷ Y lệ % T ỷ lệ % 2012 20 2013 0 2013 20 2014 10 50 05 25 14 70 0 25 45 30 30 15 11 55 20 15 15 Nhìn vào bảng thống kê ta thấy sau áp dụng phương pháp giảng dạy theo phương pháp đề tài thu kết đáng khích lệ Khi phân rõ dạng toán, có phương pháp giải cụ thể, học sinh nắm làm tương đối hiệu C.PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận Như trình bày phần đặt vấn đề, toán Tiểu học có nhiều dạng, nhiều phương pháp giải Giải toán phương pháp suy luận từ cuối dạng quen thuộc Nhưng học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo làm em tự tin vào khả dễ Nhiệm vụ người dạy toán phải đốt lên " lửa " yêu toán lòng em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải cách làm tạo niềm tin cho em Trên sở này, nghĩ tới không dạy dạng toán mà nhiều dạng toán khác áp dụng quy trình để giúp em nắm kiến thức, phương pháp tư lôgic giải toán sống Nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học, nhận thấy việc giúp em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán có hiệu cao Trên tinh thần em nắm kiến thức, vận dụng linh hoạt sáng tạo Tôi cố gắng, chưa phải đưa giải pháp tối ưu Tôi viết nhiều khiếm khuyết, mong nhận giáo bạn đọc đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn 2/ Kiến nghị: Trên phương pháp để giải dạng toán nhiều kiểu baifm dạng khác chương trình toán Tiểu học Và phương pháp đưa chưa phải tối ưu Vì vậy, mong hàng năm, trương, Phòng GD, Sở GD tổ chức lớp chuyên đề phương pháp giải Toán Tiểu học để có hội học hỏi nhiều nhằm nâng cao trình độ tay nghề lực chuyên môn Tôi mong nhận bổ sung, góp ý chân thành Hội đồng Khoa học Ngành để thân ngày tiến [...]... Nhìn vào bảng thống kê trên ta thấy sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy theo phương pháp của đề tài thu được kết quả đáng khích lệ Khi phân rõ dạng toán, có phương pháp giải cụ thể, học sinh nắm bài và làm bài tương đối hiệu quả C.PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề, toán Tiểu học có nhiều dạng, nhiều phương pháp giải Giải bài toán bằng phương pháp suy luận từ cuối. .. không thể tính liên tục ở một thùng như ví dụ 3.1 4 Dạng thứ tƣ Đây là dạng tương đối phức tạp trong các bài toán giải bằng phương pháp suy luận từ cuối Những cái khó đó là: - Kết quả cuối cùng thường không phải là số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải được dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích và tìm ra giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ đó sẽ tính được... … cuối cùng ( đã biết) Các bước thực hiện ngược để giải bài Quy trình giải chủ yếu thực hiện các bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực hiện các phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào quá trình biến đổi Có những bài việc biến đổi đơn giản, có những bài biến đổi phức tạp Có một số bài toán kết quả cuối cùng có thể không phải là những số cụ thể mà có thể lại là một bài toán, ... biểu diễn theo A và B : A + Số cam người " cuối cùng " mua được biểu diễn theo B là: có: A + 1 6 B= 5 6 B A= 4 B 6 Từ đó: 5 6 B- 4 B 6 = 1 6 5 6 1 6 B B Theo bài toán ta B=9 B = 54 Mỗi người mua số cam : 54 : 6 x 5 = 45 quả, số cam người đó đem bán là: 45 x 5 = 225 (quả) 5 Khái quát vấn đề Mô hình chung của loại toán giải bằng phương pháp suy luận từ cuối là: cần tìm + Một số + Nhiều số bằng nhau Kết... các em nắm chắc kiến thức, phương pháp tư duy lôgic trong giải toán và trong cuộc sống Nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học, tôi nhận thấy việc giúp các em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán như trên có hiệu quả cao Trên tinh thần đó các em nắm khá chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá sáng tạo Tôi đã rất cố gắng, nhưng chắc chưa phải đã đưa ra được những giải pháp tối ưu Tôi... ô hàng 1 ) Bằng phương pháp suy luận và tìm như ở hàng 3, hàng 2 ta dễ dàng tính được số bi lúc đầu ở mỗi hộp - Số bi lúc đầu ở hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu ở hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu ở hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Như vậy, với một bài toán khá phức tạp ( với HS tiểu học ) bằng phương pháp dẫn dắt hợp lý, ta đã đưa về giải quyết nhiều bài toán " con... chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi và từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi và từ hộp C sang hộp B 4 bi Cuối cùng hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi và hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu bi ? Hướng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng này có nhiều cách, nhưng cách phù hợp với học sinh tiểu học là lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào bài giải mà... nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo và khi làm bài các em tự tin vào khả năng của mình không phải là dễ Nhiệm vụ của người dạy toán là phải đốt lên " ngọn lửa " yêu toán trong lòng các em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải là một trong những cách làm tạo được niềm tin cho các em Trên cơ sở này, chúng ta có thể nghĩ tới không chỉ dạy dạng toán này mà nhiều dạng toán khác cũng được áp dụng... đến người cuối cùng thì số tiền thưởng được chia đều cho tất cả mọi người Hỏi số tiền thưởng cho cả tổ là bao nhiêu và mỗi người được thưởng bao nhiêu tiền ? Ví dụ này là bài toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cùng ở đây không biết cụ thể, mà chỉ biết được là bằng cách biến đổi như vậy thì cuối cùng số tiền chia cho mỗi người là như nhau Bằng các cách giải như với các ví dụ trước với loại này... đã đưa ra được những giải pháp tối ưu Tôi chắc rằng trong bài viết của mình còn nhiều khiếm khuyết, mong nhận được sự chỉ giáo của bạn đọc và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn 2/ Kiến nghị: Trên đây mới chỉ là một phương pháp để giải một dạng toán trong rất nhiều kiểu baifm dạng bài khác nhau trong chương trình toán ở Tiểu học Và có thể phương pháp tôi đưa ra chưa phải là tối ưu Vì vậy, tôi mong rằng ... tính ngược lại để tìm giá trị trước cuối tiếp tục giá trị số phải tìm Giải toán phương pháp gọi phương pháp tính ngược từ cuối suy luận từ cuối suy luận từ lên II Một số dạng Loại toán giải phương. .. nan giải Trong viết muốn đề cập đến phương pháp giải toán quen thuộc gần gũi với học sinh tiểu học dạng toán mà khiến em hay có nhầm lẫn giải khó tim lời giải Đó Giải toán phương pháp tính ngược. .. đối hiệu C.PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận Như trình bày phần đặt vấn đề, toán Tiểu học có nhiều dạng, nhiều phương pháp giải Giải toán phương pháp suy luận từ cuối dạng quen thuộc Nhưng