SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƢỜNG THPT SỐ BẮC HÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƢỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP Họ tên: Nguyễn Khánh Chi Chức vụ : TTCM Tổ chun mơn: Tốn - lý - Tin- CN Đơn vị cơng tác: Trƣờng THPT số Bắc Hà Năm học: 2013 - 2014 Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà Mục lục Nội dung STT Trang I Lí chọn đề tài II Nội dung Cơ sở lý luận vấn đề Thực trạng dạy học mơn trƣớc đƣa phƣơng pháp giải phƣơng trình mặt cầu 3 Các giải pháp 3.1 Phần Lý thuyết 3.2 Phần tập 3.3 Các dạng tập tƣơng tự 17 Kết thực hiện: 18 III Kết luận 20 Tài liệu tham khảo Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà I Lí chọn đề tài Việc dùng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 nội dung quan trọng để học sinh dự thi trường Đại học Cao đẳng, trung học chun nghiệp Đây vốn dạng khó học sinh, đa phần em học mức độ trung bình trở xuống cảm thấy bồi rối đứng trước hình khơng gian, khơng biết đâu, theo hướng tới đích cuối bỏ qua, chí có em khơng cần đọc kĩ đề bỏ qua ln đề có xuất dạng Một giải pháp giúp em khơng điểm cách đáng tiếc chuyển tốn hình học khơng gian tổng hợp t sang tốn hình giải tích quen thuộc phương pháp toạ độ hố Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp tiện lợi song phương pháp có đề cập đến chương trình tốn phổ thơng dạng vài tập đơn giản, trọng nên học sinh thường khơng ý Học sinh khơng biết chọn hệ trục toạ độ cho thích hợp Cho nên vấn đề đặt dạy để học sinh nắm lí thuyết biết vận dụng tốt để giải tập II Nội dung Cơ sở lý luận vấn đề Dựa vào tảng “phương pháp toạ độ khơng gian” SKG hình học 12, qua q trình giảng dạy nghiên cứu thân Tơi nghiên cứu rút số kinh nghiệm giảng dạy chương nhằm mục đích để học sinh nắm vững kiến thức đồng thời biết làm tập giúp em học sinh tạo húng thú học tập Thực trạng dạy học mơn trƣớc đƣa phƣơng pháp giải phƣơng trình mặt cầu Đối với giáo viên khơng gặp khó khăn truyền thụ kiến thức mơn, song học sinh trường THPT số Bắc Hà việc truyền thụ kiến thức cho học sinh gặp đơi chút khó khăn Đối với học sinh tỉ lệ học sinh học bậc THPT thấp, đầu vào tuyển sinh thấp nhiều so với địa phương khác tỉnh Đây thực khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy “lỗ hổng” kiến thức mơn q lớn Hơn đa số học sinh sợ học mơn hình học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn Học sinh chưa có kĩ vẽ hình trình bày Các giải pháp Hệ thống lại cho học sinh định nghĩa phương trình mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Đây phần khó học sinh nên dạy cần củng cố ví dụ cụ thể cho học sinh, cho học sinh thực hành tính tốn ý nhiều đến học sinh yếu Nên ví dụ tốn vận dụng nhiều dạng kiến thức lí thuyết vừa học 3.1 Phần Lý thuyết 3.1.1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i , j , k  i  j  k  1 Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà a  a1; a2; a3   a  a1i  a2 j  a3 k ; M(x;y;z) OM  xi  y j  zk 3.1.2 Tọa độ vectơ: cho u( x; y; z), v( x '; y '; z ') u  v  x  x '; y  y '; z  z ' u  v   x  x '; y  y '; z  z ' ku  (kx; ky; kz) u.v  xx ' yy ' zz ' y z u  v  xx ' yy ' zz '  u  x2  y  z z x x y  ;    yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y   y ' z ' z ' x ' x ' y '   u  v   ; u, v phương [u, v]  3.1.3 Tọa độ điểm: cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A ) AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2 G trọng tâm tam giác ABC ta có: xG = x A  xB  xC ; yG = y A  yB  yC ; zG = z A  zB  zC xA  kxB y  kyB z  kzB ; yM  A ; zM  A ; 1 k 1 k 1 k x x y y z z Đặc biệt: M trung điểm AB: xM  A B ; yM  A B ; zM  A B 2 M chia AB theo tỉ số k: xM  3.1.4 Các cơng thức góc Góc hai véctơ: cos(u, v)  u.v u.v Góc hai đường thẳng: cos(1 ,  )  u1.u2 u1 u2 ( u1 , u2 véc tơ phương hai đường thẳng 1 ,  ) Góc đường thẳng mặt phẳng: sin(,  )  u n u n u , n vectơ phương  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (  ) Góc hai mặt phẳng: cos( ,  )  n n n n ( n , n vectơ pháp tuyến (  ), ( ) ) 3.1.5 Cơng thức khoảng cách  M  M , u   Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng; d ( M , )   u Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0) đến mp(P): Ax+By+Cz+D=0 là: d ( M , ( P))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d (1 ,  )  M 1M u1 , u2  u1 , u2    ( M1 1 , M 2 , u1 , u2 véctơ phương 1 ,  ) 3.1.6 Các cơng thức diện tích thể tích Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD  1  AB, AC  2 Diện tích tam giác ABC: S ABC  Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD A ' B 'C ' D '  [ AB, AD].AA ' Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  [ AB, AC ] AD 3.2 Phần tập 3.2.1 Phƣơng pháp giải Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :  Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải tốn Các dạng tốn thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vng góc  Bài tốn cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S ' tích S với cosin góc  mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S '  S cos  2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', V ' C khác với S Ta ln có: S A ' B 'C ' V S ABC 3.2.2 Các dạng tốn Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng (Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy) Bài tốn Tam diện vng : Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc, Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ SA ' SB ' SC '  SA SB SC z C O B y A x b, Tam diện có góc phẳng vng (Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy) ta thiết lập mặt hệ trục tọa độ chứa góc phẳng Bµi to¸n Cho hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), SABcân S, ABC vng A (vng B làm tương tự) Ta nên z * Gọi O, I trung điểm AB BC * Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ A C O I y B x Ví dụ Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà Hƣớng dẫn giải + Chọn hệ trục Oxyz cho AO D Ox; C  Oy B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phương trình đoạn chắn (BCD) là: x y z     3x + 3y + 4z 4 – 12 = Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là: d  A, ( BCD)   34 17 Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hƣớng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d(M, (OAB))= Þ zM = Tương tự Þ M(1; 2; 3) x y z phương trình mặt phẳng(ABC): + + = a b c Z M Ỵ (ABC) Þ + + = a b c C (1) VO.ABC = (1) Þ = abc (2) 3 + + ³ 33 a b c a b c M y Þ abc ³ 27 (2) Þ Vmin = 27 Û = = = a b c B O H I A x Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S  abc  a  b  c Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà Hƣớng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) BC   c; b;0  , BD   c;0; a  ,  BC , BD    ab; ac; bc    S BCD     a b2  a c  b2 c BC , BD  2  đpcm  a b2  a c  b2 c  abc(a  b  c)  a b2  a c2  b2 c2  abc(a  b  c) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a b  b c  2ab c    b c  c a  2bc a   c a  a b  2ca b   Cộng vế : a2b2  a2c2  b2c2  abc(a  b  c) c Dạng hình chóp tam giác Bài tốn Cho hình chóp tam giác S.ABC, Ta nên: * Gọi O tâm mặt đáy * Trong (ABC) dựng OI song song với BC cắt AC I * Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ z S C B I O y A x Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hƣớng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm D ABC Gọi I trung điểm BC, ta có : AI = a a a BC = Þ OA = , OI = 2 Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa ỉa độ hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ççç ; 0; ÷ ÷ ÷ è ø Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà ỉ a Þ I ççç; 0; ÷ ÷ ÷, è ø ỉ a a ÷ ỉ a a ÷ çç, , B ççç; ; 0÷ C ; ; ÷ ÷ ÷ è ø çè ø ỉ a a h÷ M ççç; ; ÷ ÷ è 12 ø ỉ a a hư N ççç;- ; ÷ ÷ 2÷ è 12 ø uuur uuur ỉah r 5a ÷ é ù ç Þ n (AMN) = ëêAM, AN û = ; 0; ÷ ç ú çè 24 ÷ ø uur uur ỉ r a2 ÷ ç n (SBC) = éêëSB, SC ù = ah; 0; ÷ ú ççè ÷ û ø (AMN) ^ (SBC) r r 5a 2 Þ n (AMN) n (SBC) = Þ h = 12 éuuur uuur ù a 10 Þ SD AMN = AM, AN ú û = 16 êë Ví dụ 2.(ĐH khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Hƣớng dẫn giải Theo giả thiết (SAB), (SAC) vng góc với (ABC) nên SA  (ABC)  Góc (SBC) (ABC) SBA  60  SA  AB tan 60  2a Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC N  MN // BC  N trung điểm AC Do tam giác AMN vng cân M Khi đó, ta có VS BCNM  1 SA.S BCNM  SA.( S ABC  S AMN ) 3 4a a  2a 3.(  )  a3 2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, SN phương pháp tọa độ Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với B gốc tọa độ, z S C (2a;0;0), A(0;2a;0), S (0;2a;2a 3) N trung điểm AC  N (a; a;0)  SN  (a; a; 2a 3) Mặt khác BA  (0; 2a;0)   SN , BA  (4a 3;0; 2a ) M B A Lại có BN  (a; a;0)  d ( SN , AB)  y N  SN , BA BN    SN , BA   C x 4a 3 2a 39   13 2a 13 Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, khơng thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy Hình chóp tứ giác a) Bài tốn Hình z chóp S.ABCD có SA S I vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện D y A vng C B x b) Bài tốn Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) z S A D O x B Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà C y 10 c, Bài tốn 3.Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), tứ giác ABCD thoi, Ta nªn: * Gọi O tâm hình thoi, I trung điểm SC * Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ z S I A D O x B C y d, Bài tốn Cho hình S z chóp S.ABCD có (SAB)  (ABCD), SAB cân S, tứ giác ABCD hình thoi, I Ta nên: * Gọi M, N, I A D trung điểm AB, CD, SN, O tâm hình thoi M O N * Chọn hệ trục Oxyz B C x y hình vẽ Ví dụ 1: (ĐH - Khối B- 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Hƣớng dẫn giải z Gọi H  O; SH  Oz; AB  Ox; HI  Oy, : H (0; 0; 0), S (0; 0; a a A( ; 0; 0), B( ; 0; 0), 2 a a C ( ; a; 0), D( ; a; 0) 2 S a ), K B C Ta có:  a a SA    ; 0;   y   ,  I H  a a SB     ; 0;     ,   a a SC     ; a;     ,  A D x  a a  SD     ; a;     Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 11 VS ABCD  VSABC  VSACD 1  a3 a3  a3      SA, SC SB  SA , SC SD              Mặt khác :(SCD ) có n SCD   SC , SD   (0; a 3; 2a )  pt(SCD ) có dạng : a2 3y  2a2 z  a3   ptđt  qua A vuông góc (SCD) có dạng : a  x  t   3t , t  y  a  z  2a2 t    t a 3a 2a    (SCD )  M ( ; ; ) 7a 7 9a 12a   49 49  d ( A,(SCD ))  AM  21a a  49 Lưu ý sử dụng cơng thức khoảng cách nhanh d ( A,(SCD))  a a2  a3 3a  4a4  a ) Ví dụ 2: (ĐH - Khối A- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH= a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Hƣớng dẫn giải S z Dễ thấy VS CDNM  VS ABCD  VS BCM  VS AMN  SH ( S ABCD  SBCM  S AMN ) a2 a2 5a 3  a 3(a   )  24 Bây ta tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, ta có C  O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0) y N A D H M CO Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà B x 12 a M trung điểm AB  M (a; ;0) N trung điểm AD a  N ( ; a;0) H  (Oxy )  H ( x; y;0) H  DM  CN  CH , CN phương DH , DM phương 2a 4a 2a 4a 2a 4a x ya x y Vậy H( ; ;0 )  S ( ; ; a 3) x ,y    a a a 5 5 5 a  2 a2 2 a 4a a   Khi đó, CS  ( ; ; a 3), DM  (a;  ;0)  CS , DM   ( ; a 3; a ) 5 CS , DM  CM a a3 2a 57   Mặt khác CM  (a; ;0)  d ( SC , DM )    19 a 19 CS , DM    Ví dụ 3: (ĐH - Khối A- 2009) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=2a, CD=a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60o Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Hƣớng dẫn giải z Vì (SBI)  (ABCD), (SCI)  (ABCD) S  SI  (ABCD), giả sử SI=h Dựng đường thẳng qua A song song với SI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khiđó:A(0;0;0),B(2a;0;0), D(0;2a;0),C(a;2a;0)I(0;a;0),S(0;a;h) BS  (2a; a; h); BC  (a; a;0)  n ( SBC )   BC , BS   (2ah; ah;3a ); D   60o  C y o  n ( SBC ) n ( ABCD ) n ( SBC )  x I n ( ABCD )  k  (0;0;1)  cos 60 B A 3a 5h  9a n ( ABCD ) n ( SBC ) k   n ( SBC ) k  h  a3 15 1 15  VS ABCD  SI S ABCD  h(a  2a)2a  a3 Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 13 Hình lăng trụ Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng a, Hình lăng trụ đứng: (Với hình hộp chữ nhật hay hình lập phương hay hình lăng trụ tứ giác đều) việc thiết lập hệ tọa độ thường có hai cách: + Chọn đỉnh làm gốc tọa độ ba trục trùng với ba cạnh hình hộp + Chọn tâm đáy làm gốc tọa độ ba trục song song với ba cạnh hình hộp b, Hình lăng trụ nghiêng, ta dựa đường cao tính chất đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' CMR AC' vng góc mp’ (A'BD) Hƣớng dẫn giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A; B  Ox; D  Oy A'  Oz Giả sử hình A' D' lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a đơn vị C' B' A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)  Phương trình đoạn chắn y mặt phẳng (A'BD):x + y A D +z=a hay x + y + z –a =  Pháp B C tuyến mặt phẳng (A'BC): x n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vng góc (A'BC) Ví dụ 2: (ĐH - Khối B- 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có BB’=a góc hai đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vng C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ ABC Hƣớng dẫn giải Giả sử AC=b,  ABC vng C có BAC  600 nên CB= b ,  B’GB vng G có B ' BG  600 , BB’=a nên B’G== B ' G  a a , BG  2 Từ C dựng trục Cz song song với B’G Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ b b b b 3 ;0), B '( ; ;a ) 3 3 Ta có: C(0;0;0), A(b;0;0), B(0; b ;0) G ( ; Ta có: 2  a  3a b  b BB '  a        b       a  b  13 3      Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 14 Lại có: C' z AA '  BB '  A '( B' 2a  3a a ; ; ) 13 13  VA ' ABC A' CA, CB  CA '    C 9a  (dvtt ) 208 G x B y A Ví dụ : (ĐH - Khối A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB=a, AC= a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ Hƣớng dẫn giải Z Ta có BC=2a, AI==a,  A’AI vng A' C' I , AA’=2a  A’I= a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ.Ta có A(0;0;0), B' a a B(a;0;0),C(0; a ;0), A '( ; ; a 3) 2 Tính thể tích khối chóp A’.ABC Cách 1: A C VA' ABC 1 a  SABC A ' I  a.a 3.a  (đ 3 2 y I B x vtt) Cách 2: VA' ABC  1  A ' C  a (đvtt) A ' A , A ' B  6 Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Gọi  góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Vì B’C’ song song với BC nên góc AA’ B’C’ góc AA’ BC Ta có: cos  AA '.BC AA ' BC  Ví dụ (ĐH khối B – 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 15 AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a Hƣớng dẫn giải z B' Gọi I = AC  BD Ta có C' A ' I  ( ABCD) Chọn hệ trục Oxyz với B A' gốc tọa độ, tia BA tia Ox, D' tia BC tia Oy, tia Oz tia Bz song song hướng với tia IA’ Khi B(0;0;0), A(a;0;0), B C y C(0; a ;0), a a ;0 ) 2 I D(a; a ;0), I( ; A’ có hình chiếu lên (Oxy) I nên D A x a a ; z ) ( z  0) 2 A’( ; Ta tìm z: + Mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT k  (0;0;1) a2 a a a ) (2 z;0; a ) AD  (0; a 3;0), AA '  (  ; ; z )   AD, AA '  (az 3;0; 2 2  mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT n  (2 z;0; a ) + Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 nên ta có k n k.n  cos60  a a   z 2 2 4z  a (z > 0) a a a ) ; 2 Vậy A’( ; a 3a a.a  Do VABCD A' B ' C ' D '  A ' I S ABCD  2 3a a a2 ; ;0)   (3;  3;0) Mặt phẳng (A’BD) có VTPT  BA ', BD   (  2  ( A ' BD) : 3x  y   3x  y  a a a ; ) 2 Mặt khác BB '  AA '  B '(  ; Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) d ( B ',( A ' BD))  a a  3 2  a Ngồi trường hợp trên, trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vng góc tính chất đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 16 3.3 Các dạng tập tƣơng tự 3.3.1 Các tốn hình chóp tam giác Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích D MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Bài Cho tứ diện S.ABC có D ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC 3.3.2 Các tốn hình chóp tứ giác Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích D SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 17 · Tìm điều kiện a b để cos CMN = Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM 3.3.3 Các tốn hình hộp - Hình lăng trụ đứng Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 12 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ 1.Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N 2.Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mc (S’)qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 13 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng · ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Kết thực hiện: 4.1- Bài kiểm tra số - Mục đích :Kiểm tra trình độ học sinh lớp trước tiến hành thực nghiệm - Thời gian :trước dạy thực nghiệm tuần - Bảng 1: Tần số F(xi) Tần suất (%) Điểm Lớp 12A2 Lớp 12A1 Lớp 12A2 Lớp 12A1 10 0 0 2,08 2,13 6,25 17,02 18,75 10 13 21,27 27,08 13 12 27,66 25 17,02 10,42 10,64 8,34 2 4,26 2,08 Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 18 Qua bảng ta thấy trình độ hai lớp ngang nhau, điểm kiểm tra trung bình chiếm phần lớn, số điểm trung bình nhiều 4.2- Bài kiểm tra số 2: - Thời gian: tiến hành kiểm tra sau dạy học thực nghiệm - Mục đích: đánh giá kết sau thực nghiệm Bảng 2: Tần số F(xi) Điểm Lớp 12A2 Tần suất (%) Lớp 12A1 Lớp 12A2 Lớp 12A1 10 0 4,17 4,26 10,42 10 15 21,28 31,25 13 17 27,66 35,42 12 25,53 24,57 12,77 4,17 3 6,38 2,12 0 Căn vào kết thực nghiệm ta thấy kết làm lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng Ở lớp thực nghiệm số điểm khá, giỏi tăng, số điểm trung bình giảm đáng kể so với lớp đối chứng Như vậy, nói việc hệ thống hố kiến thức phân dạng tập dùng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp kích thích tính tích cực em học sinh giúp em biết giải tập biết cách phân dạng định hướng cách làm cách trình bày III Kết luận Thơng qua ví dụ minh họa trường hợp đơn giản lời giải tốn đề thi Đại học, Cao đẳng, tơi tự nhận thấy phương pháp tọa độ hóa thật cơng cụ hiệu để giải tốn hình học khơng gian tổng hợp Các lời giải trực tiếp dễ định hướng Nội dung sáng kiến trình bày cho em học sinh khối 12 ơn thi Đại học, Cao đẳng, em học sinh đội tuyển học sinh giỏi Tốn máy tính cầm tay khối 11, 12 Sự hứng thú tự tin học sinh việc học Tốn, đặc biệt hình học khơng gian, nhằm góp phần vào thành tích chung kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng nhà trường Trên số ý kiến cá nhân tơi việc hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp, tơi xin đưa trao đổi bạn đồng nghiệp Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 19 Các phép tính sáng kiến nhiều, hình vẽ phức tạp nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong giúp đỡ, đóng góp ban giám khảo đồng nghiệp để cơng việc dạy học tơi đạt kết cao Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa, tập nâng cao lớp 12 - Bài tập nâng cao số chun đề toạ độ khơng gian 12 - Ơn kiến thức,luyện kĩ giải dạng tốn quan trọng hình học - Chun đề hình khơng gian - Đề thi tuyển sinh ĐH- CĐ Thẩm định hội đồng thẩm định Sáng kiến kinh nghiệm Chủ tịch hội đồng Bắc Hà, ngày 20 tháng 05 năm 2014 Ngƣời viết sáng kiến Nguyễn Khánh Chi Nguyễn Khánh Chi - THPT số Bắc Hà 20 [...]... Đại học, Cao đẳng, các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Tốn và máy tính cầm tay khối 11, 12 Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Tốn, đặc biệt là hình học khơng gian, nhằm góp phần vào thành tích chung trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng của nhà trường Trên đây là một số ý kiến cá nhân của tơi về việc hướng dẫn học sinh dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học. .. và định hướng được cách làm và cách trình bày bài III Kết luận Thơng qua các ví dụ minh họa các trường hợp đơn giản và lời giải các bài tốn trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, tơi tự nhận thấy phương pháp tọa độ hóa thật sự là một cơng cụ rất hiệu quả để giải các bài tốn hình học khơng gian tổng hợp Các lời giải trực tiếp và dễ định hướng Nội dung sáng kiến này đã được trình bày cho các em học sinh khối... quả làm bài của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng Ở lớp thực nghiệm số điểm khá, giỏi tăng, số điểm dưới trung bình giảm đáng kể so với lớp đối chứng Như vậy, có thể nói việc hệ thống hố các kiến thức và phân dạng các bài tập dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học khơng gian tổng hợp đã kích thích được tính tích cực của các em học sinh giúp các em đã biết giải các bài tập và... 4 Tìm điều kiện của a và b để cos CMN = 3 Trong trường hợp đó tính 3 thể tích hình chóp S.BCNM 3.3.3 Các bài tốn về hình hộp - Hình lăng trụ đứng Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC 1 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng 2 Tính khoảng cách giữa IK và AD 3 Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a... Bắc Hà 13 3 Hình lăng trụ Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên a, Hình lăng trụ đứng: (Với hình hộp chữ nhật hay hình lập phương hay hình lăng trụ tứ giác đều) thì việc thiết lập hệ tọa độ thường có hai cách: + Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp + Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp b, Hình lăng trụ... của đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' CMR AC' vng góc mp’ (A'BD) Hƣớng dẫn giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A; B  Ox; D  Oy và A'  Oz Giả sử hình A' D' lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị C' B' A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)  Phương trình đoạn chắn y của mặt phẳng (A'BD):x + y A D +z=a hay x + y + z –a = 0  Pháp B... B ',( A ' BD))  a a 3  3 2 2 2  a 3 2 Ngồi các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vng góc và các tính chất của đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà 16 3.3 Các dạng bài tập tƣơng tự 3.3.1 Các bài tốn về hình chóp tam giác Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC),... việc dạy học của tơi đạt kết quả cao hơn Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa, bài tập cơ bản và nâng cao lớp 12 - Bài tập nâng cao và một số chun đề toạ độ trong khơng gian 12 - Ơn kiến thức,luyện kĩ năng giải các dạng tốn quan trọng về hình học - Chun đề hình khơng gian - Đề thi tuyển sinh ĐH- CĐ Thẩm định của hội đồng thẩm định Sáng kiến kinh nghiệm Chủ tịch hội đồng Bắc Hà, ngày 20 tháng 05 năm... (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Bài 12 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vng ADD’A’ 1.Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N 2.Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mc (S’)qua A’, B, C’, D 3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương Bài 13 (trích đề thi Đại học khối B...c, Bài tốn 3.Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), tứ giác ABCD là thoi, Ta nªn: * Gọi O là tâm hình thoi, I là trung điểm SC * Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ z S I A D O x B C y d, Bài tốn 4 Cho hình S z chóp S.ABCD có (SAB)  (ABCD), SAB cân tại S, tứ giác ABCD là hình thoi, I Ta nên: * Gọi M, N, I lần lượt là A D trung điểm AB, CD, SN, và O là tâm hình thoi M O N * Chọn hệ trục Oxyz như B C x y hình ... Một giải pháp giúp em khơng điểm cách đáng tiếc chuyển tốn hình học khơng gian tổng hợp t sang tốn hình giải tích quen thuộc phương pháp toạ độ hố Việc vận dụng phương pháp toạ độ để giải tập hình. .. tài Việc dùng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 nội dung quan trọng để học sinh dự thi trường Đại học Cao đẳng, trung học chun nghiệp... kiến thức phân dạng tập dùng phương pháp toạ độ để giải tập hình học khơng gian tổng hợp kích thích tính tích cực em học sinh giúp em biết giải tập biết cách phân dạng định hướng cách làm cách