NGUYỄN BẢO VƯƠNG GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬ P 2 BÀI TẬ P TRẮ C GI ỚI HẠN HÀM S Ố CÓ LỜI GIẢI CHI TI ẾT https://web.facebook.com/phong.baovuong A L B A - CHƯ SÊ -GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^Vh g i i ^^^^n h s ố tạp CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN A r r* _ r f \ _ / k > _ r / TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ G i i h n h ữ u h n c ủ a d ã y s ố 1.1 Đ ị n h n g h ĩ a : • D ãy số (u ) gọi có giới h ạn n tiến dư ng vô cực với m ỗi số dư ơng nhỏ tuỳ ý cho trước, m ọi số hạng dãy số , k ể từ m ột số hạng trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dư ơng Kí hiệu: lim u = Hay là: lim u = với m ọi £ > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n cho: un n0 • lim u = a « lim (u - a) = , tức là: Với m ọi s > nhỏ tù y ý, tồn số tự n hiên n cho í —í» n í —í» n |un - a n D ãy số (u n) có giới h ạn số thự c gọi dãy số có giới h ạn h ữ u hạn 1.2 M ộ t s ố g i i h n đ ặ c b i ệ t • lim ——= vói k e N * nk • N ếu |q| < lim qn = n—+ • lim qn = + X với m ọi q > 4.3 M ộ t vài quy tắc tìm giới h n vô cựC Q uy tắc 1: N ếu lim un = ± X , lim = ± X lim ( wn ) cho n h sau; lim un lim v n lim ( u n v n ) + X + X + X + X —X —X —X + X —X —X —X + X Q uy tắc 2: N ếu lim un = ± X , lim = l lim(wn ) cho n h sau; D ấu l lim un lim ( u n v n ) + X + + X + X — —X —X + —X —X — n A + X ' ^ ^ u Q uy tắc 3: N ếu lim un = l , lim = > < kể từ m ột số hạng dó trở lim - đư ợc coi n h sau; D ấu l D ấu v n + X + + X + X — —X —X + —X —X — + X lim u V ấn đề T ìm giới h n bằn g đ ịn h n g h ĩa P h n g pháp: • Để’ chứng m inh lim u = ta chứng m inh với m ọi số a > nhỏ tùy ý tồn m ôt số n cho |u ĩ < a Vn > nI• • Để’ chứng m inh lim u = l ta chứng m inh lim ( u - 1) = GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG H^^N SỐ TẠP • Đ ể chứng m inh lim u = +X ta chứng m inh với m ọi số M > lớn tùy ý, tồn số tự n hiên nh cho uỉ > M Vn > nM t, • Để’ chứng m inh lim u = - X ta chứng m inh lim (-u ) = + X • M ột dãy số có giới hạn giới hạn Các ví d ụ Lời giải 1 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > - 1, ta có: n +2 -1 n +1 n +1 Suy lim < n_ +1 n +2 n +1 '• w < a với Vn > n = = lim n +2 n +1 = Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > n2 -1 2n2 +1 n +1 Suy lim < n2 - 1 2n2 +1 w n2 +1 =0 - 1, ta có: ^ < a với Vn > n lim n2 - 1 2n2+1 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > - 2w , 77T Suy lim - 2n + n2 + < - 2n + 2(n + 1) n2 + 1 - 2n •Ịn2 + + = ^ lim - , ta có: a n2 + 1 - 2n n2 + : < a với Vn > n n2 +1 = -2 n2 + V í d ụ C hứng m inh dãy số (u ): u = (-1)” giới hạn Lời giải Ta có: u2n = ^ lim u2n = 1; u2n+1 = -1 lim u2n+1 = -1 Vì giới h ạn dãy số có n hất nên ta suy dãy (u n ) giới hạn V í d ụ C hứng m inh giới hạn sau: lim n2 +1 =+x n lim 2- n = -X n Lời giải Với m ọi số thự c dương M lớn tù y ý, ta có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG n +1 CH^^^ƠNG i ^Vb > M « n2 - Mn +1 > « n > n H^^N SỐ TẠP M w M 2- Ta chọn nữ = Do đó: lim M w M 2- , _ n2 +1 s* ta có: > M , Vn > n n n +1 ■= + X n Với m ọi M > lớn tùy ý, ta có: M +4 M + n - > M » n - M \fũ - > » n > n M w M 2+ Ta chọn n0 = n- ta có: > M , Vn > n •Ịn Do đó: lim r n = - X n CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP Bài Giá trị lim n +1 băng: A B.1 C.2 Lời giải Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > - - ta có Bài Giá trị lim - J n +1 na + < a Vn > n nên có lim a = n +1 - (k e N*) băng: A B.2 Lời giải Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > k ' Bài Giá trị lim — < D n n +2 A a a ta có < nk C.4 D 1 n ak < a Vn > n nên có lim a nk =0 băng: B.3 D C.5 Lời giải Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn n > —- ta có si^ n n +2 ^ n +2 n +2 < a Vn > n„ nên có lim ^ n ìn =0 n +2 Bài Giá trị lim (2n +1) A +X băng: B - X Lời giải Với m ọi số dư ơng M lớn tùy ý ta chọn nM > C.0 D M -1 Ta có: 2n +1 > 2nM +1 > M Vn > nM ^ lim (2n +1) = + X GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài Giá trị lim - n2 H^^N SỐ TẠP băng n A +1» B —» C.0 Lời giải Với m ọi số dư ơng M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa D n\, —1 M >M n M + v M +4 M Ta có: n2 —1 n —1 > M Vn > n ^ lim = +» n M n Vậy lim - n _ = —» n Bài Giá trị lim n +1 băng: A + » B —» Lời giải Với m ọi a > nhỏ tù y ý, ta chọn n = Suy J < a Vn > n ^ l i m =0 n+1 a M+ Bài Giá trị lim cos n + sin n n +1 A + » C.0 D C.0 D +1 băng: B —» cos n + sin n , cos n + sin n Lời giải Ta có - - - < — “" m lim ^T = ^ lim ^ ^ ^ - ^ — = „2 n n n n2 + Bài Giá trị lim —n + n +2 A + » băng: B —» C.0 Lời giải Với m ọi số thự c a > nhỏ tù y ý, ta chọn n = Ta cóý n +1 M+ < < a Vn > n ^ lim n +1 Bài Giá trị lim A + » a 3n + n n2 D Ặ-1+1 n " 1= 0n n +: băng: B —» Lời giải Với m ọi M > lớn tùy ý, ta chọn nM = C.0 M D +1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ta có: Vậy lim H^^N SỐ TẠP n +n = 3n + > M Vn > nM n n 3n3 + n = +» 2- n Bài 10 Giá trị lim bằng: n+1 A +1» B C.0 D Lời giải Với m ọi M > lớn tùy ý , ta chọn nM > ^'—+ I - Ta có: n = Vn +1 1+ n > V1 + n - > M Vn > nt n +1 Suy lim n= = - » n+1 Bài 11 Giá trị A = lim — + n- bằng: B - » A + » C.2 D Lời giải Với số thực a > nhỏ tù y ý, ta chọn n > + > Ta có: 2n +1 n- - n- < n - < a Vn > n_ Vậy A = Bài 12 Giá trị B = lim ^ n + n +1 A + » bằng: C.0 B - » D , „ 2n +3 Lời g iải Với số thực a > nhỏ tù y ý, ta chọn n thỏa a - Ta có: + *ja —4a +13 a 2n + < a Vn > na ^ B = n +1 Bài 13 Giá trị C = lim —n — n +1 A + » bằng: B - » C.0 D , „ Lời giải Với số thực a > nhỏ tù y ý, ta chọn n > - Ta có: Vn2 +1 -1 n +1 n+2 -1 n +1 n +1 < a Vn > n a Vậy C = GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài 14 Giá trị A = lim A CH^^^ƠNG i ^Vb n —2yfn 2n SỐ TẠP bằng: B —X +X H^^N C D C -3 D C.0 D C.0 D C.0 D Đ áp án A = Bài 15 Giá trị B = lim A n sin n - 3n2 bang: n B —X +X Lời g iải B = —3 Bài 16 Giá trị C = lim bằng: n2 + 2yfn + A B —X +X Lời g iải C = 4n +1 Bài 17 Giá trị D = lim bằng: y/n2 + 3n + A B —X +X Lời g iải D = Bài 18 Giá trị lim — = n! A bằng: B —X +X Lời giải Gọi m số tự n hiên thỏa: m + > —I Khi với m ọi n > m + Ta có: < - a M lim m +1 V —— — — m m+1 — n - m m! n —m I I — m+1 V y ^n = Từ suy ra: lim — = n! Bài 19 Giá trị lim n — với —> A / bằng: B —X +X C.0 D ời giải N ếu —= ta có đpcm Lời • Giả s —> Khi đó: —= + Ịn/——1 > n ịtf——1 Suy ra: < tf——1 < — ^ nên lim tf—= n • Với < —< > ^ lim n — = ^ lim tf—= — — Tóm lại ta lu ô n có: l i m = với —> GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^Vb H^^N SỐ TẠP Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn P h n g pháp: Sử d ụ n g địn h lí giới hạn, biến đổi đ a giới h ạn • Khi tìm lim f — ta thường chia tử m ẫu cho nk, k bâc lớn n hất tử m ẫu g (n) • Khi tìm lim Lkệ f (n) - ỉ^g(n) J lim f (n) = lim g(n) = -+» ta thư ng tách v sử d ụ n g p hư ng p h áp n h ân lư ợng liên Các ví d ụ V í d ụ Tìm giới h ạn sau : + + + + (2n -1 ) A = lim + + + n - n B = lim 2n2 +1 •^l2 + 22 + + n2 + 2n Lời giải Ta có: + + + + 2n - = n2 Suy A = lim n 2n + = l i m = ^ 2+4 = n = Ta có: + + + n = n(n + ) ; + 2 + + Suy : B = lim ề n2 = n (n + )(2 n + Ị) n(n +1) - n i n(n + 1)(2n +1) n2 + + 2n - n = lim- -1 +2 In3 í + l n íl + 1n Ì + 2n r |_ 2 3 + D = l i m 1 ( 1] 17 11 ( C = lim 11 - X 1 - - T 1 - - 32J l Ll 22J n + V í d ụ Tìm giới h ạn sau : + 1 n ( n + 1) Lời giải 1- Ta có: - _ (k - 1)(k +1) = nên suy k k X lí - X I 11 - Do vây C = lim n +1 2n y 4 (n - 1)(n +1) 22 ■32 ■■■ n +1 2n GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH ^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ta có 1 1 1.2 n +1 SỐ TẠP nên suy k(k +1 ) —k _ k + ĩ Vậy D —lim I - H^^N + 2.3 + 3.4 + + n(n +1) n +1 —1 — = V í d ụ Tìm giới h ạn sau : ị ^n+2 rỵ n— n+1 —5n+1 A —lim 4n + 5n B —lim 4n + n+1 Lời giải _ _ _ J U —* , , C hia tử m ẫu cho 5n ta có: A —lim — —-5 ( lim —0 ) 4Ỵ „ ( 5J ) +1 Ỵ_ 36 7_J _ 7_ _ _ _ Ta có: B —lim 'ì" — 49 ' +7 V í d ụ Tìm giới h ạn sau : C —lim , ì/ 1- — 2 - ‘1 ( 1 - — 32J n2 ì Lời giải Ta có: - ( k - )(k + ) Ã — nên suy k k J 1ì( —1 111 —1 22 - 32 ' V (n - 1)(n + ) n +1 n2 ~ 2n n _ 22 32 n +1 _ Do C —lim _ J 2n CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP 2n2 + 3n +1 bằng: 3n - n + Bài Giá trị A —lim A +X B -X „ 2+ Lời giải Ta có: A —lim 3 D 1 + n n n n 3- +4 Bài Giá trị B —lim C 3 yỊn2 + 2n I- bằng: 3n2 +1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^Vh g i i ^^^^n h s ố tạp — — a x (— u + — + + n-1 + — _.n ) x n-1 x n' Lời giải Ta có: B = lim b b b x bn0 + — + + +— m ( — m -1 m -1 — ) „ „m — - + - + + - n=^ + - n =* N ếu m = n ^ B = lim ■ x — +TO , b b , b b,0 b + - + + - m=L + :m x xm-1 x m — * N ếu m > n ^ B = lim — — - + ^ + + - ^ + - n0 xn-1 x n b x — +TO b =0 b x m-n(bn + — + + + % ) x x m-1 x m ( Vì t — —, m ẫ u — ) * Nếu m < n _ x n-m(«n + — + + '1 ^ '1) x x x b b b bb0 + — + + +— x m-1 x m y ^ B = lim — x—+TO y *- +TO —.b0 > y Bài 11 Tìm giới h ạn A = lim -TO —b ữ < V3x3 +1 - V2x2 + x +1 A +TO ĩx r +l B -TO C - V3 +V2 D x.3 + Lời g iải Ta có: A = lim x + xt 2n + + 17 x x Vã +V “ - xỉ + - x rVx2 +1 - 2x +1 Bài 12 Tìm giới h ạn B = = lim x—+TO V2x3 - +1 pà A +TO x( +ị D ? II xx22 - x + x, ) + (N H 1 x 2( Lời g iải B = lim - C x ỉ( fR- xr + 1x) (do tử ——+TO, m ẫu — V ) Bài 13 Tìm giới h ạn A = lim (2x + 1) (x + 2) x—+TO (3 - 2x)7 A +TO B —TO : C - — 16 D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^Vh g i i + 1 í 1+ Lời g iải A = lim ^^^^n h s ố tạp J_ 16 '- Bài 14 Tim giới h ạn B = lim x^ -" A +X ) = +4 — x2 + x +1 - x B —X „ —- + ^ r —2 x x Lời g iải B = lim C.2 D =2 11 + + —x x x 2x + 3x + Bài 15 Tim giới h ạn C = lim x~ÍX x —Vx +1 B —X A +X 2+, 3+- C + 43 D + 43 Lời g iải C = lim — 1+x _ _ _ 41+ 34+ Bài 16 Tim giới h ạn D = lim x^— x x x^ — x L+ĩ x"~ + ~ A +X B —X l H C D —1 1 +1 x x = Lời g iải D = lim x^ — X 1 — + “x + x Bài 17 Tim giới h ạn A = l i m (Vx + x +1 —4 + x —11 " x^+X A +X B —X Lời giải Ta có: A = lim + + - —x x x C D + Ậ —4 x x ( = lim x + + —4 + —4 x^+X v , x x ỵ x x Bài 18 Tim giới h ạn B = lim (x —Vx2 + x +11 x^— X A +X B —X C D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 48 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG [ x —x 1+ H^^N í 1 1 + = lim x + 1 + + X — — X X X 2J x x2 J SỐ TẠP = — X Bài 19 Tim giới h ạn C = lim (3 4x 4x2 + x +1 - 2xj xj : B —X A +X Lời g iải Ta có: C = lim D C x í + 'Ị ! xL -= lim x +1 = lim 4x2 + x +1 + 2x x—+X| + x1 + ~ZĨ x + 2x 1+1 x + x1 + xẶ + 2 Bài 20 Tìm giới h ạn D = lim ( x + x +1 + 3\Jx x + x +1 + 11j : x—— X A +X B —X C —1 D Lời giải Ta có: i^ D = lim ( x + x + —x 1+ lim ( x + x + + x 1= M + N X — —X X— —X x +1 _ M = lim x—— X3 (x + x + 1)2 + xM x3 + x +1 + x2 1+ = lim _ x x +1 N = lim Vx2 + x +1 —: - J ĩ + + ^ —1 x x _ _1 _ _ 1 Do đó: B = —1 = —-1 Bài 21 Tìm giới h ạn A = lim (Vx2 + x + —2 Vx2 —x + x | " x—+X B —X A +X C- D (v x + x +1 + xj —4(x2 —x) Lời g iải Ta có: x + x +1 —2 ^ x —x + x — ix -2 xT—x + x 2x x + x +1 +1 + 5x —2x2 \jx + x +1 + > x —x + x + xx + xc(^ /x x ^+ + ĩ1 —xx j + x yịx + x +1 + 2Vx2 —x + x x + x + + / x —x + x 2x(x +1) ụ x + x +1 + yfx —x + x ^ (sịx + x +1 + x ^ + 5x x -2 x2 —x + x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^Vh g i i Do đó: A = lim x^+X / ^^^^n h s ố tạp - 1 1 + + [ —1 +1 1+1 + K 1+ + 7x + Y —x / [ x x2 1- + -x + lim ^+X ^ x x + ĩ - - +1 5_ x Bài 22 Tìm giới h ạn an B = lim x(Vx2 x( x + 2x - ^ x + x + x) x ^ + x A +X B —X C — Lời giải Ta có: \Ịx + x —2>/x2 + x + x = D 2x2 + 2x + x \ x T x —4x2 —4x yỊx2 + x + *Jx2 + x + x = 2x x + x —x —1 *v/x2 + x + *Jx2 + x + x —2 x (4 x + x + ^jx + x + x)(*>jx + 2x + x +1) _ _ N ên B = lim —2x2 =2- (y x + x + y x + x + x)(yx + x + x + 1) 4' ^ “ ( i i + Ị + j i + Ị + v i Ặ + ĩ +1 + ) x x x x „ anx + + a ,x + a Bài 23 Tìm giới h ạn A = lim — —, (a0b0 ^ 0) x^+“ bnx m + + bm— ,x + bm B —X A +X „ x a + n ( Lời giải Ta có: A = lim x^+x a D Đ áp án khác a + + - nn —- 1- + — „ n ) b b b x m( b + — + + bm—T + — x x m—1 x m a an + - x • N ếu m = n ^ B = lim b x x ^+ x a — C- a a + + - n-l + -n- n xn x n a0 bm bn x m— xm a a a an + ^ + + - ^ + -nxn— xn • N ếu m > n ^ B = lim ■ x =0 b_, b_ b x m— n( b0 + — + + ^ m = 1r + — m ) x m— — x m1 x ^+ x ( Vì tử ^ a0, m ẫu ^ 0) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG H^^N xn— m(an + ^ + + an— \ + an-) • N ếu m < n , ta có: B = lim ■ x _ x n x n +TO a0.b0 > , b b , b bn + - + + -= — + - m0 x x m— xm —TOkhi aũbũ < 4x2 + x + ^ x + x —1 Bài 24 Tim giới h ạn B = lim A +TO SỐ TẠP x4 + B —TO 4+ x Lời g iải Ta có: B = lim ■ D C + x.ĩ + A —ị x x = lim - „ + - + + A —ị x x x X— — +TO x í 1+ - =4 H V4x2 —2 + x +1 Bài 25 Tim giới h ạn C = lim •v/x2 +1 —x A +TO B —TO -— x2 Lời giải Ta có: C = lim - — —— —ị + ị + x 1+ ^ x2 x3 x = lim iF4 —x +1 xVx2 +1 + 2x +1 Bài 26 Tim giới h ạn D = lim 2x A +TO + x +1 + x B —TO x x C- D 1 + I I x2 Lời g iải Ta có: D = lim D C í x Bài to án 04: D ạn g vô định: + x x V ■= +TO T + ~z + ~ x x x TO—TO 0.TO P h n g p h áp: N h ữ n g dạn g vô địn h ta tìm cách biến đổi đ a dạng TO Các ví d ụ V í d ụ Tìm giới h ạn sau: A = lim (-^ x3 —3x2 + x —2 x ) x —— —TO Lời giải Ta có: —3x2 + Vx2 —2x = (4 x —3x2 —x) + (Vx2 —2x + x) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 51 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG -3 x -2 x ^(X3 - 3x2)2 + x x - 3x + x x - 2x - x —3 - ^ A = lim X —— —X + 3R ^ —2 = + lim +1 H^^N SỐ TẠP = - f ỉ -1 V í d ụ Tìm giới h ạn sau: B = lim x(Vx2 + 2x - 2^/X2" + ! + x) x— + X Lời giải Ta có: x + 2x - x + x + x = 2x2 + 2x + x / x + 2x - 4x2 - 4x x + 2x + x2 + x + x Vx2 + 2x - x - = 2x •\Ịx2 + x + 2a/ x + x + x -2 x ( x + 2x + ^1 x + x + x)(>/x2 + 2x + x +1) -2 x ■B = lim x — +X (Vx2 + 2x + 2^/x2 + ! + x)(>/x2 + 2x + x +1) B = lim x— + X ' Ì +4 1+2 +1+-) x x Ị - + CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP Bài Tìm giới h ạn A = lim x - x +1 - x | " x— + X B - X A +X Lời giải Ta có: A = lim D C - ( x - x +1 - x)( x - x +1 + x) Vx2 - x +1 + x x2 - x +1 - x : - x +1 = lim =Vx2 - x +1 + x I—+Xv x - x +1 + x Bài Tìm giới h ạn B = lim (2x + V4x2 - x + 1 x— - X B - X A +X Lời giải B = lim x — -X ( x - V 4x - x + )(2x + V4x2 - x +1) 2x -V x - x +1 C = lim x—-X 2x - D x +1 4x2 - x +1 = Bài Tìm giới h ạn c = lim [ n (x + a ) ( x + a2) (x + a ) - x] : x— + X A +X B - X C a + a + + a n n D a + a + + a n 2n GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 52 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG H^^N SỐ TẠP Lời giải Đ ặt y = n ( x - a ) ( x - a 2) (x -a ) ^ yn - x n = (y - x)(yn-1 + y n-1x + + x !) ^ y - x = y -x y n-1 + y n- 1x + + x n- y -x ^ lim (y - x ) = lim — ~2 — X—+X I—+Xyn + yn 2x + + x y n- x n x • C = lim x—+X y n + y n 1x + + x n x „ yn - x n T , b K b x M lim = lim ( a + a + + a + - + + + n ) X— — +X x n - —+X - x xxn = a1 +2a + + an x— + X ykx„,n-1-k = Vk = 0, , - - x —1 Vậy C = - ^ lim x— + X ,y,n-1 +, ,y,n-2x + + xn-1 =- x- - Bài Tìm giới h ạn A = lim (V x2 - x +1 - x) : x — +X A +X B -X - x +1 Lời giải A = lim I—+” Vx2 - x +1 + x C - D Bài Tìm giới h ạn B = lim x(Vềx2 +1 - x) : x — -X A + 1» B - X C D Lời g iải B = - X Bài Tìm giới h ạn C = lim (V x2 - x +1 - Vx2 + x +1) x — ±X A +X B -X C D Đ áp án khác Lời giải lim ( v x - x +1 - Vx2 + x +1 ) = lim ĩ —+Xa Ị x2 - -2 x = -1 x +1 + v x + x +1 -2 x = ĩ—xl:X2- x +1 + v x + x +1 lim ( v x - x +1 - Vx2 + x +1 ) = lim x Bài Tìm giới h ạn D = lim (^ x + 2x -2 x ) : x — +X A +X B X C D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 53 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG H^^N SỐ TẠP 2x =0 Lời g iải D = lim 3^ (8 x + 2x)2 + 2x ^(8 x + 2x) + 4x2 Bài Tim giới h ạn E = lim (^16x4 + 3x +1 ~ 4x2 + 2) x ^+ » A +X B —X C D Lời giải E = lim í^16x4 + 3x +1 —2x) + lim (v x + —2x) = X^+X X^+X\ / Bài Tim giới h ạn F = lim (x —^1 —x 3) : x ^ —X B —X A +X D C Lời giải F = —X Bài to án 05: D ạn g vô đ ịn h hàm lư ợ n g giác P h n g p h áp: Ta sử d ụ n g công th ứ c lượng giác biến đổi dạng sau: sin x x ta n x x „ • lim = lim = , từ đay suy lim = lim , = x^ x x^ sin x x^ x x^ ta n x • N ếu lim u(x) = = l i m S H Í ĩ ) = v lim ía n u M = x^ x0 x^ x0 u( x) x^x0 u( x) Các ví d ụ V í d ụ Tìm giới h ạn sau: A = lim x^ cos x —v co s x B = lim x^ sin2 x + 2x —"^1 + 3x — cos2x Lời giải Ta có: A = lim x Mà: lim x^ lim cos x —1 x2 —^ co s x cos x —1 x2 —•ycos x x2 —sx x + lim — _ ! x sin x x x sin x = lim x^ = lim x cos x —1 —cos x x x: =— cos x +1 cos2 x + -ựcosx + = _ 1 Do đó: A = ——+ —= — 12 •v/1 + 2x —^1 + 3x x _ Ta có: B = lim —3 cos2x Mà: lim + 2x —V ĩ+ ã x x = lim + 2x —(1 + x) x + lim x^0 (x +1) —3 + 3x x2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 54 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG = lim I_>' -1 SỐ TẠP X+ + lim + 2x + X + H^^N X^° (X + 1)2 + (x +1)^1 + x + ( l + x) =-1+ 1= 2 lim 1^ 1~ cos2x X2 Vậy B = = lim 1^ - cos2x X2 =1 + cos2x V í d ụ Tìm giới h ạn sau: 1 A = lim X sin X^0 X2 B = lim (2 sin X+ cos3 x)(V X+1 —4% ) Lời giải ,3 < XJ Ta có: < X sin X = ^ lim X, sin = M lim X3 = ^ lim X3 sin X^0 X^0 Vậy A = Ta có: B = lim X^+» Mà: < sin X + cos3 X X+1 + X sin X + cos2 X ->0 X •v/ x +1 +yfỵ X +1 +\fỵ Do đó: B = CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP Bài Tìm giới h ạn A = lim X^0 A +1» - cos aX X B —» sin Lời g iải Ta có: A = lim - C- sin = -2 lim X^ aX a D a aX 2' V Bài Tìm giới h ạn A = lim X A + » + sin mX —cos mX + sin nX —cos nX C m B —» + sin mX —cos mX Lời giải Ta có: + sin nX —cos nX n sin cos 2 sin2 + sin cos 2 2 + sin D 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢ O V Ư Ơ N G mx m A = lim n x-0 mx sin mx nx sin m n mx mx sin nx nx sin sin H^ ^N + cos + cos SỐ TẠP mx nx mx mx + cos 2 _ m nx nx n nx sin ■lim -.lim x-0 nx x-0 sin sin + cos 2 Bài Tìm giới h ạn B = lim - cos x cos 2x cos 3x : A +X B - X C.3 D Lời giải Ta có: - cos x cos 2x cos 3x x2 - cos x x B = lim + cos x.cos2x - cosx x - cos x + cos x cos 2x(1 - cos 3x) + cos x(1 - cos 2x) x - cos3x x + lim cos x.cos2x Bài Tìm giới h ạn A = lim x—0 A +X + cos x - cos 2x x2 - cos3x x + lim cos x - cos2x x =3 - cos 2x 3x 2sin B C.1 D ■ 3x • s in sin x s i n x N2 „ = lim x ( )2 ■lim — = Lời giải Ta có: A = lim x^õ —0 x x—0 x 3x sin cos2x - cos3x Bài Tìm giới h ạn B = lim ' 1-0 x(sin 3x - sin 4x) A +X B - X C D x 5x x sin sin sin _ Lời giải B = lim - — = - limi lim( - —).lim ).lim = x-0 7x x «° 5x x-0 7x -2 x cos sin cos 2 2 ta n 2x Bài Tìm giới h ạn C = lim -0 - v co s2 x A +X B - X : C.6 D ta n 2x ta n 2x(1 + ^ c o s2 x + ^ c o s2 x ) Lời giải C = lim = lim - cos x 1-* - ^ c o s2 x 1-0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 56 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG = lim x—0 H^^N SỐ TẠP ta n 2x(1 + Ựcos2x + Vcos2 x ) sin2 x = lim (ta n x )2.( x )2(1 + ựcos 2x + ^ c o s2 x ) x—0 2x sin x >c = Bài Tìm giới h ạn D = lim x x—0 + x sin x - cos2x A +1» B —» C- D Lời g iải Ta có: D = lim x—0 + x sin 3x —cos 2x x M : lim + x sin3x - cos2x x = lim + x sin3x - + lim - cos2x x sin3x = 3lim Lim.( (' )+ = x—0 x + x sin3x +1 Vậy: D = Bài Tìm giới h ạn A = U m sm ( '—x " x—1 sin( —x n) A + » C n B - » m D s in —(1 - x ) s in —(1 - x ) —(1 - x ) - xn Lời g iải A = lim = lim lim -.lim x— > —1 s in -(1 - xn) x—1 —(1 - x m) x—1 s in —(1 - xn) x—1 - x” - xn (1 - x)(xn-1 + xn-2 + +1) n = lim = lim = x—1 - xm 2—1 (1 - x)(xm-1 + xm-2 + +1) m Bài Tìm giới h ạn B = lim( x—-2 A + » — - x) tan x B - » C D — - x Lời giải Ta có: B = lim(—- x ) —— = lim — lim sin x = x— —2 cosx x —— — \ x—— 2 sin( - x) Bài 10 Tìm giới h ạn c = lim x a sin x—0 x A + » ( a > 0) B - » C D Lời giải Ta có: = Bài 11 Tìm giới h ạn D = lim (sin %/x +1 - s im /x ) : x^+X A +X B —X Lời giải Trước hết ta có: sin x < x Ta có: sin x +1 —sin 2sin C D Vx > x +1 — x cos x +1 + x \Jx + + *J~x M lim = nên D = M+X x + + x cos3x —cos4x Bài 12 Tìm giới h ạn A = lim ' x^ cos5x —cos6x B —X A +X C L D C —4 D 11 x x sin — sin _L_Z_ Lời g iải Ta có: A = lim Aĩữ 11x x 11 sin sin 2 Bài 13 Tìm giới h ạn B = lim A +X —^1 + sin x sin3x B —X Lời giải Ta có B = lim —2 sin x =— sin3xỊ1 + ^1 + sin x + ^(1 + sin x )2 Bài 14 Tìm giới h ạn C = lim x^ v c o sx —y co sx B —X A +X C —96 D C ầ81 D sin2 2x Im Lời giải Ta có: C = lim x x^õ v c o s x —1 —v c o s x x2 + = —96 x2 Bài 15 Tìm giới h ạn D = lim sin sin4 3x A +X B —X Lời giải Ta có: D = 16 81 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 58 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG H^^N SỐ TẠP 1 - sin(—cos x) Bài 16 Tìm giới h ạn E = lim x^õ x^ sin(tan x) A +1» B —X C D C D —sin I — cos x Lời giải E = lim x^0 ^0 tan x sin(tan x) tan x =0 sin x + 2cos x Bài 17 Tim giới h ạn F = lim ■ M+X x +1 + x B —X A +X Lời giải Ta có: < sin x + 2cos x < x +1 + x ->0 x ^ + X x +1 + x Vậy F = mcos ax - mcos bx Bài 18 Tìm giới h ạn H = lim x^Q A +X sin x B —X sin2 x A +X D C a D 2n mcos ax —1 —ự cos bx x Lời ơgiải Ta có: H = limo Bài 19 Tìm giới h ạn M = lim C A —-0 - b a 2n 2m 2m —n cos ax B —X 2n —cos ax Lời giải Ta có: —V co s ax = + n cos ax + (n cos ax )2 + + (n cos ax)n •M = lim x^ —cos ax x2 lim + n cos ax + (n cos ax )2 + + (n cos ax )n a a n 2n cos3x —cos4x Bài 20 Tìm giới h ạn A = lim x^ cos5x —cos6x A +X B —X C — 11 D x x sin — sin Lời giải Ta có: A = lim — = — x“° 11x x 11 sin sin 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 59 CH^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG SỐ TẠP 1 - ^1 + sin x sin3x Bài 21 Tìm giới h ạn B = lim B —X A +X Lời giải Ta có B = lim H^^N -2 s in x ( D C —4 sin3x l + ^1 + sin x + ^(1 j \ + sin x)2 Bài 22 Tìm giới h ạn C = lim sin 2x x^ y c o sx - y co sx A +X B —X C —96 D C 16 81 D C.1 D sin2 2x im Lời giải Ta có: C = lim x x^õ v c o s x —1 —vcosx x + x = —96 Bài 23 Tìm giới h ạn D = lim sin x ' xTõ sin4 3x B —X A +X sin2x 3x Y 16 Lời g iải Ta có: D = lim x^ 01, 2x j sin x ) 81 16 81 —sin(—cos x) • xTo sin(tan x) B —X A +X —sin I — cos x Lời giải Ta có: E = lim x^õ tan x sin(tan x) tan x M l i m sin(tĩm x> = 1; x^ ta n x í —sin sin 2 —sin I —cos x —cos (1 —cos x) V lim - = lim - = lim x^0 « tan x « tan x tan x í —sin sin2 = —lim4 x^0 xr \ xx \ sin2 — x.—x — = —sin2 ( )2 2 Do đó: E = GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 60 CH ^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG sin X+ 2cos X Bài 25 Tìm giới h ạn F = lim ■ X^+" SỐ TẠP : X+1 + X A +X Lời giải Ta có: < H^^N C — B —X sin x + 2cos X < X+1 + X _ D ^ X ^ + X X+1 + X Vậy F = Bài 26 Tìm giới h ạn H = lim A +X mcos aX —mcos bX : C — — — B —X 2n 2m D mcos aX —1 —ự cos bX Lời giải Ta có: H = lim X sin2 X X^ X - = — — — 2n m X2 Bài 27 Tìm giới h ạn M = lim • X^° A +X ^1 + x —sl1 + x : —cos2x B —X 33 x + Lời giải Ta có: M = lim XV° C —1 4 2x + X X —cos2x D = 2 =— X2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 9 8 ĐỂ ĐẶT MUA 61 [...]... +1 băng địn h nghĩA Bài 11 Tim giới h ạn hàm số lim à g ạ à (2 —x)4 A + » B —» C —2 D 1 x +1 = +» Lời giải Đ áp số: lim x—2 (2 —x )4 3x2 Bài 12 Tim giới h ạn hàm số lim băng địn h nghĩA x— +» x—+» 2 x2 +1 A + » B —» C 3 2 D 1 3x2 3 Lời g iải Đ áp so: lim = x—+» 2 x 2 +1 2 Bài 13 Tim giới h ạn hàm số lim ( x 2 + x —1) băng địn h nghĩA x — —» A + » B —» C —2 D 1 Lời g iải Đ áp số: lim ( x 2 + x —1) =... - 4 Bài 14 Tìm giới h ạn hàm số lim X—2- A +X s ố tạp 1 bằng địn h nghĩA Ậ x 4 + l ) ( 2 - x) B - X X2 - 4 Lời giải Đ áp số: lim ^^^^n h C.0 D 1 =0 Ậ x 4 + 1) ( 2 - x) X + 3X + 2 Bài 15 Tìm giới h ạn hàm số lim X— — -1— -1A +X |X + 1| bằng địn h nghĩA B - X C - 2 D -1 Lời giải Do X — -1 ^ |x + 1 = - (x + 1) Đ áp số: lim X + 3X+ 2 = - 1 X— X —-1- X + 1 Vấn đề 2 Tìm giới hạn của hàm số Bài to án 01:... 2~ 2 2 Bài.10 Tìm a để’h àm số sau có giới h ạn tại X = 0 f (x) = Ị5ax2 + 3x + 2a +1 1 + X + 4 X2 + X+ 2 B —X A +X C khi X > 0 khi X < 0 D 1 2 2 42 Lời giải Ta có lim f(x ) = 2a +1 = 1 + -v/2 = lim f(x ) X a = 2 XX0+ XX0— '2 5ax2 + 3x + 2a +1 Bài 11 Tìm a để’ hàm số f (x) = • 11 + X+ 4 X2 + X + 2 A +X B —X khi X > 0 có giới hạn tại X X 0 khi X < 0 C 2 2 2 D 1 Lời giải Ta có: lim f (x) = lim (5ax2 +... x = 1 ta có: lim = lim = +» n x—1+ x —1 x_ —1 3 x —1 ' Bài 9 Tim giới h ạn hàm số lim băng địn h nghĩA ' x—2—x —2 ' A + » B —» Lời giải Với m ọi dãy (x ): x ' n n < 2, V D 1 C —2 3x —1 3 x —1 n v à lim x = 2 ta có: lim = lim n _ n x— 2— x — 2 —2—x —2 X —2 Bài 10 Tim giới h ạn hàm số lim 2x + x 3 băng ■ địn h nghĩA xx— — >11 x —1 A + » B 5 D 1 C —2 Lời giải Với m ọi dãy (x ): lim x = 1 ta có: lim —1... nguyên lý kẹp ta có ngay lim n = n—ro n ab GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 Đ ịn h nghĩa: 1.1 G iới h ạ n h àm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng h àm số f (x) xác địn h trên K (có th ể trừ điểm x 0) có giới h ạn là L khi x d ần tới x0 nếu với dãy số (x ) bất kì, x e K \{x0} và x — x0, ta có: f (x ) — L Ta kí hiệu: lim f (x) = L hay f (x) — L khi x — x x — xo 1.2 G iới h ạ n m ột bên: * Cho h àm số y = f (x)... MUA 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^Vb H^^N 1 C —1 6 B —X A +X SỐ TẠP 1 „ D.0 Lời g iải D = 0 Bài 9 Tìm a đ ể hàm số sau có giới hạn khi X X 2 f (x) A +X ị X + ax +1 khi X > 2 [2x2 —X +1 kh i X < 2 1 C — 2 B —X „ D 1 Lời giải Ta có: lim f (x) = lim(X2 + aX + 2) = 2a + 6 lim f (x) = lim(2X2 —X+1) = 7 XX2+ XX2+ XX2' XX2“ ^ 1 1 ^ H àm số có giới h ạn khi X X 2 X l i m f (x) = lim f (x) X 2a + 6 = 7 X... = 1 ta có: lim n = —2 Vây lim = —2 ' ” n Xn —2 ' X—1 X —2 Bài 2 Tìm giới h ạn hàm số lim (X3 + 1 ) băng địn h nghĩA A + » B —» C.9 D 1 Lời g iải lim (X3 + 1 ) = 9 Bài 3 Tìm giới h ạn hàm số lim X— 1 A + » X+ 3 —2 băng địn h nghĩA X —1 B —» ỵỊx + 3 —2 Lời g iải lim X— — 1 —1 X —1 X+ 3 X—+» X —2 ■ A + » X+ 3 2 X2 —X +1 X—— » A + » B —» X— »» X —— — D 1 = 1 Bài 5 Tìm giới h ạn hàm số lim Lời g iải... +X 1 —2 17 í 2 + ->'■ Lời giải Ta có: F = lim =8 1+ - Bài 19 Giá trị củA H = lim ( v n2 + n +1 —n) bằng: A B —X +X 1+ 1 Lời giải Ta có: H = lim n+1 = lim n2 + n +1 + n 1 12 +1 i1 + n1 + An - B —X A —- 1 2 n C.0 1 —n Lời giải Ta có: M = lim ■ự(1 —n2 —8n3)2 —2n ^1 —n2 —8n3 + 4n: D 1 _Ị_ 12 Bài 21 Giá trị củA N = lim (v 4 n 2 +1 —^ 8 n 3 + n ) bằng: A B —X +X C.0 D 1 Lời giải Ta có: N = lim (v 4 n 2 +1... các h àm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? N ếu có hay tìm giới hạn đó? X + 3x +1 1 f ( X) = ■ X2 + 2 3x + 2 3 2 f (x) = khi X < 1 khi X — 1; khi X > 1 2x2 + 3x +1 kh i X > 0 khi X — 0 -X 2 + 3x + 2 khi X < 0 Lời giải GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA 29 CH ^^^ƠNG i ^Vb NGUYỄN BẢO VƯƠNG 3x + 2 1 Ta có: lim f (x) = lim X—1+ x— 11+ + 3 — — H^^N SỐ TẠP 1... có: lim f (x) = lim (2x2 + 3x +1) = 1 X—0+ X—0+ lim f (x) = lim ( -x 2 + 3x + 2) = 2 ^ lim f (x) ^ lim f (x ) x—0- x—0- x—0+ x—0- Vậy hàm số f (x) không có giới h ạn khi x — 0 V í d ụ 3 Tim m đ ể các h àm số: x2 + mx + 2m +1 khi x > 0 x +1 có giới hạn khi x — 0 1 f ( x ) = 2x + 3m - 1 khi x < 0 V ĩ—x + 2 x2 + x - 2 + mx +1 1- x 2 f ( x ) = 3mx + 2m - 1 khi x < 1 có giới h ạn khi x — 1 khi x > 1 Lời ... CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN A r r* _ r f _ / k > _ r / TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ G i i h n h ữ u h n c ủ a d ã y s ố 1.1 Đ ị n h n g h ĩ a : • D ãy số (u ) gọi có giới h... inh dãy số (u ): u = (-1)” giới hạn Lời giải Ta có: u2n = ^ lim u2n = 1; u2n+1 = -1 lim u2n+1 = -1 Vì giới h ạn dãy số có n hất nên ta suy dãy (u n ) giới hạn V í d ụ C hứng m inh giới hạn sau:... 11 Tim giới h ạn hàm số lim g (2 —x)4 A + » B —» C —2 D x +1 = +» Lời giải Đ áp số: lim x—2 (2 —x )4 3x2 Bài 12 Tim giới h ạn hàm số lim băng địn h nghĩA x— +» x—+» x2 +1 A + » B —» C D 3x2 Lời