Đang tải... (xem toàn văn)
• Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác. • Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất đối với và ; bậc hai bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng và ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba). • Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…), xét khoảng giá trị hàm lượng giác. • Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12).
Phương trình lượng giác chứa tham số Phần Một số lưu ý Tài liệu không nhắc lại công thức lượng giác Tài liệu không nhắc lại cách giải phương trình lượng giác sin x / cos x / tan x / cot x m phương trình lượng giác thường gặp (bậc sin x cos x ; bậc hai/ bậc cao với ẩn lượng giác; đối xứng sin x cos x ; đẳng cấp bậc hai bậc ba) Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai f x ax bx c dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…), xét khoảng giá trị hàm lượng giác Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12) Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa email pvtvalley@gmail.com Câu Cho phương trình cos x 2m 1 cos x m 1) Giải phương trình m 2) Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x 3 Hướng dẫn pt 2cos2 x 2m 1 cos x m 2cos x 2m 1 cos x m cos x 3 1) Với m pt cos x cos x 2 cos x loai x k 2 , k Z 2) pt 2cos2 x 2m cos x cos x m 2cos x cos x m cos x m cos x cos x m cos x 1 cos x m Với cos x x 3 1 cos x nên nghiệm bị loại Do đó, để phương trình có nghiệm phương trình cos x m có nghiệm Vì 1 cos x f x cos x hàm liên tục nên phương trình có nghiệm 1 m Câu Cho phương trình sin x cos x m cos6 x 1) Giải phương trình m 2) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm khoảng 0; 4 Hướng dẫn pt 1 cos x cos x 1 m cos x cos x cos x cos x m cos x m cos x cos x cos x cos x m cos x 1 m cos x cos x 1) Với m pt cos x x k , k Z 2 2cos x VN 2) Với x 0; cos x nên nghiệm cos x 4 bị loại Do đó, để phương trình có nghiệm phương trình m cos2 x có nghiệm Ta có m cos2 x cos2 x cos x có nghiệm , m m cos x f x cos2 x hàm liên tục nên phương trình 1 2 m 1 m Câu Cho phương trình cos x cos2 3x a sin x 1) Giải phương trình a 2) Tìm a để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; 12 Hướng dẫn cos x 1 cos x a 2 cos x 3cos x 1 cos x cos 2 x a 2 cos x cos x 3cos x a a cos x pt cos x cos 2 x cos3 x a 3 cos x a cos x cos 2 x 1 cos x a 3 cos x 1 cos x a cos x cos x a cos x a x k cos x x k 2 x k , k Z 1) Với a pt x k cos x x k 2 2) Với x 12 2x cos2 x 1 nên nghiệm cos x bị loại Do ta cần phương trình cos x Do x 12 4x phương trình có nghiệm a 1 có nghiệm cos x hàm số f x cos x liên tục nên a 1 a 2 Câu Cho phương trình cos3x 2sin x m cos x 1) Giải phương trình m 2 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x thuộc khoảng 0; 2 Hướng dẫn pt cos3 x 3cos x 4sin x cos x m cos x cos3 x 4sin x cos x m 3 cos x cos x cos x 2 cos x 4sin x m 4sin x 4sin x m cos x 4sin x 4sin x m 1 1) Với m 2 x k cos x cos x pt x k 2 , k Z sin x 4sin x 4sin x x 5 k 2 2) Với x 0; cos x nên nghiệm 2 cos x bị loại Do ta cần phương trình 4sin x 4sin x m 1 có nghiệm Đặt sin x t với x t 1 pt 4t 4t m 1 m f t 4t 4t Phương trình m f t có nghiệm đường nằm ngang y m cắt đồ thị hàm f t 4t 4t với t điểm Dễ dàng vẽ đồ thị hàm số f t 4t 4t với t Từ đồ thị suy hai đường cắt nhau, hay phương trình có nghiệm 1 m 2 m 1 Câu Cho phương trình sin x sin 3x a sin x Tìm a để phương trình có nghiệm x k , k Z Hướng dẫn pt sin x 2 sin 3x a sin x sin x sin 3x a sin x 2sin x cos x 3sin x 4sin x a sin x sin x sin x x k , k Z 2 cos x 4sin x a cos x cos x a a cos x cos x Theo yêu cầu để nghiệm x k , k Z không thỏa mãn Do ta cần phương trình a 4cos2 x 2cos x có nghiệm x k , k Z Đặt cos x t , với x k , k Z 1 t pt a 4t 2t f t Với f t 4t 2t hàm liên tục nên phương trình a f t có nghiệm f t a max f t với 1 t Lập bảng biến thiên hàm số f t Từ bảng biến thiên nhận thấy f t max f t Do phương trình có nghiệm x k , k Z a Câu Cho phương trình sin x m tan x Tìm m để phương trình có nghiệm x k , k Z Hướng dẫn pt 2sin x cos x m tan x 4sin x cos x cos x m sin x cos x sin x sin x x k , k Z 2 cos x cos x 1 m cos x cos x m, cos x m 8cos x cos x Theo yêu cầu đề nghiệm x k , k Z không thỏa mãn x k , k Z cos x 1 Do đó, ta cần m 8cos4 x 4cos2 x có nghiệm, với cos x cos x 0 cos x 1 Đặt cos2 x t với t cos x pt m f t 8t 4t Phương trình có nghiệm đường nằm ngang y m cắt đồ thị hàm số f t 8t 4t với t điểm Dựa vào đồ thị vẽ, nhận thấy hai đường cắt hay phương trình có nghiệm m Câu Cho phương trình sin x cos4 x cos x 2sin x m Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 Hướng dẫn pt 1 sin 2 x 1 2sin 2 x 2sin x m sin x 2sin 2 x 2sin x m m 3sin 2 x 2sin x Đặt sin 2x t , với 0 x x sin x hay t 0;1 pt m f t 3t 2t , với t Hàm f t 3t 2t liên tục nên phương trình m f t có nghiệm f t m max f t với t Lập bảng biến thiên hàm số f t Từ bảng biến thiên nhận thấy f t Do đó, phương trình có nghiệm 10 max f t 2 10 m 2 Câu Cho phương trình cos x m sin x 2m Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; 2 Hướng dẫn Đây phương trình bậc sin 2x cos 2x Tuy nhiên có điều kiện x 0; 2 nên điều kiện 12 m2 2m 1 không đủ để giải toán Do đó, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ t tan x với cos x để đưa phương trình cho phương trình bậc hai cos x 2cos2 x 1 1) Xét cos x pt 1 2m m sin x 2sin x cos x Thử lại với m pt cos x 1 x k 2 x Họ nghiệm cho nghiệm x k 2 , k Z 0; nên giá trị m thỏa mãn yêu cầu 2 toán 2) Với cos x x Đặt 0 x k , k Z , 2t sin 2x t , t tan x cos 2x t 1 t2 với tan x t 0; Khi đó, pt 1 t2 2t m 2m mt mt 2m 1 t 1 t2 m t t 2 m f t Hàm số f t t t 2 2 liên tục nên phương trình m f t có nghiệm t t 2 f t m max f t với t Dễ thấy t t t f t 0 t t 2 Đồng thời t t t f t 1 t t 2 Do đó, trường hợp phương trình có nghiệm m m Kết hợp hai trường hợp, suy phương trình có nghiệm m 0 m Câu Cho phương trình 2cos x sin x cos x cos2 x sin x m sin x cos x 1) Giải phương trình m 2) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0; 2 Hướng dẫn pt cos x sin x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x sin x cos x x k , k Z cos x sin x sin x cos x m 1 Đặt cos x sin x t , t 1 2t sin x cosx 1 t2 1 t2 m t 4t 2m t loai 1) Với m 1 t 4t t 4t t cos x sin x x k 2 ,k Z x k 2 Vậy hệ có nghiệm x 2) Với điều kiện x k , x k 2 , x nghiệm x k2 , k Z k , k Z không thỏa mãn Do ta cần phương trình 1 có nghiệm khoảng 0; 2 1 2m f t t 4t Trong đó, t cos x sin x Với x x 3 cos x 4 cos x 4 1 t 1 Hàm số f t t 4t liên tục nên phương trình 2m f t có nghiệm f t 2m max f t với 1 t Lập bảng biến thiên hàm số f t dễ dàng tìm f t f 1 4 max f t f 1 Do đó, phương trình có nghiệm 4 2m 2 m Cho phương trình sin x cos x 2sin x cos x m Tìm m để phương Câu 10 trình có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 Hướng dẫn Đặt t sin x cos x t2 1 cos x sin x cos x 4 đó, Trong 0 x x cos x t 4 pt 2t t m m f t t 2t Hàm số f t t 2t liên tục nên hàm số có nghiệm f t m max f t Lập bảng biến thiên, tìm f t f 1 max f t f 2 1 2 Do đó, phương trình có nghiệm m 2 1 2 m 2 Câu 11 1 1 Cho phương trình m sin x cos x tan x cot x 2 sin x cos x 1) Giải phương trình với m 2) Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm khoảng 0; 2 Hướng dẫn 10 sin x cos x sin x cos x pt m sin x cos x 0 cos x sin x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x 0 2sin x cos x Đặt t sin x cos x cos x , với 4 t t2 1 , sin x cos x sin xcos x 0 t 1 t t 1 t pt mt mt mt 0 m t 1 t 1 t 1 t 1 t t sin x cos x 1) Với m , pt x k , k Z 0 t 1 loai t 1 0 x 2) Với x t cos x 1; 1 4 Với điều kiện nghiệm t không thỏa mãn Do m ta cần phương trình 1 m f t có nghiệm t 1 t 1 Ta có t f t 0; t 1 Đồng thời t t f t t 1 1 Do đó, để phương trình có nghiệm m f t m Đối chiếu yêu cầu m nguyên, ta m 3 11 [...]... loai 2 t 1 0 x 2) Với 2 x 4 4 4 t 2 cos x 1; 2 1 4 Với điều kiện này thì nghiệm t 0 không thỏa mãn Do m đó ta cần phương trình 1 1 0 m f t có nghiệm t 1 t 1 Ta có t 1 f t 1 0; t 1 Đồng thời t 2 t 1 2 1 f t 1 t 1 1 2 1 2 1 Do đó, để phương trình có nghiệm thì m f t 2 1 m 2 1 ... 0 2 cos x sin x sin x cos x 1 sin x cos x m sin x cos x 1 0 2sin x cos x Đặt t sin x cos x 2 cos x , với 4 t 2 t2 1 , sin x cos x 2 sin xcos x 0 t 1 t 0 t 1 1 t pt mt 1 2 0 mt 1 0 mt 0 m 1 0 t 1 t 1 t 1 t 1 t 0 t sin x cos x 0 1 1) Với m , pt 1 x k , k Z 1 2 4 0 ... phương trình cos x 2m 1 cos x m 1) Giải phương trình m 2) Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x 3 Hướng dẫn pt 2cos2 x 2m 1 cos x m 2cos x 2m... x f x cos2 x hàm liên tục nên phương trình 1 2 m 1 m Câu Cho phương trình cos x cos2 3x a sin x 1) Giải phương trình a 2) Tìm a để phương trình có nghiệm thuộc... f t 2 10 m 2 Câu Cho phương trình cos x m sin x 2m Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; 2 Hướng dẫn Đây phương trình bậc sin 2x cos 2x Tuy nhiên